Matière Radiocommunication Semestre 1, 1ère master Système des télécommunications

Chapitre 1. Théorie du champ électromagnétique

1. Rappels sur les équations de Maxwell (Origine et démonstration détaillée)

Les équations de Maxwell modélisent mathématiquement les interactions entre charges électriques, courants
électriques, champs électriques et champs magnétiques. Dit simplement, elles décrivent les phénomènes
électriques, magnétiques et lumineux.
Ces équations sont très importantes en physique et tirent leur grande élégance de leur simplicité : juste quatre
équations pour décrire le vaste monde de l’électromagnétisme.
Ci-après, on va voir ce que disent qualitativement ces équations, une par une. Au final, vous verrez que c’est
juste beaucoup de maths pour « pas grand chose ». En fait, on peut s’en passer pour comprendre le
phénomène, mais elles restent indispensable pour les décrire de façon quantitative (et c’est ça qui est
compliqué…).
Dans ce qui suit, le champ électrique est représenté par ⃗ et le champ magnétique ⃗
2. Équation de Maxwell-Gauss

∇⃗ ∙ ⃗ =

« La divergence du champ électrique est proportionnelle à la distribution de charges électriques. »

Un corps ou une particule chargée électriquement constitue une concentration de charges électriques de
même signe. Il en résulte l’apparition d’un champ électrique partout autour.
Ce que dit cette loi, c’est juste que le champ électrique ⃗ ), est divergeant (ou convergent, selon le signe de
la charge) depuis la source (les charges, donc) et est proportionnel à la distribution (ρ) de ces charges.
Le champ électrique autour d’une charge est donc comme un oursin, où les épines constituent les lignes de
champs, partant du centre et divergeant vers l’infini ; plus il y a de charges, plus le champ est intense.
3. Équation de Maxwell-Thomson

∇⃗ ∙ ⃗ = 0
« La divergence du champ magnétique est nulle. »
Ici, il n’y a pas divergence du champ magnétique : les lignes de champ magnétique ne partent pas vers
l’infini. À la place, les lignes de champ sortent d’un pôle pour aller dans l’autre.
Cette loi traduit le fait simple qu’il n’existe pas de monopôle magnétique. Un monopôle « sud » ou « nord »
d’un aimant n’existe pas (alors qu’il existe des monopôles électriques, comme l’électron, négatif, ou le
proton, positif).
Si l’on brise un aimant en deux, on obtient deux aimants avec chacun son pôle nord et son pôle sud.
Mathématiquement, la loi peut aussi être lue comme « les lignes de champ magnétique sortant d’un des pôles
d’un aimant rentrent dans l’autre pôle ». Cette formulation explique mieux le fait que la somme de toutes les
lignes de champs est égale à zéro : ce qui sort d’un côté rentre de l’autre et final on ne perd ni ne crée rien.
Si la forme des lignes de champ électrique est celle d’une source d’où les lignes s’éloignent, les lignes de
champ magnétique sur un aimant sortent d’un côté et rentrent de l’autre, comme on a l’habitude de les
représenter depuis longtemps.
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4. Équation de Maxwell-Faraday

⃗
∇⃗ × ⃗ = −

« Le rotationnel du champ électrique est (inversement) proportionnel à la variation du champ magnétique au

cours du temps. »
Prenez un cyclone et coupez-le de la même façon qu’on coupe un arbre : on voit des lignes circulaires
formées par les nuages tourbillonnants. Plus au s’approche de l’œil du cyclone, plus les vents sont rapides.
Pour le cyclone, le rotationnel du champ des vitesses dépend de la distance à l’œil du cyclone.
Si on prend un champ magnétique variant dans un conducteur, alors il apparaît un champ électrique rotatif
autour de l’aimant.

Dans l’équation de Maxwell-Faraday, le rotationnel∇⃗ ×est (inversement) proportionnel à la variation

du champ magnétique ⃗.
En effet, c’est la variation du champ magnétique qui produit un champ électrique et non le champ
magnétique tout seul. Si vous placez un aimant dans une bobine, il ne se passe rien. En revanche, si vous
agitez l’aimant, alors il se crée un champ électrique autour (qui lui-même va générer un courant électrique
dans le fil). C’est pour ça que la dynamo de votre vélo n’alimente les lumières que quand vous roulez, et pas
à l’arrêt.
Cette particularité de dépendance des phénomènes électriques à la variation du champ magnétique est
cruciale et a été découverte par Faraday il y pratiquement 200 ans.
5. Équation de Maxwell-Ampère

