Cours Transfert Thermique Presentation
Cours Transfert Thermique Presentation
Cours Transfert Thermique Presentation
et d’énergie
Elément de module 1 Transfert thermique
(18h cours + 12h TD + 8h TP)
Contenu:
Chap.-1: Transfert thermique par conduction
Formulation générale
Conduction en régime permanent
Conduction en régime variable
Contenu
Introduction générale
•
Q
m
(chaleur)
(débit de
matière) système
Frontière
réelle W
(travail)
Illustration :
le système : l’eau en évolution dans un circuit vapeur
le milieu extérieur: piston, chaudière, machine,
condenseur, pompes, tuyautages …
Transformation isobare P
Au cours de cette transformation,
la pression du système reste 1 2
constante.
Transformation isochore
Lorsque le système est entouré
de parois rigides, indéformables,
et indilatables, le volume du
système reste constant, la V
transformation est isochore. Le
1 2
système est mécaniquement
isolé, il peut y avoir échange de
chaleur avec le milieu extérieur
et des phénomènes mécaniques
au sein du système.
Transformation isotherme
Au cours de cette T
transformation, la 1 2
température du système
reste constante.
Premier principe de la thermodynamique
Ce principe correspond à la conservation de l’énergie lors
de la transformation d’un système. L’énergie d’un
système peut se présenter sous différentes formes
classables en 2 catégories:
1- Energie propre au système dépendant de son état
2- Energie échangée
1- Energie propre
Energie propre externe
Et = U + Ec + E p
2- Energie échangée
Le travail
Le travail mécanique est le travail de forces macroscopiques
dont les points d’application subissent des déplacements
macroscopiquement mesurables. De l’énergie est alors
transférée ou prélevée au système par l’intermédiaire du
travail des forces (de volume ou de surface).
dV V
transformation réversible à un
S
déplacement lent en augmentant la
pression sur le piston (application 2 dl
1
Travail dû à des
dW s = dF ext .dl = − PSdl = − PdV
machines
2 (pompe, turbines)
W12 = ∫ − PdV
1
Chaleur: Elle est d’origine microscopique transférée au
système
molécules des
Chauffage parois Transfert de
des parois acquièrent de l’énergie des
gaz
l’énergie molécules des
parois vers les
Paroi rigide Augmentation molécules de
indéformable de l’agitation gaz
de ces
Pas d’échange molécules
d’énergie avec
l’extérieur sous forme Variation de
de travail l’énergie du
gaz
Premier principe de la thermodynamique
– Enoncé général pour un système fermé
Transformation irréversibles
Freinage d’une roue : une roue de voiture en mouvement
est freiné progressivement jusqu'à son arrêt, avec
comme résultat un échauffement des freins et de la
jante : jamais, on ne voit cette roue se mettre seule en
mouvement en absorbant la chaleur dégagée par le
freinage.
Cycle moteur
W <0
V
Source chaude
Q1
W
Q2
Source froide
énergie récupérée −W W Q1 + Q2
r= = = =
énergie fournie Q1 Q1 Q1
P
Cycle récepteur W
W >0 V
Source chaude
Energie fournie à
Q1 la source chaude
W (pompe)
Q2 Energie prélevée à
la source froide
Source froide
(réfrigérateur)
Champ de température
Chambre à combustion
régime
instationnaire
Gradient de température
∂T
grad (T ) = n
∂n
Densité de flux de chaleur
Sous l’effet de différence de température, il s’écoule à
travers ds un flux de chaleur dϕ. La densité de flux de
chaleur au travers de la surface ds caractérisée par la
normale est donnée par le rapport :
dφ
ϕn = lim
ds →0 ds
(W / m )
2
ϕe
ϕU ϕ s ϕs
ϕU = ϕe − ϕ s + ϕ g
Pour connaitre l’évolution de la température en chaque point
du système, il faut déterminer les différents formes des flux
figurants dans l’équation du bilan. Pour cela, il faut connaitre
les différents modes de transfert de chaleur au sein du
système.
dφ
ϕ p = lim ; dS = d σ cos α
dσ → 0 d σ
dφ
ϕ p = cos α lim = ϕ n cos α
d σ → 0 dS
dT dT
= − λ cos α = −λ
dn dp
On peut donc considérer qu’il existe en tout point un vecteur
densité de flux de chaleur orienté comme le gradient de
température en ce point et donné par loi de Fourier:
ϕ = − λ ∇T
λ s’exprime (SI) en W/m K. Il dépend de la nature physique,
chimique de la matière, de sa température et de sa pression.
