TRAVAUX PRATIQUES N°2 :

Intitulé :

Simulation d’une commande par retour

d’état sous MATLAB/ SIMULINK

Réalisé par :
• EL MAHRI Rihabe (GEM)
• AMARIR Hanane (GEM)
• PRATIC Younes (GEM)

Sous la supervision de :
• Mr. TOUATI

Année universitaire : 2023/ 2024

 SOMMAIRE :

INTRODUCTION : ................................................................................................................................. 1

1. Déclaration de la représentation d’état du système : ....................................................................... 2

1.2 Étude de la stabilité du système : ............................................................................................ 2

1.3 Calcul de la matrice de commandabilité : ............................................................................... 3

1.4 Le gain de retour d’état, K= (k1 k2), qui permet de fixer pour le système les pôles suivants:
p1 = -3 et p2 = -48,9 .............................................................................................................................. 3

1.5 La valeur du gain de pré-filtrage N qui permet d’assurer une erreur statique nulle pour la
réponse indicielle du système bouclé .................................................................................................. 3

2. Simulation sur MATLAB/ SIMULINK de la commande par retour d’état : .................................. 4

2.1 Script Cde_retour_etat.m :....................................................................................................... 4

2.2 Calcul de K et N : .................................................................................................................... 4

2.3 Le gain de pré-filtrage N : ....................................................................................................... 5

2.4 Schéma SIMULINK de la figure qui simule la commande du MCC par retour d’état : ......... 5

2.5 Visualisation du résultat de la simulation :.............................................................................. 6

2.6 Interprétation des résultats de la simulation : .......................................................................... 7

CONCLUSION : ......................................................................................................................................... 8
 INTRODUCTION :

La commande par retour d’état est une méthode largement utilisée en automatique et en contrôle
des systèmes pour modifier le comportement d’un système dynamique en boucle fermée en
utilisant une représentation d’état du système. Le placement des pôles dans une commande à
retour d’état consiste à choisir les valeurs propres de la matrice d’état du système afin
d’atteindre les performances souhaitées. Une fois les pôles sont placés, il faut réaliser un
asservissement qui permet de modifier convenablement la matrice d’état c’est-à-dire trouver
les paramètres de vecteur de gain k. une fois les valeurs de vecteur de gain k sont déterminés,
il faut simuler le système pour évaluer les performances obtenues. Si les performances ne sont
pas satisfaisantes, il est possible de changer l’emplacement des pôles et de répéter le processus
jusqu’à l’obtention des performances désirées.

Dans ce qui suit, nous présentons une simulation de la commande par retour d’état d’un moteur
à courant continu sous MATLAB/ SIMULINK, l’objectif est d’étudier la commandabilité de
système et réaliser un asservissement qui permet de modifier la matrice d’état afin d’amener le
système à avoir les performances souhaitées.

[1]
 1. Déclaration de la représentation d’état du système :

Figure 1 : Schéma synoptique de la commande par retour d'état d’un MCC

On adopte pour le moteur à courant continu la représentation d’état suivante :

𝑥̇ = 𝐴. 𝑥 + 𝐵. 𝑢

𝑦 = 𝐶. 𝑥 + 𝐷. 𝑢

Avec :

Étude de la stabilité du système :

Les valeurs propres de la matrice d’état A permettent de renseigner sur la stabilité du système.
Alors,

Les valeurs propres de la matrice A sont les solutions de l’équation caractéristique suivante :

Det(pI-A) = p²+50,5p+75 = 0 ; donc p1= -1,53 et p2= -48,56

Les valeurs propres de A sont réelles et strictement négatives, donc le système est stable.

[2]
 Calcul de la matrice de commandabilité :

Le système est d’ordre n=2. La matrice de commandabilité :

Rang(Q)=2=n ; donc le système est commandable.

Le gain de retour d’état, K= (k1 k2), qui permet de fixer pour le

système les pôles suivants: p1 = -3 et p2 = -48,9

La matrice d’état du système en boucle fermé est

L'équation caractéristique désirée est : (p+3)(p+48,9)=P²+51,9 p+146,7

Par identification,

50,5+100k1=51,9 et 75+50k1+500k2 =146,7

Alors, k1= 0,014 et k2= 0,142

La valeur du gain de pré-filtrage N qui permet d’assurer une erreur

statique nulle pour la réponse indicielle du système bouclé

𝑥̇ = (𝐴 − 𝐵𝐾)𝑥 + 𝐵 𝑟

𝑦 = 𝐶𝑥

La fonction de transfert du système en boucle fermée est :

𝑦(𝑝)
H(p)= 𝑟(𝑝) = N×C(pI +BK-A)-1B

H(0)= N×C(BK-A)-1B

[3]
 L'erreur statique est définie par 𝑒 = lim 𝑝(𝑦(𝑝) − 𝑟(𝑝))
𝑝→0

1
Pour une réponse indicielle r(p)=𝑝

Donc 𝑒 = lim(𝐻(𝑝) − 1) = 𝐻(0) − 1

𝑝→0

Pour assurer une erreur statique nulle, il faut que H(0)=1

1
C'est à dire 𝑁 = 3,408 = 0,2934

2. Simulation sur MATLAB/ SIMULINK de la

commande par retour d’état :
Script Cde_retour_etat.m :

Calcul de K et N :

● Le gain de retour d’état K :

● Sous le retour d'état u=−K.x, la dynamique en boucle fermée est donnée par :
ẋ =(A−BK).x
● Et les pôles en boucle fermée sont les valeurs propres de A-BK.
● K = place(A,B,p); calcule une matrice de gain appropriée K.

[4]
Cette valeur est identique à celle trouvée théoriquement.

Le gain de pré-filtrage N :

Le rôle du gain de pré-filtrage N est de garantir une réponse indicielle du système bouclé avec
une erreur statique nulle.

La valeur obtenue est la même que celle calculée théoriquement.

Schéma SIMULINK de la figure qui simule la commande du MCC
par retour d’état :

Figure 2 : Schéma Simulink mettant en œuvre la commande par retour d’état du MCC.

[5]
Figure 3 : Schéma SIMULINK équivalent de la représentation d’état du MCC inclus
dans le Subsystem.

Visualisation du résultat de la simulation :

❖ En boucle fermée :

❖ En boucle ouverte :

[6]
 Interprétation des résultats de la simulation :

En comparant les deux simulations, on peut évaluer l'efficacité de la commande par retour
d'état. La simulation en boucle ouverte a montré une grande marge d’erreur entre la consigne
et la sortie. Or en simulation en boucle fermée, on a une amélioration de précision, puisque le
contrôleur n'essaie pas seulement de suivre la consigne, mais à annuler l'erreur entre la consigne
et la sortie. La stabilité du système est évidente. Une boucle fermée bien conçue maintiendra la
stabilité du système même en présence de perturbations.

[7]
 CONCLUSION :
En guise de conclusion, ces travaux pratiques sur la commande par retour d’état était une
occasion pour concrétiser l’utilité et l’importance de cette méthode de commande, à travers la
réalisation des simulations sur un moteur à courant continu. Son importance réside dans le fait
qu’elle permet d’améliorer les performances d’un système dynamique en modifiant les actions
de commande, cela se fait en boucle fermée, ce qui signifie que la commande prend en
considération les perturbations du système.

[8]