Cours Calcul littéral Seconde

I. Distributivité

Propriété 1
Soient k, a, b, c et d des nombres quelconques.
On a : k(a + b) = ka + kb
| {z }
(a + b)(c + d) = ac
|
+ ad {z
+ bc + bd}
| {z } | {z }
f orme f actorisée f orme développée f orme f actorisée f orme développée

Remarque : Ces propriétés restent valables si on remplace les nombres k, a, b, c ou d par des expressions.

Exemples :
• Développer et réduire les expressions suivantes :

A = -5x(3x - 7)= -15x2 + 35x B = (6x - 3)(2x2 + 1) = 12x3 + 6x - 6x2 - 3 = 12x3 - 6x2 + 6x - 3

C = 4(3x - 7) + 2(x - 5) D = (2x - 7)(x + 3)-(2x - 7)(3x - 4)

C = 12x - 28 + 2x - 10 D = 2x2 + 6x - 7x - 21 - (6x2 - 8x - 21x + 28)
C = 14x - 38 D = 2x2 + 6x - 7x - 21 - 6x2 + 8x + 21x - 28
D = -4x2 + 28x - 49
• Factoriser les expressions suivantes :

E = 25x2 - 15x = 5(5x - 3) F = 4a - 8x + 2 = 2(2a - 4x + 1)

G = (4x - 3)2 + 5(4x - 3) H = (2x - 7)(x + 3)-(2x - 7)(3x - 4)

G = (4x - 3)(4x - 3) + 5(4x - 3) H = (2x - 7)[(x + 3) - (3x - 4)]
G = (4x - 3)(4x - 3 + 5) H = (2x - 7)[x + 3 - 3x + 4]
G = (4x - 3)(4x + 2) H = (2x - 7)(-2x + 7)
G = 2(4x - 3)(2x + 1)

II. Identités remarquables

Propriété 2
Soient a et b deux nombres quelconques. On a :
• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (Première identité remarquable)
• (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (Deuxième identité remarquable)
• (a + b)(a - b) = a2 - b2 (Troisième identité remarquable)

Démonstration
(a + b)2 = (a + b)(a + b) (a - b)2 = (a - b)(a - b) (a + b)(a - b) = a2 - ab + ba - b2
= a2 + ab + ba + b2 = a2 - ab - ba + b2 = a2 - b2
= a2 + 2ab + b2 = a2 - 2ab + b2

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Illustration géométrique :

L’aire du carré est égale à (a + b)2 et correspond aussi à la

somme des aires des carrés et rectangles qui le composent,
soit a2 + 2ab + b2.

Exemples :

• Développer les expressions suivantes :

A = (x + 6)2 = x2 + 2×x×6 + 62 = x2 + 12x + 36
B = (3x - 4)2 = (3x)2 - 2×3x×4 + 42 = 9x2 - 24x + 16
C = (5x - 2)(5x + 2) = (5x)2 - 22 = 25x2 - 4

• Factoriser les expressions suivantes :

D = 36x2 + 12x + 1 = (6x)2 + 2×6x×1 + 12 = (6x + 1)2
E = 4x2 - 40x + 100 = (2x)2 - 2×2x×10 + 102 = (2x - 10)2
F = 16x2 - 81 = (4x)2 - 92 = (4x - 3)(4x + 3)

G = (3x - 5)2 - 64 H = (2x + 1)2 - (x - 7)2

G = (3x - 5)2 - 82 H = [(2x + 1) - (x - 7)][(2x + 1) + (x - 7)]
G = (3x - 5 - 8)(3x - 5 + 8) H = (2x + 1 - x + 7)(2x + 1 + x - 7)
G = (3x - 13)(3x + 3) H = (x + 8)(3x - 6)
G = 3(3x - 13)(x + 1) H = 3(x + 8)(x - 2)

III. Manipulation d’égalités

Propriété 3
Une égalité reste vraie lorsque :
• On ajoute (ou on soustrait) un même nombre aux deux membres de l’égalité ;
• On multiplie (ou on divise) les deux membres par un même nombre (non nul).

On utilise ces propriétés pour résoudre des équations, mais aussi pour exprimer une grandeur en fonction d’une
autre :

Exemples :

• Résoudre l’équation 7x − 5 = 3x + 2 : • x et y désignent deux nombres tels que x + 5y = 17.

Exprimer x en fonction de y puis y en fonction de x :
7x − 5 = 3x + 2
7x − 5 + 5 −3x = 3x + 2 + 5 −3x x + 5y = 17 x + 5y = 17

4x = 7 x = 17 − 5y 5y = 17 − x
7 17 − x
x= y=
4 5

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IV. Expressions littérales sous forme fractionnaire

Lorsqu’une expression littérale est écrite sous forme fractionnaire, il faut s’assurer que son dénominateur ne puisse
pas s’annuler (puisqu’on ne peut pas diviser par 0) : on commence donc par chercher la ou les valeurs interdites :

Définition 1
On appelle valeur interdite d’un quotient un nombre qui annule le dénominateur.

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Exemple : 3 est la valeur interdite du quotient .
x−3
Pour transformer des expressions littérales fractionnaires, on utilise les propriétés de calcul habituelles des quo-
tients :

Exercice résolu 1
4x − 2 1 2 1
Ecrire A = + x puis B = - sous la forme d’une unique écriture fractionnaire :
5 2 x+1 x

Il n’y a pas de valeur interdite dans l’expression A. On cherche d’abord les valeurs interdites :
On a : x + 1 = 0 ssi x = -1, et x = 0 est aussi valeur in-
4x − 2 1 terdite.
A= + x
5 2 On a, pour x 6= -1 et x 6= 0 :
4x − 2 x
A= + 2 1
5 2 B= -
2(4x − 2) 5×x x+1 x
A= + 2×x 1 × (x + 1)
2×5 5×2 B= -
8x − 4 5x (x + 1) × x x × (x + 1)
A= + 2x − (x + 1)
10 10 B=
8x − 4 + 5x x(x + 1)
A= 2x − x − 1
10 B=
13x − 4 x(x + 1)
A=
10 x−1
B=
x(x + 1)
(Nous verrons plus tard qu’il est très utile de lais-
ser le dénominateur (et le numérateur) sous forme
factorisée...)

V. Fonctions

Une fonction f est un processus qui à un nombre x, associe un nombre unique noté f (x).
Ce processus est généralement une suite d’opérations.
x est la variable et f (x) est la valeur prise par la fonction f pour la valeur x.
f (x) se lit « f de x ». La notation f (x) signifie que f dépend de x.

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Exemples :

• On considère le programme de calcul suivant :

1) Choisir un nombre. La fonction f qui au nombre de départ x associe le résultat de

2) Ajouter 5. ce programme de calcul est définie par f (x) = (x + 5)2 − 16.
3) Mettre au carré. Si on prend −2 comme nombre de départ, on obtient :
4) Retancher 16. f (−2) = (−2 + 5)2 − 16 = 32 − 16 = 9 − 16 = −7.

6 cm
• On considère la figure ci-contre, où ABCD est un carré de côté 6 cm, et M
est un point de [AB] situé à une longueur x de A. A x M B
1) x peut prendre toutes les valeurs entre 0 et 6.
2) L’aire du quadrilatère M BCD dépend de la valeur de x : c’est donc une
fonction de x, que l’on peut nommer A, et on a A(x) = x2 − 3(6 − x).

D C

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