⃗
∇⃗ × ⃗ = ⃗+

« Le rotationnel du champ magnétique est la somme de sa dépendance à la variation du champ électrique au

cours du temps et d’un courant électrique fixe. »
Cette équation-ci dit que le champ magnétique a pour cause la variation du champ électrique au cours du
temps. Le terme ⃗ ajoute que le champ magnétique est également dépendant d’un courant électrique dans
le cas d’un conducteur électrique (le courant n’a pas besoin de varier pour qu’il y ait un champ magnétique,
alors que le champ magnétique, lui, doit varier pour engendrer un courant).
Les équations de Maxwell-Ampère et de Maxwell-Faraday montrent à elles deux que les deux champs
électriques et magnétiques sont couplées et que la variation de l’une est proportionnelle à l’intensité du
champ de l’autre.
Les deux équations de Maxwell-Ampère et de Maxwell-Faraday traduisent la conversion de la composante
magnétique d’une onde électromagnétique en sa composante électrique et vice-versa, alternativement. Une
onde électromagnétique peut donc se propager sans autre support qu’elle même.

Remarquez que si l’on retire le terme ⃗ , on retrouve le symétrique de l’équation de Maxwell-Faraday.

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6. Conclusion

On peut remarquer que les équations de Maxwell ont toutes un nom, et à chaque fois avec le nom d’un autre
physicien. En fait, les travaux de Gauss, Thomson (plus connu sous le nom de Lord Kelvin), Ampère et
Faraday sur le magnétisme et l’électricité n’avaient pas grand chose pour les lier, si ce n’est que Faraday
avait déjà montré leur couplage de façon expérimentale. Maxwell a alors repris leurs différents travaux et a
constitué toute une base mathématique, avec des équations, pour créer toute la loi de l’électromagnétisme.
Son génie mathématique lui a permis ainsi de condenser une vingtaine de lois décrivant des phénomènes
simples et plus ou moins indépendantes dans seulement quatre équations cohérentes. L’élégance des
équations de Maxwell n’enlève cependant rien à la complexité des calculs et applications numériques qui
peuvent en découler, je vous préviens !
Enfin, sachez que parfois la Force de Lorentz est ajoutée aux quatre équations ci-dessus. Elle permet de
calculer l’orientation et l’intensité de la force subie par une particule ou un corps chargée plongé dans un
champ magnétique.

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7. Propagation de l’onde électromagnétique plane dans le vide

Si jusqu’à présent, les équations de Maxwell ont été séparément, chacune a permis de rendre compte
d’un effet physique : la création d’un champ électrique par les charges électriques, l’absence de charge
magnétique, la création d’un champ magnétique par un courant électrique et le phénomène d’induction. Le
génie de Maxwell a été de comprendre qu’il s’agit d’un tout et que ces équations doivent être considérées
comme un ensemble.
Prises ensembles plutôt qu’individuellement, ces équations contiennent beaucoup plus que ces phénomènes.

8. Equations d’ondes, Energie Electromagnétique et Vecteur de Poynting

Soit une distribution (D) de charges localisées autour d’un point O, dont les densités sont fonction du
temps (exemple : une antenne métallique). Selon les équations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampère,
cette distribution (D) est la source de champs ⃗ et ⃗ variables dans le temps qui vont s’établir dans tout le
voisinage de O. Un point M de ce voisinage, bien que situé en dehors de (D), est lui-même source de champs
en raison des termes en ⃗/ et ⃗ / « provenant de O » qui jouent un rôle de sources dans les équations
de Maxwell-Faraday et de Maxwell-Ampère. Les points P du voisinage de M sont à leur tour dans leur
propre voisinage des sources de champs variables dans le temps …
On conçoit ainsi que le champ EM se propage en faisant penser à des rides se transmettant de proche
en proche à la surface de l’eau.
« Le couplage qui est introduit dans les équations de Maxwell par la présence des deux dérivée spartielles
par rapport au temps ⃗/ et ⃗ / est à l’origine du phénomène de propagation duchamp EM. »
Obtention des équations de propagation du champ EM :
On calcule le rotationnel de l’équation de Maxwell-Faraday :