Argent--- 419W/mK
Les meilleurs
Cuivre --- 386W/mK
conducteur thermique:
Aluminium--- 204W/mK
Bois-- 0.12-0.23W/mK
Les mauvais
Brique terre cuite --- 1.1W/mK
conducteur thermique
verre---- 0.78W/mK
(bons isolants):
Air--- 0.026W/mK
Amiante--- 0.16W/mK
Laine de verre--- 0.035-0051W/mK
Les gaz sont les plus mauvais conducteur de chaleur parce que
celle-ci ne peut se transmettre que par chocs entre les
molécules ; (10-2 W/m k).
1.2 Loi de Fourier Kirchhoff
∂U
Accumulation d‘Energie Interne = ∫∫∫ ρ dV
V ∂t
∂U ∂T
∫∫∫V ∂ t ρ dV = ∫∫∫V ρCp ∂ t dV
∫∫∫ V
qdV
flux de chaleur entrant - flux de chaleur sortant
= flux de chaleur à travers la surface
∫∫ ϕ
s n′ ds dS S
∫∫ ϕ
s n′ ds = − ∫∫ ϕ n ds = − ∫∫ ϕ n nds
s s n
dS S
∂T
∫∫ s ϕn′ds + ∫∫∫V qdV = ∫∫∫V ρCp ∂ t dV
∂T
− ∫∫∫ divϕdV + ∫∫∫ qdV = ∫∫∫ ρ Cp dV
V V V ∂t
∂T
Sous forme différentielle: ρ Cp = -divϕ + q
∂t
C’est la loi de FOURIER-KIRCHHOFF qui exprime bien le bilan
énergétique en tout point du système.
∂T
ρ Cp
∂t
= div λ ∇T + q( )
Pour un solide isotrope, λ ne varie pas dans l’espace et
indépendante du temps. On peut définir un coefficient a
appelé coefficient de diffusivité thermique donné par:
λ
a= [m 2 / s]
ρ Cp
∂T
= a∆T + q
∂t
Comme cette équation contient des dérivées partielles en x, y,
z, t, on peut prévoir qu’elle ne sera soluble analytiquement que
dans des cas relativement simples.
1.3 Conditions aux limites
L’équation de chaleur admet une infinité de solution. Pour
trouver la bonne solution, il faut que le problème soit bien
posé physiquement.
∂T
ϕ n = −λ
∂n
Les C.L de type FOURIER: La surface est en contact
avec un fluide à la température Tf et échange avec ce fluide
de la chaleur suivant un coefficient de transfert convectif h
en tout point de la surface où cette condition est réalisée
∂T
−λ = h(T − T f )
∂n
1 2
Dans ce cas on a: ϕ n = −ϕ n
∂T1 ∂T2
−λ1 = −λ2
∂n ∂n
2. Equation de chaleur en régime stationnaire
∆T = 0 Equation de Laplace
Température
T1 imposée
Température
T2 imposée
En régime permanent, l’équation de chaleur pour cette plaque
s’écrit sous la forme :
∂ 2T
=0
∂x 2
La solution est: T ( x) = c1 x + c2
Le profile de température est donc linéaire. En tenant
compte des C.L. :
x=0 T = T1 T − T1 x
=
x=e T = T2 T2 − T1 e
λS
φ= (T1 − T2 )
e
Analogie électrique où on a la loi d’OHM: I =
U
R
T1 − T2 T1 − T2
ϕ= φ=
e e
λ λS
Inverser le
sens du flux!!
∂ 2T 1 ∂T
+ =0
∂r 2
r ∂r
ou ∂ ∂T
r =0
∂r ∂r
Après intégration : T ( r ) = C1 ln r + C2
C1 et C2 sont des constantes a déterminer a partir des CL.
