Grandeurs Inertielles

COURS GENIE MECANIQUE 2EME ANNEE TSI
2. DYNAMIQUE
DU SOLIDE INDEFORMABLE
-Grandeurs inertielles -
INTRODUCTION : ......................................................................................................................... 2
MOMENT D’INERTIE D’UN SOLIDE (S) PAR RAPPORT A UN AXE :................................................. 3
2.1. DEFINITION : ............................................................................................................................... 3
2.2. EXPRESSION DEVELOPPEE DU MOMENT D’INERTIE : .................................................................. 3
OPERATEUR D’INERTIE D’UN SOLIDE (S) EN UN POINT : .............................................................. 4
3.1. DEFINITION : ............................................................................................................................... 4
3.2. MATRICE D’INERTIE D’UN SOLIDE (S) :......................................................................................... 5
RELATION ENTRE MOMENT D’INERTIE PAR RAPPORT A UN AXE ET MATRICE D’INERTIE :.......... 7
4.1. RAPPEL MATHEMATIQUE, LE PRODUIT MIXTE : ......................................................................... 7
4.2. RELATION ENTRE MOMENT ET MATRICE D’INERTIE : .................................................................. 7
MATRICE D’INERTIE POUR DES FORMES GEOMETRIQUES REMARQUABLES : ............................. 7
5.1. SOLIDE PRESENTANT UN PLAN DE SYMETRIE MATERIEL : ........................................................... 7
5.2. SOLIDE PRESENTANT DEUX PLANS DE SYMETRIE MATERIEL (AXE DE SYMETRIE MATERIEL) : ...... 8
RELATION ENTRE MATRICES D’INERTIE EN DEUX POINTS O ET G : THEOREME DE HUYGENS : .. 10
MATRICE D’INERTIE D’UN ENSEMBLE DE SOLIDES :................................................................... 15
RELATION ENTRE MOMENT CINETIQUE ET MATRICE D’INERTIE :.............................................. 16
8.1. RELATION GENERALE :............................................................................................................... 16
8.2. DEUX CAS REMARQUABLES : ..................................................................................................... 17
L’ENERGIE CINETIQUE, FORME TORSORIELLE : .......................................................................... 17
9.1. NOTION MATHEMATIQUE, LE PRODUIT DE DEUX TORSEURS (COMOMENT) : .......................... 18
9.2. EXPRESSION DE L’ENERGIE CINETIQUE EN TERMES DE TORSEURS : .......................................... 18
9.3. CAS PARTICULIERS : ................................................................................................................... 19
RAPPELS MATHEMATIQUES UTILES : ......................................................................................... 21
10.1. PRODUIT D’UNE MATRICE PAR UN VECTEUR : ..................................................................... 21
10.2. PRODUIT SCALAIRE DE DEUX VECTEURS : ............................................................................ 22
Elaboré par : Youssef RAHOU, octobre 2017
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Introduction :
La dynamique du solide indéformable est une discipline de la mécanique qui étudie
les systèmes matériels en mouvement, ce mouvement est due aux actions mécaniques qui leurs
sont appliquées. Les causes (efforts et moments) et les conséquences (grandeurs cinématiques
ou plus correctement cinétiques) sont étudiées à travers le Principe Fondamental de la
Dynamique (P.F.D.), la notion de temps ainsi que la notion de masse sont présentes.
La formulation du Principe Fondamental de la Dynamique (P.F.D.) nécessite la détermination

du torseur dynamique qui est en relation directe avec le torseur cinétique (voir chapitre 1), cependant
l’expression intégrale des moments (cinétique et dynamique) exige des calculs relativement
lourds.
Pour se passer de ces intégrales, on peut remarquer, d’après le dernier TD, que l’expression du
moment cinétique/dynamique est le produit de deux grandeurs :
• Une grandeur inertielle en ML², appelée moment d’inertie, et ce pour le cas d’une rotation
simple. Pour un mouvement quelconque il faut introduire la notion de matrice d’inertie.
• Une grandeur cinématique (vecteur rotation ou sa dérivée temporelle).
Le présent chapitre permet d’exprimer les grandeurs cinétiques sous forme de produits
(au lieu d’intégrales) en utilisant les grandeurs inertielles, principalement la matrice d’inertie.
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Moment d’inertie d’un solide (S) par rapport à un axe :

Soit un repère O, x, y, z , soit un axe (O, ), est un vecteur unitaire tel que : = . + . + γ. .
Soit un solide (S) de masse m, P est un point courant de (S) tel que : = . + . + . :
(S)
Figure.1. Schématisation du solide (S) et de l’axe .
H représente la projection du point P sur l’axe .
2.1. Définition :
Le moment d’inertie du solide (S) par rapport à l’axe est le scalaire positif :
I(S/ ) = #$"² = 5 $, ²
$∈7 $∈7
Où 5 $, est la distance entre le point P et l’axe (O, ).

L’unité du moment d’inertie est en ML² : kg.m².
Remarque :
• Si = (O, ), = . + . + . = + , avec = . , ainsi = . + . .

