Chapitre 1 Oscillations 2016-2017
Chapitre 1 Oscillations 2016-2017
Chapitre 1 Oscillations 2016-2017
2016-2017 PG
OS 4ème 2
Nous remarquons que lorsque la phase : De même, la position y(t) est caractérisée par :
a) ωt = 0 ⇒ x = 0
b) ωt = π/2 ⇒ x = A y(t) = Asinθ = A sin(ωt) = A sin (2π f t) (5)
c) ωt = 2π ⇒ x = A sin (2π) = 0 où
A = amplitude des oscillations
Une période T après t = 0s, lorsque t = T , la phase ωt est égale à 2π :
Nous retrouvons la propriété mentionnée plus haut concernant la vitesse Sur la figure en page 1, le bloc est en x = 0 à t = 0. Comment décrire le
angulaire pour le mouvement circulaire à savoir : mouvement lorsque ce n’est pas le cas ?
Par exemple dans le schéma ci-dessous, à t = 0s, l’objet est à mi-chemin
T = 2π / ω ou ω = 2π / T entre x = 0 et x = A sa position positive maximale, et il se déplace dans le
sens positif de l’axe x. Quelle est la fonction qui décrit ce mouvement ?
Ce mouvement est donc similaire au mouvement d’un objet qui décrit un ………………………………………………………………..
cercle de rayon A avec une vitesse angulaire ω constante. A tout instant, la La solution est d’introduire une constante de phase φ ou déphasage à
position de l’objet est définie par l’angle θ = ωt. La vitesse angulaire du l’intérieur de la phase :
mouvement de rotation est égale à la fréquence angulaire du mouvement
harmonique simple ou MHS (Ex : scie sauteuse)
La position x(t) (le point Q sur la figure ci-dessus) est alors la projection
du point P sur l’axe des x. Ce point oscille entre les positions +A et –A. x(t) = A sin (ωt + φ) (6)
Cette projection s’écrit :
où
x(t) = A cosθ = A cos(ωt) = A cos (2π f t) (4) ωt + φ = phase [rad]
φ = constante de phase ou déphasage [rad]
2016-2017 PG
OS 4ème 3
Un système quelconque dans lequel la variation d’une grandeur physique Cette forme d’équation différentielle du 2ème degré caractérise tous les
en fonction du temps est donnée par l’équation (6) est appelé oscillateur types d’oscillations harmoniques simples, qu’elles soient mécaniques ou
harmonique simple. non (oscillations dans un circuit électrique, oscillation du champ électrique
et magnétique dans les ondes lumineuses comme nous le verrons dans le
L’oscillateur harmonique simple a les propriétés suivantes : chapitre des ondes). L’équation (6) est une solution de cette équation
1.- L’amplitude A est constante (l’oscillation est simple) différentielle.
2.- La fréquence f et la période T sont indépendantes de l’amplitude : les
grandes oscillations ont la même période que les petites oscillations Le système bloc-ressort
(isochronisme) Nous allons faire l’étude
3.- La dépendance en fonction du temps de la grandeur qui fluctue peut dynamique de l’oscillation d’un
s’exprimer par une fonction sinusoïdale de fréquence unique (l’oscillation bloc à l’extrémité d’un ressort de
est harmonique en référence aux harmoniques en musique). masse négligeable. Le système le
4.- Les conditions initiales sont les suivantes : plus simple à analyser consiste en
En t = 0 : x(t=0) = A sin φ (7) un bloc accroché à un ressort
En x = 0 : sin (ωt + φ) = 0 ⇔ ωt = - φ ⇔ t = - φ/ω (8) oscillant à l’horizontale sur une
surface sans frottement. On
5.- La vitesse s’obtient en dérivant l’expression (6) par rapport au temps : suppose que la force résultante
agissant sur le bloc est la force
dx exercée par le ressort, qui est
vx = = ωA cos(ωt + φ ) (9)
dt donnée par la loi de Hooke (forme
scalaire) :
6.- L’accélération a s’obtient en dérivant 2 fois l’expression (6) par rapport
au temps : Fres = - k x (12)
dv x d 2 x où
ax = = 2 = −ω 2 A sin(ωt + φ ) = −ω 2 x(t ) (10) x = position par rapport à l’équilibre [m]
dt dt k = constante d’élasticité du ressort [N/m] ou raideur
L’accélération d’un oscillateur harmonique est proportionnelle et de sens
opposé à sa position. Elle est maximale aux bornes de son mouvement en x Si x > 0, F < 0 : la force a toujours tendance à ramener le bloc vers sa
= ± A où la vitesse est nulle. position d’équilibre, x = 0. La 2ème loi de Newton appliquée au bloc
donne :
L’équation (10) peut également s’écrire :
- k x = ma (13)
2
d x or
2
+ ω 2 x(t ) = 0 d 2x
dt (11) a= (14)
dt 2
2016-2017 PG
OS 4ème 4
donc
d2x k
+ x =0 (15)
dt 2 m
En comparant (15) et (11), on constate que le système bloc-ressort effectue L’énergie dans un mouvement harmonique simple
un mouvement harmonique simple de pulsation (fréquence angulaire) : La force exercée par un ressort idéal est conservative, ce qui signifie qu’en
l’absence de frottement l’énergie mécanique est conservée.
