Reperes Mathematiques 3e 1019429
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e Mathématiques
REPÈRES
ANNUELS
de progression
3e > mathématiques > Repères annuels de progression 1
Puissances
Les puissances de 10 sont d’abord introduites Les puissances de base quelconque d’exposants
avec des exposants positifs, puis négatifs, afin de négatifs sont introduites et utilisées pour simplifier
définir les préfixes de nano à giga et la notation des quotients.
scientifique. Celle-ci est utilisée pour comparer des La connaissance des formules générales sur les
nombres et déterminer des ordres de grandeurs, produits ou quotients de puissances n’est pas un
en lien d’autres disciplines. Les puissances de attendu du programme : la mise en œuvre des calculs
base quelconque d’exposants positifs sont sur les puissances découle de leur définition.
introduites pour simplifier l’écriture de produits.
La connaissance des formules générales sur les
produits ou quotients de puissances de 10 n’est pas
un attendu du programme : la mise en œuvre des
calculs sur les puissances découle de leur définition.
Divisibilité, nombres premiers
Tout au long du cycle, les élèves sont amenés à modéliser et résoudre des problèmes mettant en jeu la divisibilité et les nombres premiers.
Le travail sur les multiples et les diviseurs, déjà Les élèves déterminent la liste des nombres La notion de fraction irréductible est introduite.
abordé au cycle 3, est poursuivi. Il est enrichi par premiers inférieurs ou égaux à 100 et l’utilisent L’utilisation d’un tableur, d’un logiciel de
l’introduction de la notion de nombre premier. Les pour décomposer des nombres en facteurs programmation ou d’une calculatrice permet
élèves se familiarisent avec la liste des nombres premiers, reconnaître et produire des fractions d’étendre la procédure de décomposition en facteurs
premiers inférieurs ou égaux à 30. Ceux-ci sont égales, simplifier des fractions. premiers.
utilisés pour la décomposition en produit de
facteurs premiers. Cette décomposition est
utilisée pour reconnaître et produire des fractions
égales.
3e > mathématiques > Repères annuels de progression 4
Probabilités
Les élèves appréhendent le hasard à travers des Les calculs de probabilités concernent des Le constat de la stabilisation des fréquences
expériences concrètes : pile ou face, dé, roue de situations simples, mais ne relevant pas s’appuie sur la simulation d’expériences aléatoires
loterie, urne… nécessairement du modèle équiprobable. Le lien à une épreuve à l’aide d’un tableur ou d’un logiciel
est fait entre les probabilités de deux événements de programmation. Les calculs de probabilités, à
Le vocabulaire relatif aux probabilités (expérience contraires. partir de dénombrements, s’appliquent à des
aléatoire, issue, événement, probabilité) est utilisé. contextes simples faisant prioritairement
Le placement d’un événement sur une échelle de intervenir une seule épreuve. Dans des cas très
probabilités et la détermination de probabilités simples, il est cependant possible d’introduire des
dans des situations très simples d’équiprobabilité expériences à deux épreuves. Les dénombrements
contribuent à une familiarisation avec la s’appuient alors uniquement sur des tableaux à
modélisation mathématique du hasard. double entrée, la notion d’arbre ne figurant pas au
Pour exprimer une probabilité, on accepte des programme.
formulations du type « 2 chances sur 5 ». Les élèves simulent une expérience aléatoire à
l’aide d’un tableur ou d’un logiciel de
programmation.
3e > mathématiques > Repères annuels de progression 7
Fonctions
La dépendance de deux grandeurs est traduite par La dépendance de deux grandeurs est traduite par Les notions de variable, de fonction, d’antécédent,
un tableau de valeurs ou une formule. un tableau de valeurs, une formule, un graphique. d’image sont formalisées et les notations
Les représentations graphiques permettent de fonctionnelles sont utilisées. Un travail est mené
déterminer des images et des antécédents, qui sur le passage d’un mode de représentation d’une
sont interprétés en fonction du contexte. fonction (graphique, symbolique, tableau de
valeurs) à un autre. Les fonctions affines et
La notation et le vocabulaire fonctionnels ne sont linéaires sont présentées par leurs expressions
e
pas formalisés en 4 . algébriques et leurs représentations graphiques.
Les fonctions sont utilisées pour modéliser des
phénomènes continus et résoudre des problèmes.