De là, Le moment d’inertie du solide (S) par rapport à l’axe (O, ) est le scalaire positif :
I(S/ (O, )) = ² ²
$∈7
2.2. Expression développée du moment d’inertie :
Pour développer l’expression précédente du moment d’inertie, remarquons que :
!"²= !. !=|| !||², avec ||#$|| = ||%$||.|sin( , )|= || ∧ %$||, ainsi :
I(S/ ) = || ∧ %$||²
$∈7
Calculons ∧ :
+ / ,1 4 γ0
ı ∧ OP = *,- ∧ .02=3 γ/ 4 +1 3
γ 1 +0 4 ,/
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Il vient que : || ∧ %$||²= ( ,1 4 γ0 ²+( γ/ 4 +1 ²+( +0 4 ,/ ²
= ,²1²-2,γ10+γ²0²+γ²/²-2γ+/1 + +²1²+ +²0²-2 +,/0+ ,²/²

=+² 1²+0²) + ,² 1²+/²) + γ² 0²+ /²)² - 2,γ10 - 2γ+/1 - 2 +,/0
Ainsi: I(S/ ) = || ∧ %$||²

$∈7
= ² ² ² ² ² ² γ² ² ² 48 γ 4 8γ 48 "
$∈7
= 8
. : 8 8
; + 8
. : 8 8
; + γ8 . : 8 8
; 48 γ
$∈7 $∈7 $∈7 $∈7
48γ 48
$∈7 $∈7
On pose:
• A= : 8 8
; , B= : 8 8
; , C= : 8 8
;
$∈7
.
$∈7 $∈7
• D= , E= , F=
$∈7 $∈7 $∈7
L’expression du moment d’inertie s’écrit donc :
I(S/ ) = A 8
+B 8
+ Cγ8 4 8< γ 4 8=γ 4 8>
Remarque:
• L’expression du moment d’inertie fait apparaitre des termes qui sont le produit de termes
venant de l’axe ∆ (composantes du vecteur directeur ) et d’autres termes inertielles en ML²
liés au solide (S) (forme et masse).
• A est appelé le moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe (O, ).
• B est appelé le moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe (O, ).
• C est appelé le moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe (O, ).
• D est appelé le produit d’inertie de (S) par rapport aux axes (O, ) et (O, ).
• E est appelé le produit d’inertie de (S) par rapport aux axes (O, ) et (O, ).
• F est appelé le produit d’inertie de (S) par rapport aux axes (O, ) et (O, ).
Opérateur d’inertie d’un solide (S) en un point :
3.1. Définition :
L’opérateur d’inertie du solide (S) en un point O est l’application linéaire associant à tout
vecteur @, le vecteur suivant :
? (S,@) = %$ ∧ @ ∧ %$
%
$∈7
Remarque :
• Il s’agit d’un opérateur linéaire, donc représentable par une matrice M, cette matrice est telle
que : ? (S,@)= A. @.
%
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3.2. Matrice d’inertie d’un solide (S) :

On remarque que ? (S,@) et @ sont des vecteurs de taille 3X1, on pose : ? (S,@)= ?B. + ?8. + ?C.
et D= DB. + D8. + DC. , il vient que :
FG KG
? (S,@)= EFHJ= A. EKHJ
% FI KI
Par conséquent, M est impérativement une matrice carrée de taille 3x3 telle que :
FG M11 M12 M13 KG
EFHJ=LM21 M22 M23Q EKHJ
FI KI
M31 M32 M33
Pour expliciter la matrice M, on se place dans le cas où @ est un des vecteurs de la base ( , , z), en
effet :
M11 M12 M13 G G
• ? (S, )= LM21 M22 M23Q ERJ, puisque =1. +0. +0. = ERJ.
% R R
M31 M32 M33
• D’une part, l’expression précédente s’écrit :
M11
? (S, )= LM21Q
M31
D’autre part, calculons ? (S, ) en utilisant la définition :
%
•
S (S,x)= T! ∧ x ∧ T! dm
%
$∈7
1 / 0 / 0 0H 1H
avec : x ∧ T!=*0- ∧ .02=3413 et T! ∧ x ∧ T! = .02 ∧ *41-=3 4/0 3= (0 H 1 H ). x 4 /0. y 4 /1. z
0 1 0 1 0 4/1
X
d’où : S (S,x)= 0H 1 H . x 4 /0. y 4 /1. z" dm=A. x –F. y -E. z= *4Y -
$∈7 4Z
•
^BB=A, ^8B=-F, ^CB=4_
Ainsi:
• Pour identifier la deuxième colonne de la matrice M, on se place dans le cas où D= :

• D’une part :
M12
? (S, )= LM22Q
M32
%
•
S (S,y)= T! ∧ y ∧ T! dm
%
$∈7
0 / 1 / 1 4/0
avec: y ∧ T!=*1- ∧ .02=[ 0 [ et T! ∧ y ∧ T! = .02 ∧ . 0 2=31 H
/ H 3=4/0. x 1H / H . y 4 01.z
0 1 4/ 1 4/ 401
4Y
d’où : S (S,y)= 4/0. x 1H / H . y 4 01. z" dm=–F. x +B. y -D. z= * \ -
$∈7 4]
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• Ainsi:
AB8=-F, A88=B, AC8=4<
• Enfin, pour déterminer la troisième colonne de la matrice M, on se place dans le cas où D= :

• D’une part :
M13
? (S, )= LM23Q
M33
%
•
S (S,z)= T! ∧ z ∧ T! dm
%
$∈7
0 / 40 / 40 4/1
avec: z ∧ T! =*0- ∧ .02=[ / [ et T! ∧ y ∧ T! = .02 ∧ . / 2=3 401 3=4/1. x 4 01. y /H 0 H .z
1 1 0 1 0 /H 0H
4Z
d’où : S (S,z)= 4/1. x 4 01. y /H 0 H . z" dm=–E. x -D. y +C. z= *4]-
$∈7 `
• Ainsi:
^BC=-E, ^8C=-D, ^CC=d
En synthèse, on appelle matrice d’inertie du solide S au point O dans la base ( , ,
X 4Y 4Z
la matrice carrée :
b c "=L4Y \ 4]Q
%
4Z 4] `
x , y, z
Avec : A= : 8 8
; , B= : 8 8
; , C= : 8 8
; .
$∈7 $∈7 $∈7
Et : D= , E= , F= .
$∈7 $∈7 $∈7
Remarque:
• La matrice d’inertie est une matrice symétrique dont les termes diagonaux correspondent aux
moments d’inertie par rapport aux axes (O,x), (O,y) et (O,z).
• L’opérateur d’inertie est lié à la matrice d’inertie par la relation :
? (S,@)= %$ ∧ @ ∧ %$ = b c ". @.
% %
$∈7
Le produit matriciel a 7 ". @ n’est possible que si la matrice a 7 " et le vecteur @ sont
%
•
%
exprimés dans la même base, en pratique on exprime le vecteur @ dans la base de
la matrice a 7 ".
%
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Relation entre moment d’inertie par rapport à un axe

et matrice d’inertie :
On rappelle que le moment d’inertie d’un solide (S) par rapport à l’axe (O, ) s’écrit :
I(S/ ) = || ∧ %$||² = : ∧ %$;. : ∧ %$;

