Matrice Magiques

Problème : Matrices magiques et semi-magiques.
Dans tout ce problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 2 et si E désigne un espace vectoriel
alors on note E ? le dual de E.
On désigne par Mn (R) l’ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients dans R.
Pour toute matrice A de Mn (R), on note ai,j le coefficient de A en ligne i et colonne j. On écrit alors
A = (ai,j ).
On note In la matrice identité de taille n.
On note Jn la matrice de Mn (R) dont tous les coefficients sont égaux à 1.
On note (Ei,j ) la base canonique de Mn (R) définie par, pour tout i, j ∈ {1, · · · , n}, Ei,j est la matrice
dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé en ligne i et colonne j valant 1.
Pour tout matrice A = (ai,j ) et tous entiers i, j ∈ {1, · · · , n}, on note
n
X n
X n
X n
X
ϕi (A) = ai,k , ψj (A) = ak,j , tr(A) = ak,k et δ(A) = ak,n+1−k .
k=1 k=1 k=1 k=1


 − ϕi (A) est la somme des coefficients de la i-ème ligne de A,
− ψj (A) est la somme des coefficients de la j-ème colonne de A,

Ainsi,

 − tr(A) est la somme des coefficients de la diagonale principale de A,
− δ(A) est la somme des coefficients de la diagonale non principale de A.

On note Pn l’ensemble des matrices A de Mn (R) telles que ∀i, j ∈ {1, · · · , n}, ϕi (A) = ψj (A).
Pour toute matrice A de Pn , on note σ(A) la valeur commune des quantités ϕi (A) et ψj (A).
On note Qn le sous-ensemble de Pn des matrices A qui vérifient tr(A) = δ(A) = σ(A).
Les matrices de Pn sont
 dites  semi-magiques et celles de Qn magiques.  
8 1 6 1 1 0
Par exemple, A = 3 5 7 est une matrice magique et la matrice B = 0 1 1 est semi-
4 9 2 1 0 1
magique mais non-magique.
Partie No 1 : Généralités sur les matrices magiques et semi-magiques
Dans cette première partie, on démontre que Pn et Qn sont des sous-espaces vectoriels de Mn (R).
1. Exemples de matrices magiques et semi-magiques
(a) Vérifier que la matrice A de l’exemple est bien magique et que la matrice B est semi-magique
et non-magique.
(b) Déterminer une matrice de Q3 , de trace nulle et symétrique dont le coefficient d’indice (1, 1)
vaut 1.
(c) Déterminer une matrice de Q3 , de trace nulle et antisymétrique dont le coefficient d’indice
(1, 3) vaut 1.
2. Formes linéaires et espaces vectoriels.
(a) Montrer que, pour 1 6 i, j 6 n, les applications ϕi , ψj , tr et δ sont des formes linéaires sur
Mn (R).
Pour 1 6 i 6 n − 1, on pose Φi = ϕi − ϕn et Ψi = ψi − ϕn .
(b) En déduire que Φi et Ψi sont des formes linéaires sur Mn (R).
(c) Montrer que A ∈ Pn si, et seulement si, ∀i ∈ {1, · · · , n − 1}, Φi (A) = Ψi (A) = 0.
(d) En déduire que Pn est un sous-espace vectoriel de Mn (R).
Pour A ∈ Pn , on pose f (A) = tr(A) − σ(A) et g(A) = δ(A) − σ(A).
(e) Montrer que f et g sont des formes linéaires sur Pn .
1
(f) Soit A ∈ Pn . Montrer que A ∈ Qn si, et seulement si, f (A) = g(A) = 0.
(g) En déduire que Qn est un sous-espace vectoriel de Pn .
Partie No 2 : Dimensions dans le cas où n = 3
Dans cette seconde partie, on calcule les dimensions de P3 et Q3 .

