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— Planche 3 —
Soit n 2 N⇤ et f une fonction de Rn dans R. On dit que f est convexe si et seulement si :
2 8 2 [0, 1], 8(x, y) 2 Rn , f x + (1 y) f (x) + (1 )f (y).
1. Soit f1 et f2 deux fonctions convexes et ↵ 2 R.
a) Les fonctions suivantes sont-elles convexes : f1 + f2 , ↵f1 , min(f1 , f2 ) et max(f1 , f2 ) ? b)Lorsque n = 1 a-t-on f1 f2 convexe ? 2. Soit f un fonction convexe de classe C 1 sur Rn . Pour tout (x, h) 2 Rn ⇥ R, soit gx,h la fonction de R dans R définie par : gx,h (t) = f (x + th). a) Montrer que gx,h est convexe sur R. 0 b)Montrer que gx,h est dérivable sur R. Exprimer pour tout t 2 R, gx,h (t) en fonction des dérivées partielles de f . 2 ⌦ ↵ c) En déduire que 8(x, y) 2 Rn , rf (x), y x f (y) f (x), où rf (x) est le gradient de f en x. d)Soit a un point critique de f . Montrer que f admet un minimum global au point a. 3. dans cette question, soit A une matrice⌦ symétrique ↵ réelle d’ordre n et soit f la fonction de Rn dans R définie par : f (x) = Ax, x (on identifie x 2 Rn et la colonne de Mn,1 (R) ayant les mêmes composantes). a) Vérifier que f est bien de classe C 1 sur Rn . Montrer que 8x 2 Rn , rf (x) = Ax. b)En déduire que f est convexe si et seulement si les valeurs propres de A sont positives. — Planche 4 — 1. Soit P 2 C[X] défini par : P (X) = X 3 X 2 1. a) Montrer que toutes les racines de P sont simples. b)Montrer que P admet une racine réelle, notée b, et deux racines complexes conjuguées, notées z et z. c) Calculer le produit bzz. Comparer b, 1 et |z|. Pour tout n 2 N⇤ , on note S une partie de J1, nK qui possède la propriété suivante : si p 2 S alors, p + 1 et p + 2 n’appartiennent pas à S ; on dit que S est une “partie spéciale” de J1, nK. Par exemple, l’ensemble vide est une partie spéciale. 2. Pour tout n 2 N, on note tn le nombre de parties spéciales de J1, nK et on pose t0 = 1. a) Calculer t1 , t2 et t3 . b)Montrer que pour tout n 2 N, tn+3 = tn+2 + tn . 3. Soit V l’ensemble des suites complexes vn n2N⇤ définies par : (v0 , v1 , v2 ) 2 C3 et pour tout n 2 N, vn+3 = vn+2 + vn . a) Montrer que V est un espace vectoriel. b)Déterminer la dimension de V ainsi qu’une base de V . 0 1 1 1 1 4. Soit M la matrice de M3 (C) définie par : M = @ b z z A. b2 z 2 z 2 a) Montrer que la matrice M est inversible. b)Quelles sont les suites géométriques de V ? c) Soit ↵, et des constantes complexes telles que : pour tout n 2 N, ↵bn + z n + z n = 0. Montrer que ↵ = = = 0. d)En déduire qu’il existe une constante réelle A et une constante complexe B vérifiant pour tout n 2 N, tn = Abn + Bz n + Bz n . — Planche 23 — Les variables aléatoires sont définies sur un espace probabilisé (⌦, A, P). Soit X une variable aléatoire que suit la loi de Poisson de pa- ramètre > 0 et soi Y une variable aléatoire indépendante de 1 X telle que : Y (⌦) = {1, 2}, P(Y = 1) = P(Y = 2) = . On 2 pose Z = XY . 1. Déterminer la loi de Z. 2. Quelle est la probabilité que Z prenne des valeurs paires. — Planche 24 — Un joueur e↵ectue une suite de lancers indépendants d’une pièce qui donne Pile avec la probabilité p et Face avec la probabilité q = 1 p , p 2]0, 1[. On modélise l’expérience par un espace probabilisé (⌦, A, P). On définit la variable aléatoire N égale au rang d’apparition du premier Pile s’il existe et égale à 0 si Pile n’apparait jamais. On définit une variable aléatoire X de la façon suivante : Si N = n > 0, le joueur dispose dans une urne n boules numérotées de 1 à n ; Il tire une boule de cette urne et X prend comme valeur le numéro de la boule tirée ; Si N = 0, on pose X = 0. 1. Pour tout k de N⇤ , exprimer P(X = k) sous forme d’une somme. 2. Calculer cette somme.