$∈7 $∈7
4.1. Rappel mathématique, le produit mixte :
Soient trois vecteurs h, @ et i quelconques, on appelle produit mixte le réel :
<h,@,i >=h.(@ ∧ i)
<h,@,i >=h.(@ ∧ i)= @.(i ∧ h)= i.(h ∧ @).

Il vérifie la propriété :
4.2. Relation entre moment et matrice d’inertie :

Pour u=ı, v=OP et w=ı ∧ OP, on a :
:ı ∧ T! ;. :ı ∧ T!;=ı.( OP ∧(ı ∧ OP))
Ainsi:
I(S/ ) = :ı ∧ T!;. :ı ∧ T!; dm= ı. OP ∧ ı ∧ OP dm=ı. OP ∧ ı ∧ OP dm= . ? (S, )

$∈7 $∈7 $∈7 %
Il vient :
I(S/ ) = . a 7 ". )
%
Soit a 7 " la matrice d’inertie du solide (S) au point O dans la base ( , , , Pour obtenir
%
le moment d’inertie du solide (S) par rapport à n’importe quelle axe (O, ), on utilise
I(S/ ) = . a 7 ". )
la relation :
%
Matrice d’inertie pour des formes géométriques

remarquables :
5.1. Solide présentant un plan de symétrie matériel :
Soit un solide (S) présentant un plan de symétrie matériel (Π), avec Π = (O, , ):
$ , ,
Ssup
Π
(S)
$′ , , 4
Sinf
Figure.2. Solide (S) à plan de symétrie Π.
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Un plan de symétrie matériel est à la fois un plan de symétrie géométrique et de répartition

de masse, c’est-à-dire que le plan coupe le solide (S) en deux formes identiques (symétrie
géométrique) et que la répartition de masse de ces deux ‘’formes’’ est identique.
Intéressons-nous aux intégrales contenant des termes ‘’en z’’ au niveau de la matrice d’inertie de (S) :
• D= = + ,
$∈7 $ ∈ 7lmn $ ∈ 7opq
Avec S=Ssup∪Sinf (Ssup : partie supérieure de (S) par rapport au plan de symétrie et Sinf : partie
inférieure de (S) par rapport au plan de symétrie). On remarque que pour chaque point P(x,y,z)
de Ssup correspond un point P’(x,y,-z) de Sinf, ainsi tous les termes yz de Ssup ont leurs opposés –
yz dans Sinf, par conséquent D s’annule.
• E= = + ,
$∈7 $ ∈ 7lmn $ ∈ 7opq
De la même manière, les termes zx de Ssup ont leurs opposés –zx dans Sinf, par conséquent E
s’annule.
• Pour un solide (S) possédant un plan de symétrie matériel (O, , ), les termes ‘’en z’’ de
X 4Y 0
la matrice d’inertie de (S) en O sont nuls, ainsi :
b c "=L4Y \ 0Q
%
0 0 ` x , y, z
• De même, pour un solide (S) possédant un plan de symétrie matériel (O, , ), les termes
X 0 4Z
‘’en y’’ de la matrice d’inertie de (S) en O sont nuls, ainsi :
b c "=L 0 \ 0 Q
%
4Z 0 ` x , y, z
• Enfin, pour un solide (S) possédant un plan de symétrie matériel (O, , ), les termes ‘’en x’’
X 0 0
de la matrice d’inertie de (S) en O sont nuls, ainsi :
b c "=L 0 \ 4] Q
%
0 4] ` x , y, z
5.2. Solide présentant deux plans de symétrie matériel (axe de

symétrie matériel) :
z
y
O
Figure.3. Solide (S) présentant deux plans de symétrie.
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Soit un solide (S) présentant deux plans de symétrie matériel ( ΠB ) et ( Π8 ), avec ΠB = (O, , )
et Π8 = (O, , ), d’après la propriété précédente :
• Le plan ΠB est un plan de symétrie matériel pour (S), ainsi les termes D et E de la matrice
d’inertie de (S) en O sont nuls : D=E=0.
• Le plan Π8 est un plan de symétrie matériel pour (S), ainsi les termes D et F de la matrice
d’inertie de (S) en O sont nuls : D=F=0.
La matrice d’inertie de (S) en O est diagonale, seuls les termes diagonaux sont non nuls.
• Pour un solide (S) possédant deux plans de symétrie matériel (O, , ) et (O, , ) ou (O, , )
et (O, , ) ou (O, , ) et (O, , ), les produits d’inertie D,E et F de la matrice d’inertie de (S)
X 0 0
en O sont nuls, ainsi :
b c "=L 0 \ 0 Q
%
0 0 `
x , y, z
Remarque :
• Les deux plans de symétrie matériel (O, , ) et (O, , ) correspondent à l’axe de symétrie
matériel (O, ), de même (O, , ) et (O, , ) correspondent à l’axe de symétrie matériel (O, )
et (O, , ) et (O, , ) correspondent à l’axe de symétrie matériel (O, ).
• Un solide (S) peut posséder un axe de révolution matérielle, c’est-à-dire qu’il est généré par
la rotation d’une surface génératrice autour d’un axe, par conséquent (S) possède une
infinité de plans de symétrie matériel dont l’intersection est l’axe de révolution matérielle.
Figure.4. Exemples de solides possédant un axe de révolution.
Voir les travaux dirigés concernant la particularité de la matrice d’inertie de ce type de solide, elle est
forcément diagonale (infinité de plans de symétrie matériel), en plus elle est de la forme :
X 0 0
b c "=L 0 X 0Q
%
0 0 ` 4 , 4, Drstrmu 5vuvwrxpt y’x r 5r uéD|ymtv|p
Ou :
X 0 0
b c "=L 0 \ 0Q
%
0 0 X 4 , Drstrmu 5vuvwrxpt y’x r 5r uéD|ymtv|p 4,
Ou :
X 0 0
b c "=L 0 \ 0Q
%
0 0 \ Drstrmu 5vuvwrxpt y’x r 5r uéD|ymtv|p , 4, 4
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Relation entre matrices d’inertie en deux points O et G :