k L’énergie potentielle vaut :
ω= (16)
m
E pot = 𝐹 𝑥 𝑑𝑥 = (−𝑘𝑥)𝑑𝑥 = ½ k x2 (18)
et de période :
2π m Et par (6),
T= = 2π (17)
ω k
Nous pouvons remarquer que la période T est indépendante de l’amplitude. E pot = ½ k A2 sin2 (ωt + φ) (19)
2016-2017 PG
OS 4ème 5
L’énergie mécanique d’un oscillateur harmonique simple est constante et Les pendules
proportionnelle au carré de l’amplitude.
Exemple :
Montrer que l’équation différentielle du mouvement harmonique simple
peut être obtenue à partir de l’expression donnant l’énergie du système.
2016-2017 PG
OS 4ème 6
2016-2017 PG
OS 4ème 7
2016-2017 PG
OS 4ème 8
Vérification : Cas B
Que se passe-t-il lorsque la condition (45) n’est pas remplie autrement dit
lorsque γ/2m > ω0 (λ > ω0)?
Dans ce cas, ω’ est un nombre imaginaire. Dans ce cas, il n’y a pas
d’oscillation et le système revient lentement à sa position d’équilibre. Les
portes montées sur des charnières à fermeture automatique et le dispositif
de rappel du bras d’un tourne-disque sont des exemples d’amortissement
surcritique.
Cas C
Dans le cas où γ/2m = ω0 ou 1/τ = ω0, on a ω’ = 0 et, là non plus, il n’y a
pas d’oscillation. Cette condition d’amortissement critique correspond au
temps le plus court pour que le système revienne à l’équilibre.
L’amortissement critique est utilisé dans les mouvements des appareils
Cas A de mesure électriques pour amortir les oscillations de l’aiguille. Le système
Pour que ω’ soit un nombre réel, la condition : de suspension d’une automobile est réglé de manière à avoir un
amortissement un peu moins que critique. Dans ce cas, la voiture revient
γ/2m < ω0 (λ < ω0) (45) rapidement à sa position d’équilibre sans faire plusieurs oscillations autour
de sa position d’équilibre.
doit être satisfaite.
Le cas échéant, les oscillations sont sous-amorties. Oscillations forcées et résonance
En posant φ =0, l’amplitude diminue selon : La perte d’énergie dans un oscillateur amorti peut être compensée par le
travail effectué par un agent extérieur. Par exemple, on peut entretenir le
A(t) = A0 e − (γ / 2 m ) t = A0 e − λt (46) mouvement d’un enfant sur une balançoire en le poussant à des moments
appropriés. Dans bien des cas, la force d’entraînement extérieure varie de
Nous pouvons également définir le temps de relaxation τ : façon sinusoïdale ωe. Supposons que F(t) = Fe cos ωet.
