Etude de fonctions

I) Limite d’une fonction (Rappel)

Limite d’une fonction polynôme Limites usuelles
Soit n ∈ IN *
on a:
•Si f est une fonction polynôme alors lim f ( x ) = f (a ).
x→a • lim x = +∞
n
x →+∞
• La limite d ’un polynôme en + ∞ ou − ∞ est celle de son
terme de plus haut degré • lim x n = −∞ si n est impair
x →−∞

Limite d’une fonction rationnelle • lim x n = +∞ si n est pair

x →−∞
• La limite d ’une fonction rationnelle en + ∞ ou − ∞ est celle 1
du quotient des termes de plus haut degré. • lim =
0
x →±∞ xn
p( x)
 Soit f une fonction rationnelle tel que : f ( x) = Limites trigonométriques
q( x)
sin x tan x
p( x)  0  =
lim 1=; lim 1
 Si lim =   forme indéterminée . C’est à dire a est x →0 x x →0 x
x→a q( x)  0  1 − cos x 1
une racine de p ( x) et q ( x) lim =
x →0 x2 2
p( x) ( x − a) p1 ( x) p ( x)
donc =
lim =
lim lim 1
x→a q( x) x→a ( x − a)q ( x) x→a q ( x) Formes indéterminées
1 1

+∞ + (−∞) et 0× ∞
Limite d’une fonction irrationnelle
 Si lim f ( x ) = a , avec ( a ≥ 0 ) alors lim f ( x) = a . 0 ∞
x →? x →?
  et  
 Si lim f ( x ) = +∞
x →?
alors lim
x →?
f ( x ) = +∞ 0 ∞
Operations sur les limites Limites et ordre.
Dans ce paragraphe, a désigne un nombre réel ou Dans ce paragraphe, a désigne un nombre réel
+ ∞ ou − ∞ , L et M sont deux nombres réels. ou + ∞ ou − ∞ .

Limite de la somme de deux fonctions. Théorème: Soient f et g deux fonctions

définies sur un intervalle I.
lim f ( x)
x→a
L L L +∞ −∞ +∞
lim g ( x) M +∞ −∞ +∞ −∞ −∞  Si ( ∀x ∈ I ) ; f ( x ) ≥ g ( x ) et lim g ( x ) = +∞
x→a x →a

lim ( f ( x) + g ( x) ) L + M + ∞ − ∞ + ∞ − ∞ F. I alors lim f ( x ) = +∞ .

x→a x→a

 Si ( ∀x ∈ I ) ; f ( x ) ≤ g ( x ) et lim g ( x ) = −∞
Limite du produit de deux fonctions. Le signe se x →a
détermine alors lim f ( x ) = −∞ .
lim f ( x)
x→a
L L≠ 0 ∞ 0 en x→a

respectant
lim g ( x)
x→a
M ∞ ∞ ∞ la règle des
THÉORÈME DES GENDARMES : Soient f , g et
lim ( f ( x) × g ( x) ) L × M ∞ ∞ F. I signes h trois fonctions définies sur un intervalle
x→a
I. et k un réel.
Limite du quotient de deux fonctions. Si ( ∀x ∈ I ) ; g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x )
lim f ( x) L L≠0 ∞ ∞ 0 =
et lim g ( x ) lim
= h( x) k Alors lim f ( x ) = k
x→a x →a x →a x →a

lim g ( x)
x→a M≠0 0 M ∞ 0 Lemme :
 f ( x)  L Si ( ∀x ∈ I ) ; f ( x ) − k ≤ g ( x ) et lim g ( x ) = 0
lim 
x→a g ( x)
 ∞ ∞ F. I F. I x →a
  M Alors lim f ( x ) = k
x →a

-1-
EXERCICES ET PROBLÈMES Exercice2 :
3x − 1
Exercice1: Calculer les limites Soit f la fonction définie sur I =]0 ; 3[ par: f ( x) =
x 2 − 3x
1) lim 2 + 3 x 2 − x3 1) Etudier le signe de f sur l’intervalle I.
x → +∞

2) lim x − 2 x + 5
3 2) Calculer les limites de f aux bornes de I.
x → −∞

3) lim ( x 4 − 2 x + 1)
Exercice 3 :
x3 − 1
Soit f la fonction définie sur IR\ {3} par f ( x) = 2
x → −∞

2 x2 − 5 x − 6x + 9
4) lim
x→ − ∞ x − x 2 + 9
1) Etudier le signe de x − 6 x + 9 .
2

2 x3 − 5 2) Calculer les limites de f aux bornes du domaine de définition.

5) lim 2
x →+ ∞ x − 6 x + 9
f ( x)
3x − 1 3) Calculer : lim et lim f ( x ) − x
6) lim 2 x → +∞ x x → +∞
x →+∞ x − 3 x
Exercice 4 :
2
x x
7) lim Soit f la fonction définie sur IR par : f ( x) =
x → +∞ 4 x2 + 1 x2 + 1 + x
x +1 1 1
8) lim+ 2 1) Montrer que, ( ∀x > 0 ) ; f ( x) − ≤ 2.
x →1 x − 1 2 x
x2 − 5x + 4 2) En déduire lim f ( x )
9) lim x →+∞
x →1 x2 − 1 Exercice 5 :
x−3 Soient ( C f ) et ( C ) les courbes représentatives respectivement des
10) lim g
x →3 x ² − 4 x + 3
fonctions f et g .
4x + 5 − 3
11) lim
x →1 x −1
12) lim 4 x ² + 3 − 2 x
x →+∞ 1) Conjecturez
13) lim 4 x² + 3 + 2 x a) D f et Dg
x →−∞
x3 − 8 b) lim f ( x) et lim+ g ( x)
x →4 x →0
14) lim
x →2 x 2 − 4
c) f ([0;2]) et g ([0;9])
15) lim 4 x ² + 3 − x d) Le signe de f ( x) .
x →+∞

16) lim 4 x² + 3 + x e) Le signe de g '( x) .

x →−∞
x ( x − 3) f) Le tableau de variation de f.
17) lim 2) Quelles sont les solutions des équations:
x − x +1 −1
x →3
f ( x) =
g ( x) ; f ( x) =
0 ; f ( x) =
−1 et g ( x) =
1
18) lim x 2 + x − 1 − 3 x 3) Soit m un réel donné, discuter selon les valeurs de m le nombre de
x →+∞
1 − cos x 2 solutions de f ( x) = m.
19) lim
x →0 x2 4) Résoudre graphiquement l’inéquation: f ( x) ≤ g ( x) .

20) lim
x2 + x + 3 + x − 5 5) Supposons que D f = [ −9; 9] et f est une fonction paire .
x →2 x−2 a) Donnez la valeur de: f ( −4) et f ( −7)
1 b) Complétez la construction de la courbes ( C f
21) lim x sin   ) .
x →+∞
x
tan x − sin x 6) Construire la courbe de la function f sur l’intervalle [ 0; 9 ] .
22) lim
x →0 x3
1 − cos x
23) lim
x →+∞ x
1 + cos 2 x
24)lim 2
x →0 x +2

-2-
II) Continuité d’une fonction.
1) Continuité en un point- continuité à droite - continuité à gauche
Définition1: Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et a ∈ I .
On dit que f est continue en a si lim f ( x ) = f (a )
x →a

Attention : Une fonction ne peut pas être continue en un point qui n'appartient pas au domaine de
définition, cela n'a aucun sens.
Définition2: Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [ a ; a + α [ avec α > 0 .
On dit que f est continue à droite en a si lim f ( x ) = f (a )
x →a+

Propriété: Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et a ∈ I .

=
On dit que f est continue en a si lim =
f ( x ) lim f ( x ) f (a )
x →a+ x→a−

La fonction f est La fonction f est

discontinue en 2 car continue en 2 car
lim+ f ( x)= 3 ≠ f (2) lim f ( x)= 2= f (2)
x→2
x→2

Théorème: Si f est dérivable en un point a, alors f est continue en a.

Attention : La réciproque est fausse.
2) Continuité sur un intervalle
Définition : On dit qu’une fonction f est continue sur un intervalle ouvert si elle continue en tout
point de l’intervalle.

Remarque : Dire que f est continue sur I signifie que l’on peut tracer sa courbe sans lever le crayon.

La fonction f n’est
pas continue La fonction f est
(discontinue) sur continue sur [ 0;3]
[0;3]

Propriétés : - Toute fonction polynôme est continue sur IR.

- Toute fonction rationnelle est continue sur les intervalles où elle est définie.
- La fonction x  x est continue sur [0,+∞[ .
- Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur IR.
- La fonction tangente est continue sur ses intervalles de définition.
- Toutes les fonctions construites par somme, produit, quotient ou par composition des fonctions
précédentes sont continues sur leur domaine de définition.

Théorème: Si f est dérivable sur I, alors f est continue sur I.

Attention : La réciproque est fausse.
Exemple : la fonction x  x est continue, mais n’est pas dérivable en zéro.

3
 3) Image d’un intervalle et d’un segment par une fonction continue.
Propriétés :L’image d’un intervalle par une fonction continue non constante est un intervalle.
 L’image d’un segment par une fonction continue est un segment.

Remarques : f ([a ; b] ) = [ m; M ] tels que m est le minima et M est le maxima de f sur le segment [a ; b] .
- Si l’intervalle I n’est pas fermé, alors son image est un intervalle qui peut être fermé, ouvert ou semi-ouvert.
Cas particulier :
L'image d'un intervalle I par une fonction f continue et strictement monotone est un intervalle J= f(I).
f(I) est l'intervalle:
Si I = … f est strictement croissante sur I f est strictement décroissante sur I
[ a ; b] [ f (a ); f (b)] [ f (b); f (a )]
]a ; b[  lim f ( x ); lim f ( x ) 
 x → a + x → b− 
 lim f ( x ); lim f ( x ) 
 x → b− x→a+ 
]−∞;b]  lim f ( x ); f (b ) 
 x →−∞ 
 f (b ); lim f ( x ) 
 x →−∞ 
]a; +∞[  lim f ( x ); lim f ( x ) 
 x → a + x →+∞ 
 lim f ( x ); lim f ( x ) 
 x →+∞ x→a+ 

4) Théorème des valeurs intermédiaires.