Théorème de Huygens :
Pour mettre en évidence la nécessité de ce théorème, prenons le cas du robot Ericc 3 dont
le schéma cinématique simplifié est représenté ci-dessous :
y
(S) (S’)
G’
Figure.5. Robot Ericc 3, mécanisme réel et schéma cinématique simplifié à deux bras.
On considère le modèle du robot à deux bras indéformables et homogènes :
• (S) de masse m, de centre d’inertie G et de longueur L. La matrice d’inertie de (S)

en G dans la base x , y, z est b c ".
• x , y, z
• (S’) de masse m’, de centre d’inertie G’ et de longueur L’. La matrice d’inertie de (S’)
en G’ dans la base x, y, z est b c′ ".
•′ x , y, z
En pratique, on cherche à exprimer les matrices d’inertie de l’ensemble des solides au même point
(voir paragraphe 7 pour en comprendre la raison), de préférence fixe dans le repère du bâti
(commentaire dans paragraphe 8), le point O en convient.
Cherchons donc la matrice d’inertie de (S) au point O dans la base x , y, z :

X} 4Y} 4Z}
b c "=L4Y} \} 4]}Q
%
4Z} 4]} `} x , y, z
Remarque :
• On rajoute un indice indiquant le point O aux termes de la matrice d’inertie a 7 " pour rappeler
%
que ces derniers sont exprimés dans le repère (o, , , ). De même l’indice indiquant le point
G est rajouté aux termes de la matrice d’inertie a 7 " pour rappeler que ces derniers sont
•
exprimés dans le repère (G, , , ) :
X~ 4Y~ 4Z~
b c "=L4Y~ \~ 4]~ Q
• 4Z~ 4]~ `~
x , y, z
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a 7 " : AO, BO, CO, DO, EO et FO :

Les données sont AG, BG, CG, DG, EG et FG. Et on cherche à déterminer les termes de la matrice
%
• Calculons AO :
AO= 1oH 0oH dm, yO et zO sont tels que : OP = / O. x + 0O. y + 1O.z.

$∈7
Pour introduire G, on a OP=OG+GP, avec :
On note a, b et c les coordonnées de ‚ dans la base , , : OG = ƒ. x + „. y + ….z, Dans

notre cas : OG=L/2. 1= L/2.cosθ1. x + L/2.sinθ1. y, ainsi :
x ‡/8. ‰Š‹θB
%•=.†2=* ‡/8. ‹Œ•θB -
s Ž
GP= / G. x + 0G. y + 1G.z.
Ainsi, dans la base x , y, z :
/O a /G
T!=*0O-= .b2+*0G-.
1O … 1G
De là : AO= 1~ … H
b 0G H
dm= :1~ H 0G8 ; dm+2 c. 1~ dm+ 2 b. 0~ dm+m.…² +m.b²
$∈7 $∈7 $∈7 $∈7
Or :
Par définition : AG = :1~ H 0G8 ; dm.
$∈7
1~=GP. z, par conséquent : 1~ dm= ( GP. dm). z=0 (car G est centre d’inertie de(S)).
$∈7 $∈7
0~=GP. y, par conséquent : 0~ dm= ( GP. dm). y=0 (car G est centre d’inertie de(S)).
$∈7 $∈7
Ainsi :
AO= AG + m. ( ’8 ‰²
• Par analogie, On calcule BO :

BO= 1OH /OH dm= 1~ … H
a /G H
dm
$∈7 $∈7
= :1~ H /G8 ; dm+2 c. 1~ dm+2 a. /~ dm+m.…² +m.ƒ²

$∈7 $∈7 $∈7
Or :
Par définition : BG = :1~ H /G8 ; dm.
$∈7
1~=GP. z, par conséquent : 1~ dm= ( GP. dm). z=0 (car G est centre d’inertie de(S)).
$∈7 $∈7
/~=1P. x, par conséquent : /~ dm= ( GP. dm). x=0 (car G est centre d’inertie de(S)).
$∈7 $∈7
Ainsi :
BO= BG + m. ( ‰ 8 “²
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• De même, On calcule CO :
CO= /OH 0OH dm= /~ ƒ H
b 0G H
dm
$∈7 $∈7
= :/~ H 0G8 ; dm+2 a. /~ dm+2 b. 0~ dm+m.ƒ² +m.„²

$∈7 $∈7 $∈7
Or :
Par définition : CG = :/~ H 0G8 ; dm.
$∈7
/~=GP. x, par conséquent : /~ dm= ( GP. dm). x=0 (car G est centre d’inertie de(S)).
$∈7 $∈7
0~=GP. y, par conséquent : 0~ dm= ( GP. dm). y=0 (car G est centre d’inertie de(S)).
$∈7 $∈7
Ainsi :
CO= CG + m. ( “8 ’²
• Concernant le calcul du terme DO :
Do= 0O1O dm= 0G b 1G c dm= 0G1G dm+c. 0~ dm+ b. 1~ dm+ „. … dm