La 2ème loi de Newton appliquée à un tel oscillateur forcé avec frottement
τ = 2m/γ = 1/λ nous fournit l’équation suivante (42):
Lorsqu’on applique la force, le mouvement est tout d’abord complexe : la Chaque valeur de la pulsation ω0 de la force d’entraînement est
solution de l’équation différentielle comporte des termes qualifiés de caractérisée par sa propre amplitude (voir figure ci-dessus).
transitoires. Toutefois, le système finit par osciller en régime permanent. Cas :
Le régime transitoire 1.- ωe = 0 : A représente simplement l’allongement statique Fe/mω02 = Fe /
caractérise le mouvement de k.
l’oscillateur quand l’action 2.- ωe à ω0 : A croît jusqu’à atteindre un maximum à ωmax ; Lorsque les
forçante vient d’être forces d’amortissement sont relativement faibles, la fréquence de
enclenchée ou déclenchée. La résonance est voisine de la fréquence naturelle d’oscillation du système.
durée de ce régime transitoire Les caractéristiques les plus importantes d’une résonance se retrouvent
est de l’ordre d’un temps τ dans tous les domaines de la physique classique comme dans ceux de la
relié au coefficient γ qui physique quantique.
caractérise le frottement (τ = La réponse d’un système oscillant soumis à une perturbation extérieure
2m/γ). sinusoïdale est d’autant plus importante que la fréquence excitante ωe se
En régime permanent, obtenu rapproche d’une fréquence propre ω0 du système. Il y a résonance au
après un temps supérieur à τ, maximum du pic qui s’observe lorsque ωe = ω0.
le mouvement de l’oscillateur A cet instant, la force extérieure et la vitesse de la particule sont
est alors oscillateur ! !
pratiquement en phase. Le transfert de puissance P = F • v à l’oscillateur
harmonique et sa pulsation ω est alors maximal.
est dictée par celle
d’oscillateur forçant. La
puissance moyenne fournie au
système par la force externe
est exactement compensée par la puissance moyenne dissipée par la force
d’amortissement.
La caractéristique la plus importante du régime permanent est mise en
évidence dans la figure ci-dessus.
La solution en régime permanent de l’équation (48) est :
Fe / m
A= (50)
2 2
(ω0 − ωe ) 2 + (γωe / m) 2
2016-2017 PG
OS 4ème 10
Série
n°1:
Oscillation,
mouvement
harmonique
3.- Pour chacun des graphiques, écrivez l’équation du MHS sous la forme
x(t) = A sin (ωt + φ) avec x en mètres, t en secondes, A > 0, ω > 0 et 0≤ φ
Oscillation et MHS ≤ 2π rad.
1.- Un métronome produit un clic chaque fois que la tige atteint une des
extrémités de son oscillation : en réglant la position du poids P, on peut
ajuster la fréquence des clics. Sachant que le métronome produit 120 clics
par minute et que l’inclinaison maximale de la tige par rapport à la
verticale est de 35°, on désire déterminer le module de la vitesse du poids
P, situé à 10 cm du pivot, lorsque la tige passe par la verticale.
x = A sin (ωt+ φ)
2016-2017 PG
OS 4ème 11
9.- Une navette spatiale en orbite est en chute libre : la gravité apparente à
l’intérieur de la navette est nulle. Par conséquent, les balances ordinaires
sont inopérantes. Pour suivre l’évolution de leur masse pendant la mission,
les astronautes s’assoient dans un dispositif qui contient un ressort dont la
constante de rappel est connue, se donnent une poussée, se laissant osciller
et mesurent la période naturelle d’oscillation. Assise dans un dispositif
dont la constante de rappel est de 500 N/m, un astronaute prend 2,31 s pour
effectuer une oscillation complète : on désire déterminer sa masse, sachant
que le dispositif lui-même a une masse de 10 kg.
7.- Par une journée de grand vent, un gratte-ciel de 400 m de hauteur 11.- Si x(t) = Asin (ω0t + ϕ) décrit la position d’un oscillateur harmonique
oscille de manière appréciable. Un accéléromètre placé en haut de la tour de période T, montre que :
indique que le module de l’accélération causée par l’oscillation atteint une ω0 = 2π/T
valeur maximale de 0,345 m/s2 à intervalles réguliers de 5,94 s.
Déterminez 12.- Un oscillateur formé d’un ressort de constante k et d’une masse m
a) L’amplitude de l’oscillation du sommet de la tour oscille sans amortissement, horizontalement. Sa fréquence est de 1,2 Hz. Si
b) L’angle d’inclinaison de la tour par rapport à la verticale aux on ajoute 50 g à la masse oscillante, la fréquence 0,9 Hz.
extrémités de l’oscillation, en supposant de manière irréaliste qu’elle Calcule m et k dans l’approximation harmonique.
oscille sans plier (c’est-à-dire qu’elle demeure rectiligne de sa base à
son sommet).