Théorème : Soit f une fonction continue sur [ a ; b ] Interprétation:
La droite (D):y=k
.Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe coupe la courbe
au moins un réel c de [ a ; b ] tel que f (c) = k de f en au
moins un point
Autrement dit : l’équation f ( x ) = k admet au moins dont l’abscisse est
une solution sur l’intervalle [ a ; b ] . comprise entre a
et b.
Corollaire1 : Si f est une fonction continue et Interprétation :
La droite (D): y=k
strictement monotone sur un intervalle [ a ; b ] , alors, coupe la courbe de
f en un seul point
pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) , l’équation dont l’abscisse est
f ( x ) = k admet une solution unique dans [ a ; b ] . comprise entre a et
b.

Corollaire2 : Si f est une fonction continue , strictement Interprétation : la courbe de la

monotone sur un intervalle [ a ; b ] et f(a).f(b) < 0 alors l’équation
fonction f coupe l’axe des
abscisses en un seul point dont
f ( x) = 0 admet une solution unique dans l’intervalle ]a ; b[ . l’abscisse est comprise entre a et b.

Méthode d’encadrement d’une solution par dichotomie

5) Fonction réciproque d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle

Soient f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I et J=f(I ).
La fonction réciproque de la fonction f est la fonction notée f −1 définie sur J à valeurs dans I,
telle que : f −1 ( x )   
= y ⇔=
f ( y) x avec x ∈ J et y ∈ I
.

Corollaires : Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I , alors :

1) f admet une fonction réciproque notée f −1 définie sur J=f(I ) à valeurs dans I
2) (∀x ∈ I ); f −1 ( f ( x) )= x et (∀y ∈ J ); f ( f −1 ( y ) ) = y
3) La fonction f −1 est continue et strictement monotone sur J=f(I). (de même sens de monotonie que f )

4
 1) Etudier la continuité de f au point x0 dans les cas suivants : Soit f la fonction définie par : f  x   x3  x  1 .
 x2  x  2  2
 x x2 4 1)-a)- Montrer que l’équation f  x   0 admet une solution unique
 f ( x)  ; x 1  f ( x)  ;x2
; x2

x 1 x0  1  x0  2  sur .
 f (1)  3  f (2)  5 b)- Vérifier que : 1    0
 
4 2 c)- Déterminer un encadrement de  d’amplitude 0,25
2) Etudier la continuité de f sur I dans les cas suivants : 1
2)Montrer que : 1      3 1 3 1 3 1   0 .
2
 2 x
et
 f ( x)  2 ;x4 
 f ( x)  x -4x  5; x  3
2

x  2x I   4;  
; I

  3
   1
 f (4)   2  f ( x ) 5 x 7 ; x 3 3)Vérifier que :x  IR , f ( x)  ( x   )  x 2   x   .
 3  
4)Déterminer le signe de f ( x) suivant les valeurs de x .
 ax 2  bx  1 5) Résoudre dans l’inéquation suivante : x4  x2  x  1  1
Soit f la fonction définie par :  f ( x)  ; x2
 x2 1  g ( x)  x 2 ; x 
 f ( x)  3x  c ; x  2 6) Soit g la fonction définie par :  .
  1
 g ( x )  1  ; x  
Déterminer les réels a ; b et c pour que les conditions suivantes  x
soit vérifiées : Étudier la continuité de g en  .
 lim f ( x)  2 et lim f ( x)  lim f ( x)
x  x 0 x 3
1
 f continue en 2. Soit f la fonction numérique définie par : f  x    2 x 1 .
x
2x 1)Déterminer D f , puis calculer les limites de f aux bornes de D f
Soit f la fonction définie sur  1 par : f ( x)  .
x 1 2)Étudier la continuité et la monotonie de f sur 0,  .
1) Dresser le tableau de variations de f .
3)Montrer que l’équation f  x   0 admet une seule solution 
2)Déterminer :
f (1;3) ; f (1; ) ; f ( 
) ; f (;1) dans 0,  , et
1
   1.
que :
4
1
4)Vérifier que :     .
3 2
Dans chacun cas suivants, montrer que la fonction f est continue
sur son ensemble de définition : 4
f  x   x3  2 x  cos  x 
2x
f  x  2  x2 Calculer les limites suivantes :
x 1
cos  x  x 3x  5  1
3
f  x   x 2  5x  6 f  x  2 lim 3
x3  1  x lim lim
x  3x  2 x  x  3
x  x 1
2
x 2 x2
f  x   sin  x2  f  x 
x 1
x 1 lim
x  x 2
3
lim x  x  3 x
x 
lim
3
x x
x 1
x 1 x 1 x 1 6

1
On considère la fonction g définie par : g  x   2 x3  5x 2  3 . lim 3 1  x  x3  x  7 lim 3
x3  1  2 x  1
x  2 x 

1)Montrer que l’équation g  x   0 admet une solution unique

1)Ranger dans l’ordre croissant les nombres suivants :
 sur l’intervalle  5 ;3 .
 2 
1
a 2 ; b 4 ; c5 ; d  4 3.
3 6

2)Vérifier que :   3 . 2)Résoudre dans IR l’équation et l’inéquation suivante :

2  5 3
3  x  3  x  6 9  x2 .
3 3
x3  3x 2  x  1  x  1
A. Soit f une fonction continue sur  0,1 telle que : f (1) 
3
2  1  5 5
a   4 2   b2 3

 a  ;  a, b   
Montrer que : c ]0,1[, 3
c f (c)  1 . 3)Simplifier le nombre suivant :
A 2 
 2

 53  3 5 34
B. Soit g continue sur  0,1 telle que : g (0;1)  0;1 a   b
 
Montrer que :  ]0,1[, g ( )  g (  1)  2 4)Rendre rationnel le dénominateur de chacun des deux
1 1
nombres suivants : ; .
C. Soit h continue sur  a, b telle que : h  a   ab et b  h  b  2
2 3 5 3
49  3 14  3 4
Montrer que :  ]a, b[; h( )   b
Soit f la fonction définie par : f  x   ( x  1) x  1  1 . Partie A : Soit g la fonction sur IR par : g  x   x3  x2  3x  1.
1)Déterminer D f et calculer lim f ( x) . 1)Calculer les limites de g en + et en ‒.
x 
2)Étudier les variations de g sur IR .
2)Étudier la continuité de f sur D f .
3)Montrer que l’équation g  x   0 admet une seule solution 
3)Montrer que f est strictement croissante sur D f .
sur IR , et que : 1    0 .
4)Déterminer le signe de g  x  suivant les valeurs de x.
1
4)Montrer que f admet une fonction réciproque f définie sur un
intervalle J à déterminer. 2
5)Dresser le tableau de variations de f 1 Partie B : Soit f la fonction définie par : f  x   x  .
x 12

1)Déterminer D f , puis calculer les limites de f en + et en ‒.

Soit f la fonction définie par : f  x   x  2 x  3  2 .
2)Étudier la continuité de f sur D f .
1)Déterminer D f et calculer lim f ( x) .
x  ( x  1) g ( x)
3)Montrer que : x  D f , f ' x  .
2)Étudier la continuité de f sur D f . ( x 2  1)2
f  x    4)Étudier les variations de f , puis dresser son tableau de
2
3)Vérifier que : x  D f , x  3 1 .
variations.
4)En déduire la monotonie de f . 5)Soit h la restriction de f I  [0, [
sur un l’intervalle
1
5)Montrer que f admet une fonction réciproque f définie sur un a)- Montrer que h admet une fonction réciproque h 1 définie sur
intervalle J à déterminer. un intervalle J à déterminer.
1
6)Dresser le tableau de variations de f . b)- Dresser le tableau de variations de h 1 .
7)Déterminer f 1
(1; )
Soit f la fonction numérique définie par : f  x   x x  x 2  1  
 f ( x)  x  1  3 ; x  1 1)Déterminer D f , puis calculer les limites de f aux bornes de D f

Soit f la fonction définie par :  x2  x  2
 ; x 1 2)Étudier la continuité de f sur D f .
 f ( x )
 x 1 3)a)-Montrer que l’équation ( x  2)( x  3) f  x   2 x  5 admet au
1)Déterminer D f ,puis calculer les limites lim f ( x) et lim f ( x)
x  x 
moins une solution dans 3, 2 .
2)Étudier la continuité de f sur D f .
1 1
b)-En déduire que : f    
3)Soit g la restriction de f sur un l’intervalle I  [1, [ .  2  3
.

g admet une fonction réciproque g 1 définie

x  
2
a)- Montrer que
x2  1
sur un intervalleJ à déterminer. 4)- a)-Vérifier que : x  D f , f ' x  .
b)- Exprimer g 1 ( x) en fonction de x, pour tout x  J . x2  1
b)- Dresser le tableau de variations de f.
x2  1 c)- En déduire que f  x  et x ont le même signe sur Df .
f  x 

Soit f la fonction définie sur par : .
5)Montrer que l’équation f  x   3 admet une solution unique

x 

1) Justifier la continuité de la fonction f sur  . dans Df .

2)Montrer que f est strictement croissante sur  6)Montrer que f admet une fonction réciproque f 1
définie sur un
1
3)Montrer que f admet une fonction réciproque fJ que l’on déterminera.
définie sur intervalle
un intervalle J que l’on déterminera. 7)Exprimer f ( x) en fonction de x, pour tout x  J . 1

4)Montrer que l’équation f  x   x admet au moins une solution 8)Déterminer la valeur de  .

2

 dans 1; 2 9)Dresser le tableau de variations de f 1 .

5)Montrer que:    2  1. 10)Simplifier f 1 ( x)  f 1 ( x)  f 

( x)   1  , pour tout x  J .
6 2
1

 
Dans un repère orthonormé, (C f ) et (C f ) sont symétriques par rapport
−1

à la première bissectrice. (la droite d’équation y = x ).

Théorème(important): Si f une fonction continue et strictement

monotone sur un intervalle I et k ∈ f ( I )
Alors l’équation f(x) = k admet une unique solution dans I.

III) Dérivabilité d’une fonction.