r = r1 T = T1 T − T1 ln ( r / r1 )
=
r = r2 T = T2 T2 − T1 ln ( r2 / r1 )
Le flux de chaleur pour un tube de longueur L unitaire (L=1)
vaut :
∂T ∂T
Φ L =1 = −λ S = −λ 2π r.1
∂r ∂r
Donc
Φ L =1 = 2πλ
( T1 − T2 )
ln ( r1 r2 )
Le profile de
température est
donc parabolique avec
un maximum sur l'axe
du barreau:
3. Les ailettes
dx
x x+dx L
S − hPdx (T ( x) − T f ) = 0
dT dT
−λ S +λ
dx x dx x + dx
S est la section
transversale de l’ailette
dT dT
dx −
dx x
λS x + dx − hP (T ( x) − T f ) = 0
dx
La section dx est infiniment petite donc dx → 0
∂ 2T hP
∂x 2
−
λS
( T ( x) − T f ) = 0
A) En x=0, θ = T1 − T f = θ1 θ1 = C1 + C2
θ e m( L − x ) + e− m( L − x ) Cosh m ( L − x )
= =
θ1 e +e
mL − mL
Cosh ( mL )
Donc la température à l’ extrémité de l’ailette (x=l) est:
θ1
θ=
Cosh ( mL )
dθ
Φ L = −λ S = [ λ Sθ1m ] Tgh ( mL ) = hPλ Sθ1Tgh ( mL )
dx X =0
r2
η Ef = f m ( r2 − r1 ) ,
r1
1. Constante de temps
θ = θ 0 = T0 − T f
∂θ hS
L’équation précédente devient: =− dτ
θ ρ cV
Après intégration, on obtient:
θ
hS
− τ
ρ cV
=e
θ0
L’évolution de la température du solide au cours du temps est
donc une exponentielle décroissante.
ρ cV
Soit τc = une constante appelée constante du temps
hS
τ
θ −
τc
=e
θ0
1
Si on pose R= et C = ρ cV τ c = RC
hS
UR UC
2 i
q -q
1 R C
5. Conduction en régime transitoire dans les solides non-
isothermes
5. 1. Mise en équation
S’il n’y a pas de source interne de chaleur (q = 0), l’équation de
Fourier-Kirchhoff se réduit à :
∂T
= a∆T
∂t
Qui doit être complétée par la condition initiale et les
conditions aux limites. Il s’agit d’une équation de propagation
de type parabolique.
∂T ∂ 2T
−a 2 =0 ,0 < x < L
∂t ∂x
T ( x, 0 ) = T0 ,t = 0
∂T
=0 ,x=0
∂x
∂T
−λ = h ( T ( L, t ) − T f ) ,x = L
∂x x = L
Pour la simplicité de présentation et d’interprétation, il est
plus commode d’écrire ce système d’équation sous la forme
adimensionnelle, on peut donc introduire les variables
adimensionnelles suivantes :
T − Tf x at
θ= ; x= ; t = 2 Nombre de
T0 − T f L L Fourier = F0
∂θ ∂ 2θ
− 2 =0 , 0 < x < L (1)
∂ t ∂x
θ ( x , 0) = 1 ( 2)
∂θ
=0 ( 3)
∂x x =0
∂θ
= − Biθ (1, t ) ( 4)
∂x x =1
hL
Avec Bi est le nombre adimensionnel de Biot: Bi =
λ
Solution du système d’équation
Méthode de séparation de variables
La méthode consiste à élaborer une solution répondant
successivement aux quatre conditions précédentes (eq1-eq4).
∂F ( t )=F ∂ 2G ( x )
G(x) (t )
∂t ∂x 2
F ′ = α F
G′′ = α G
Le choix de la constante α dépend du phénomène thermique
traité :
Dans notre cas, il s’agit d’un problème qui tend vers un état
d’équilibre. On obtient une solution particulière de la forme :
F ( t ) .G ( x ) = ( A cos ω x + B sin ω x ) e −ω 2 t
∑
i =1
Ai cos ωi x , cos ω j x = 1, cos ω j x
f g
A =
∫ 0 i
∫ ( cos ω x ) dx
i 1
2
i
0
2sin ωi
On obtient ainsi: Ai =
ωi + sin ωi cos ωi
La solution générale s’écrit finalement sous la forme :
+∞
2sin ωi
θ ( x, t ) = ∑
i =1 ωi + sin ωi cos ωi
(
cos ωi x .exp −ω i2 t )
Lλ résistance à la conduction
Bi = =
1 h résistance surfacique à la convection
- La signification physique du nombre de Fourier apparaît en le
mettant sous la forme suivante :
at t
Fo = t = 2 =
L τc
L
2
L L R =
avec τc = = .ρ cL = RC En posant λ
a λ C = ρ cL
Assimiler:
- La notion du corps noir, corps gris et corps réel
- Les lois d’émission, de réception d’absorption et de
transmission de rayonnement
Longueur d'onde , λ λν = c
fréquence , ν
vitesse de lumière c c = 2.998 108 m/s
La trajectoire du rayonnement est rectiligne.
vide.
rayonnements électromagnétiques.
∞
(.) = ∫0 (.)λ d λ
dS n
Ω= 2
ddΩ
r
En coordonnées sphériques la surface dSn vaut:
dS n = r 2 sin γ d γ d β
Donc: d Ω = sin γ d γ d β mesuré en stéradian.