$∈7 $∈7 $∈7 $∈7 $∈7 $∈7
Or :
Par définition : DG = 0G1G dm.
$∈7
Ainsi :
DO= DG + mbc
• De même, le calcul de EO donne :
Eo= 1O/O dm= 1G c /G a dm= 1G1G dm+c. /~ dm+ a. 1~ dm+ ƒ. … dm

$∈7 $∈7 $∈7 $∈7 $∈7 $∈7
Or :
Par définition : EG = 1G/G dm.
$∈7
Ainsi :
EO= EG + mac
• Par analogie, le calcul de FO donne :

Fo= /O0O dm= /G a 0G b dm= /G0G dm+b. /~ dm+ a. 0~ dm+ ƒ. „ dm
$∈7 $∈7 $∈7 $∈7 $∈7 $∈7
Or :
Par définition : FG = /G0G dm.
$∈7
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Ainsi :
FO= FG + mab
Dans notre cas : a= ‡/8. ‰Š‹θB, b= ‡/8. ‹Œ•θB et c=0, de là :
• AO=AG+m(‡/8. ‹Œ•θB )², BO=BG+m(‡/8. ‰Š‹θB)² et CO=CG+m(‡/8)².
• DO= DG, EO= EG et FO= FG + m.‰Š‹θB. ‹Œ•θB. ‡/8 ².

Ce qui s’écrit sous forme matricielle :
‡8 ‹Œ•θB8 /• 4‰Š‹θB. ‹Œ•θB. ‡8 /• Ž

a 7 "= a 7 "+m.”4‰Š‹θB. ‹Œ•θB. ‡ /•
8
‡8 ‰Š‹θB8 /• Ž –
O G
Ž Ž ‡ /•
8
x , y, z
Théorème de Huygens :
De manière générale, pour un solide (S) de masse m et de centre d’inertie G, pour un point O
x
quelconque tel que :
%•=.†2
s x , y, z
La relation entre matrices d’inertie de (S) respectivement aux points O et G dans une base x , y, z
s’écrit :
’8 ‰² 4“’ 4sx
a 7 "= a 7 "+m.L 4“’ ‰ 8 “² 4†s Q
4sx 4†s x8
†² x , y, z
O G
• Toutes les matrices sont exprimées dans la même base.
Remarque :
• Ce théorème donne un résultat remarquable lorsqu’on cherche à établir une relation entre
moments d’inertie d’un solide (S) par rapport à deux axes parallèles ∆(o, ) et ∆(G, )
distants de d, pour cela, prenons une base x , y, z adaptée telle que = et contenu dans
le plan des deux droites ∆(o,ı) et ∆(G,ı) :
(S) ∆(G,z)
O
G
∆(o,z)
d
z
z
x y
Figure.6. schématisation et paramétrage des deux axes.
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Exprimons le moment d’inertie du solide (S) par rapport à l’axe ∆(o, ), noté J∆o, en fonction
du moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe ∆(G, ), noté J∆G.
• J∆o= I(S/∆(o, )) = . a 7 ". ).

Par définition :
o
• Le théorème de Huygens assure que :
’8 ‰² 4“’ 4sx
a 7 "= a 7 "+m.L 4“’ ‰ 8 “² 4†s Q
4sx 4†s x8
†²
o
x , y, z
G
a 0
Avec : OG=.b2=*4—-, où -h est la composante de OG suivant z : -h=OG.z.
c 4ℎ
Ainsi :
8
›² Ž Ž
™ š "= ™ š "+m.L Ž ›8 4› Q
Ž 4› ² x , y, z
o G
Il vient :
dH h² 0 0
J∆o= ı. b c ".ı)+ ı. m. L 0 h H
4hdQ.ı)
0 4hd d² x , y, z
G
• Concernant le premier terme, par définition : J∆G= I(S/∆(G, )) = . a 7 ". ).

0
G
• Le deuxième terme se calcule en remplaçant par ı= *0- :

1
dH h² 0 0 0 0
0 hH 4hdQ. *0- =m.L4hdQ
0 4hd d² 1 d² x , y, z
On a : m.L
x , y, z x , y, z
Ainsi :
dH h² 0 0 0 0
ı. m. L 0 hH 4hdQ.ı)= *0-. m.L4hdQ=m.d²
0 4hd d² 1 x , y, z d² x , y, z
x , y, z
En synthèse :
J∆o= J∆G+m.d²
Les moments d’inertie d’un solide (S) (de masse m et de centre d’inertie G) par rapport
à deux axes parallèles ∆(o, ) et ∆(G, ) distants de d sont liés par la relation :
J∆o= J∆G+m.d²
Où :
• J∆o : moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe ∆(o,ı).
• J∆G : moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe ∆(G,ı).
• d : distance entre les deux axes ∆(o,ı) et ∆(G,ı).
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Matrice d’inertie d’un ensemble de solides :
connaissant la matrice d’inertie de chaque solide en son centre d’inertie : a 7B " , a 78 " ,…
On a souvent besoin d’exprimer la matrice d’inertie d’un ensemble de solides (S1), (S2),…et (Sn)
et a 7p ". G1 G2
Gn
exprimons la matrice d’inertie de l’ensemble E=SUS’ dans la base x , y, z au point O : b Z • cžc′ ".
Prenons l’exemple du robot Ericc 3 dont le modèle adopté est constitué de deux solides (S) et (S’),
%
Pour cela, on détaille chaque terme de cette matrice :
• A= 1 H 0 H dm= 1 H 0 H dm+ 1H 0 H dm
$ ∈ _ • 7¡7′ $∈7 $ ∈ 7′
• Par définition : 1H 0 H dm= 1} H 0} H dm=Ao.
$∈7 $∈7
• de même : 1H 0 H dm= 1} H 0} H dm=A’o.
$ ∈ 7′ $ ∈ 7′
Ainsi :
A=Ao+A’o
Par analogie, on montre que :
B=Bo+B’o, C=Co+C’o, D=Do+D’o, E=Eo+E’o et F=Fo+F’o.
Avec
• A,B,C,D,E et F les termes de la matrice d’inertie de E=SUS’ au point O dans
la base x , y, z : b Z • cžc′ ".
%
• Ao,Bo,Co,Do,Eo et Fo les termes de la matrice d’inertie de (S) au point O dans
la base x , y, z : b c ".
%
• A’o,B’o,C’o,D’o,E’o et F’o les termes de la matrice d’inertie de (S’) au point O dans
la base x , y, z : b c′ ".
%
Ainsi :
b Z • cžc′ "= b c "+ b c′ "