1) Dérivabilité d’une fonction en un point.
Définition1 : Soit f une fonction définie sur Définition2 : Soit f une fonction définie sur un
un intervalle ouvert I. et a un élément de I. intervalle de la forme [ a ; b [ avec b > a .
On dit que f est dérivable en a, s’il existe un On dit que f est dérivable à droite en a, s’il
f ( x) − f (a) existe un nombre réel ℓ tel que:
nombre réel ℓ tel que: lim =ℓ f ( x) − f (a)
x→a x−a lim+ = ℓ.
Le nombre ℓ s'appelle alors le nombre dérivé de x→a x−a
f en a et on le note f ′( a ) . Le nombre ℓ s'appelle alors le nombre dérivé à
droite en a, et on le note f d′ (a ) .

Propriété : f est dérivable en a si est seulement si f est dérivable à droite en a, f est dérivable à
gauche en a et f d′ ( a ) = f g′ ( a )

Interprétation géométrique du nombre dérivé.

1) Si f est dérivable en a alors (C f ) admet une tangente en A(a; f (a )) d’équation: = y f ′(a )( x − a ) + f (a )
2) Si f est dérivable en a alors x  f ′(a)( x − a) + f (a) est la fonction affine tangente à f au point a.
3) Si f est dérivable en a et f ′(a) = 0 alors (C f ) admet une tangente horizontale en A(a; f (a )) .
4) Si f est dérivable à droite en a alors (C f ) admet une demi-tangente en A(a; f (a )) de coefficient
directeur f d′ ( a ) .
5) Si f est dérivable à gauche en a alors (C f ) admet une demi-tangente en A(a; f (a )) de coefficient
directeur f g′ ( a ) .
6) Si f est dérivable à droite et à gauche en a et f d′ (a) ≠ f g′ (a) alors A(a; f (a )) est un point anguleux
(Il existe une demi-tangente à droite et une demi-tangente à gauche, de pentes différentes)
f ( x) − f (a)
7) Si lim+ = ∞ alors f n’est pas dérivable à droite en a, et si f est continue à droite en a ,
x→a x−a
Cependant, la courbe admet au point d'abscisse a une demi-tangente verticale.
2) Dérivabilité sur un intervalle - Fonction dérivée d’une fonction.
Définition: Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
 On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I. Dans ce cas, la fonction
qui à tout réel x de I associe le nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée de f et se
note f’.
 On dit que f est dérivable sur [ a ; b ] si elle est dérivable sur ]a ; b[ , dérivable à droite en a et
dérivable à gauche en b.
2
d f
Remarque : En physique on utilise la notation différentielle : f ' ( x) = df et f " ( x) = 2 .
dx dx

5
Propriétés : Toute fonction
Théorème (Dérivation d’unepolynôme est dérivable
fonction composée) : sur IR .
Si uestToute fonctiondéfinie
une fonction rationnelle est dérivable
et dérivable sur I etsur toutfonction
v une intervalle inclusetdans
définie son ensemble
dérivable sur J telde définition.
que u( I ) ⊂ J ,
 Les deux fonctions sin et cos sont dérivables sur IR.
alors v o u est dérivable sur I et on a : ( ∀x ∈ I ) ; ( v o u= ) '( x ) v ' ( u( x ) ) × u '( x )
 La fonction x  x est dérivable sur ]0; + ∞ [ .

Propriétés : Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, et k un réel alors :

 La fonction u + v est dérivable sur I et on a : ( u + v ) ' =u '+ v '

 La fonction u × v est dérivable sur I et on a : ( u × v ) ' = u '× v + u × v '
 La fonction ku est dérivable sur I et on a : ( ku ) ' = ku '
 u  u ' v − uv '
 La fonction u est dérivable sur I si ( ∀x ∈ I ) ; v ( x ) ≠ 0 et on a :   ' =
v v v2
 k  −kv '
 La fonction k est dérivable sur I si ( ∀x ∈ I ) ; v ( x ) ≠ 0 et on a :   ' = 2
v v v

Théorème (Dérivation d’une fonction composée) :

Si v une fonction dérivable sur I et u est dérivable sur J = f ( I ) ,
Alors uov est dérivable sur I et (∀x ∈ I); (uov= )'( x) u '(v( x)) × v '( x)

Théorème (Dérivation d’une fonction réciproque) :

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I et a ∈ I .

 Si f est dérivable en a et f '(a ) ≠ 0 , alors f −1

est dérivable en f (a ) et ( f ) '( f (a)) =
−1 1
f '(a )
 Si f est dérivable sur I et (∀x ∈ I ); f '( x ) ≠ 0 , alors f −1
est dérivable sur J = f ( I ) et on a :

( ∀x ∈ J ) ; ( f ) '( x) =f '
−1 1
(f −1
( x) )

Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, et k un réel alors :

Opérations sur les fonctions dérivées Dérivées des fonctions usuelles
f ( x) f '( x ) f ( x) f '( x )
u( x ) + v ( x ) u '( x ) + v '( x ) k 0
λ .u( x ) λ .u '( x ) ax a
u( x ) × v ( x ) u '( x ) × v ( x ) + v '( x ) × u( x ) ax n n.ax n −1

u( x ) u '( x ) × v ( x ) − u( x ) × v '( x ) 1
v( x ) ( v( x ))
2 x
2 x
1 − u '( x ) 1 1
−
( u( x ) )
2
u( x ) x x2
u  v( x ) u '(v ( x )) × v '( x ) sin x cos x

u '( x )
u( x ) cos x − sin x
2 u( x )

( u( x ) ) n. ( u( x ) )
n n −1 1
× u '( x ) tanx 1 + tan 2 x =
cos 2 x

6
   x  1 x  2  f  x  1 x 1 ; x  1 .

Soit f la fonction définie par :  f  x  x 1 1)Soit f la fonction définie par : 
x2 1
 f  x   x  2 x 1 ; x  1
 
 f x  x  1 x
   x 1
1. f en1.
Étudier la continuité de
1) Etudier la continuité de f en 1
2. Etudier la dérivabilité de f à droite et à gauche en 1.puis
2) Etudier la dérivabilité de f à gauche en 1.puis interpréter le interpréter le résultat géométriquement.
résultat géométriquement.
3) La fonction f est-elle dérivable en 1?
3. Donner l’équation de la tangente à la courbe  C  aux
f

point d’abscisses 5
4. Pour tout x  1;  .
 f ( x)  ax 2  bx ; x  1
Soit f la fonction définie par : 
 x2
 f ( x)  x  3x  5 ; x

3 2
Montrer que : x  1;  , f '  x  
 
1 a.
x 1 x 1  1
Déterminer les réels a ; b sachant que La fonction f est-elle dérivable
en 1 b. Dresser le tableau de variations de f sur 1;
c. Montrer que : x  1;  ;2 x  1  x
Calculer f '  x  dans chacun des cas suivantes : Déterminer :
5. Pour tout x  I   2;  .
 x2  x2  1
4

f ( x)  x  x  2 2
; f ( x)   2  ; f ( x) 
 x  3x  7  x3 a. Montrer que f admet une fonction réciproque f 1 définie
43 x J à déterminer
sur un intervalle
f ( x)  3 3 x  x 3  3 x ; f ( x )  4 8 x 3  3 x  2 ; f ( x)  b. Montrer que l’équation f  x   x  1 admet une seule
x x 1
solution  et que : 3    4 .
Le dessin suivant présente la courbe d’une fonction f sur son c. Résoudre dans J l’inéquation f 1  2 x   f 1  x  1
ensemble de définition :
d. Montrer que :  f '  1  4 3 2 
1

f  x  x  
2

Soit f la fonction définie sur par : x 2 .

1. Étudier la continuité de f sur

1. Déterminer Df . 2. Etudier la dérivabilité de f sur .puis interpréter le
résultat géométriquement.
D f l’équation f '  x   0
2.
3.
Résoudre dans
Déterminer les limites suivantes :
3. Vérifier que : x  0,  , f ' x  2  x 1  x 2 
f  x f  x   f  2  f  x   f  3

a. Dresser le tableau de variations de f sur .
lim lim lim
x 2 x2 x 2 x2 x 3 x3 b. Déterminer le signe de f suivant les valeurs de x.
4. D f l’inéquation f '  x   0
Résoudre dans 4. Pour tout x  I  1; 4  .
5. Dresser le tableau de variations de f sur D f a. Montrer que f admet une fonction réciproque f 1 définie
6. Donner l’équation de la tangente à la courbe  C f  aux point sur un intervalle J à déterminer
d’abscisses 1 et 2 b. Montrer que l’équation f  x   x  2 admet une seule
solution  sachant que : 1    4 .
On considère la fonction g définie par : g  x   x 3  3x  3 . c. Soient   ,    J 2 tel que    :
1. Etudier les variations de la fonction g comparer f 1    et f 1  
2. Pour tout x  1;  .

a. Montrer que f admet une fonction réciproque f 1 définie sur un soit f la fonction définie sur par :
J à déterminer
 
intervalle 2x
b. Montrer que l’équation g  x   0 admet une seule solution  et
f  x   3  x2  ;  

3
que : 2    3 .
a 3  x 3  2x  a
1 2

Montrer que pour tout a et x de :
 g ' 0   3  1  1

c. Montrer que : 1 3
  2
3) Applications de la fonction dérivée.
 Dérivée et variations.
Théorèmes admis :Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Remarque :
• Si ( ∀x ∈ I ) ; f ′ ( x ) ≥ 0 , alors la fonction f est croissante sur I.
Si (∀x ∈ I ); f ′( x) ≥ 0
• Si ( ∀x ∈ I ) ; f ′ ( x ) ≤ 0 , alors la fonction f est décroissante sur I. et f ′ s’annule en
• Si ( ∀x ∈ I ) ; f ′ ( x ) > 0 , alors f est strictement croissante sur I. des points isolés
alors la fonction f
• Si ( ∀x ∈ I ) ; f ′ ( x ) < 0 , alors f est strictement décroissante sur I
est strictement
• Si ( ∀x ∈ I ) ; f ′ ( x ) =0 , alors la fonction f est constante sur I. croissante sur I

 Extremums d’une fonction.

