4 Oscillateur
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4 Oscillateur
INTRODUCTION 2
I. Rappel : description d’un signal périodique 2
II. Oscillateur harmonique 4
1. Résolution 4
2. Portrait de phase 7
3. Transferts d’énergie 8
III. Modélisation par un oscillateur harmonique 9
IV. Oscillateur harmonique amorti 11
1. Amortissement par frottements fluides 11
2. Régime d’amortissement 14
a. Régime pseudo-périodique 14
b. Régime critique 15
c. Régime apériodique 16
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Oscillateurs libres
INTRODUCTION
Un oscillateur est un système qui a la particularité de basculer entre 2 positions extrêmes. C’est donc un
système dans un état lié : le domaines de positions accessibles n’est pas infini, mais borné entre 2 points de
rebroussement. Ainsi, tout système plongé dans un puits de potentiel, peut, s’il n’est pas soumis à une trop
grande excitation, être considéré comme un oscillateur.
Nous allons dans ce chapitre, en toute première approche des phénomènes oscillatoires, introduire un
modèle physique idéal, l’oscillateur harmonique, et ce à partir d’un système simple {masse-ressort
horizontal}. En mécanique, l’évolution de tout système au voisinage d’une position d’équilibre stable
répond au modèle d’oscillateur harmonique ; on retrouve cependant ce modèle dans bien d’autres domaines
de la physique. Les phénomènes oscillatoires sont en effet très nombreux, qu’ils soient mécaniques
(oscillations agitant les cordes d’une guitare, bateaux ancrés, pistons qui montent et qui descendent dans
les moteurs automobiles, vibrations des atomes dans un solide transmettant ainsi la température) ou non
(variations des grandeurs comme la tension, du champ électrique et magnétique...).
Ce modèle idéal sera ensuite enrichi par la prise ne compte de frottements plus ou moins importants, qui
mènera à l’étude d’équations différentielles linéaires à coefficients constants du second ordre.
Il est à noter que la portée de l’étude des oscillateurs ne se limite pas aux nombreuses applications
techniques et technologiques. C’est un cadre conceptuel d’utilité essentielle pour l’étude des phénomènes
physiques1.
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1. Résolution
Etablissement de l’équation différentielle à laquelle obéit le point matériel M.
Système étudié : Mobile assimilé à un point matériel
Référentiel : terrestre, supposé galiléen
Bilan des forces :
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La résolution de ce type d’équations sera a priori menée en 5 étapes, toujours dans cet ordre :
1) Obtention de la solution générale xH de l'équation homogène, c’est-à-dire de la solution de
l’équation ans second membre.
xH (t) = A cos(ω0t + ϕ)
On a donc
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fi
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✓ La vitesse est
✓ L’accélération est
Si x 0 = l0 = xeq, alors :
v0
ϕ = π /2 et donc x (t) = cos(ω0t + π /2) + l0 ,
ω0
x· (t) = − v0 sin(ω0t + π /2) et x·· (t) = − v0 ω0 cos(ω0t + π /2)
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2. Portrait de phase
PORTRAIT DE PHASE
Le portrait de phase d’un oscillateur et, plus généralement, de toute grandeur physique s(t)
ds
est la représentation de la dérivée = s· en fonction de s. On le représente dans l’espace des
dt
·.
phases à deux dimensions (s, s)
v
x· (t) = − ω0 (x0 − l0 )2 + ( ω0 )2 sin(ω0t + ϕ)
0
On reconnaît là l’équation d’une ellipse de centre (l0,0) qui correspond à l’état d’équilibre et de demi-axe
v0 2
ω0 pour la vitesse et (x0 − l0 )2 + ( ) pour la position. Chaque point de l’ellipse représente l’état de
ω0
l’oscillateur à un instant donné.
Voyons l’évolution de cet état en partant de l’état initial x (0) = x 0 et v(t = 0) = x· (t = 0) = v0.
Remarque :
Le portrait de phase possède plusieurs intérêts du point de vue graphique :
• Le point d’équilibre du système est facilement visible.
• Il est possible de mesurer directement l’amplitude du mouvement.