3e > mathématiques > Repères annuels de progression 8
Grandeurs et mesures
Calculs sur des grandeurs mesurables
La connaissance des formules donnant les aires Le lexique des formules s’étend au volume des La formule donnant le volume d’une boule est
du rectangle, du triangle et du disque, ainsi que le pyramides et du cône. Le lien est fait entre le utilisée.
volume du pavé droit est entretenue à travers la volume d’une pyramide (respectivement d’un cône) Le travail sur les grandeurs mesurables et les
résolution de problèmes. Elle est enrichie par et celui du prisme droit (respectivement du unités est poursuivi.
celles de l’aire du parallélogramme, du volume du cylindre) construit sur sa base et ayant même
Il est possible de réinvestir le calcul avec les
prisme et du cylindre. La correspondance entre hauteur. Des grandeurs produits (par exemple
puissances de 10 pour les conversions d’unités.
unités de volume et de contenance est faite. Les trafic, énergie) et des grandeurs quotients (par 2
calculs portent aussi sur des durées et des exemple vitesse, débit, concentration, masse Par exemple, à partir de : 1 m = 10 cm, il vient
3 3 2 3 6 3
horaires, en prenant appui sur des contextes issus volumique) sont introduites à travers la résolution 1 m = (1 m) = (10 cm) = 10 cm
-1
d’autres disciplines ou de la vie quotidienne. de problèmes. Les conversions d’unités sont ou, à partir de : 1 dm = 10 m, il vient
3 -1 3 -3 3
travaillées. 1 dm = (10 m) = 10 m .
Les élèves sont sensibilisés au contrôle de la
cohérence des résultats du point de vue des Les élèves sont sensibilisés au contrôle de la
unités. cohérence des résultats du point de vue des unités
des grandeurs composées.
Espace et géométrie
Représenter l’espace
Le repérage se fait sur une droite graduée ou dans le Le repérage se fait dans un pavé droit (abscisse, Le repérage s’étend à la sphère (latitude,
plan muni d’un repère orthogonal. ordonnée, altitude). Les élèves produisent et longitude). Un logiciel de géométrie est utilisé pour
Dans la continuité de ce qui a été travaillé au cycle 3, mettent en relation une représentation en visualiser des solides et leurs sections planes. Les
la reconnaissance de solides (pavé droit, cube, perspective cavalière et un patron d’une élèves produisent et mettent en relation différentes
cylindre, pyramide, cône, boule) s’effectue à partir pyramide ou d’un cône. représentations des solides étudiés (patrons,
d’un objet réel, d’une image, d’une représentation en représentation en perspective cavalière, vues de
perspective cavalière ou sur un logiciel de géométrie face, de dessus, en coupe).
dynamique.
Les élèves construisent et mettent en relation une
représentation en perspective cavalière et un patron
d’un pavé droit ou d’un cylindre.
3e > mathématiques > Repères annuels de progression 10
algorithmique et programmation
Écrire, mettre au point, exécuter un programme
Les repères qui suivent indiquent une progressivité dans le niveau de complexité des activités relevant de ce thème. Certains élèves sont capables de réaliser
des activités de troisième niveau dès le début du cycle.
1er niveau 2e niveau 3e niveau
À un premier niveau, les élèves mettent en ordre À un deuxième niveau, les connaissances et les À un troisième niveau, l’utilisation simultanée de
et/ou complètent des blocs Scratch fournis par le compétences en algorithmique et en boucles « répéter … fois », et « répéter jusqu’à … »
professeur pour construire un programme simple. programmation s’élargissent par : et d’instructions conditionnelles permet de réaliser
L’utilisation progressive des instructions - l’écriture d’une séquence d’instructions (boucle des figures, des calculs et des déplacements plus
conditionnelles et/ou de la boucle « si … alors » et boucle « répéter … fois ») ; complexes. L’écriture de plusieurs scripts
« répéter … fois ») permet d’écrire des scripts de - l’écriture de programmes déclenchés par des fonctionnant en parallèle permet de gérer les
déplacement, de construction géométrique ou de événements extérieurs ; interactions et de créer des jeux.
programme de calcul. - l’intégration d’une variable dans un programme La décomposition d’un problème en sous-
de déplacement, de construction géométrique, problèmes et la traduction d’un sous-problème par
de calcul ou de simulation d’une expérience la création d’un bloc-utilisateur contribuent au
aléatoire. développement des compétences visées.
3e > mathématiques > Attendus de fin d’année 13
Exemples de réussite
Nombres
1 1
♦ Il simplifie rapidement l’écriture de 8 × 8 × 8 × 8 × 8 ; 0,3 × 0,3 × 0,3 × 0,3 ; ; .
100 6 × 6 × 6 × 6 × 6
Exemples de réussite
Pratiquer le calcul exact ou approché, mental, à la main ou instrumenté
On laisse tomber une balle d’une hauteur de 1 m. À chaque rebond, elle rebondit aux trois-
quarts de la hauteur d’où elle est tombée.
Quelle est la hauteur de la balle au troisième rebond ?
♦ Il détermine la valeur exacte puis approchée au millimètre près de la longueur du côté d’un
carré d’aire 17 cm².