Propriété : Remarque : Si f ′(a) = 0 et f ′ ne
f est dérivable sur un intervalle ouvert I et a ∈ I. change pas de signe, alors A(a; f (a ))
• Si f ′ s’annule en a en changeant de signe, alors f (a ) est un point d’inflexion.
est un extremum local de la fonction f sur I.
 Concavité et dérivée seconde
Définition : Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I.
• On dit que la courbe (C f ) admet une concavité dirigée vers les ordonnées positives (convexe),
s’elle est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes.
• On dit que la courbe (C f ) admet une concavité dirigée vers les ordonnées négatives (concave),
s’elle est entièrement située au-dessous de chacune de ses tangentes.

(C f ) est (C f ) est
convexe concave

Propriété : Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I.

• Si (∀x ∈ I ); f "( x) ≥ 0 , alors la courbe de f admet une concavité dirigée vers les ordonnées
positives.
• Si (∀x ∈ I ); f "( x) ≤ 0 , alors la courbe de f admet une concavité dirigée vers les ordonnées
négatives.
• Si f "(a ) = 0 et f " change de signe, alors A ( a; f (a ) ) est un point d’inflexion.

IV) Position relative d’une courbe et d’une droite

Pour étudier la position relative d’une courbe (C f ) et d’une droite ( ∆ ) : y =ax + b sur un
intervalle I, on doit étudier le signe de f ( x ) − (ax + b ) sur I .
• si (∀x ∈ I ); f ( x ) − (ax + b) ≥ 0 , alors (C f ) est au-dessus de ( ∆ ) sur I.
• si (∀x ∈ I ); f ( x ) − (ax + b) ≤ 0 , alors (C f ) est au-dessous de ( ∆ ) sur I.
• Les solutions de l'équation f ( x ) − (ax + b) =
0 sont les abscisses des points d'intersection de
(C f ) et ( ∆ ) .

7
V) Les branches infinies
Si La droite d’équation est une asymptote horizontale à en

Si La droite d’équation est une asymptote verticale à .

La droite d’équation est une asymptote oblique à en

admet admet
une branche une branche
parabolique de admet une parabolique de
direction l’axe des admet une direction l’axe des
branche parabolique
ordonnées au asymptote oblique abscisses au
de direction la droite
voisinage de d’équation voisinage de
d’équation au
au voisinage de
voisinage de

VI) Axe de symétrie - Centre de symétrie

Soit f une fonction définie sur un ensemble D.
On dit que la droite ( ∆ ) : x =
a est un axe de On dit que le point I (a; b) est un centre de
symétrie de (C f ) si pour tout x de D on a : symétrie de (C f ) si pour tout x de D on a :
(2a − x ) ∈ D et f (2a − x ) =f ( x) (2a − x ) ∈ D et f (2a − x ) = 2b − f ( x )

VII) Fonction paire - Fonction impaire - Fonction périodique

On dit que f est une fonction paire : Si pour On dit que f est une fonction impaire : Si pour
tout x de D f on a : − x ∈ D f et f ( − x ) =f ( x ) tout x de D f on a: − x ∈ D f et f ( − x ) =− f ( x )
Remarque : La courbe d’une fonction paire est Remarque : La courbe d’une fonction impaire
symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. est symétrique par rapport à l’origine du repère.

On dit que f est une fonction périodique s’il existe un réel positif T tel que : pour tout x de D f
on a: ( x + T ) ∈ D f et f (x +T) =f ( x) (T est appelé une période de la fonction f )

VIII) Fonction racine nième

Définition : a désignant un réel positif et n un entier naturel non nul.
( a=
)
n
On appelle racine nième de a le réel positif noté
n
a tel que n n
=
an a .

8
Propriétés : Pour tous réels x et y positifs et pour tous entiers naturels non nuls m et n on a :
• x  n x est la fonction réciproque de la fonction x  xn sur l’intervalle [ 0;+∞[ .
● x= y ⇔ x= y ● x < n y ⇔ x< y x = y ⇔ x = yn ( x)
m
●
n n n
● = n xm
n n

● n
x = nm x m ● n m
x = nm x ● n
x×n y =
n xy ●=
n
x
n
x
/ y≠0
n y y

Remarque. Les règles de calculs sur les racines nième sont les mêmes que celles sur les racines carrées.
Activité :
1) Montrer que : (∀x > 0) :
x n −1
. ( x ) ' =n
n
n
1

2) Montrer que si u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I , alors on a :

( ∀x ∈ I ) : ( n
)
u( x ) ' =
u '( x )
( )
n −1
n n u( x )
IX) Puissance d’exposant rationnel d’un réel strictement positif.
p
Soient x un nombre réel strictement positif et r un nombre rationnel=
tel qu: r avec ( p; q ) ∈  × ∗ .
q
q

)
 qp 
(
p p
×q q
x =x .
q
On remarque que :  x= x= x p x= x
q
 q p p p q
et donc
 
 
Propriétés : Pour tous réels x et y strictement positifs et pour tous nombres rationnels m et n on a :
● xn × yn = ● xm × xn = ● (x ) = x
m n mn
( xy )n xm+n
n

● x n =  x 
n
xm ● 1n = x − n
● n
= x m−n
y  y x x

Remarque. Les règles de calculs sur les exposants rationnels sont les mêmes que celles sur les
exposants entiers.
Exercice d’application
Soit f la fonction numérique définie sur IR par : f ( x ) =x 3 − 3 x 2 + 2
 
(C f ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O, i , j ) .
1) Etudier les branches infinies de (C f ) .
2) Déterminer l’intersection de (C f ) et les axes du repère
3) Montrer que le point I (1, 0 ) est un centre de symétrie de la courbe (C f ) .
4) Etudier les variations de la fonction f et dresser son tableau des variations.
5) Déterminer l’équation de la tangente (T ) à la courbe (C f ) au point d’abscisse 1.
6) Etudier la concavité de (C f ) .
7) Etudier la position relative de la droite ( ∆ ) : y =−2 x + 2 et (C f ) .
8) Tracer la courbe (C f ) .

9
Dans la figure ci-dessous (𝑪𝒇 ) est la courbe représentative de 𝒇 . I. En exploitant le tableau de variation de la fonction f.

1) Déterminer lim f  x  , lim f  x  et lim f  x  .

x  1 x  x 
2

2) Déterminer f ( 1) et
'
f ' (0) puis interpréter les résultats
géométriquement.
3) Déterminer le signe de f sur D  f

II. En exploitant le tableau de variation de la fonction f'.

Par une lecture graphique :

𝒇(𝒙)
1) Déterminer 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙), 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) et 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎 𝒙→+∞ 𝒙→+∞ 𝒙
𝒙>𝟎
2) Déterminer le signe de f
3) dresser le tableau de variation de f 1) Déterminer le signe de f '' sur  D f 
4) Déterminer la concavité de (C f ) .sur  D f  2) Déterminer la concavité de (C f ) .sur  D f 
5) Déterminer les extrémums de f 3) Déterminer les extrémums de f
6) Déterminer la position relative de la droite    : y  x  1 et (C f )  
4) Tracer, (C f ) dans le repère (O; i ; j ) .
7) Déterminer le nombre sur D f  des solutions de l'équation f  x   1.
8) Pour tout x  I  1;  . Pour le courbe suivantes, déterminer D f , les limites aux bornes
9) Montrer que f admet une fonction réciproque f 1 définie sur un de cet D f puis dresser le tableau de variation dela fonction f
intervalle J à déterminer représentée. Quelles asymptotes pouvez-vous conjecturer ?

10) Tracer, (C 1 ) .
f

La représentative graphique suivante est pour une fonction 𝒇

dérivable deux fois sur .

x( x 2  1)
Soit f la fonction définie par f ( x ) 
x2  1
1) Déterminer D f , puis étudier la continuité et la dérivabilité de
f sur D f . Justifier les réponses !
2) Etudier la parité de f et en déduire un élément de symétrie (C f )
3) Etudier les limites de f aux bornes de D f et en déduire les
asymptotes éventuelles à (C f ) .
Par une lecture graphique : 4) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.
1) Déterminer lim f  x  et lim f  x  5) Etudier la concavité de (C f )
x  x 
2) Déterminer les branches infinies. 6) Déterminer une équation de la tangente (T ) à (C f ) au point
3) dresser le tableau de variation def d’abscisse 0.
4) Montrer que l’équation f  x   0 admet un deux solution  et  . 7) Etudier la position de (C f ) par rapport à (T )
 
5) Déterminer le signe de f ( x ) et f '' ( x ) sur 8) Tracer (C f ) et (T ) dans le repère (O; i ; j ) .
 
2) a-Etudier la dérivabilité de f sur 
Partie I
1
b-Montrer que : x   
  , f '  x    g ( x)
par : g  x   6 x  8 x x  .

soit la fonction g définie sur
2 c-Etudier le signe de f '  x  puis dresser le tableau de
1) Etudier les variations de la fonction g puis dresser le tableau de variation de la fonction de f
variation de la fonction g
2) Déterminer le signe g  x  sur 
.
d-En déduire que x   
 41
x
x  3x 

Partie II : 3) Discuter suivant les valeurs du paramètre m le nombre de

soit la fonction f définie sur


par : f  x    4 x  1 x  4 x 2  1 solution de l’équation : x   4 
 x  3x 
1
x
1) Calculer lim f ( x) .puis étudier la nature de la branche infinie . xf (2)  2 f ( x)
x 
4) Calculer lim
2) a-Etudier la dérivabilité de f à droite en 0.puis interpréter le x 2 x2
résultat géométriquement. Partie III :
h définie sur 1; par : h( x)  f  x 
b-Montrer que :  x    , f '  x  
g ( x) soit la fonction
x 1) Montrer que h admet une fonction réciproque h 1 définie sur
c-dresser le tableau de variation de f un intervalle J à déterminer
3) Déterminer une équation de la tangente (T ) à la courbe (C f ) au 2) Montrer que l’équation h  x   1 admet une seule solution

point d’abscisse
1.  sur 1;
4
4) a-Montrer que l’équation f  x   0 admet une seule solution
sachant que : 0,9    1,1 .
 3) Montrer que :  h ' 1   g 1 
1


b- Déterminer le signe de f ( x ) sur . 4) Tracer (C ) et (C f ) dans le même repère.
h1

