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    Cours 2022 09 13

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    Corrigé des exercices pour le 8 septembre 2021

    24 p 74
    Recopier et relier chaque forme factorisée à sa forme développée.
    Forme factorisée Forme développée
    (2x +3)(x + 1) 2x2 + 7x + 3
    (x + 3)(2x + 1) − 2x2 + 5x − 3
    (2x – 1)(3 − x) 2x2 + 5x + 3
    (3 – 2x)(x − 1) − 2x2 + 7x − 3

    Forme factorisée Forme développée


    (2x +3)(x + 1) 2x2 + 7x + 3
    (x + 3)(2x + 1) − 2x2 + 5x − 3
    (2x – 1)(3 − x) 2x2 + 5x + 3
    (3 – 2x)(x − 1) − 2x2 + 7x − 3

    27 p 74
    f est la fonction définie sur R par : f(x) = 2x(x + 1) − x ( x – 4)
    a) Factoriser f(x).
    b) Développer f(x).
    c) Utiliser la forme qui convient le mieux pour résoudre l'équation f(x) = 0.

    a) f(x) = 2x(x + 1) − x ( x – 4) = x (2 (x + 1) − (x − 4)) = x ( 2 x + 2 − x + 4) = x(x + 6)


    b) f(x) = 2x(x + 1) − x ( x – 4) = 2x2 + 2x – x2 + 4x = x2 + 6x
    Remarque  : on pouvait obtenir ce résultat en utilisant le calcul précédent.
    c) On utilise la forme factorisée : f(x) = 0  x(x + 6) = 0  x = 0 ou x + 6 = 0  x = 0 ou x = −6
    S = {0 ; − 6}

    28 p 74
    f est la fonction définie sur R par : f(x) = 3(x + 5)(x – 7).
    Dresser le tableau de signes de f(x)

    x − −5 7 +
    Signe de x + 5 − 0 + +
    Signe de x − 7 − − 0 +
    Signe de f(x) + 0 − 0 +

    4
    Forme canonique
    Exercice 36 p 75
    f est la fonction définie sur R par : f(x) = 4x2 + 8x − 5
    Recopier et compléter pour obtenir la forme canonique de f :

    (
    f (x)=4 x 2 +... x− )
    .....
    .....

    f (x)=4 (( x+ ...) −.... − )


    2 2 5
    4

    f (x)=4 (( x+ ...) − )
    2...
    ...

    ( 2
    Réponse  : f (x)=4 ( x+1 ) –
    9
    4 )

    Exercice 37 p 75
    Dans chaque cas déterminer la forme canonique de la fonction définie en utilisant la complétion du
    carré.

    a) f (x) = 2 x2 − 2 x + 3 réponse : f ( x)=2 x−(( ) ) 1 2 5


    2
    +
    4

    b)g (x) = 3 x2 + 6 x + 12 réponse : g( x)=3 ( ( x+ 1 )2+3 )

    c) h (t) = −5 t2 − 20 t + 20 réponse : h(t )=−5 ( ( t +2 )2 – 8 )

    5
    III Résolution de l’équation du second degré ax 2 + bx + c = 0
    D'après le paragraphe précédent :
    2
    ax +bx+ c=0 ⇔a x + (( b 2 Δ
    2a ) ) (
    − 2 =0⇔ x +
    4a
    b 2 Δ
    2a )
    − 2 =0 ⇔ x +
    4a
    b 2 Δ
    2a
    = 2
    4a ( )
    1er cas :  < 0
    Il n'y a aucune solution car un carré ne peut pas être négatif.

    2ème cas :  = 0
    b
    Une solution double : −
    2a
    3 cas :  > 0 on doit résoudre :
    ème

    ( ) ( ) ( ) ( )( )
    2 2
    b √Δ
    2
    b 2
    b b
    x+ − 2 =0 ⇔ x + − √ Δ =0 ⇔ x+ − √ Δ x + + √ Δ =0
    2a 4a 2a 2a 2a 2a 2a 2a

    ⇔ x+( b−√ Δ
    2a )( x+
    b+ √ Δ
    2a
    =0)
    −b+ √ Δ −b− √ Δ
    Deux solutions : et
    2a 2a

    Remarque :
    Pour les trinômes « incomplets » il est inutile de calculer le discriminant.
    racines de 3x2 + 5 x ou de 2x2 − 4

    Exemples
    • x2 – 4x + 4 = 0 ;  = 0 x0 = 2
    1 1
    • −6x2 + x + 1 = 0 ;  = 25 ; x 1=− ; x 2=
    3 2
    • 5x + 6x + 2 = 0 ;  = - 4
    2

    • Exercice de motivation :  = 1 ; x= 3 et y = 4
    1 3
    • 2 x 2 2 1 3 x  32=0  = 0 et x 0=−
    2

    Tableau récapitulatif :

    Signe de ∆ = b2 − 4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0


    −b+ √ Δ −b− √ Δ b
    Racines de ax2 + bx + c et − Pas de racines
    2a 2a 2a

    6
    Exercices à préparer pour le jeudi 15 septembre 2022 : 39, 40 et 41 p 75.

    Éléments de correction :
    Exercice 39 p 75
    a) ∆= (−5)2 − 4  2  (−3) = 49
    5 − √ 49 1 5+ √ 49
    l équation admet deux solutions réelles : x 1= =− et x 2= =3
    4 2 4
    1
    {
    S= − ; 3
    2 }
    2 4×3×1 2
    b) Δ=(− 2) − =0 l équation admet une solution réelle : x 0=
    3 3
    S= { 23 }
    c) ∆= 22 − 4  1  (−35) = 144
    −2−√ 144 −2+ √144
    l équation admet deux solutions réelles : x 1= =−7 et x 2= =5
    2 2
    S= {−7 ; 5}
    d) delta= 12 − 4  1  9 = -35
    L équation n'admet aucune solution réelle. S = ∅.

    Exercice 40 p 75
    a) ∆ = 12 − 4  (−3)  4 = 49.
    l équation admet deux solutions réelles.

    {
    4
    S= ;−1
    3 }
    b) ∆= (−4)2 − 4  4  15 = −224 S = ∅.
    c) ∆ = −3 S = ∅.
    d) ∆ = 20,25 S = {−7 , 2}

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