L’équation de Stokes

Claude Louis Marie Henri Navier (1785 - 1836),

George Gabriel Stokes (1819 - 1903),
Osborne Reynolds (1842 - 1912)
 Equations de Navier-Stokes

Equation de Navier-Stokes
 
∂u
ρ + (u · ∇)u − µ∆u + ∇p = f
∂t
div(u) = 0

ρ densité du fluide
u vitesse du fluide
µ viscosité du fluide
p pression du fluide
f forces extérieures
Un des problèmes du millénaire
"Waves follow our boat as we meander across the lake, and
turbulent air currents follow our flight in a modern jet.
Mathematicians and physicists believe that an explanation for
and the prediction of both the breeze and the turbulence can be
found through an understanding of solutions to the
Navier-Stokes equations. Although these equations were
written down in the 19th Century, our understanding of them
remains minimal. The challenge is to make substantial
progress toward a mathematical theory which will unlock the
secrets hidden in the Navier-Stokes equations."
 Equations de Navier-Stokes

On s’intéresse à un milieu déformable (typiquement un fluide)

incompressible.
Les particules de fluide sont à la position x(X , t), avec
x(X , 0) = X .
d
On appelle u(x, t) = dt x(X , t) la vitesse du fluide.
On regarde un volume de fluide V (t) qui évolue au cours
du temps, et on étudie pour une fonction φ l’évolution de
Z
φ(x, t) dx .
V (t)
 Théorème du transport de Reynolds

Lemme: On a
Z Z Z
d ∂φ(x, t)
φ(x, t) dx = dx + u(x, t) · n φ(x, t) ds
dt V (t) V (t) ∂t ∂V (t)
Z  
∂φ(x, t)
= + div(φ(x, t)u(x, t)) dx
V (t) ∂t

φ = 1 Conservation du volume de fluide (incompressibilité)

div(u) = 0 .
 Conservation de la masse

Z Z  
d ∂φ(x, t)
φ(x, t) dx = + div(φ(x, t)u(x, t)) dx
dt V (t) V (t) ∂t

φ(x, t) = ρ(x, t) densité du fluide (conservation de la

masse)

∂ρ(x, t)
0 = + div(ρ(x, t)u(x, t))
∂t
∂ρ(x, t)
= + u(x, t) · ∇ρ(x, t)
∂t
Equation de transport de la densité. Si ρ(x, 0) = ρ0 est
constant, alors ρ(x, t) = ρ0 , ∀t > 0.
 Equations de Navier-Stokes

Z Z  
d ∂φ(x, t)
φ(x, t) dx = + div(φ(x, t)u(x, t)) dx
dt V (t) V (t) ∂t

φ(x, t) = ρ0 u(x, t) quantité de mouvement

Z Z
d ∂ρ0 u
ρ0 u dx = + div(ρ0 u ⊗ u) dx
dt V (t) V (t) ∂t
Z  
∂u
= ρ0 + (u · ∇)u dx
V (t) ∂t
 Equations de Navier-Stokes

D’autre part
Z Z Z
d
ρ0 u dx = f (x, t) dx + σn ds
dt V (t) V (t) ∂V (t)
Z
= f (x, t) + div(σ) dx
V (t)

On arrive alors à
 
∂u
ρ0 + (u · ∇)u = f + div(σ)
∂t
div(u) = 0

où σ est le tenseur de contraintes de Cauchy (il est symétrique)

 Equations de Navier-Stokes

Il reste à donner une loi de comportement σ = σ(u)...

La plus simple correspond aux fluides dits Newtoniens et pour
lesquels on prend σ = µ(∇u + (∇u)T ) − p Id
 
∂u    
ρ0 + (u · ∇)u − div µ ∇u + (∇u)T − p Id = f
∂t
 
∂u
ρ0 + (u · ∇)u − µ∆u − µ∇div(u) + ∇p = f
∂t

mais div(u)=0...
 Equations de Navier-Stokes

Il reste à donner une loi de comportement σ = σ(u)...

La plus simple correspond aux fluides dits Newtoniens et pour
lesquels on prend σ = µ(∇u + (∇u)T ) − p Id
 
∂u    
ρ0 + (u · ∇)u − div µ ∇u + (∇u)T − p Id = f
∂t
 
∂u
ρ0 + (u · ∇)u − µ∆u − µ∇div(u) + ∇p = f
∂t

mais div(u)=0...
 Equations de Navier-Stokes

Il reste à donner une loi de comportement σ = σ(u)...

La plus simple correspond aux fluides dits Newtoniens et pour
lesquels on prend σ = µ(∇u + (∇u)T ) − p Id
 
∂u    
ρ0 + (u · ∇)u − div µ ∇u + (∇u)T − p Id = f
∂t
 
∂u
ρ0 + (u · ∇)u − µ∆u − µ∇div(u) + ∇p = f
∂t

mais div(u)=0...
 Equations de Navier-Stokes

Il reste à donner une loi de comportement σ = σ(u)...