5) a-Montrer que : x  

 f '' ( x) 
1  2 x 16x  2 x 1  Partie I

4x x

f  x  x x 1 . 
2

b- Etudier la concavité de (C f ) Soit f la fonction définie sur par :
  
6) Tracer (C f ) et (T ) dans le repère (O; i ; j ) . 1) Étudier la continuité de f sur

Partie III : 2) Etudier la dérivabilité de f sur .puis interpréter le
soit la fonction h définie sur 1; par : h( x)  f  x  résultat géométriquement.
3) Etudier les branche infinie de la courbe (C f ) .
1) Montrer que h admet une fonction réciproque h 1 définie sur un 
intervalle J à déterminer 4) Etudier la monotonie de la fonction f sur
5) écrire l équation de la tangente (  ) à la courbe (C f ) au point

2) Montrer que :  h ' 0  
1

g  
d’abscisse 4 .
6) Déterminer l’intersection de (C f ) et les axes du repère
3) Tracer (C h1 ) dans le même repère.de (C f ) 7) Montrer que le (C f ) admet un unique point d’infelexion et
h 1 ( x) dans l’abscisse 3 1
4) Déterminer lim h1 ( x) et lim 16

8) a-Montrer que l’équation f  x   x admet une seule solution

x  x  x
 sur  0;1
Partie I
1
g 
g  x  3 
2 1
 2. b- vérifer que :  
soit la fonction définie sur  par :  1
x x
1
1) Etudier les variations de la fonction g puis dresser le tableau de c- Montrer que ! f   
  1
2
variation de la fonction g
2) Calculer g 1 puis Déterminer le signe g  x  sur  Partie II :
 .
Partie II : soit la fonction g définie sur  0;1 par : g ( x)  f  x 
1 g admet une fonction réciproque g 1 définie sur
par : f  x   4 x  3x 
 1) Montrer que
soit la fonction f définie sur 
x un intervalle J à déterminer.
1) a-Calculer lim f ( x) et lim f ( x)
x 
g 1 ( )  
x 0 2) Calculer lim
b-puis étudier les branche infinie de la courbe (C f ) .
x  x 
3) Tracer (C g 1 ) et (C f ) dans le même repère.
 Suites numériques
I) Définition, vocabulaires et notations.
Définition : Toute fonction u définie sur l’ensemble IN , ou d’une partie I de IN vers IR est dite
suite numérique. I= {n ∈ IN / n ≥ p avec p ∈ IN}
Notation et vocabulaire.
 L’image de n par la suite u est notée un au lieu de u(n) .
 La suite est notée ( un )n∈I (ou plus simplement ( un ) si n ∈ IN ).
 un est un terme de la suite, et on l’appelle terme général de la suite.
 Si la suite commence par u1 , alors un est le nième terme, ou terme de rang n.
 Si la suite commence par u0 , un est le terme de rang n + 1 .
 On peut définir une suite par une formule explicite, c'est-à-dire par une relation du type:
un = f ( n) ( Exemple : ( ∀n ∈ IN ) :u= n 3n 2 − 5 )
 On peut définir une suite par récurrence, c'est-à-dire par une relation du type un+1 = f ( un ) ou par
d’autres types. ( Exemple : (∀n ∈ IN ) : un+=1 3un + 4 et u=0 1 )

Principe de récurrence : (Rappel)

Pour démontrer par récurrence qu’une proposition Pn est vraie pour tout entier naturel n, on
procède en deux étapes, puis on conclut.
 Première étape : On vérifie que P0 est vraie.
 Deuxième étape : On suppose que pour un entier naturel n quelconque, la propriété Pn est vraie,
et sous cette hypothèse, on démontre que la proposition Pn+1 est vraie.
 Conclusion : lorsque les deux étapes sont franchies, on conclut que la proposition Pn est vraie
pour tout entier naturel n positif.
II) Monotonie d’une suite numérique
{n ∈ IN / n ≥ p avec p ∈ IN}
Soit I une partie de I=∈{n IN/ n≥ pavec p∈IN} tel que : I =

Définitions : On dit que la suite ( un )n≥ p est strictement décroissante, si ( ∀n ≥ p ) : un+1 ≤ un .

On dit que la suite ( un )n≥ p est strictement croissante, si ( ∀n ≥ p ) : un+1 ≥ un .

III) Suite majorée – Suite minorée – Suite bornée

Définitions :
 On dit que la suite ( un )n≥ p est majorée lorsqu’il existe un réel M tel que ( ∀n ≥ p ) : un ≤ M .
Le nombre M est alors appelé un majorant de la suite ( un )n≥ p .
 On dit que la suite ( un )n≥ p est minorée lorsqu’il existe un réel m tel que : ( ∀n ≥ p ) : un ≥ m .
Le nombre m est alors appelé un minorant de la suite ( un )n≥ p .
 On dit que la suite ( un )n≥ p est bornée lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée.
Remarques :
• Si ( un ) est une suite croissante, alors elle est minorée par son premier terme u0 .
• Si ( un ) est une suite décroissante, alors elle est majorée par son premier terme u0 .

13
 IV) Suite arithmétique – Suite géométrique.
Suite arithmétique Suite géométrique
S’il existe un réel r tel que : S’il existe un réel q tel que :
( un )n≥ p est une ( ∀n ≥ p ) : un+1 − un =r ( ∀n ≥ p ) : un+1 =q un
(r est appelé raison de la suite) (q est appelé raison de la suite)
un en fonction de n ( ∀n ≥ p ) : un = u p + (n − p)r ( ∀n ≥ p ) : un = u p × q n− p
Somme des premiers  u p + un   1 − q n− p +1 
=S   ( n − p + 1) S = up   avec q  1
termes d’une  2   1− q 
Avec S =u p + u p +1 + ........ + un−1 + un
V) Limite d’une suite numérique .
1) Suites de référence – suite convergente.
Définition : On dit qu'une suite (un) est convergente vers le réel a lorsque tout intervalle ouvert
contenant a contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note alors lim un = a
n →+∞

• Une suite est dite divergente lorsqu’elle n’est pas convergente.

 1 
 Des suites convergentes vers 0 :  p 
1
;   où p est un entier naturel non nul.
n   n∈IN ∗  n n∈IN ∗
 Des suites divergentes vers +∞ : (n p ) n≥0 ; ( n) n≥0
où p est un entier naturel non nul.
 Limite d'une suite géométrique :
q q ≤ −1 −1 < q < 1 q =1 q >1

+∞
n
lim q pas de limite 0 1
n →+∞

2) Critères de convergence.
• Théorèmes : Soient (un) et (vn) deux suites définies sur IN.
• Si, à partir d'un certain rang, un ≥ vn et lim vn = +∞ alors lim un = +∞ .
n →+∞ n →+∞

• Si, à partir d'un certain rang, un ≤ vn et lim vn = −∞ alors lim un = −∞ .

n →+∞ n →+∞

• Théorème des gendarmes : Soient (un) , (vn) et (wn) trois suites définies sur IN.
• Si, à partir d'un certain rang, vn ≤ un ≤ wn et = =
lim vn lim wn L alors (un) est convergente et
n →+∞ n →+∞

lim un = L .
n →+∞

• Si, à partir d'un certain rang, un − L ≤ vn et lim vn = 0 alors (un) est convergente et lim un = L .
n →+∞ n →+∞

Théorème :
- Si une suite croissante est majorée alors elle est convergente.
- Si une suite décroissante est minorée alors elle est convergente.

Remarque : Ce théorème permet de s'assurer de la convergence mais ne donne pas la limite.

3) Suites de la=
forme un+1 f=
( un ) et un f (v n )

Propriété : Soit (un) et (vn) deux suites tels que : (∀n ∈ IN ); un =f (vn )
Si lim vn = L et f est continue en L alors lim un = f ( L)
n →+∞ n →+∞

14
Propriété : Soit (un) une suite définie par :
( ∀n ∈ IN ) ; un+1 =f (un ) et u0 ∈ I
 Si f est continue sur I ,
 f (I ) ⊂ I
 (un) est convergente
alors la limite  de la suite (un) est une solution
de l’équation f (x) = x

EXERCICES ET PROBLÈMES 2) Montrer que (vn ) est une suite arithmétique.

Exercice1 3) Exprimer v n en fonction de n .
Soit ( un ) la suite définie par : 4) En déduire l’expression de un en fonction de n.
1 5) Exprimer Sn en fonction n:
( ∀n ∈ IN ) ; un=
+1 u +3 et u= 2 S n = v0 + v1 + v2 + .... + vn .
2 n 0

1) Calculer u1 et u2 . 6) En déduire la valeur de S : S = v0 + v1 + ... + v99 .

2) Montrer que : ( ∀n ∈ IN ) ; un < 6 .

7) Calculer lim vn ; lim un et lim S n .
n →+∞ n →+∞ n →+∞

Exercice4
3) Etudier la monotonie de ( un ) .
Soit ( un ) une suite définie par:
4) Soit la suite(vn ) définie sur I=∈{n IN/n≥pavec p∈IN} par: vn = un – 6
1
a) Calculer v0 et v1 . u0 =
2 et un+1 =
2− avec n ∈ IN
un
b) Montrer que (vn ) est une suite géométrique . 1) a) Montrer que : (∀n ∈ IN ); un > 1 .
c) Exprimer v n en fonction de n . b) Etudier la monotonie de la suite ( un ) .
d) En déduire un en fonction de n.
2) Soit (vn ) une suite tel que : vn= 3 + 1
5) Exprimer Sn et wn en fonction de n : un − 1
S n = v0 + v1 + v2 + .... + vn a) Montrer que la suite (vn ) est arithmétique dont-
wn = u0 + u1 + u2 + .... + un on précisera son premier terme et sa raison.
6) Calculer lim vn ; lim un ; lim S n et lim wn b) Exprimer vn puis un en fonction de n.
n →+∞ n →+∞ n →+∞ n →+∞

Exercice2 : c) Déterminer la limite de ( un ) .

