Serie n6 Dérivation Et Étude de Fonctions

GROUPE SCOLAIRE MEIJI DE SEBICOTANE
Niveau : 1ère S2
Année : 2023-2024
SERIE D’EXERCICES
DERIVATION ET ETUDE DE FONCTIONS
EXERCICE 1 Calculer la dérivée f’ de :

2x2  x  3 4x2  5  2x  3 
3
  d) f(x) = x x
6
a) f(x) = b) f(x) = c) f(x) =
x2  2 3x 2  2 x  3  x2 
 2x  1 
3
3
e) f(x) = (2 – 5x)   f) f(x) = ; g) f(x) = x 2  9 ; h) f(x) = x3  7 x  6
 x2  5  3x3
EXERCICE 2
1. Dans chacun des cas suivants étudier la dérivabilité en 0 de la fonction f

 x  1  2x  1
 f ( x)  si x  0  tan x  sin x
x  f ( x)  si x  0
d)  e)  x2
 f (0)   1  f (0)  0
 2
.
2.Pour chaque fonction étudier la dérivabilité en et sur
 2x 2  6  x2
si x  1  si x  0
 
a) f x    x  1 b) f  x    x 1
 x 2  1  4 si x  1 x  1  1 x  x si x  0 x  0
 0
 2
0
 x 2  1  x si x  0

c) f  x    x 1
2 x  2 si x  0 x0  0
 x 1
EXERCICE 3
a) On considère la fonction f définie par f(x) = x3 – 5 + 3x +2
1. Etudier les limites aux bornes de l’ensemble de définition .
2. Etudier le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation .
3. Montrer que f réalise une bijection de I [ ] vers un intervalle J à préciser
4. Montrer que l’équation f(x)= 0 admet une seule solution réelle  de [ ]
5. Trouver un encadrement de  d’amplitude 10 -1
1 2
b) Montrer que l’équation : x +4x3 + 11x – 3 = 0 admet une seule solution  dans
5
[-2 ; 2] Trouver un encadrement d’amplitude 10-2 de  .
EXERCICE 4
Dans chacun des cas suivants, déterminer le ou les points de Cf ou la tangente (T) à Cf répond
à la condition indiquée.
a. f(x) = x3 +3x2 , le coefficient directeur de (T) est 0.
1
b. f(x) = (T) passe par le point B(2,-4).
x
8
c. f(x) = x -1 + (T) parallèle à la droite (D) : y = x – 1
x 1
2
PROBLEME 1
x2  x  1
Soit f la fonction définie par : f ( x) 
x 1
1. Déterminer l’ensemble de définition D f de f et étudier les limites aux bornes D f
2. Préciser les asymptotes éventuelles.
1
3. Montrer que f ( x)  x  et en déduire que la droite (D) d’équation y = x est asymptote
x 1
oblique à la courbe C f .
4. Etudier la position relative de C f par rapport à (D).
5. Montrer que le point I (1 ; 1) est centre de symétrie de C f .
6. Déterminer pour tout x  D f , f / puis établir le tableau de variation de f .
7.Déterminer les coordonnées des points d’intersection de C f avec les axes de coordonnées.
8. Déterminer une équation de la tangente (T) à C f au point d’abscisse 0.
9.Tracer les asymptotes, la tangente (T) et la courbe C f de la fonction f dans un repère
orthonormé 0, i, j 
PROBLEME 2
Soit f la fonction définie par : ( )
2. Montrer que la courbe C f admet une branche parabolique.
5. Montrer que la droite d’équation est axe de symétrie de C f .
8. Déterminer une équation de la tangente (T) à C f au point d’abscisse .
9.Tracer la tangente (T) et la courbe C f de la fonction f dans un repère orthonormé 0, i, j 
PROBLEME 3
Soit f la fonction définie par : ( )
5.Tracer les asymptotes et la courbe C f de la fonction f dans un repère orthonormé 0, i, j 
PROBLEME 4
Soit f la fonction définie par : : ( )
3. Déterminer les réels a,b et c tels que ( ) et montrer que la droite (D)
d’équation y =a x+b est asymptote oblique à la courbe C f .
4. Etudier la position relative de C f par rapport à (D).
5. Montrer que le point I d’intersection des asymptotes est un centre de symétrie de C f .
8. Déterminer une équation de la tangente(T) à C f au point d’abscisse 2.
9.Tracer les asymptotes, la tangente (T) et la courbe C f de la fonction f dans un repère
orthonormé 0, i, j 
PROBLEME 5
x3  x 2  4
On considère la fonction f définie par f(x) =
x2
6. Etudier les limites aux bornes de ensemble de définition .
7. Etudier le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation .
8. Montrer que l’équation (E) : x3 – x2 + 4 = 0 admet une seule solution réelle  qu’on
encadrera par deux entiers consécutifs.
9. Déterminer une équation cartésienne de la tangente (T) à Cf au point d’abscisse -2
10. Déterminer les abscisses des points de la courbe Cf ou la tangente est parallèle à la droite
d’équation y = -7x+1.
11. Construire Cf.
PROBLEME 6
On se propose d’étudier la fonction
f : IR IR
x² + x - 2
x
x +1
1. Déterminer Df. Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur chacun des intervalles de Df
et, en particulier au point x = 2.
2. Etudier les limites de J aux bornes de Df.
3. Etudier les variations de f.
4. Construire (g) dans un repère(O ; i, j )
Vous préciserez les asymptotes ainsi que la position de la courbe par rapport à ces asymptotes
PROBLEME 7
( )
s
Soit la fonction définie par ( ) {
√
1) Déterminer le domaine de définition de f puis les limites aux bornes de ( ) .

Interpréter graphiquement les résultats.
2) Etudier la continuité et la dérivabilité (interpréter graphiquement) de f en 0 puis la
dérivabilité de
sur son ensemble de définition
3) a) Montrer que  C f  admet une asymptote obl que (D) en ∞ d’équat on
  par rapport à (D) sur l’ ntervalle [

puis étudier la positon de C f ∞[
b) Montrer que C f   admet une asymptote oblique en -∞ pu s étudier la positon de  C  f
par rapport à cette asymptote sur l’ ntervalle ]-∞ ;0[.

Calculer f '( x ) si et si x . Etablir le tableau de variations de f et tracer la
courbe.
PROBLEME 8

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EXERCICE 1 Calculer la dérivée f’ de :

1. Dans chacun des cas suivants étudier la dérivabilité en 0 de la fonction f

1) Déterminer le domaine de définition de f puis les limites aux bornes de ( ) .

  par rapport à (D) sur l’ ntervalle [

par rapport à cette asymptote sur l’ ntervalle ]-∞ ;0[.

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