Ds Math1 Mohamadiya
Ds Math1 Mohamadiya
Ds Math1 Mohamadiya
Durée 2H
PROBLEME
Notations
On note M3 (R) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients dans R.
On désigne par E = (ε1 , ε2 , ε3 ) la base canonique de R3 .
On rappelle que, par définition : ε1 = (1, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0), ε3 = (0, 0, 1).
On pose :
16 4 −4
A = −18 −4 5
30 8 −7
Enfin, on désigne par u l’endomorphisme de R3 ayant A pour matrice dans la base E.
on considére les vecteurs de R3
X2 = A
En déduire la forme de la matrice X puis montrer, sans calculer explicitement les coefficients
de X 2 , qu’une telle matrice X vérifie bien : X 2 = A.
2. Quel est le nombre m de solutions dans M3 (R) de l’équation du second degré X 2 = A ?
Sans calculer explicitement ces m solutions X1 , X2 , ..., Xm , déterminer leur somme S =
X1 + X2 + · · · + Xm et exprimer leur produit T = X1 X2 · · · Xm en fonction de A.
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CPGE- Lycée technique DSN°1 Mathématiques
Mohammedia 2ème TSI 2023 − 2024
pn
(a) Pour n ∈ N, on pose Un = qn .
rn
Exprimer Un à l’aide de A et de U0 ; en déduire, que pour n > 1, les expressions de
pn , qn et rn en fonction de a, b, c et de n.
(b) Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur a, b et c pour que les suites
(pn ), (qn ) et (rn ) tendent vers une limite finie lorsque n tend vers plus l’infini.
Cette condition étant supposée remplie, que peut-on dire des suites (pn ), (qn ) et (rn ) ?