Analyse III

Intégrales multiples
Talhaoui Abdallah
Ecole Nationale Polytechnique d’Oran-MA

2e Année CPST 2020/202

Talhaoui (Talhaoui) Intégrales multiples 1 / 29

Plan

1 Intégrales doubles
Intégrales doubles sur un réctangle
Intégrales doubles sur un domaine borné
Théorème de Fubini
Changement de variables
Interprétation géométrique de l’intégrale double

2 Intégrales triples
Théorème de Fubini

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1 Intégrales doubles
Intégrales doubles sur un réctangle
Intégrales doubles sur un domaine borné
Théorème de Fubini
Changement de variables
Interprétation géométrique de l’intégrale double

2 Intégrales triples
Théorème de Fubini

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Intégrales doubles sur un réctangle

Notion de pavé
Définition 1
On appelle pavé de R2 le réctangle P définie par

P = [a, b] × [c, d].

Subdivision
Définition 2
On appelle subdivision de l’intervalle [a, b] toute suite (xi ) finie
telle que
a = x0 < x1 < . . . < xn = b.

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Quadrillage
Définition 3
On appelle quadrillage de P le produit cartesien d’une
subdivision (xi )0≤i≤n de [a, b] et d’une subdivision (yj )0≤j≤p de
[c, d].

On pose

Pij = [xi−1 , xi ] × [yi−1 , yj ]

σij = (xi − xi−1 )(yj − yj−1 )
Snp = max σij
0≤i≤n
0≤j≤p

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Somme de Riemann
Définition 4
Soit f une fonction numérique bornée sur P. On appelle somme
de Riemann associée à f relativement au quadrillage P toute
somme X
Rnp = f (Mij )σij
0≤i≤n
0≤j≤p

où Mij est un point quelconque de P.

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Intégrabilité
Définition 5
On dit que f est intégrable sur P si la suite des sommes de
Riemann (Rnp ) admet une limite finie ˜l lorsque n, p → +∞ et
Snp → 0. On note
ZZ
˜l = f (x, y )dxdy .
P

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1 Intégrales doubles
Intégrales doubles sur un réctangle
Intégrales doubles sur un domaine borné
Théorème de Fubini
Changement de variables
Interprétation géométrique de l’intégrale double

2 Intégrales triples
Théorème de Fubini

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Intégrales doubles sur un domaine borné
Intégrabilité
Définition 6
Soit f une fonction continue sur un domaine D borné de R2 .
Choisissons un pavé P contenant D et prolongeons f par 0 en
dehors de D. On définit alors l’intégrale de f sur D par
ZZ ZZ
f (x, y )dxdy = f (x, y )dxdy .
D P

Intégrabilité des fonctions continues

Théorème 1
Une fonction f continue sur D est intégrable sur D.

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Propriétés de l’intégrale double
RR RR RR
I (f + g)(x, y )dxdy = f (x, y )dxdy + g(x, y )dxdy .
D
RR RRD D
I (λf )(x, y )dxdy = λ f (x, y )dxdy .
D
RRD
I Si f ≥ 0 sur D, alors f (x, y )dxdy ≥ 0.
RR RR D
I | f (x, y )dxdy | ≤ |f (x, y )|dxdy .
D D
I Si D1 ∩ D2 = ∅ alors
R R RR RR
f (x, y )dxdy = f (x, y )dxdy + f (x, y )dxdy .
D1 ∪D2 D1 D2

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1 Intégrales doubles
Intégrales doubles sur un réctangle
Intégrales doubles sur un domaine borné
Théorème de Fubini
Changement de variables
Interprétation géométrique de l’intégrale double

2 Intégrales triples
Théorème de Fubini

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Théorème de Fubini
Théorème de Fubini sur un réctangle
Théorème 2
Soit P = [a, b] × [c, d] un pavé de R2 et f une fonction continue
sur P. Alors
Zb Zd Zd Zb
   
ZZ
f (x, y )dxdy =  f (x, y )dy  dx =  f (x, y )dx  dy .
P a c c a

De plus si f (x, y ) = h(x)g(y ) alors

Zb
  d 
ZZ Z
f (x, y )dxdy =  h(x)dx   g(y )dy 
P a c

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Exemple 1
ex+y dxdy où P = [0, 1] × [0, 2].
RR
Calculons l’intégrale I =
P

y
2

1 P

1 x

On a
Z1
  2 
ZZ Z
I= ex ey dxdy =  ex dx   ey dy  = (e − 1)(e2 − 1).
P 0 0

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Théorème de Fubini sur un domaine régulier
Théorème 2
Soit f une fonction continue sur un domaine
n o
D = (x, y ) ∈ R2 ; a ≤ x ≤ b, g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x)

y = g2 (x)

D
y = g1 (x)

a x b

où g1 et g2 sont continues sur [a, b]. Alors

 
ZZ Zb gZ2 (x)
f (x, y )dxdy =  f (x, y )dy  dx.
 

D a g1 (x)
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Exemple 2
x 2 ydxdy où D est le triangle des
RR
Calculons l’intégrale I =
D
sommets A = O = (0, 0), B = (1, 0) et C = (0, 1).