⃗ ⃗⃗ =− ⃗⃗

Or :
⃗ ⃗⃗ = ⃗ ⃗ −∆⃗

Avec
⃗=

et
⃗
⃗⃗ = ⃗+

Il vient :
⃗
⃗ −∆⃗ =− ⃗+

Soit, finalement :
⃗ 1 ⃗
∆⃗− = ⃗ +

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De manière symétrique, on élimine E au profit de B en calculant le rotationnel de MA :

⃗ ⃗⃗ = ⃗ ⃗ −∆ ⃗= ⃗⃗ + ⃗⃗

Soit :
⃗
⃗ (0) − ∆ ⃗ = ⃗⃗ + −

Finalement :
⃗
∆⃗− =− ⃗⃗

Dans une région sans charges ni courants ( = 0 et ⃗ = 0⃗ ) :

⃗
∆⃗− = 0⃗

Et
⃗
∆⃗− = 0⃗

Ces équations sont les équations de propagation du champ EM. Si l’on note s(x,y,z,t) l’une des six
coordonnées des champ EM ( ,…., , … ), alors :

∆ − =0

soit;
1
∆ − =0

1
=

C’est l’équation de d’Alembert (équation classique de propagation des ondes, encore appelée
équation des cordes vibrantes) établie au XVIIIème siècle pour modéliser les vibrations d’une corde tendue.
Les solutions de cette équation traduisent un phénomène de propagation de célérité c (vitesse de la lumière
dans le vide).
9. Résolution de l’équation de d’Alembert

On se propose de résoudre l’équation de d’Alembert unidimensionnelle :

1
− =0

De manière symbolique, cette équation peut s’écrire :

+ ∙ − =0

On pose :

= + = −

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Et, en considérant comme des fonctions de :

1
= + = −

= + = +

On en déduit :

+ =2 − = −2

L’équation de d’Alembert prend alors la forme :

= =0

Par conséquent, = ( ) et si ( ) si désigne une primitive de ( ), alors :

= ( )+ ( )= − + +

Interprétation physique : on considère une fonction de la forme :

( , )= −

On constate que :
+∆
− = ( +∆ − )

pour tout couple ∆x et ∆t vérifiant : ∆ = ∆ . Ainsi, ( , ) représente un signal qui se propage

sans déformation à la vitesse v le long de l’axe (Ox) dans le sens positif.

La solution s_( , ) = ( + ) représente un signal qui se propage sans déformation à la vitesse v le long

de l’axe (Ox) dans le sens négatif.

On se propose maintenant de résoudre l’équation de d’Alembert tridimensionnelle :

∆ − =0 avec ( ⃗, ) = ( , , , )

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10. Propagation d’une onde électromagnétique dans les diélectriques

Lorsqu’un paramètre physique f dépend à la fois de l’espace et du temps de manière couplée, on dit qu’il
représente une onde qui se propage dans l’espace en fonction du temps.
Les composantes des champs ⃗ et ⃗ sont des paramètres qui, sous certaines conditions, se comportent
comme des ondes.
On dira d’une onde vectorielle ⃗ qu’elle est polarisée si une ou plusieurs de ses composantes sont nulles :
• lorsque la direction de ⃗ est fixe, la polarisation de l’onde est dite rectiligne.
• lorsque ⃗ est colinéaire à sa direction de propagation, la polarisation de l’onde est dite longitudinale.
• lorsque ⃗ est orthogonal à sa direction de propagation, la polarisation de l’onde est dite transverse.
On dira d’une onde f( ⃗, t) qu’elle est plane si elle ne dépend en coordonnées cartésiennes que d’une seule
variable, par exemple x :
∀ ∀ ( , , , ) = ( , )
On appellera alors plan d’onde un plan quelconque perpendiculaire à l’axe des x. Sur chacun de ces plans, la
valeur de f reste évidemment constante.

Figure. Onde plane se propageant dans la direction Ox. Les plans d’onde se déplacent à la vitesse v entre
deux instants t1 et t2 > t1
11. Polarisation des ondes planes
La polarisation d’une onde est l’évolution de la direction de son champ électrique ⃗ au cours du temps
(figure). Pour une onde se propageant dans le vide illimité selon Ox, l’expression la plus générale du champ
électrique est :

= 0
= − + = ⁄
= ( − + )

Ou les constantes E0y et E0z d’une part, et φy et φz d’autre part sont a priori différentes. Pour décrire
l’évolution de la direction du champ ⃗ au cours du temps, il existe a priori deux méthodes : fixer la position
et envisager l’évolution dans le temps ou fixer le temps et envisager l’évolution spatiale selon Ox.

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