• Il est possible de mesurer directement la vitesse maximale du système au cours du mouvement.
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3. Transferts d’énergie
Etablissement les expressions des énergies cinétique, potentiel élastique et mécanique du système
oscillant étudié.
Ici xeq = l0
✓ Energie potentielle élastique :
1 1 v
Epe =k (x (t) − l0 )2 ⟺ Epe = k[ (x0 − l0 )2 + ( 0 )2 cos(ω0t + ϕ) + l0 − l0]2
2 2 ω0
1 v 1 + cos(2α)
⟺ Epe = k ((x0 − l0 )2 + ( 0 )2)cos2(ω0t + ϕ). Or cos2 α =
2 ω0 2
1 v
Donc Epe = k ((x0 − l0 )2 + ( 0 )2)[1 + cos(2ω0t + 2ϕ)]
4 ω0
✓ Energie cinétique :
1 1 v0 2 1 v
Ec = m x· 2 ⟺ Ec = m( − ω0 (x0 − l0 )2 + ( ) sin(ω0t + ϕ))2 ⟺ Ec = m ω02((x0 − l0 )2 + ( 0 )2)sin2(ω0t + ϕ)
2 2 ω0 2 ω0
k 1 v0 2
, donc m ω02 = k. On obtient finalement Ec = k ((x 0 − l0 )2 + (
ω0 )
Or ω02 = ) sin2(ω0t + ϕ)
m 2
1 − cos(2α)
Or sin2 α =
2
1 v
Donc Ec = k ((x0 − l0 )2 + ( 0 )2)[1 − cos(2ω0t + 2ϕ)]
4 ω0
Non, les énergies cinétique et potentielle oscillent avec une pulsation 2ω0 soit
Position, vitesse et T
énergies oscillent-elle à une période deux fois plus petite que la période des oscillations de position
la même période ? 2
ou de vitesse.
✓ Energie mécanique :
Em = Ec + Epe
1 v 1 v
⟺ Em = k ((x0 − l0 )2 + ( 0 )2)sin2(ω0t + ϕ) + k ((x0 − l0 )2 + ( 0 )2)cos2(ω0t + ϕ)
2 ω0 2 ω0
Or cos2 α + sin2 α = 1,
1 v
donc Em = Em = k ((x0 − l0 )2 + ( 0 )2)
2 ω0
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On a vu au chapitre précédent qu’un puits de potentiel, au voisinage de sa position d’équilibre, peut être
modélisé, en première approximation, par un potentiel harmonique. Pour illustrer
la modélisation par approximation harmonique, on va s’intéresser à un autre
exemple : le pendule simple.
·· g
Dans le cadre de l’approximation harmonique, l’équation différentielle devient θ + θ = 0.
l
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{ϕ = 0 [2π]
θ (t = 0) = A = θi
{θ (t = 0) = Aω0 sin ϕ = 0
A = θi
· ⟺
Connaissant l’énergie mécanique du point matériel, il est possible de retrouver l’amplitude des oscillations
et la vitesse maximale du point matériel à partir du graphe de l’énergie potentielle :
Portrait de phase :
·
Vert : θ faible, soit θ + ω02 θ = C : équation d’une ellipse
·
dans le plan (θ ; θ) ; cette trajectoire de phase elliptique est
caractéristique des oscillateurs harmoniques libres.
Cyan :
Violet :
Marron :
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Ce type de systèmes peut servir de première modélisation pour bien des systèmes oscillants : un gratte-ciel
sous l’effet du vent, une molécule, un amortisseur de voiture pour ne citer que quelques exemples.
Toutefois, dans toutes ces applications, les oscillations finissent par s’arrêter, ce qui n’est pas le cas pour
l’oscillateur harmonique. Il nous manque en effet un ingrédient que nous allons ajouter à la modélisation :
l’amortissement.
Si le système subit l’action d’une force dissipative, son énergie mécanique diminue. Le système oscille
mais sur une période, une partie de l’énergie a été dissipée. A chaque oscillation, le système ne peut donc
plus atteindre la position extrême précédente. Le système fini par se stabiliser à la position d’équilibre.
