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    K4 Conv Dom, Alg Lin 24-25

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    PC 2024-2025 du 7 au 11 octobre 2024

    Programme d’interrogation n°4 : Convergence dominée et applications, algèbre linéaire

    I Cours et exercices sur le programme n°3

    II Algèbre linéaire On considère des espaces vectoriels sur le corps K = R ou C.

    1. Espace vectoriel produit de n K-espaces vectoriels. Dimension de l’espace produit de n


    K-espaces vectoriels de dimension finie.
    n
    X
    2. Somme de n sous-espaces vectoriels E1 , . . . , En de E. Ei = Vect (E1 ∪ . . . ∪ En ).
    i=1
    Somme directe.
    Cas de deux sous-espaces vectoriels. Sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E.
    n
    X n
    X
    Si E1 , . . . , En sont des sev de dimension finie de E, dim Ei 6 dim Ei et il y égalité
    i=1 i=1
    si et seulement si E1 + . . . + En est directe.
    Base adaptée à une somme directe de ⊕ni=1 Ei .

    3. Sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme f . Endomorphisme induit. Si g est un


    endomorphisme de E qui commute avec f , Ker f et Im f sont stables par f .

    (a) Pour tout f ∈ L(E), pour tous scalaires deux à deux distincts λ1 , . . . , λp , la somme
    Xp
    Ker(f − λi id) est directe.
    i=1
    (b) Si E est un K-ev non nul de dimension finie et f ∈ L(E), si x ∈ E \ {0}, il
    existe un plus grand entier r tel que (x, f (x), ..., f r−1 (x)) est libre. Alors le sev
    Vect(x, f (x), . . . , f r−1 (x)) est stable par f .
    (c) Les homothéties de E sont exactement les endomorphismes f de E tels que, pour
    tout x ∈ E, (x, f (x)) est liée .
    Si E est de dimension finie, ce sont aussi les endomorphismes de E qui commutent
    avec tout endomorphisme de E.

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