1. Dimension de Q3
(a) Soit A = (ai,j ) ∈ Q3 et notons α = a2,2 .
i. Montrer que σ(A) = 3α.
On pose B = A − αJ3 = (bi,j ).
ii. Montrer que B ∈ Q3 et vérifie σ(B) = 0.
On note β = b1,1 et γ = b3,1 .
iii. Exprimer B en fonction de α, β et γ.
iv. En déduire que  
β+α −β + γ + α −γ + α
A = −β − γ + α α β + γ + α .
γ+α β−γ+α −β + α
(b) Vérifier que l’expression précédente de A donne toutes les matrices de l’espace vectoriel Q3 .
(c) Déterminer la dimension de Q3 et en donner une base.
2. Dimension de P3 .
On considère N3 , l’ensemble des matrices de A de M3 (R) telles que ϕ1 (A) = 0 ainsi que
l’application h qui, à une matrice M ∈ M3 (R), associe l’élément
(ϕ1 (M ), ϕ2 (M ), ϕ3 (M ), ψ1 (M ), ψ2 (M ), ψ3 (M )) de R6 .
(a) Écrire la matrice de h en rapportant l’espace de départ M3 (R) à sa base canonique, notée
B et l’espace d’arrivée R6 à sa base canonique, notée C.
(b) Montrer que le rang de cette matrice vaut 5.
(c) En déduire la dimension du noyau de h.
(d) Montrer que P3 ∩ N3 et Vect(J3 ) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de P3 .
(e) En déduire la dimension de P3 .
Partie No 3 : Dimensions dans le cas général
Dans cette troisième partie, on calcule les dimensions de Pn et Qn dans le cas général.
1. Un Résultat préliminaire.
Soient E un espace vectoriel de dimension finie n, (f1 , · · · , fp ) une famille libre de E ? formée
de p formes linéaires et
H = {x ∈ E / f1 (x) = · · · = fp (x) = 0}.
Dans cette question, on cherche à prouver que H est un sous-espace vectoriel de E de dimension
n − p.
(a) Montrer que H est un sous-espace vectoriel de E.
(b) Pourquoi est-il possible de compléter la famille (f1 , · · · , fp ) en une base (f1 , · · · , fn ) de E ? .
(c) Soit 1 6 i 6 n. Montrer que
∃xi ∈ E / ∀ 1 6 j 6 n, fj (xi ) = δi,j .
Indication : On pourra utiliser l’application ψ : E → Rn qui à un vecteur x de E associe le

n-upplet (f1 (x), · · · , fn (x)).
2
(d) Montrer que la famille (x1 , · · · , xn ) est une base de E.
(e) Montrer que H = Vect(xp+1 , · · · , xn ).
(f) En déduire que dim(H) = n − p.
2. Dans cette question, on calcule la dimension de Pn .
(a) Montrer que la famille (ϕ1 , · · · , ϕn , ψ1 , · · · , ψn ) est une famille liée de Mn (R)? .
(b) Montrer que la famille (ϕ1 , · · · , ϕn , ψ1 , · · · , ψn−1 ) est une famille libre de Mn (R)? .
Indication : On évaluera en Ek,n et en En,k .
(c) En déduire que (Φ1 , · · · , Φn−1 , Ψ1 , · · · , Ψn−1 ) est une famille libre de Mn (R)? .
(d) En déduire la dimension de Pn .
3. Dans cette question, on calcule la dimension de Qn .
(a) Identifier les matrices de P2 et de Q2 .
(b) On suppose provisoirement que n > 3. Montrer que (f, g) est une famille libre de Pn? .
Indication : On utilisera deux matrices particulières A de Pn vérifiant σ(A) = 0.
(c) Déduire de ce qui précède la dimension de Qn .
Partie No 4 : Matrices semi-magiques inversibles
Dans cette dernière partie, on établit quelques propriétés des matrices semi-magiques et magiques.
1. Montrer que A ∈ Pn si, et seulement si, il existe λ ∈ R tel que AJn = Jn A = λJn .
Quel est alors la signification d’un tel λ ?
2. Montrer que Pn est stable pour le produit matriciel et que, pour A, B ∈ Pn , σ(AB) =
σ(A)σ(B).
En est-il de même pour Qn ?
3. Soit A une matrice de Pn .
(a) On suppose que A est inversible. Montrer que σ(A) 6= 0, que A−1 ∈ Pn et que σ(A−1 ) =
1
σ(A) .
(b) Réciproquement, on suppose que σ(A) 6= 0. Peut-on conclure que A est inversible ?
* * * FIN DU SUJET * * *

Matrice Magiques

Transféré par

Droits d'auteur :

Formats disponibles

Matrice Magiques

Transféré par

Informations du document

Titre original

Copyright

Formats disponibles

Partager ce document

Partager ou intégrer le document

Options de partage

Avez-vous trouvé ce document utile ?

Ce contenu est-il inapproprié ?

Droits d'auteur :

Formats disponibles

Matrice Magiques

Transféré par

Droits d'auteur :

Formats disponibles

Problème : Matrices magiques et semi-magiques.

Partie No 1 : Généralités sur les matrices magiques et semi-magiques

Partie No 2 : Dimensions dans le cas où n = 3

Dans cette seconde partie, on calcule les dimensions de P3 et Q3 .

Partie No 3 : Dimensions dans le cas général

H = {x ∈ E / f1 (x) = · · · = fp (x) = 0}.

∃xi ∈ E / ∀ 1 6 j 6 n, fj (xi ) = δi,j .

Indication : On pourra utiliser l’application ψ : E → Rn qui à un vecteur x de E associe le

Partie No 4 : Matrices semi-magiques inversibles

Vous aimerez peut-être aussi