On illustre le comportement des oscillateurs amortis par l’étude de l’exemple de l’oscillateur harmonique
amorti par frottement fluide.
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fl
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k km
Ici on a ω0 = ,Q = .
m λ
Le facteur de qualité permet d’estimer le nombre d’oscillations d’un système
Que représente Q, le avant que celui-ci de retourne à sa position d’équilibre.
facteur de qualité ? Si Q est élevé alors le système est peu amorti, il y aura beaucoup
d’oscillations. On parle de régime pseudo-périodique.
Si Q → + ∞, alors on retrouve le modèle de l’oscillateur harmonique non
amorti.
Si Q est faible alors le système est très vite amorti, il y aura très peu (pas)
d’oscillations. On parle de régime apériodique (critique Q = 0,5).
Le facteur de qualité évalue l’importance relative de 2 phénomènes en
compétition : amortissement et oscillation.
Que représente ξ, le 1
On a par définition ξ = .
facteur 2Q
d’amortissement ?
Si Q est élevé alors ξ est faible : peu d’amortissement et donc beaucoup
d’oscillations. On parle de régime pseudo-périodique.
Si Q → + ∞ alors ξ = 0, alors on retrouve le modèle de l’oscillateur
harmonique non amorti.
Si Q est faible alors ξ est élevé : beaucoup d’amortissement, et donc très peu
(pas) d’oscillations. On parle de régime apériodique (critique ξ = 1).
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Il existe types de solutions à cette équation différentielle Pour savoir laquelle convient il faut
d’abord calculer le discriminant associé à l’équation caractéristique de l’équation différentielle :
ω0
r2 + r + ω02 = 0
Q
ω 1
Δ = b 2 − 4ac = ( 0 )2 − 4ω02 = ω02( 2 − 4)
Q Q
1 ω0 −ω 0 t
➡ Si Δ = 0 ⟺ Q = 2 : il existe une solution réelle r0 = − 2Q = − ω0 et xH (t) = (A + Bt)e
C’est le régime critique.
ω0
1 − ± Δ
Q
➡ Si Δ > 0 ⟺ Q < : il existe 2 solutions réelles r1/2 = et xH (t) = Ae r1t + Be r 2 t
2 2
C’est le régime apériodique.
ω0
1 − ±i Δ
Q
➡ Si Δ < 0 ⟺ Q > : il existe 2 solutions complexes r1/2 = et
2 2
−ω 0
t
−ω 0
t 1 −Δ
xH (t) = e 2Q (A cos(Ωt) + B sin(Ωt)) = Ce 2Q cos(Ωt + ϕ), avec Ω = ω0 1− = ,
4Q 2 2
la pseudo-pulsation du mouvement.
C’est le régime pseudo-périodique.
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2. Régime d’amortissement
Nous allons envisager successivement chacun des 3 cas pour l’exemple pris ci-dessus.
a. Régime pseudo-périodique
1
Soit Q = 10 > (faible amortissement, soit un faible coefficient de frottement fluide λ).
2
−ω 0
t
Pour le régime pseudo-périodique Δ < 0 donc xH (t) = e 2Q (A cos(Ωt) + B sin(Ωt)).
L’évolution de la position en fonction du temps ainsi que le portrait de phase sont représentés ci-dessous :
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b. Régime critique
1
Soit Q = .
2
Pour le régime critique Δ = 0 donc xH (t) = (α + βt)e −ω0 t.
A causse des frottements, le point M n’oscille pas et va directement à la position d’équilibre, ici l0.
L’évolution de la position en fonction du temps ainsi que le portrait de phase sont représentés ci-dessous :
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c. Régime apériodique
1
Soit Q = 0,1 < (fort amortissement, soit un fort coefficient de frottement fluide λ).
2
Pour le régime apériodique Δ > 0 donc xH (t) = αe r1t + βe r 2 t.
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Remarque :
A conditions initiales égales, le portrait de phase de l’oscillateur non amorti est celui qui englobe tous les
autres.
A SAVOIR …
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… ET A SAVOIR-FAIRE
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