% % %
De manière générale, pour un ensemble de solides (S1), (S2),…et (Sn), pour un point O
quelconque, la matrice d’inertie de l’ensemble des solides au point O est égale à la somme
des matrices d’inertie de chaque solide au même point O :
a 7B ∪ 78 ∪ … ∪ 7p "= a 7B "+ a 78 "+…+ a 7p "

% % % %
• Toutes les matrices sont exprimées au même point O et dans la même base.
Remarque :
On donne souvent les matrices d’inertie de chaque solide en son centre d’inertie : b c1 ",
•B
•
b c2 " ,…et b cŸ " . Pour établir la matrice d’inertie de l’ensemble c1 ∪ c2 ∪ … ∪ cŸ ,
•8 •p
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il faut commencer par exprimer la matrice d’inertie de chaque solide au même point
et dans la même base.
Relation entre moment cinétique et matrice d’inertie :
8.1. Relation générale :

Par définition, le moment cinétique d’un solide (S) dans son mouvement par rapport
au repère R en un point A quelconque s’écrit :
σ š/ • ¢ £$ ∧ ¤ /
$∈7
A
• Pour lier le moment cinétique à la matrice d’inertie, reprenons la relation entre opérateur
d’inertie et matrice d’inertie :
? (S,@)= %$ ∧ @ ∧ %$ = b c ". @.
$∈7
Faisons apparaitre le vecteur £$ dans l’expression ¤ /
O O
• en utilisant la relation de
changement de point de moment entre A et P :
¥ / = ¥ ¦/ + Ω (S/R)∧ ¦
Ainsi :
σ š/ = £$ ∧ ¥ ¦/ Ω š/ ∧ ¦ = £$ ∧ ¤ ¦/ + £$ ∧ Ω š/ ∧ £$
A $∈7 $∈7 $∈7
• Remarquons au niveau du premier terme que :
£$ ∧ ¤ ¦/ = £$ ∧ ¤ ¦/ =m¦‚ ∧ ¤ ¦/ .
$∈7 $∈7
• Le deuxième terme est simplement ? (S, Ω š/ ):
£$ ∧ Ω š/ ∧ £$ = a 7 ". Ω š/
A
.
$∈7 A
Il vient :
σ š/ = m¦‚ ∧ ¤ ¦/ + a 7 ". Ω š/ .
A A
Ainsi, le moment cinétique est lié à la matrice d’inertie du solide (S) par la relation :
σ š/ = m¦‚ ∧ ¤ ¦/ + a 7 ". Ω š/ .
A A
Où A est un point quelconque.
Remarque :
• Le produit matriciel a 7 " . Ω š/ n’est possible que si Ω š/ est exprimée dans

la même base que a 7 ".
A
A
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8.2. Deux cas remarquables :
La relation entre moment cinétique et matrice d’inertie du solide (S) se simplifie si :

• A est un point fixe dans le repère R, dans ce cas :
σ š/ = a 7 ". Ω š/ .
A A
Ainsi :
a 7 ". Ω š/
5
δ =/ =[
5t
)].
A A R
• A est confondu avec le centre d’inertie G de (S) (A=G), dans ce cas :
σ š/ = a 7 ". Ω š/ .
G G
Ainsi :
= [5t a 7 ". Ω š/
5
δ =/ )].
G G R
L’énergie cinétique, forme torsorielle :

L’objectif de ce paragraphe est d’établir, à partir de la définition de l’énergie cinétique sous forme
intégrale, une nouvelle forme ‘’torsorielle’’ qui n’implique que des torseurs précédemment étudiés
(torseurs cinématique et cinétique), par conséquent le calcul de l’énergie cinétique devient plus simple
à effectuer.
Partons de la définition de l’énergie cinétique d’un solide (S) (de masse m et de centre d’inertie
G) dans son mouvement par rapport à un repère R :
B
EC(S/R) =8. ¤ / "²
$∈7
• Faisons apparaitre le vecteur ¤ ¦/ dans l’expression de ¤ / en utilisant la relation
de changement de point de moment entre A (point lié à (S)) et P :
¥ / = ¥ ¦ ∈ š/ + Ω (S/R)∧ ¦
Ainsi :
B
EC(S/R) =8. ¤ / . ¥ ¦ ∈ š/ Ω š/ ∧ ¦
A $∈7
B B
=8. ¤ / . ¥ ¦ ∈ š/ +8. ¤ / . Ω š/ ∧ ¦
$∈7 $∈7
• Remarquons au niveau du premier terme que :
B B B
8
. ¤ / . ¥ ¦ ∈ š/ =8.( ¤ / ) . ¥ ¦ ∈ š/ = 8.m.¥ ‚/ .¥ ¦/
$∈7 $∈7
• Concernant le deuxième terme, remarquons que le vecteur rotation Ω S/R) est indépendant
de l’intégrale, on peut le faire sortir en utilisant la propriété du produit mixte :
¤ / . Ω š/ ∧ ¦ = Ω š/ . ¦ ∧ ¤ / .
Page 17 sur 22
Il vient :
B B
¤ / . Ω š/ ∧ ¦ / . ¦ ∧ ¤ /
8 8
. = . Ω
$∈7 $∈7
B
= 8. Ω š/ .[ ¦ š/ ∧ ¤ / ]
$∈7
B
= . Ω š/ . σ š/
8
( par définition du moment cinétique)
A
En synthèse :
B B
EC(S/R) =8.m.¥ ‚/ .¥ ¦ ∈ š/ + 8. Ω š/ . σ š/
A
9.1. Notion mathématique, le produit de deux torseurs (comoment) :