∆φ
∆S P
b-Emittance monochromatique:
λ
2) Intensité totale dans une direction donnée
C'est le flux émis dans une direction donnée Ox , par unité
d'angle solide dΩ. X
∆Ω
∆φ
I ox = lim
∆Ω→0 ∆Ω ∆S O
Exprimé en W/sr
3) Luminance
1) Totale dans une direction donnée
∆I ox ∆2φ
Lox = lim = lim Surface
∆S → 0 ∆S ' ∆S → 0 ∆Ω∆S '
' '
∆Ω →0 apparente
∆Ω
Or ∆S = ∆S cos α
X '
∆S '
α C’est celle de la surface ∆S
vue de la direction Ox
O qui fait une angle α
∆S avec la normale à cette
surface
∆2φ
Lox = lim
∆S →0 ∆Ω ∆S cos α f (α, matériau et T en O)
∆Ω →0
2) Spectrale ou monochromatique
Lλ
∆φ2
Lλ = lim
∆S → 0 ∆Ω∆S ' ∆λ
'
∆Ω →0
∆λ → 0
L
λ
3) Relation entre emittance est luminance:
où M= ∫π L cos α d Ω
2
M =π L Loi de Lambert
l’émission diffuse
Un tel corps possédant cette propriété est appelé corps
Lambertien
Grandeurs relatives au récepteur
1) Eclairement E
n2 n1
θ2 θ1
dΩ1
dS 2 d Ω2 D dS1
Le flux émis par une surface dS2 en direction d’une surface
réceptrice dS1 s’écrit :
d 2φ2 = L2 dS 2 cos θ 2 dΩ 2
dS1 cos θ1
Or, l’angle solide dΩ 2 vaut: dΩ 2 =
D2
dS1 cos θ 1
d φ 2 = L2 dS 2 cos θ 2
2
D2
L’éclairement sera donc :
Flux
réfléchi Φ r = ρλ Φ I
λ λ
φλ
I
Diffus
Φ λa = α λ Φ λI
Flux absorbé
Φt = τ λΦ I
λ λ
αλ + ρλ + τ λ = 1
Lois régissant le transfert thermique par
rayonnement
Lois d’émission du corps noir
Notions et Propriétés d’un CN
Notions de CN
Propriétés d’un CN
Absorption d’un CN
Emission d’un CN
2 −5
2π h c λ C1 λ −5
Mλ =0
hc ou bien Mλ =
0
C2
kλT λT
e −1 e −1
C1 et C2 sont des constantes telle que
C1 = 3,741.10−16 W m 2 C2 = 0,014388m K
C2 C2
λT −
e >> 1 M λ = C1 λ e
0 −5 λT
C1T
Mλ =0
C2 λ 4
dM λ0
=0 ⇒ λm .T = 2898µ m.K
dλ
Cette relation permet de savoir, pour quelle λm ,un CN à
température T émet le maximum de rayonnement
Radiation
emitted by
the sun is in
the visible
spectrum
Deuxième loi de Wien:
fonction de la température T:
0
M λm =BT 5 T est en Kelvin
vaut: σ = 5, 67.10−8 W / m 2 K 4
Pour les applications numériques:
4
T
M = 5.68
0
100
Example: Radiation emission from a Black Ball
Example: Radiaiton incident on a small surface
75cm
Domaine utile du rayonnement
λ2
∫ M λ0,T .d λ
λ
Fλ1 −λ2 = 1
σT 4
d’exprimer F0−λ
M λ0,T
λ1
M 00→λ1 ,T = ∫ M λ0,T .d λ
0
M λ0,T
λ1 λ
M λ0,T
λ2
M 00→λ2 ,T = ∫ M λ0,T .d λ
0
M λ0,T
λ2 λ
M λ0,T
M0
Fλ1 −λ2 = F0−λ2 − F0−λ1
M λ0,T
M0
λ1 λ2 λ
Example: Emission of radiation from lightbulb
Fraction of the
radiaiton emitted in the
visible range
Emission des corps réels versus l’émission du
corps noir
Les corps réels:
L’émission d’un corps réel est évaluée par rapport à celle du
corps noir placé dans les mêmes conditions en température.
-Monochromatique, ελ
-Directionnel, ε ox ,λ (lorsque l’émissivité dépend de la
direction)
M Mλ
ε= 0 et ελ = 0
M Mλ
Approximation
Si pour le corps réel, cette émissivité est constante quelque
soit la longueur d’onde, ce type d’émission est appelé gris ou
diffus
Mλ Corps noir
Corps gris
Corps réel
λ
Quelques émissivités hémisphériques totale pour certaine
substance
Remarques:
ελ = ε et ε ox ,λ = ε ox
Corps à émission diffuse : émissivité indépendantes de la
direction.