La plus simple correspond aux fluides dits Newtoniens et pour
lesquels on prend σ = µ(∇u + (∇u)T ) − p Id
 
∂u    
ρ0 + (u · ∇)u − div µ ∇u + (∇u)T − p Id = f
∂t
 
∂u
ρ0 + (u · ∇)u − µ∆u − µ∇div(u) + ∇p = f
∂t

mais div(u)=0...
Laminar vs turbulent flows
 Le nombre de Reynolds

Compétition entre inertie and viscosité

ρ ∂u


∂t + (u · ∇)u − ν∆u = −∇p,
divu = 0

Exercice: Adimensionnement: x∗ = xL , t∗ = Tt , u∗ = Uu ,
L
p∗ = Uν p
"  
Re σ ∂u∗
∂t∗ + (u∗ · ∇ ∗ )u∗ − ∆∗ u∗ = −∇∗ p∗ ,
div∗ u∗ = 0
ρUL L
avec Re = ν – nombre sans dimension – (et σ = UT )
 Le nombre de Reynolds

Compétition entre inertie and viscosité

ρ ∂u


∂t + (u · ∇)u − ν∆u = −∇p,
divu = 0

Exercice: Adimensionnement: x∗ = xL , t∗ = Tt , u∗ = Uu ,
L
p∗ = Uν p
"  
Re σ ∂u∗
∂t∗ + (u∗ · ∇ ∗ )u∗ − ∆∗ u∗ = −∇∗ p∗ ,
div∗ u∗ = 0
ρUL L
avec Re = ν – nombre sans dimension – (et σ = UT )
 Le nombre de Reynolds

Compétition entre inertie and viscosité

ρ ∂u


∂t + (u · ∇)u − ν∆u = −∇p,
divu = 0

Exercice: Adimensionnement: x∗ = xL , t∗ = Tt , u∗ = Uu ,
L
p∗ = Uν p
"  
Re σ ∂u∗
∂t∗ + (u∗ · ∇ ∗ )u∗ − ∆∗ u∗ = −∇∗ p∗ ,
div∗ u∗ = 0
ρUL L
avec Re = ν – nombre sans dimension – (et σ = UT )
 ρUL
Nombre de Reynolds Re = ν
Dans l’eau νρ ∼ 106 m−2 s.
Pour un dauphin, un homme, etc., nageant dans l’eau, on
a L ∼ 1m, U ∼ 1m/s et
Re ∼ 106 .
Bon modèle: Equations d’Euler
ρ ∂u


∂t + (u · ∇)u + ∇p = f ,
divu = 0

Pour une bactérie L ∼ 1µm, U ∼ 1µm/s et

Re ∼ 10−6 .
Bon modèle: Equations de Stokes

−ν∆u + ∇p = f ,
divu = 0
 ρUL
Re = ν << 1
Dans l’eau, des objets de petite taille allant doucement
U, L  1 (écoulements biologiques)
A échelle humaine, fluides très visqueux ν  1, (miel,
silicone, etc.)
Vitesse très petites U  1 et/ou fluides très visqueux
(e.g.: glaciers)
 Equation de Stokes
Lorsque les vitesses de l’écoulement sont faibles ou que le
fluide est très visqueux, le premier terme est négligeable. On
parle alors de l’équation de Stokes

Equation de Stokes incompressible

−µ∆u + ∇p = f
div u = 0

Remarque: Ce n’est rien d’autre que l’équilibre des forces

extérieures avec les forces de contraintes

div σ + f = 0
div u = 0
 Equation de Stokes
Lorsque les vitesses de l’écoulement sont faibles ou que le
fluide est très visqueux, le premier terme est négligeable. On
parle alors de l’équation de Stokes

Equation de Stokes incompressible

−µ∆u + ∇p = f
div u = 0

Remarque: Ce n’est rien d’autre que l’équilibre des forces

extérieures avec les forces de contraintes

div σ + f = 0
div u = 0
Problème de Stokes
Propriétés des fluides à faible nombre de Reynolds

ρUL
Re =
ν

(Film: G. I. Taylor)
 Le théorème de la coquille Saint-Jacques

(Film: G. Blanchard, S. Calisti, S. Calvet, P. Fourment, C.

Gluza, R. Leblanc, M. Quillas-Saavedra)
 Le théorème de la coquille Saint-Jacques

(Film: G. I. Taylor)
 Le théorème de la coquille Saint-Jacques
Obstruction:[Purcell]
En régime de Stokes, un mouvement réciproque n’induit aucun
déplacement global
Evidence du théorème de la coquille Saint-Jacques

(Film: G. I. Taylor)
 Formulation variationnelle
On rajoute la condition de non glissement (Dirichlet)
u = 0 sur ∂Ω
autrement dit on cherche des solutions dans H01 (Ω, RN )

Soit v ∈ H01 (Ω, RN ), on multiplie par v la première équation et

on intègre par parties...
Z Z Z
µ ∇u · ∇v dx − p div v dx = f · v dx
Ω Ω Ω

Pour prendre en compte l’incompressibilité, on pose

n o
V = v ∈ H01 (Ω, RN ), div v = 0 .

