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    COMPLEXE SCOLAIRE DEVOIR SUR TABLE AN.

    SCO : 2021 - 2022


    VIC-INTELLIGENTSIA Épreuve de Mathématiques Prof : ASSIGNON
    BP : 60522. LOME - TOGO Classe : Tle D Durée : 2 H / Coef. : 3

    EXERCICE 1

    Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). L’élève choisira la bonne réponse parmi les propositions.
    Une et une seule est correcte. Aucune justification n’est demandée.

    1. On désigne par A, B , C et D les points d’affixes respectives : z A = 1 , z B = i , zC = −1 et z D = −i .

    L’ensemble des points d’affixe z tel que |z + i | = |z − 1| est :

    a.) la médiatrice du segment [BC ] b.) le milieu du segment [BC ] c.) le cercle de centre O et de rayon 1

    d.) la médiatrice du segment [AD]

    2. On désigne par A, B , C et D les points d’affixes respectives : z A = 1 , z B = i , zC = −1 et z D = −i .


    z +i
    L’ensemble des points d’affixe z tel que soit un imaginaire pur est :
    z +1
    a.) la droite (C D) privée du point C b.) le cercle de diamètre [C D] privé du point C

    c.) le cercle de diamètre [B D] privé du point C d.) la médiatrice du segment [AB ]

    3. On désigne par A, B , C et D les points d’affixes respectives : z A = 1 , z B = i , zC = −1 et z D = −i .


    ³z −i ´ π
    L’ensemble des points d’affixe z tels que arg =− + 2kπ où k ∈ Z est :
    z +i 2

    a.) le demi-cercle de diamètre [B D] privée de B et D b.) la droite (B D)

    c.) la demi-droite ]B D) d’origine B passant par D privée de B d.) le cercle de diamètre [B D] privé de B et D

    1 p
    4. On pose j = − + i 2 3 . La somme 1 + j + j 2 est égale à :
    2

    1 p
    a.) - 1 b.) j = − + i 2 3 c.) 0 d.) Aucune proposition n’est juste
    2

    EXERCICE 2

    1. Résoudre dans C les équations suivantes :


    ³ z − i ´2 ³z −i´ −8
    a.) iz 2 + (4i − 3)z + i − 5 = 0 b.) +2 +2 = 0 c.) z 4 = p d.) z n = i
    z +i z +i 1+i 3

    2. Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants :


    π
    1 − ei 3
    a. z = π b. z 0 = 1 + cos 2θ + i sin 2θ c. z 0 = 1 + i tan θ ; θ ∈ [0 ; π[
    1 + ei 3
    3. Déterminer les racines quatrième de l’unité.

    Représenter les points images des solutions sur le cercle trigonométrique.


    4. Linéariser cos4 x

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    « L A LOGIQUE EST L’ HYGÈNE DES MATHEMATIQUES » Jeudi , 28 Octobre 2021
    EXERCICE 3
    p
    On donne le nombre complexe z tel que z = −8 3 + 8i
    1. a. Ecrire z sous forme trigonométrique
    b. Déterminer les racines carrées de z sous forme trigonométrique
    p p p p
    2. On considère le nombre complexe U = ( 6 − 2) + i( 6 + 2)

    a. Vérifier que U2 = z
    b. En déduire les racines carrées de z sous forme algébrique
    µ ¶ µ ¶
    5π 5π
    c. En déduire les valeurs exactes de cos et si n .
    12 12

    EXERCICE 4

    1. Résoudre dans C l’ équation : z ∈ C ; z 2 + (1 − 3i)z − 4 = 0

    2. On considère le polynôme P défini par : P (z) = z 3 + (1 − i)z 2 + (2 + 2i)z − 8i.


    a. Montrer que P admet une solution imaginaire pure que l’on déterminera.
    b. Démontrer qu’il existe deux nombres complexes α et β que l’on déterminera , tels que , pour tout nombre
    complexe z , P (z) = (z + 2i)(z 2 + αz + β)
    c. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes, l’équation P (z) = 0.

    3. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O, ~


    u, ~
    v ). On considère les points A, B et C d’affixes

    respectives : −2i , −2 + 2i et 1 + i.

    On note D le symétrique de A par rapport à O.


    a. Placer les points A, B , C et D dans le repère. (unité graphique : 2 cm)
    b. Etudier la nature du triangle ABC
    c. Montrer que les droites (AD) et (BD ) sont perpendiculaires.
    d. Démontrer que les points A, B , C et D appartiennent à un même cercle (C )

    4. Soit (∆) l’ensemble des points M d’affixe z telle que |z + 2i| =|z + 2 − 2i|

    a. Justifier que le point E d’affixe -3 - i appartient à (∆)


    b. Déterminer et construire (∆)
    c. Montrer ACBE est un carré

    EN DIEU SEUL NOTRE REUSSITE

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