On définit la suite ( un ) par : u0 = 13 et, pour tout 3) Déterminer la plus petite valeur de n pour
laquelle un < 1,001
1 4
entier naturel n , u=
n+1 un + .
5 5
n Exercice5
– la suite ( Sn ) par: Sn = ∑ uk = u0 + u1 + ... + un
k =0
Soit ( un ) la suite réelle définie sur IN par
pour tout entier naturel n, 1 + un
=un +1 = et u0 0
1) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel 3 + un2
n, un = 1 + 12n . En déduire la limite de ( un ) . 1) Montrer que : ( ∀n ∈ IN ) ; 0 ≤ un ≤ 1
5
(S n ) . 1 + un
2) a) Montrer que : ( ∀n ∈ IN ) ; un +1 ≥
2) a. Déterminer la monotonie de la suite
b. Calculer Sn en fonction de n. 2
b) Etudier la monotonie de la suite ( un ) .
c. Déterminer la limite de la suite (S n ) .
Exercice3 3) a) Vérifier que : ( ∀n ∈ IN ) ; 1 − un+1 ≤ 1 ( 1 − un ) .
2
Soient ( un ) et (vn ) deux suites tel que: n
1
un u +1 b) En déduire que ( ∀n ∈ IN ) ; 1 − un ≤   .
( ∀n ∈=
IN ) ;un+1 = / u0 1 et vn = n  2
1 + 2un un ( un ) .
c) calculer la limite de la suite
1) Calculer u1 et v0 .

15
Exercice6
b) Vérifier que un +1 − un =
(1 + un )( 3 − un ) pour
On considère la suite réelle ( un ) définie sur IN par : 6 + un
un tout n de IN ,puis en déduire que la suite ( un ) est
=un+1 = et u0 1
2 + un croissante.
1) a- Montrer que : ( ∀n ∈ IN ) ; un ≥ 0 . c) En déduire que ( un ) est convergente.
− un (1 + un )
b- Montrer que: ( ∀n ∈ IN ) ; un+1 − un = 5) Soit (vn ) une suite telle que :
2 + un un − 3
vn = pour tout n de IN
c- Etudier la monotonie de la suite ( un ) . un + 1

2) Soit (vn ) la suite réelle définie par : vn =

un
. a) Montrer que ( vn ) est une suite géométrique
1 + un
de raison 5 puis écrire vn en fonction de n
a- Montrer que (vn ) est une suite géométrique 9
n
5
de raison 1 . 3 − 3 
2 9
b) Montrer que un = n pour tout
n de IN ,
b- Exprimer vn puis un en fonction de n. 5
1+ 3 
c- Calculer la limite de la suite ( un ) . 9
Exercice7 puis déterminer la limite de la suite ( un )
On considère la suite numérique ( un ) définie par : 6) a) Montrer que : 3 − un +1 ≤ 5 ( 3 − un ) pour tout
6
2u + 3
u0 = 2 et un +1 = n pour tout n de IN n de IN
un n

b) En déduire que ( ∀n ∈ IN ) ;0 < 3 − un ≤ 3   .

5
1) Montrer que 2 ≤ un ≤ 7 pour tout n de IN 6
2
2) a) Montrer que ( ∀n ∈ IN ) : un +1 − 3 ≤ 1 un − 3 c) Retrouver la limite de la suite ( un ) .
2 7) Déterminer la plus petite valeur de n pour
n

b) En déduire que ( ∀n ∈ IN ) : un − 3 ≤   .
1 laquelle un > 2,99
2 Partie II :
c) Déterminer la limite de la suite ( un ) 1) On considère la fonction f définie sur
3) Soit (vn ) la suite numérique telle que : [ −2, +∞[ par : f ( x) =
8x + 3
x+6
u −3
vn = n pour tout n de IN a) Déterminer f '( x) , pour tout x de [ −2, +∞[
un + 1
puis déduire que f est croissante sur
a) Montrer que (vn ) est une suite géométrique.
[ −2, +∞[
b) Exprimer vn puis un en fonction de n.
b) Étudier la continuité de f sur [ −2, +∞[
4 4 4
4) On pose : S= + + .... + c) Déterminer f ([ −1 ;3])
u0 + 1 u1 + 1 un + 1
n

5 1 −1
n +1 d) Montrer que f ( x) ≥ x , pour tout x de [ −1 ;3]
5) Montrer que Sn = n + −   pour tout n
2) Soit ( un ) la suite définie par : u0 = 0 et
4 4 3 
de IN , puis calculer lim Sn
n →+∞ un+1 = f (un ) pour tout n de IN
Exercice8
Partie I : On considère la suite numérique a) Montrer que −1 ≤ un ≤ 3 pour tout n de IN
( un ) définie par : b) Montrer que la suite ( un ) est croissante et en
8u + 3 déduire qu’elle est convergente.
u0 = 0 et un+1 = n pour tout n de IN
un + 6 c) Déterminer la limite de la suite ( un )
4) a) Montrer que −1 < un < 3 pour tout n de IN

16
 Prof : Abdessamia Nassabi

soit la suite(un )nIN définie par : u0  2 et un1  5un  3 On  u0  3

3
Soit  un  la suite définie par u 
11un  20 pour tout n de
pose : v  un  pour tout n  IN . 

n 1
5un  9
n
4 1) montrer que 2  un n 
1) Calculer : u1 , v0 et v1
2) Montrer que (vn ) est une suite géometrique de raison 5
2) a) montrer que  un  est décroissante
b) Déduire que  un  est bornée et convergente
3) Exprimer vn en fonction de n
1 1
4) En déduire que pour tout n de IN : un  11 5  3   5 pour tout n de
1 n 3) a) montrer que
4 un 1  2 un  2
5) Calculer lim un 10n  3
x  b) Déduire un 
5n  1
6) Est-ce que le nombre 1718 est un terme de la suite (un )nIN ?
c) calculer lim un
n 
Justifier la réponse.
 
4) calculer lim sin  
n 
1 un  un 
Soit (un )nIN la suite définie par : u0  et un 1  .
2 3  2un
1 u  5
) Montrer par récurrence que pour tout n de , 0  un   0 2
2 Soit  un  la suite définie par  1 4  pour tout n de
u 1 un 1   un  
) a) Montrer que tout n de , n 1   2 un 
un 2
1) montrer que 1  un  3 n 
b) En déduire la monotonie de la suite  un 
1
n 1 2) a) montrer que  un  est décroissante puis montrer que un  52
) Montrer que pour tout n de , 0  un    ; puis calculer la
2 b) Déduire que  un  est convergente
limite de la suite  un 
c) Déterminer sa limite
1 1  1 2 
) a) Vérifier que pour tout n de ,  1  3   1 3) a)vérifier que :  n   1    un  2 
 un1  2 
un 1  un  2  un 
b) En déduire un en fonction de n pour tout n de 1
b) montrer que  n   0  un 1  2   un  2 
10
n
 0  un  2  
1  1
u0  2 c) Déduire que  n   
Soit  un  la suite définie par u  3  un pour tout n de  10  2
 5  un  un 
n 1
c) Déterminer de nouveau la limite de
1) montrer que 1  un  3 n 

un 1  un 
 un  1 un  3  u0  2
 un  la suite définie par u
2) a) Vérifier que
5  un Soit

un2
2
pour tout n de .

 n 1
b) Déduire que  un  est décroissante et convergente 3
x²
un  1 f définie par: f (x )  2.
3) on considère la suite  vn  définie par vn  n 
soit la fonction
3
3  un
1) Déterminer D f , puis Déterminer f (  3; 2  ) .
 
a) montrer que  vn  est géométrique de raison q  12
2) montrer que un  3 pour tout n de .
b) calculer  vn  en fonction de n
3) a) montrer que un  est décroissante puis montrer que un  2
c) Déduire  un  en fonction de n
b) Déduire que  un  est convergente puis Déterminer sa limite
d) calculer lim un
4) Soit la suite  vn  définie par n  IN ; vn  un  3
2
n 

4) Soit la suite  wn  définie par wn  5  un n 

calculer lim wn
a) montrer que  vn  est géométrique de raison q  13
n 
n
n 11 9
b) montrer que : Sn  u  u  ...  u      3n 
S
2 2 2
5) On pose ! Sn  vn  2 calculer lim k . 0 1
23 2
n
n 
k 0
 u0  2 u   1
Soit  un  la suite définie par u  2 u   22
pour tout n de Soit  un   0
la suite définie par  3 pour tout n de

 n 1 2 n 2 
un
 n 1 3 1  2u 
u

, un  1
n
1) a) Montrer que pour tout n de
1) Calculer u1 et u2 .
2  2 u 1
b) Montrer que pour tout n de , un 1  un 
2
 n  2) Montrer que pour tout n de , un  0

c) déduire que la suite  un  est décroissante et convergent. 3) a) Montrer que tout n de ,

un 1 1
un

3
2) On pose pour tout n de , vn  un  1
b) En déduire la monotonie de la suite  un 
a) Montrer que  vn  est une suite géométrique et déterminer sa
raison et son premier terme.
c)Montrer que la suite  un  est convergent.

b) Ecrire  un  en fonction de n puis déduire la limite de  un  4) a) Montrer que pour tout n de ,

1
un 1    un ;
3
c) Calculer la somme S  u0  u1  u2 .u2023 n 1
1
b) Montrer que pour tout n de , un   
3
c) calculer la limite de la suite  un 
u  1
 0 3
Soit  un  la suite définie par  1  un pour tout n de
un 1  3  u u0  7
 n
Soit  un  la suite définie par u 
un  8 2  un pour tout n de
1) a) Montrer que pour tout n de , 0  un  1 
 n 1
9
 un  1
2
1) Calculer u1 et u2 .
b) Montrer que pour tout n de , un 1  un 
3  un 2) Montrer que pour tout n de , 2  un
c) Montrer que la suite  un  est convergent. 3) a) Montrer que un  strictement décroissant.
1
3) On pose pour tout n de , vn 
1  un b) Montrer que la suite  un  est convergent.