Le domaine D s’exprime sous la forme

n o
D = (x, y ) ∈ R2 ; 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x

y
1
g2 (x) = 1 − x

g1 (x) = 0

x 1

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En appliquant le théorème de Fubini on obtient

Z1 Z
 1−x
Z1

2 1 2
I=  x ydy  dx = x (x − 1)2 dx
2
0 0 0
Z1
1 1 5 1 4 1 3 1
 
1 4 3 2 1
= (x − 2x + x )dx = ( x − x + x ) = .
2 2 5 2 3 0 60
0

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Remarque : Si D est donné sous la forme
n o
D = (x, y ) ∈ R2 ; c ≤ y ≤ d, g1 (y ) ≤ x ≤ g2 (y )

D
y

x = g1 (y ) x = g2 (y )

 
ZZ Zd gZ2 (y )

alors, f (x, y )dxdy = f (x, y )dx  dy .

 

D c g1 (y )

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Exemple 3
RR
Calculons l’intégrale I = (x + y )dxdy où D est le triangle des
D
sommets A = O = (0, 0), B = (2, 0) et C = (1, 1).

n o
D = (x, y ) ∈ R2 ; 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ y ≤ 2 − y

D
y

1 2 x
g1 (y ) = y g2 (y ) = 2 − y

Z1 2−y Z1
 
Z
4
I =  (x + y )dx  dxy = (2 − 2y 2 )dy = .
3
0 y 0

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1 Intégrales doubles
Intégrales doubles sur un réctangle
Intégrales doubles sur un domaine borné
Théorème de Fubini
Changement de variables
Interprétation géométrique de l’intégrale double

2 Intégrales triples
Théorème de Fubini

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Changement de variables

Formule de changement de variables

Soit ϕ : ∆ 3 (u, v ) 7→ (x, y ) ∈ D une fonction injective de classe
C 1 , où D et ∆ sont deux domaines de R2 .

Théorème 4
Sous les conditions ci-dessus on a
ZZ ZZ
f (x, y )dxdy = (f ◦ ϕ)(u, v )|det (Jϕ (u, v )) |dudv
D ∆
 ∂x ∂x 
où Jϕ (u, v ) = ∂u ∂v est la matrice jacobienne de ϕ.
∂y ∂y
∂u ∂v

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Coordonnées polaires
Si le domaine D ou la fonction f est en x 2 + y 2 , le calcul de
l’intégrale est souvent plus facile en passant en coordonnées
polaires, via l’application

ϕ : R?+ × [0, 2π[ → R2

(r , θ) 7→ (x, y ) = (r cos θ, r sin θ)

cos θ, −r sin θ
det (Jϕ (r , θ)) = =r
r sin θ r cos θ
En notant ∆ = ϕ−1 (D) , on obtient
ZZ ZZ
f (x, y )dxdy = f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ
D ∆

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Exemple 3
RR
Calculons l’intégrale I = xydxdy où
D
n o
D = (x, y ) ∈ R2 telque x 2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0 et y ≥ 0 .

n πo
∆ = ϕ−1 (D) = (r , θ) ∈ R?+ × [0, 2π[; 0 < r ≤ 1, 0 < θ ≤ .
2
y
1

1 x
π π
Z1Z2 Z1 Z2
1 1
I= r 3 sin(θ) cos(θ)drdθ = r 3 dr sin(2θ)dθ = .
2 8
00 0 0
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Intégrales doubles sur un réctangle
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Changement de variables
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2 Intégrales triples
Théorème de Fubini

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Interprétation géométrique de l’intégrale
double RR
I L’intégrale I = f (x, y )dxdy s’interprète comme le volume
D
V du corps cylindrique délimité par D, et la surface Gf
graphe de la fonction z = f (x, y ).
z

Gf

x D

RR
I Lorsque f = 1, l’intégrale I = 1dxdy = aire(D).
D
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Exemple 4
Calculons l’aire du domaine délimité par l’ellipse centrée en
O=(0, 0) et d’équation

x2 y2
+ 2 = 1, a > 0, b > o.
a2 b

n o
D = (x, y ) ∈ R2 ; −a ≤ x ≤ a, g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x)

b
g2 (x)

−a x a
g1 (x)

−b

q
x2
où g2 (x) = −g1 (x) = b 1− a2
.
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En appliquant le théorème de Fubini on a
 
Za gZ1 (x) Za r
x2
ZZ
aire(D) = 1dxdy =  dy  dx = 2b 1 − 2 .
 
a
D −a −g1 (x) −a

Par le changement de variable x = a sin t, on obtient

aire(D) = πab.

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Intégrales triples

Intégrabilité

Soit D un domaine borné de R3 et f : D → R une fonction

continue sur D. On notera l’intégrale triple de f sur D par
ZZZ
f (x, y , z)dxdydz.
D

Le principe des intégrales triples est le même que pour les

intégrales doubles.

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1 Intégrales doubles
Intégrales doubles sur un réctangle
Intégrales doubles sur un domaine borné
Théorème de Fubini
Changement de variables
Interprétation géométrique de l’intégrale double

2 Intégrales triples
Théorème de Fubini

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Théorème de Fubini
Théorème de Fubini dans R3
Théorème 5
1 Si D = [a, b] × [c, d] × [e, g], alors

ZZZ Zb Zd Zg
f (x, y , z)dxdydz = dx dy f (x, y , z)dz.
D a c e

2 Si D est l’ensemble des points (x, y , z) ∈ R3 tels que

g1 (x, y ) ≤ z ≤ g2 (x, y ), (x, y ) ∈ ∆ ⊂ R2

alors

ZZZ ZZ g2Z(x,y )

f (x, y , z)dxdydz = dxdy f (x, y , z)dz.

D ∆ g1 (x,y )

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