Soient deux torseurs {T1} et {T2} exprimés au même point O :
{T1}= ¬ -B ® et {T2}= ¬ -8 ®
O ^B O
^8
O O
On appelle produit des deux torseurs {T1} et {T2} ou comoment le réel :
{T1}.{T2}=-B. ^8+-8. ^B
O O
Ce produit est un nombre réel indépendant du point de réduction O.
Remarque :
Le comoment ne dépend pas du point O choisi, par conséquent il est souvent pratique de choisir un
point de réduction O où les torseurs {T1} ou/et {T2} ont une forme simple (moment du torseur nul par
exemple).
9.2. Expression de l’énergie cinétique en termes de torseurs :

En utilisant la définition du comoment, l’expression de l’énergie cinétique précédemment établie
s’écrit :
B ª š/ . ¥ ‚/ B
«. © «= 8. {V (S/R)}. {C (S/R)}
¤ ¦ ∈ š/ σ š/
EC(S/R) = 8.©
A A A
Théorème :
L’énergie cinétique d’un solide (S) (de masse m et de centre d’inertie G) dans son mouvement
par rapport à un repère R est égale à la moitié du produit du torseur cinématique de (S) par
le torseur cinétique de (S) :
B
8
EC(S/R) = . {V (S/R)}. {C (S/R)}
Qui s’écrit aussi :
B B
EC(S/R) =8.m.¥ ‚/ .¥ ¦ ∈ š/ + 8. Ω š/ . σ š/
A
Où A est un point lié au solide (S).
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9.3. Cas particuliers :
Dans ce cas, tous les points du solide (S) ont la même trajectoire ainsi que la même vitesse :
{V (S/R)}= © «
¥ ¦ ∈ š/ • ¥ ‚/
∀P
L’énergie cinétique en un point P quelconque s’écrit :
B B B
EC(S/R) = .m.¥ ‚/ .¥ ‚/ + 8. . σ š/ = 8.m.[¥ ‚/
8
]²
A
L’énergie cinétique d’un solide (S) (de masse m et de centre d’inertie G) en mouvement
de translation par rapport à un repère R est égale à la moitié du produit de sa masse par le
carré de la vitesse de son centre d’inertie :
B
EC(S/R) = .m.[¥ ‚/
8
]²
Soit un solide (S) animé d’un mouvement de rotation autour d’un axe (o, ), le torseur cinématique
associé à (S) et exprimé au point o s’écrit :
Ω š/ •¯ .
{V (S/R)}= © «
¥ ∈ š/ •Ž
O
• L’énergie cinétique au point O s’écrit :
B B B
EC(S/R) =8.m.¥ ‚/ .¥ ∈ š/ + 8. Ω / . σ š/ = 8.¯ . . σ š/ .
O O
•
une base x , y, z , de manière générale, elle est de la forme :
Pour expliciter ce calcul, introduisons la matrice d’inertie du solide (S) au point O dans
¦ 4> 4=
a 7 "=L4> ° 4< Q
4= 4< ± • ²Š
, ,
O
Où Joz rappelle que le terme C de la matrice d’inertie correspond au moment d’inertie du solide
(S) par rapport à l’axe (o, ).
• Calculons σ š/ :
O
On remarque que o est un point fixe dans le repère R (point de l’axe (o, )), ainsi le moment cinétique
en O s’écrit :
¦ 4> 4= 0 4=
σ š/ = a 7 ". Ω š/ = L4> ° 4< Q. * 0 -= ¯ . L4<Q.
O O 4= 4< ± • ²Š ¯ ²Š
, ,
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• Le calcul de l’énergie cinétique donne :

0 4=
= 8.¯ . *0-. ¯ . L4<Q=8.¯ ².Joz
B B B
EC(S/R) = 8.¯ . . σ š/
O
B ²Š
L’énergie cinétique d’un solide (S) (de masse m et de centre d’inertie G) en mouvement
de rotation par rapport à un axe (o, ) est égale à la moitié du produit de son moment d’inertie
par rapport à l’axe (o, ) par le carré de la vitesse de son centre d’inertie :
B
8
EC(S/R) = . Joz.¯ ²
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Rappels mathématiques utiles :
10.1. Produit d’une matrice par un vecteur :
Soit une matrice M carré de taille 3x3 exprimé dans une base x , y, z :
^BB ^B8 ^BC
M=L^8B ^88 ^8CQ
^CB ^C8 ^CC , ,
Soit un vecteur D= DB. 1 + D8. 1 + DC. 1, écrit en colonne :
DB
´D8µ
DC
B , B, B
Le produit de la matrice M par le vecteur D est un vecteur (taille 3x1), pour le calculer il faut :
• Exprimer M et D dans la même base, le plus pratique est d’exprimer le vecteur

D dans la base de la matrice M :
D¶B
D= D′B. + D′8. + D′C. =.D¶82
D¶C
, ,
• Ensuite calculer ce produit en respectant les règles de calcul matriciel :
^BB ^B8 ^BC D¶B ^BB. D¶ B ^B8. D¶ 8 ^BC. D¶ C
M. D= M=L^8B ^88 ^8CQ. .D¶82 = L^8B. D¶ B ^88. D¶ 8 ^8C. D¶ CQ
D¶C
^CB ^C8 ^CC , , ^CB. D¶ B ^C8. D¶ 8 ^CC. D¶ C
, , , ,
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10.2. Produit scalaire de deux vecteurs :
Produit scalaire de deux vecteurs exprimés dans deux bases différentes :