a) Montrer que  vn  est une suite arithmétique et déterminer sa 4) Soit la suite  vn  définie par  n   ; vn  un  2  2
raison et son premier terme.
a)-Montrer que  vn  est géométrique de raison q  13
b) Ecrire  vn  en fonction de n
b)-Ecrire  vn  en fonction de n
c) déduire la limite de  un 
4) Déterminer la plus valeur de n pour que un  1011
c-Calculer la limite de  un 
1012
5) Calculer la somme : Sn  u0  2  u1  2  ...  un  2

 u0  3
Soit  un  la suite définie par u
n 1 
3un  2 pour tout n de
 u0  1

 un  2
Montrer que pour tout n de , 2  un
Soit  un  la suite définie par u 
3
2un pour tout n de
1) a) 

n 1
3un2  1
  un  2  un  1 1) Montrer que pour tout n de , un 0
b) Montrer que pour tout n de , un 1  un 
un  2
2) a) Montrer que la suite  un  est décroissant
 un 
 un 
c) Montrer que la suite est convergent.
b) déduire que la suite est convergent.
Montrer que pour tout n de , un 1  2   un  2 
2) a)
1
4 1
3) a) Montrer que pour tout n de , un 1    un ;

 2
n
b) En déduire que pour tout n de , 0  un  2 
1
n
4 1
b) Montrer que pour tout n de , un   
c) Calculer la limite de  un  2
2  un c) calculer la limite de la suite  un 
2) On pose pour tout n de , vn 
1  un 2  un
4) Soit la suite  vn  définie par  n   ; vn 
a) Montrer que  vn  est une suite géométrique et déterminer sa 1  un
raison et son premier terme. a)-Montrer que  vn  est convergent
b) Ecrire  un  en fonction de n puis déduire la limite de  un  b)-Calculer la limite de  vn 
c) Calculer en fonction de n le produit : Pn  v0  v1  vn1
 Primitives d’une fonction
1) Définition.
Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On appelle fonction primitive, ou primitive de f sur I, toute fonction F définie et dérivable sur I telle
que : (∀ x ∈ I ) ; F ’( x ) = f( x )
2) Propriétés.
Propriété1 : Toute fonction continue (dérivable) sur un intervalle I admet une primitive sur I.

Propriété2: Soit F une primitive de f sur un intervalle I.

 L’ensemble des primitives de f sur l’intervalle I est l’ensemble des fonctions définies sur I par:
. x  F ( x) + k avec k ∈ IR
 En particulier, si a ∈ I et b ∈ IR , alors il existe une unique primitive de f sur I telle que: F (a ) = b.

Propriété3: Soit F une primitive de f sur un intervalle I, alors G est une autre primitive de f sur
l’intervalle I si et seulement si : G( x ) = F( x ) + k, où k ∈ IR.
3) Propriétés de calculs sur les primitives.
Primitives des fonctions usuelles - Soient u et v deux fonctions dérivables sur I.
f ( x) F ( x) - U et V des primitives de u et v sur I
f ( x) F ( x)
k k.x + c
x n+1 u( x ) + v ( x ) U ( x) + V ( x) + c
xn +c
n+1
λ .u( x ) λ .U ( x ) + c
x r +1
x / ( r ∈  − {0; −1} )
r
+c 1 2
r +1 u '× u u +c
2
1 1
− +c u '( x ) 1
x2 x − +c
( u( x ) )
2
1
u( x )
x
2 x +c u '( x )
sin x − co s x + c 2 u( x ) + c
u( x )
cosx sin x + c
u '( x )
1 + tan 2 x tan x + c n −1 n. n u( x ) + c
n u( x )
1
sin(ax + b ) − cos(ax + b ) + c
ur +1
u '× u r / ( r ∈  − {0; −1} )
a
+c
cos(ax + b )
1
sin(ax + b ) + c r +1
a

EXERCICES
Exercice 1: Exercice2:
Soit f : x  x − 3 x +2 7 définie sur I = [ 3,+ ∞[ .
Déterminer l’ensemble des primitives de chacune des 3 2

fonctions suivantes sur l’intervalle I. ( x −2)

1) f : x  x3 – 2x2 + 3x – 5 sur I=IR. 1) Déterminer a,b et c de façon que :
2) g : x  ×
3x2 (x3
– 1)2
sur I= IR. c
f ( x )= a x + b +
( x − 2)
2
2x
3) h : x  2 sur I= [4 ; +∞[.
(x – 3)3 2) Calculer les primitives de f sur I = [ 3,+ ∞[ .
x
4) g : x  sur I=IR. 3) En déduire la primitive F de f sachant que
x² + 1
F ( 3) = 1 .
5) f : x  tan 2 ( x ) sur I= IR .

17
 Fonction logarithme
I) Fonction logarithme népérien.
Activité : Conséquences
1 La fonction ln est
1) Montrer que la fonction x admet une primitive sur l’intervalle
x définie, continue et
]0 ; + ∞[ . dérivable sur ]0; + ∞[ ,
1
Définition: La primitive de la fonction x  sur ]0 ; + ∞[ qui s’annule en 1 et pour tout réel
x
strictement positif
(c’est-à-dire ln(1) = 0 ), est appelée la fonction logarithme népérien, cette
1
fonction est notée ln. on a : ln′ ( x ) =
x
2) En déduire que la fonction ln est continue et dérivable sur = I ]0 ; + ∞[ , et
Propriétés algébriques
que ln est strictement croissante sur I . Pour tous réels a et b
3) Etudier le signe de la fonction ln sur ]0 ; + ∞[ .
strictement positifs,on a:
4) Montrer que pour tous réels x et y strictement positifs, on a :  ln ( ab
= ) ln a + ln b
ln x= ln y ⇔ x= y et ln x < ln y ⇔ x < y
a
5) Montrer qu’il existe un, et un seul, nombre e de l’intervalle ]2, 71 ; 2, 72[ tel  ln  = ln a − ln b
b
que ln ( e ) = 1 . 1
f ( x ) ln( kx ) − ln( x ) et k > 0 .
6) Soit f une fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par: =  ln   = − ln a
a
a- Montrer que f ' est nulle, puis en déduire la monotonie de f.  ln ( e ) = 1
ln ( a n ) n ln a ( n ∈  )
b- Donner f (1) , puis en déduire que ln(= kx ) ln( k ) + ln( x ) .
 =
c- En déduire que pour tout couple (a; b) de réels strictement positifs et
pour tout relatif n on a : ln ( ab
= ) ln a + ln b ; a
ln  = ln a − ln b ; ( )
1
 ln a = ln a
2
b
1
ln   = − ln a
a
; ln ( a n ) = n.ln a et ln ( e n ) = n . ( )
1
 ln n a = ln a
n
7) On admet que xlim
→+∞ x→0 +
( en ) n ( n ∈ )
ln x = +∞ . En déduire que lim ln x = −∞ puis interpréter  ln=
graphiquement le résultat. Equations et
ln x inéquations
8) Calculer lim et donner l’équation de la tangente de (C ln ) au point
x →1 x −1 Pour tous réels x et y
ln ( 1 + x ) strictement positifs, on a:
A(1; 0) puis en déduire lim
x→0
.
x  ln x= ln y ⇔ x= y
9) Considérons la fonction g définie sur [1; + ∞[ par g=( x ) 2 x − ln( x ) .
 ln x < ln y ⇔ x < y
a) Montrer que la fonction g est croissante sur [1; + ∞[ .
 ln x ≤ 0 ⇔ 0 < x ≤ 1
b) Montrer que la fonction g est minorée par 2, et en déduire que  ln x ≥ 0 ⇔ x ≥ 1
ln x 2
(∀x ≥ 1); 0 ≤ ≤ . Limites
x x
• lim ln x = +∞
ln x x →+∞
c) Calculer lim
x →+∞ x
et interpréter graphiquement le résultat, puis calculer ln x
• lim =0
x →+∞ x
lim x ln x .
x → 0+
• lim+ ln x = −∞
x→0
10) Etudier la concavité de ln, puis tracer (C ln ) dans un repère orthonormé.
• lim+ x ln x = 0
11) Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I . x→0

ln x
Montrer que x  ln ( u( x ) ) est dérivable sur I et que ( ln ( u( x ) ) ) ' = u '( x ) . • lim
x →1 x −1
=1
u( x )
ln ( 1 + x )
Corollaire :Si u est une fonction dérivable sur I telle que u( x ) ≠ 0 pour tout • lim =1
x→0 x
u ′( x ) ln x
réel x de I, alors la fonction f :x admet des primitives de la forme : • lim n = 0 / n ∈ IN ∗
u( x ) x →+∞ x

x  ln u( x ) + c où c est une constante réelle. • lim+ x n ln x = 0 / n ∈ IN ∗

x→0

18
II) Logarithme de base a avec a ∈ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ; + ∞[ .

Définition :
ln x
La fonction logarithme de base a, noté log a , est la fonction définie sur ]0; + ∞[ par : log a ( x ) = .
ln a
Propriétés : Pour tous réels x et y strictement positifs, et a ∈ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ; + ∞[ on a :
1 x
log a ( a ) = 1 log a ( ) = − log a ( x ) =
log a( ) log a ( x ) − log a ( y ) =
log a ( xy ) log a ( x ) + log a ( y )
x y
1 1
log a (1) = 0 log a (a x ) = x log a ( x r ) = r log a ( x ) =
(log a )'( x) ×
ln(a ) x
log a=
( x ) log a ( y ) ⇔
= x y log a ( x ) ≤ log a ( y ) ⇔ x ≥ y si a ∈ ]0;1[ log a ( x ) ≤ log a ( y ) ⇔ x ≤ y si a > 1
ln( x )
Remarques : • log=
e ( x) = ln( x )
ln( e )
• Si a ∈ ]0;1[ la fonction log a est strictement décroissante sur ]0; +∞[
• Si a ∈ ]1; +∞[ la fonction log a est strictement croissante sur ]0; +∞[
log d (a )
• Formule de changement de base log b (a ) =
log d ( b )

III) Logarithme décimal.

