Lebd-Etude de Fonctions-1s1

LYCEE D’EXCELLENCE PRIVE BIRAGO DIOP
Arrêté D’ouverture N°00063 /ME/SG/DEP du31-01-2008
01, Rue des Ecrivains – Point E

BP: 5018 Dakar Fann – SENEGAL - Tel. 221 33 824 69 23
ETUDES DE FONCTIONS-1S1
EXERCICE 1 :
x2 +ax+b
Soit la fonction f définie par f(x) = et (Cf ) sa courbe représentative dans un repère
x−2
orthonormé.
0
I- Déterminer les réels a et b sachant que (Cf ) passe par le point A (− 7) et admette
2
4
en A une tangente perpendiculaire à la droite (∆): y = − 3 x + 1.
II- On suppose que a = −5 et b = 7.
1. Calculer les limites aux bornes de Df .
2. En déduire une asymptote à (Cf ).
3. Montrer que la droite (D): y = x − 3 est asymptote à (Cf ).
4. Dresser le tableau de variation de f.
2
5. Montrer que le point I(−1 ) est un centre se symétrie pour (Cf ).
6. Tracer la courbe (Cf ).
7. Discuter graphiquement, suivant les valeurs du paramètre réel m, le nombre de
solutions de l’équation f(x) = m.
8. Retrouver ces résultats par le calcul, en précisant le signe des solutions.
III- Soit g la restriction de f à l’intervalle ]−∞; 1].
1. Justifier que g est une bijection de ]−∞; 1] vers un intervalle J à préciser.
2. Tracer dans le même repère la courbe (C′) de g −1 , bijection réciproque de g.
EXERCICE 2 :
I- Soit la fonction g définie par g(x) = x 3 − 3x − 4.
1. Dresser son tableau de variation.
2. Justifier que l’équation g(x) = 0 admet dans ℝ une unique solution α.
3. Donner un encadrement de α à 10−1 prés.
4. Préciser le signe de g(x) sur ℝ.
x3 −2x2
II- Soit la fonction f définie par f(x) = et (Cf ) sa courbe représentative dans un
x2 −1
repère orthonormé.
1. Déterminer l’ensemble de définition de f, puis calculer les limites aux bornes de Df .
2. Montrer que la droite (D): y = x + 2 est asymptote à (Cf ), puis étudier la position
relative de (Cf ) par rapport à (D).
3. Préciser les autres asymptotes de (Cf ).
xg(x)
4. Montrer que ∀x ∈ Df , f ′ (x) = (x2 2 .−1)
1
EXERCICE 3 :
I- Soit la fonction g définie par g(x) = 2x − √1 + x 2 .

1. Dresser le tableau de variation de g.
2. Montrer qu’il existe un unique réel α tel que g(α) = 0, puis déterminer la valeur
exacte de α.
3. En déduire le signe de g sur son ensemble de définition.
II. Soit la fonction f définie par f(x) = 2√1 + x 2 − x et (Cf ) sa courbe représentative
dans un repère orthonormé (O, ⃗i, ⃗j).
1. Calculer les limites aux bornes de Df .
g(x)
2. Justifier que f est dérivable sur Df , puis montrer que ∀ x ∈ Df , f ′ (x) = √1+x 2
.
4. Calculer lim [f(x) + 3x]. Que peut-on en déduire ?
x→−∞
5. Etudier la branche infinie de f en +∞.
EXERCICE 4 :
3 − x√x , si x ≥ 0
Soit la fonction f définie par f(x) = {3x2+4x+3 et (Cf ) sa courbe représentative.
, si x < 0
x2 +1
1. Justifier que l’ensemble de définition de f est ℝ.

2. Etudier la continuité de f en 0.
3. Etudier la dérivabilité de f en 0. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
4. Calculer f′(x) sur chaque intervalle où f est dérivable.
6. Etudier les branches infinies de f.
8. Soit g la restriction de f à I = [0; +∞[.
a. Justifier que g réalise une bijection de I vers un intervalle J à préciser.
b. Calculer g(4), puis justifier que la bijection réciproque g −1 de g est dérivable
en −5.
c. Calculer (g −1 )′(−5).
d. Tracer la courbe (C′) de g −1 dans le même repère.
EXERCICE 5 :
x2
f(x) = x+1 , si x < 0
Soit la fonction f définie par { .
f(x) = √|x 2 − 2x| + x, si x ≥ 0
1. Déterminer Df , puis exprimer f(x) sans le symbole valeur absolue.
2. Etudier la continuité de f en 0.
3. Etudier la dérivabilité de f en 0, puis en 2. Interpréter les résultats obtenus.
4. Calculer les limites aux bornes de Df , puis en déduire une asymptote à (Cf ).
5. Calculer f′(x) sur chaque intervalle où f est dérivable.
6. Résoudre dans ]0; 2] l’inéquation √−x 2 + 2x ≥ x − 1.
7. Etudier le signe de f′(x), puis dresser le tableau de variation de f.
2
9. Soit g la restriction de f à I = [2; +∞[.
a. Montrer que g est une bijection de I vers un intervalle J à préciser.
b. Calculer g(1 + √2). Justifier que g −1 est dérivable en 2 + √2 puis calculer
(g −1 )′(2 + √2).
c. Tracer la courbe (Cg−1 ) dans le même repère.
d. Déterminer la formule explicite de g −1 (x).
EXERCICE 6 :
On considère la fonction f définie par f(x) = cos2x − 2cosx + 1 et (Cf ) sa courbe dans un
repère orthonormé d’unité 1 cm.
1. Montrer que f est paire et 2π − périodique.
2. Calculer f′(x) puis résoudre dans [0; π] l’inéquation f′(x) > 0.
3. Dresser le tableau de variation de f sur [0; π].
4. Résoudre dans [0; π] l’équation f(x) = 0.
5. En déduire les points communs à l’axe des abscisses et à la courbe de f restreinte à
[0; π].
6. Tracer la courbe (Cf ) restreinte à [0; π] puis l’étendre à [−2π; 2π].
EXERCICE 7 :
Soit la fonction f définie par f(x) = 2sin3 x − 3sinx.
1. Etudier la parité et la périodicité de f.
π π
2. Vérifier que f ( 2 − x) = f ( 2 + x). Que peut-on en déduire pour la courbe (C) de f ?
π
3. On note (C1 ) la courbe de f dans [0; 2 ]. Quelles transformations géométriques
permettent de tracer (C) à partir de (C1 ) ?
4. Démontrer que pour tout réel x, f ′ (x) = −3cosxcos2x.
π
5. Dresser le tableau de variation de f dans [0; 2 ].
6. Tracer (C) dans [−2π; 2π].

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I- Soit la fonction g définie par g(x) = 2x − √1 + x 2 .

1. Justifier que l’ensemble de définition de f est ℝ.

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