Soit deux vecteurs m= mB. + m8. + mC. et D= DB. 1 + D8. 1 + DC. 1 exprimés respectivement
dans les bases orthonormées directes :x , y, z; et :x1 , y1, z1; :
Le produit scalaire m.D du vecteur · par le vecteur ¸ est un nombre réel tel que :
m . D = mB . DB. . 1+ mB . D8. . 1+ mB . DC. . m8 . DB. . m8 . D8. . m8 . DC. .
+mC.DB. . 1+ mC.D8. . 1+ mC.DC. . 1
1+ 1+ 1+ 1
Produit scalaire de deux vecteurs exprimés dans la même base :

Soit deux vecteurs m = mB. + m8. + mC. et D = DB. + D8. + DC. exprimés dans la base
orthonormée directe :x , y, z; . Le produit scalaire m . D du vecteur · par le vecteur ¸
est le nombre réel :
mB DB
m.D =.m82..D82= mB.DB+ m8.D8+ mC.DC
mC DC
Remarque :
• Ce dernier résultat est déduit de la première propriété en prenant deux bases identiques.
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COURS GENIE MECANIQUE 2EME ANNEE TSI

Elaboré par : Youssef RAHOU, octobre 2017

La formulation du Principe Fondamental de la Dynamique (P.F.D.) nécessite la détermination

Moment d’inertie d’un solide (S) par rapport à un axe :

Figure.1. Schématisation du solide (S) et de l’axe .

H représente la projection du point P sur l’axe .

Où 5 $, est la distance entre le point P et l’axe (O, ).

• Si = (O, ), = . + . + . = + , avec = . , ainsi = . + . .

!"²= !. !=|| !||², avec ||#$|| = ||%$||.|sin( , )|= || ∧ %$||, ainsi :

Il vient que : || ∧ %$||²= ( ,1 4 γ0 ²+( γ/ 4 +1 ²+( +0 4 ,/ ²

= ,²1²-2,γ10+γ²0²+γ²/²-2γ+/1 + +²1²+ +²0²-2 +,/0+ ,²/²

Ainsi: I(S/ ) = || ∧ %$||²

L’expression du moment d’inertie s’écrit donc :

Opérateur d’inertie d’un solide (S) en un point :

3.2. Matrice d’inertie d’un solide (S) :

• Pour identifier la deuxième colonne de la matrice M, on se place dans le cas où D= :

• Enfin, pour déterminer la troisième colonne de la matrice M, on se place dans le cas où D= :

En synthèse, on appelle matrice d’inertie du solide S au point O dans la base ( , ,

Relation entre moment d’inertie par rapport à un axe

I(S/ ) = || ∧ %$||² = : ∧ %$;. : ∧ %$;

<h,@,i >=h.(@ ∧ i)= @.(i ∧ h)= i.(h ∧ @).

4.2. Relation entre moment et matrice d’inertie :

:ı ∧ T! ;. :ı ∧ T!;=ı.( OP ∧(ı ∧ OP))

I(S/ ) = :ı ∧ T!;. :ı ∧ T!; dm= ı. OP ∧ ı ∧ OP dm=ı. OP ∧ ı ∧ OP dm= . ? (S, )

Matrice d’inertie pour des formes géométriques

Figure.2. Solide (S) à plan de symétrie Π.

Un plan de symétrie matériel est à la fois un plan de symétrie géométrique et de répartition

5.2. Solide présentant deux plans de symétrie matériel (axe de

Figure.3. Solide (S) présentant deux plans de symétrie.

Figure.4. Exemples de solides possédant un axe de révolution.

Relation entre matrices d’inertie en deux points O et G :

On considère le modèle du robot à deux bras indéformables et homogènes :

• (S) de masse m, de centre d’inertie G et de longueur L. La matrice d’inertie de (S)

Cherchons donc la matrice d’inertie de (S) au point O dans la base x , y, z :

a 7 " : AO, BO, CO, DO, EO et FO :

AO= 1oH 0oH dm, yO et zO sont tels que : OP = / O. x + 0O. y + 1O.z.

On note a, b et c les coordonnées de ‚ dans la base , , : OG = ƒ. x + „. y + ….z, Dans

• Par analogie, On calcule BO :

= :1~ H /G8 ; dm+2 c. 1~ dm+2 a. /~ dm+m.…² +m.ƒ²

= :/~ H 0G8 ; dm+2 a. /~ dm+2 b. 0~ dm+m.ƒ² +m.„²

• Concernant le calcul du terme DO :

Do= 0O1O dm= 0G b 1G c dm= 0G1G dm+c. 0~ dm+ b. 1~ dm+ „. … dm

• De même, le calcul de EO donne :

Eo= 1O/O dm= 1G c /G a dm= 1G1G dm+c. /~ dm+ a. 1~ dm+ ƒ. … dm

• Par analogie, le calcul de FO donne :

Dans notre cas : a= ‡/8. ‰Š‹θB, b= ‡/8. ‹Œ•θB et c=0, de là :

• AO=AG+m(‡/8. ‹Œ•θB )², BO=BG+m(‡/8. ‰Š‹θB)² et CO=CG+m(‡/8)².

• DO= DG, EO= EG et FO= FG + m.‰Š‹θB. ‹Œ•θB. ‡/8 ².

‡8 ‹Œ•θB8 /• 4‰Š‹θB. ‹Œ•θB. ‡8 /• Ž

• Toutes les matrices sont exprimées dans la même base.

• J∆o= I(S/∆(o, )) = . a 7 ". ).

• Concernant le premier terme, par définition : J∆G= I(S/∆(G, )) = . a 7 ". ).

• Le deuxième terme se calcule en remplaçant par ı= *0- :

Matrice d’inertie d’un ensemble de solides :

b Z • cžc′ "= b c "+ b c′ "

a 7B ∪ 78 ∪ … ∪ 7p "= a 7B "+ a 78 "+…+ a 7p "

Relation entre moment cinétique et matrice d’inertie :

8.1. Relation générale :

• Remarquons au niveau du premier terme que :