13.- Une particule en mouvement harmonique simple passe à x = 0 une
8.- Un haut-parleur est branché à un générateur de fonctions qui l’alimente fois par seconde. A t = 0, x = 0 et sa vitesse est négative. La distance totale
avec un signal sinusoïdal. Le centre du haut-parleur oscille selon un MHS parcourue en un cycle complet est de 60 cm.
avec une vitesse maximale de 6 cm/s et une accélération maximale de 360 Quelle est la position x(t) de cette particule ?
m/s2.
a) Quelle est l’amplitude de l’oscillation du centre du haut-parleur ?
b) Quelle est la fréquence du son émis par le haut-parleur ?
2016-2017 PG
OS 4ème 12
Energie du MHS 17.- L’énergie mécanique d’un oscillateur de type « ressort » est de 0,18 J.
Son amplitude est de 14 cm et sa vitesse maximale de 1,25 m/s. Trouve :
14.- a.- la masse m qui oscille
b.- la constante de rappel k
c.- la fréquence υ
d.- la vitesse si x = 7 cm (origine à l’équilibre stable)
18.- Une pièce de monnaie est posée sur un piston qui effectue un
mouvement harmonique simple vertical d’amplitude égale à 10 cm.
A quelle fréquence minimale la pièce cesse-t-elle d’être en contact avec le
piston ?
Pendules :
19.- Une règle de 1m de long, de masse m, pivote autour d’un point situé à
Un système bloc-ressort horizontal oscille selon un MHS : la position du une distance d du centre de masse de la règle avec une fréquence de 0,44
bloc en fonction du temps est représentée sur le schéma ci-contre. Trace Hz.
qualitativement, l’un en-dessous de l’autre, les graphiques de l’énergie Calcule d.
cinétique du bloc, de l’énergie potentielle du ressort, et de l’énergie
mécanique du système en fonction du temps. 20.- Une sphère pleine de 10 cm de rayon est fixée au bout d’une tige dont
la masse est négligeable et dont la longueur est de 20 cm. On fixe l’autre
15.- Une tige homogène de masse M et de longueur l pivote autour d’un bout de la tige à un pivot et on désire déterminer la période de l’oscillation.
axe situé à l’extrémité de la tige. Cette tige a son
autre extrémité fixée à un ressort de constante k.
Montre que pour de petites perturbations par
rapport à la position d’équilibre stable (position
horizontale), le mouvement est harmonique et
calcule sa période.
2016-2017 PG
OS 4ème 13
21.- Béatrice suspend un cerceau de 45 cm de rayon au bout de son doigt et b.- Quelle doit être la valeur de T pour que les 2 masses atteignent (sans
lui donne une poussée afin de le faire osciller selon son plan. La masse du que le fil casse) la position où l’élongation du ressort est maximale ?
cerceau est de 0,6 kg et son inclinaison maximale par rapport à sa position
d’équilibre (θmax) est de 10°. 24.- Un cube de glace (H2O) flotte sur la surface d’un bocal d’eau.
a.- Quel est le moment d’inertie du cerceau par rapport à l’axe passant par Désignons par S la surface du cube, par b sa hauteur et par a la hauteur
le doigt de Béatrice ? immergée. On enfonce le cube de glace dans le liquide (jusqu’à la moitié
b.- Quelle est la période de l’oscillation ? de la partie précédemment émergée) et on le lâche.
c.- Quel est le module maximal de la vitesse du point du cerceau le plus Calcule la période du mouvement.
éloigné du doigt de Béatrice ?
25.- Une masse m est attachée à un ressort vertical de constante k par un fil
passant sur une poulie de masse M et de rayon R. Le fil ne glisse pas sur la
poulie.
Montre que la pulsation des oscillations est :
2k
ω02 =
M + 2m
Exercices supplémentaires
26.- Un tube en U est rempli d’eau sur une longueur l (les extrémités ne
sont pas fermées). On fait subir à l’eau un léger déplacement, puis on laisse
le système osciller.
Montre qu’il s’agit d’un oscillateur harmonique simple et calcule sa
période.
23.-
2 masses m et 2m sont liées par un fil qui se casse si la
tension atteint une valeur T. On soulève la masse m
jusqu’au point où le ressort est détendu, puis on la lâche.
a.- Trouve la relation entre la tension T du fil et la force de
rappel F du ressort au cours du temps.
2016-2017 PG
OS 4ème 14
Exemples :
2016-2017 PG