Une bactérie « se divise » en deux bactéries, chacune des deux bactéries obtenues « se
partage » en deux nouvelles bactéries… Lorsque les conditions sont favorables, le nombre de
bactéries peut être multiplié par deux toutes les trente minutes.
Un chercheur place une bactérie en conditions favorables.
Combien obtient-il de milliards de bactéries au bout de 18 h ?
15
Il y a environ 2 × 10 atomes de cuivre dans 211 ng de cuivre.
Quelle est environ la masse d’un atome de cuivre ?
On pourra rappeler que ng est le symbole du nanogramme.
• Il décompose un nombre entier en produit de facteurs premiers (à la main, à l’aide d’un tableur
ou d’un logiciel de programmation).
• Il simplifie une fraction pour la rendre irréductible.
• Il modélise et résout des problèmes mettant en jeu la divisibilité (engrenages, conjonction de
phénomènes…).
3e > mathématiques > Attendus de fin d’année 14
Exemples de réussite
♦ Il décompose en produit de facteurs premiers (à la main, à l’aide d’un tableur ou d’un logiciel
de programmation) les entiers naturels suivants : 306 ; 124 ; 2 220.
66 12
♦ Il rend irréductibles les fractions suivantes : ; (en question flash).
30 51
140 7 140
♦ Il rend irréductibles les fractions suivantes : ; .
340 2 310
Deux ampoules clignotent. L’une s’allume toutes les 153 secondes et l’autre toutes les
187 secondes. À minuit, elles s’allument ensemble.
Détermine l’heure à laquelle elles s’allumeront de nouveau ensemble.
Exemples de réussite
♦ Il sait que -(3x - 7) = -3x + 7
♦ Il développe et réduit les expressions suivantes (notamment lors d’activités rituelles) :
(2x - 3)(5x + 7) ; -4x(6 - 3x) ; 3(2x + 1) - (6 - x).
2 2
♦ Il factorise x - 64 ; 4x - 49 et développe (x + 6)(x - 6) ; (2x - 5)(2x + 5) en question flash.
2 2 2
♦ Il factorise : 5a + 15b ; 12x - 15x ; 16x - 144 ; x - 13.
♦ Il résout rapidement : -3x = 12 ; x + 9 = 5 ; 7x = 5.
♦ Il résout les équations suivantes : 4x - 8 = 7x + 4 ; 5(7 - 2,2x) = 9 - 6x ; (2,5x - 7)(8x - 9,6) = 0 ;
2
x = 20.
La facture d’eau d’un jardinier s’élève à 545 € par an. Il prévoit d'économiser 55 € par an en
installant un récupérateur d'eau de pluie. Le récupérateur a coûté 199 € à l’achat et va
nécessiter chaque année 13 € pour l'entretien (nettoyage, tuyau…).
Au bout de combien d'années l’installation sera-t-elle rentable ?
3e > mathématiques > Attendus de fin d’année 15
• Il lit, interprète et représente des données sous forme d’histogrammes pour des classes de
même amplitude.
• Il calcule et interprète l’étendue d’une série présentée sous forme de données brutes, d’un
tableau, d’un diagramme en bâtons, d’un diagramme circulaire ou d’un histogramme.
• Il calcule des effectifs et des fréquences.
Exemples de réussite
Une enquête a été réalisée auprès de 2 500 personnes à partir de la question suivante : « À
quel âge avez-vous trouvé un emploi correspondant à votre qualification ? ».
Les résultats de l'enquête ont été reportés dans le tableau suivant :
Âge Effectif
[ 18 ; 22 [ 100
[ 22 ; 26 [ 200
[ 26 ; 30 [ 400
[ 30 ; 34 [ 1 100
[ 34 ; 38 [ 700
Représente les résultats de cette enquête par un histogramme.
À partir du diagramme suivant :
On pioche, deux fois de suite et avec remise, une boule dans une urne contenant une boule
bleue et deux boules violettes.
Détermine la probabilité de tirer successivement deux boules violettes, en utilisant une
méthode de dénombrement, qui peut par exemple prendre appui sur l’arbre suivant :
♦ On donne les fréquences d’apparition de chaque face d’un dé pour 10 000 lancers.
L’élève interprète les résultats en les comparant aux probabilités théoriques.
♦ L’élève interprète des simulations effectuées sur tableur ou logiciel de programmation en
fonction d’un nombre de lancers.
Exemples de réussite
2
♦ Il comprend les notations f : x 3 x 2 − 7 et f(x) = 3x - 7. Il sait alors que x est la variable
et f la fonction.
♦ Il sait que g(3) = 15 signifie que 15 est l’image de 3 par la fonction g et que 3 est un
antécédent de 15 par la fonction g.