et la F. V. devient
Z Z
µ ∇u · ∇v dx = f · v dx
Ω Ω
 Formulation variationnelle
On rajoute la condition de non glissement (Dirichlet)
u = 0 sur ∂Ω
autrement dit on cherche des solutions dans H01 (Ω, RN )

Soit v ∈ H01 (Ω, RN ), on multiplie par v la première équation et

on intègre par parties...
Z Z Z
µ ∇u · ∇v dx − p div v dx = f · v dx
Ω Ω Ω

Pour prendre en compte l’incompressibilité, on pose

n o
V = v ∈ H01 (Ω, RN ), div v = 0 .

et la F. V. devient
Z Z
µ ∇u · ∇v dx = f · v dx
Ω Ω
 Formulation variationnelle
On rajoute la condition de non glissement (Dirichlet)
u = 0 sur ∂Ω
autrement dit on cherche des solutions dans H01 (Ω, RN )

Soit v ∈ H01 (Ω, RN ), on multiplie par v la première équation et

on intègre par parties...
Z Z Z
µ ∇u · ∇v dx − p div v dx = f · v dx
Ω Ω Ω

Pour prendre en compte l’incompressibilité, on pose

n o
V = v ∈ H01 (Ω, RN ), div v = 0 .

et la F. V. devient
Z Z
µ ∇u · ∇v dx = f · v dx
Ω Ω
 Equation de Stokes

V est un espace de Hilbert (sous espace fermé de H01 )

Le théorème de Lax-Milgram s’applique
Il reste à vérifier que l’on a bien résolu le problème. On
suppose u ∈ H 2 , alors on a
Z
(µ∆u + f ) · v dx = 0, ∀v ∈ V .
Ω

Ce qui ne signifie pas µ∆u + f = 0.

 Equation de Stokes

V est un espace de Hilbert (sous espace fermé de H01 )

Le théorème de Lax-Milgram s’applique
Il reste à vérifier que l’on a bien résolu le problème. On
suppose u ∈ H 2 , alors on a
Z
(µ∆u + f ) · v dx = 0, ∀v ∈ V .
Ω

Ce qui ne signifie pas µ∆u + f = 0.

 Equation de Stokes

V est un espace de Hilbert (sous espace fermé de H01 )

Le théorème de Lax-Milgram s’applique
Il reste à vérifier que l’on a bien résolu le problème. On
suppose u ∈ H 2 , alors on a
Z
(µ∆u + f ) · v dx = 0, ∀v ∈ V .
Ω

Ce qui ne signifie pas µ∆u + f = 0.

 Théorème de de Rham
Lemme
Ω ouvert borné régulier connexe, L une forme linéaire sur
H01 (Ω, RN ). L s’annule sur V ssi ∃p ∈ L2 /R unique tel que
Z
∀v ∈ H01 (Ω, RN ), L(v ) = p divv dx
Ω

Ici, on pose
Z Z
L(v ) = µ ∇u · ∇v dx − f · v dx ,
Ω Ω

on arrive à
Z Z Z
µ ∇u · ∇v dx − f · v dx = p div v dx .
Ω Ω Ω
 Théorème de de Rham
Lemme
Ω ouvert borné régulier connexe, L une forme linéaire sur
H01 (Ω, RN ). L s’annule sur V ssi ∃p ∈ L2 /R unique tel que
Z
∀v ∈ H01 (Ω, RN ), L(v ) = p divv dx
Ω

Ici, on pose
Z Z
L(v ) = µ ∇u · ∇v dx − f · v dx ,
Ω Ω

on arrive à
Z Z Z
µ ∇u · ∇v dx − f · v dx = p div v dx .
Ω Ω Ω
 Conclusion

On conclut comme d’habitude

Soit on suppose que u ∈ H 2 et p ∈ H 1 et on intègre par
parties
Soit on pose σ = µ∇u − pId et la formulation variationnelle
dit que σ a une divergence faible dans L2 et on a donc p.p

f = −div σ = −µ∆u + ∇p .

Par ailleurs, div u ∈ L2 et u ∈ V , donc div u = 0 p.p.

 Conclusion

On conclut comme d’habitude

Soit on suppose que u ∈ H 2 et p ∈ H 1 et on intègre par
parties
Soit on pose σ = µ∇u − pId et la formulation variationnelle
dit que σ a une divergence faible dans L2 et on a donc p.p

f = −div σ = −µ∆u + ∇p .

Par ailleurs, div u ∈ L2 et u ∈ V , donc div u = 0 p.p.

 Conclusion

On conclut comme d’habitude

Soit on suppose que u ∈ H 2 et p ∈ H 1 et on intègre par
parties
Soit on pose σ = µ∇u − pId et la formulation variationnelle
dit que σ a une divergence faible dans L2 et on a donc p.p

f = −div σ = −µ∆u + ∇p .

Par ailleurs, div u ∈ L2 et u ∈ V , donc div u = 0 p.p.