ε
Loi de KIRCHHOFF
2 Phénomènes interdépendant:
Petit corps de
surface S1 et de Cavité isole
température TC isotherme, Ts
Il est suffisamment
petit pour ne pas
perturber le
rayonnement a l’
intérieur de
l’enceinte
E = M 0 (Ts )
À l’équilibre thermique, le flux qui est émis par le petit corps doit être
α ES1 = M (Ts ) S1
M (Ts )
α= 0 =ε
M (Ts )
L0
cos θ1 cos θ 2
d 2 Φ12 = 1 2
dS1dS 2
D
M 10
L =
0
1
π
M 10 cos θ1 cos θ 2
d Φ12 =
2
dS1dS 2
πD 2
cos θ1 cos θ 2
Φ12 = M 10 ∫ ∫ dS dS 2
S1 S 2 π D 2 1
1 cos θ1 cos θ 2
Φ12 = M 10 S1 ∫ ∫
S1 1 2
S S πD 2
dS1dS 2
Φ12 = M 10 S1 F12 = Φ1 F12
1 cos θ1 cos θ 2
F21 =
S2 ∫S1 ∫S2 π D 2 dS1dS2
Propriétés des facteurs de formes:
S1 S2 n n n
Φ i = ∑ Φ ij = ∑ Φ i Fij = Φ i ∑ Fij
j =1 j =1 j =1
Sn S3
n
Si S4
∑F
j =1
ij =1
Ou bien:
σ (T24 − T14 )
φ net =
12
1
Resistance de rayonnement
S F
1 12
V1 R12 V2
I12 =
1
(V1 − V2 )
R 12
M 10 1 S2 F21 = 1 S1 F12 M 20
Pour une enceinte constituée de 4 surfaces noires, le flux
échangé entre une surface j avec les autres surfaces s’écrit :
= ∑ S j Fji ( M i0 − M 0j )
4
Φ net
j
i =1
Eclairement
J Radiosité
Φ i = E.S
εσT =ε M 4 0 ρE
Emittance de la
surface grise
α φi = ε φi
J = εM 0 + ρE = ε σ T 4 + ρE
J = ε M 0 + (1 − ε ) E
J −ε M 0
E=
(1 − ε )
Le flux net échangé (ou perdu) par une surface est:
φnet = S ( M − α E ) = S ( ε M 0 − ε E ) = S ( ε M 0 − ε E + E − E )
φnet = S ( ε M 0 + (1 − ε ) E − E ) = S ( J − E )
Donc φnet = S ( J − E )
ε
ϕnet =
1− ε
( M 0
−J)
S3 S4
S2
S5
S1
Enceinte constituée de 5 surfaces
La radiosité de S1 , J1 , est:
∑F
j =2
1j Jj
Donc:
5
J1 = ε1M 10 + ρ1 ∑ F1 j J j
j =2
On peut écrire aussi puisque: ρ1 = 1 − ε1
5
J1 = ε1M 10 + (1 − ε1 ) ∑ F1 j J j
j =2
Ou bien:
5
J1 − (1 − ε1 ) ∑ F1 j J j = ε1 M 10
j =2
pour i = j δ ij = 1
pour i ≠ j δ ij = 0
[ A]{ J } = σ {ε T }
[ A]{ J } = {B}
φinet n
ϕinet = = J i − ∑ Fij J j
Si j =1
ϕ net = ∑ (δ ij − Fij ) J j
n
Si on utilise le symbole de
Kronecker, on obtient : i
j =1
εi
donné par:
ϕ net =
i
1− εi
( M io − J i )
φnet ε
ϕnet =
S
=
1− ε
( M 0
−J)
φnet =
( M 0
−J)
1− ε
εS
φnet =
( M 0
−J) Avec R =
1− ε
Th
et la résistance
thermique dû au
RraTh εS
ra
rayonnement
M0 J
De même, on peut élaborer un schéma électrique dans le cas
et Sj:
Φ net
ij
= Si Fij ( J j − J i ) = S j Fji ( J j − J i )
( − Ji ) ( − Ji )
Ou bien
J J
Φ ij = =
net j j
1 Si Fij 1 S j Fji
Jj Ji
Φ net
ij 1 Si Fij = 1 S j Fji
Le schéma électrique global des échanges mutuels entre deux
M 10 J1 J2 M 20
S1 S2
(1 − ε1 ) ε1S 1 1 S1 F12 (1 − ε 2 ) ε 2 S 2
S1 = 10m2, S3 = 20m2.