♦ Il détermine l’image d’un nombre par une fonction à partir de son expression symbolique, de
sa représentation graphique, d’un tableau de valeurs, d’un programme de calcul.
Détermine à l’aide d’une équation :
- l’antécédent de 10 par la fonction f définie par f(x) = -3x - 4 ;
- les antécédents de 0 par la fonction g définie par g(x) = (3x + 6)(x - 9).
♦ Il représente graphiquement les fonctions f : x 5 x − 1 et g : x −3 x .
grandeurs et mesures
• Ce que sait faire l’élève ♦ Type d’exercice Exemple d’énoncé Indication générale
Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les
unités adaptées
Ce que sait faire l’élève
Exemples de réussite
♦ Il calcule le volume d’un cylindre surmonté d’une demi-boule de même diamètre.
♦ Il calcule le volume restant dans cette boîte cylindrique de hauteur 30 cm dans
laquelle 3 boules identiques de rayon 5 cm ont été placées comme indiqué dans le
schéma ci-contre :
Un conducteur met 1 s avant de commencer à freiner quand il voit un obstacle. Quelle
distance parcourt-il pendant cette durée s’il roule à 80 km/h ?
3
Le débit moyen de la Seine sous le pont de l’Alma est 328 m /s. Combien de litres d’eau sont-
ils passés sous ce pont en 3 min ?
♦ Il oralise que les durées sont en heures, minutes, secondes, les longueurs en mètres, les aires
en mètres carrés et les volumes en mètres cubes, les vitesses en kilomètres par heure ou en
mètres par seconde, les débits en mètres cubes par seconde ou litres par heure…
Exemples de réussite
♦ Il détermine des longueurs, des aires, des mesures d’angles et des volumes en utilisant les
propriétés de conservation des symétries (axiale et centrale), d’une translation, d’une rotation.
♦ Dans une homothétie de rapport k, il calcule des longueurs, des aires et des volumes.
Par exemple, il est capable de calculer l’aire de la figure obtenue dans une homothétie de
rapport k (k non nul) connaissant l’aire de la figure initiale.
♦ À partir d’un schéma tel que celui ci-contre, il calcule des
longueurs de carrés connaissant les longueurs d’un des carrés
et le rapport de l’homothétie correspondante.
3e > mathématiques > Attendus de fin d’année 19
Espace et géométrie
• Ce que sait faire l’élève ♦ Type d’exercice Exemple d’énoncé Indication générale
Représenter l’espace
Ce que sait faire l’élève
Exemples de réussite
♦ Il pointe Paris et Sidney sur un globe terrestre à partir de leurs latitudes et longitudes.
♦ Il reconnaît un grand cercle sur une sphère.
♦ Il trace des solides en perspective cavalière et fait apparaître des sections.
Exemples de réussite
♦ Il réalise (à la main, à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique ou de programmation) la
figure suivante obtenue à partir du triangle ABC par des rotations successives de centre A et
d’angle 60°.
♦ Il justifie la nature des trois quadrilatères en s’appuyant sur le codage et sur les propriétés de
conservations des homothéties.
♦ Il décrit les transformations permettant de construire la rosace suivante :
♦ Il détermine l’aire totale des figures construites ci-dessous connaissant les longueurs AB et
BC pour la première et la longueur AB pour la seconde.
Algorithmique et programmation
• Ce que sait faire l’élève ♦ Type d’exercice Exemple d’énoncé Indication générale
e
Les niveaux 1, 2 et 3 sont attendus en fin de 3 ; il est possible que certains élèves aillent au-delà.
Exemples de réussite
Niveau 1
♦ Il comprend ce que font des assemblages simples de blocs de programmation, par exemple
au travers de questions flash.
♦ Il retrouve parmi des programmes donnés celui qui permet d'obtenir une figure donnée, et
inversement.
♦ Sans utiliser de langage informatique formalisé, il écrit un algorithme pour décrire un
déplacement ou un calcul.
♦ Il décrit ce que fait un assemblage simple de blocs de programmation.
♦ Il ordonne des blocs en fonction d'une consigne donnée.
♦ Il produit seul un programme de construction d’un triangle équilatéral, d’un carré ou d’un
rectangle en utilisant la boucle :
Niveau 2
♦ Il gère l’interaction entre deux lutins, par exemple en faisant dire une phrase à l’un lorsque
l’autre le touche.
♦ Il produit des scripts du type :
♦ Il produit seul un programme de construction d’un triangle équilatéral, d’un carré, d’un
rectangle ou d’un parallélogramme dans lequel l’utilisateur saisi la mesure de la longueur d’au
moins un côté.
Niveau 3
♦ Il reproduit une frise donnée reproduisant un motif grâce à un bloc personnalisé.
♦ Il produit un programme réalisant une figure du type :