Définition :
ln x
La fonction logarithme décimal, noté log, est la fonction définie sur ]0; + ∞[ par : log( x ) = .
ln10

Propriétés : Pour tous réels x et y strictement positifs on a :

1 x
log(10) = 1 log( ) = − log( x ) =
log( ) log( x ) − log( y ) =
log( xy ) log( x ) + log( y )
x y
1 1
log(1) = 0 log(10n ) = n log( x r ) = r . log( x ) =
(log)'( x) ×
ln(10) x
log(a ) ln( x )
Formule de changement de base log b (a ) = log( x ) =
log(b ) ln(10)

19
 EXERCICES ET PROBLÈMES 2) a) Etudier la dérivabilité de f à droite en 1. et
Interpréter géométriquement le résultat trouvé.
Exercice 1: b) Dresser le tableau de variation de f.
Simplifier les expressions suivantes. 3) a) Déterminer l’intersection de (∆):y = x et (C f )
( )
A = ln 3 − 3 + ln 3 + ( 3 ) b) Tracer (C f ) et (∆).
2 4) a) Montrer que f admet une fonction
B = ln e 3 − ln + ln 2
e réciproque g définie sur = J [ 0, +∞[ .
1  
C = 3 ln 2 + ln 9 − 2 ln(2 6 ) b) Tracer la courbe (C f ) dans le repère (O , i , j ) .
2
Exercice 2: 5) On considère la suite ( un ) définie par :
Résolvez dans IR les équations suivantes. = u0 0= et un+1 g( un ) pour tout n de IN.
1) ln x + ln(3 x + 2)
= ln(2 x + 3) a) Montrer que pour tout n de IN on a: 0 ≤ un ≤ e .
2) ln( x − 3) + ln( x + 1)= ln( x + 7)
b) Montrer que la suite ( un ) est décroissante.
3) 4 ( ln x )2 − 4 ln x − 3 = 0
c) Trouver la limite de la suite ( un ) .
Exercice 3:
Résolvez dans IR les inéquations suivantes. Exercice 8:
Partie1 : Soit g la fonction définie sur ]−1; + ∞[
1) ln ( 3 − x ) − ln ( x + 1) ≤ 0
2x
2) 4 ( ln x )2 − 4 ln x − 3 ≤ 0 par : g ( x) = − ln ( 1 + x )
x +1
Exercice 4: 1) Dresser le tableau de variation de g.
Déterminer le domaine de définition de la 2) Montrer que l’équation g(x) = 0 admet dans
fonction f. l’intervalle ]−1; + ∞[ deux solutions 0 et α et vérifier
1) f ( x ) = ( ln( x ) − 2 ) 4 − x que 3,8 < α < 4.
3) En déduire le signe de g ( x ) sur ]−1, +∞[
2) f ( x=
) 1 − ln x
4) Montrer que ( ∀x ∈ ]−1; + ∞[ ) : g( x ) ≤ 1
2x
3) f ( x) = 4) f ( x) ln(ln(ln( x))) Partie2 : Soit f la fonction définie sur [ 0, +∞[ par :
1 − ln x
Exercice 5: ln ( 1 + x )
f (=
x) si x > 0 et f (=
0) 0 .
Calculez les limites suivantes. x
ln (1 + 3x ) ln ( x + 3) On désigne par (C f ) la courbe représentative de f
=
A lim B lim  
x →0 x x →+∞ x dans un repère orthonormé (O , i , j ) du plan.
1  ln ( x 2 + 4 x ) 1) Montrer que f est continue sur [ 0, +∞[ .
C= lim x ln  + 1 D= lim
x →+∞
x  x →+∞ x 2) Etudier la dérivabilité de f à droite en 0.
1 ( x + 2 ) ln x g ( x)
E=
lim+ x ln(1 + ) F= lim 3) Montrer que (∀x > 0); f ' ( x ) = .
x →0 x2 x →1 x2 −1 2x x
 2  2 4) Dresser le tableau de variation de f
= lim+ x + 1 −  ln x
G H= lim x + 1 −  ln x
 x  x 5) vérifier que : f (α ) = 2 α .
x →0 x →+∞

Exercice 6: 1+α
 
Calculer f '( x). 6) Tracer la courbe (C f ) dans le repère (O , i , j ) .
1) f ( x )= x 2 ( 2 ln x − 1) 2) f ( x )= ln 1 + 4 x + x 2
Exercice 9:
Déterminer une primitive F de la fonction f sur I.
x 2 ln x ln(1 + x 2 )
3) f ( x) = 4) f ( x) 1) f ( x ) =
3
; I = ]−0, 5; +∞[ .
1+ x x 2x + 1
Exercice 7: 4x − 2
= 2) f ( x ) = ; I IR .
La fonction f définie sur [1, +∞[ par : x 2
− x +1
1
f ( x ) = x ln x . On désigne par (C f ) sa courbe 3) f ( x=) ; I= ]1; + ∞[
  x ln x
représentative dans un repère orthonormé (O , i , j ) . ln x
4) f ( x=
)
x
; =
I ]0; + ∞[
I [1; +∞[ .
1) Montrer que f est continue sur=
= =
5) f ( x ) tan x ; I  0; π2 

20
Exercice 10: b) En déduire lim f ( x ) . et interpréter le
x →+∞

Partie A: Soit g une fonction définie sur ]0; + ∞[ résultat trouvé géométriquement.
par : g ( x ) = x 3 − x − 2 ln( x ) + 1 4) a) Démontrer que ( ∀x > 0 ) ; f '( x ) =g( x2 ) .
x
1) Montrer que pour tout x de ]0; + ∞[ on a : b) En déduire les variations de f.
( x − 1)(3 x 2 + 3 x + 2) 5) Construire (C f ) dans un repère orthonormé.
g '( x ) =
x
Exercice 12:
2) Etudier les variations de la fonction g puis
déterminer le signe de g(x). Partie A: Soit g la fonction définie sur ]0; + ∞[ par :
Partie B: Soit f une fonction définie sur g ( x ) = x + ( x − 2)ln x
1 ln x
]0; + ∞[ par : f ( x ) = x + + 2 , et (C f )
x x  x −1
désigne la courbe de la fonction f dans un a) Montrer que : ( ∀x > 0 ) ; g '( x ) =2   ln x
  x 
repère orthonormal (O , i , j ) . (unité 2 cm)
1) Calculer lim f ( x ) b) Etudier les variations de g. Puis en déduire
x →+∞
que la fonction g est strictement positive.
2) Calculer lim f ( x ) et interpréter graphiquement
x → 0+ Partie B: Soit f la fonction définie sur ]0; + ∞[ par :
g( x )
3) Montrer que : ( ∀x > 0 ) ; f '( x ) = 3 , puis
f ( x) =
1 + x ln x − (ln x )2 et (C f ) désigne
x
donner le tableau de variation de f. la représentation graphique de la fonction f dans
4) Vérifier que la droite (∆) d'équation y = x est  
un repère orthonormal (O , i , j ) . (unité 2 cm)
asymptote oblique à (C f ) en + ∞.
5) Soit h la fonction définie sur ]0; + ∞[ par : 1) Calculer lim f ( x ) , et interpréter
x → 0+
h( x )= x + ln x géométriquement le résultat trouvé.
a) Montrer que l'équation h(x) = 0 admet une 2) Montrer que (C f ) admet une branche
solution unique α sur l'intervalle  12 ;1 . Et parabolique dirigée vers l’axe des ordonnées.
vérifier que e – α = α . 3) a) Vérifier que ( ∀x > 0 ) ; f '( x ) =g ( x ) , et
b) Etudier la position relative de (C f ) et (∆) . x
  étudier les variations de f.
6) Construire (C f ) et (∆) dans le repère (O , i , j )
b) En déduire que f admet une fonction
Exercice 11: réciproque f définie sur un intervalle J que l’on
−1

Partie A :g est la fonction définie sur [ 0; +∞[ par :

précisera.
2 x2
g( x ) = − ln(1 + x 2 ) 4) a- Ecrire une équation cartésienne de la
x2 + 1
tangente (T)
1) Démontrer que l'équation g(x)=0 admet une
solution unique α sur l'intervalle ]1; +∞[ . à la courbe (C f ) au point d’abscisse 1.
2) Préciser le signe de g(x) sur l'intervalle [ 0; +∞[ b- Etudier le sens de variation de la fonction h
I [ 0; +∞[ par
Partie B : f est la fonction définie sur = définie sur ]0; + ∞[ par : h(x) = x –1– lnx.
ln(1 + x 2 ) En déduire le signe de h(x).
f (=
x) si x > 0 et f (0
= ) 0
x c- Montrer que f ( x ) – x = ( ln x – 1) .h( x ) et en
1) Montrer que f est continue à droite en 0. déduire la position de (C f ) par rapport à (T).
2) Calculer lim f ( x ) ,et interpréter  
x → 0+ x 5) Tracer les courbes (C f ) et (C f ) dans (O , i , j )
−1

géométriquement le résultat trouvé.

3) a) Vérifier que:
2 ln x 1  1 
( ∀x > 0 ) ; =
f ( x) + ln  1 + 2 
x x  x 

21
Problème 4) Construire la droite ( D ) et la courbe ( C f ) dans

( )
Partie I : Soit g la fonction numérique définie sur
le repère O, i, j
]0, +∞[ par : g( x=) 2 x − 2 − ln x
2  2
On considère ci-dessous le tableau de variations 5) a) Vérifier que H : x  x x  ln x −  est une
de la fonction g sur ]0, +∞[ 3  3
fonction primitive de la fonction
h : x  x ln x sur ]0, +∞[
b) Calculer, en cm 2 , l’aire du domaine plan
limité par la courbe ( C f ) , la droite ( D ) et
les droites d’équations x = 1 et x = e
1) Calculer g (1) . 6) a) Montrer que la fonction f admet une
2) En déduire à partir du tableau le signe de la
fonction réciproque f −1 définie sur [ 0, +∞[ .
fonction g 
Partie II : (
b) Construire dans le même repère O, i, j la )
On considère la fonction numérique f définie sur .courbe représentative de la fonction f −1
 f ( x) =
x − x ln x , x > 0 c) Calculer f (e) puis montrer que f −1 est
[0, +∞[ par : 
 f ( 0) = 0
 dérivable en e − e
Soit ( C f ) la courbe représentative de f dans un

(
.d) Calculer ( f −1 ) ' e − e )
(
repère orthonormé O, i, j ) (unité : 2 cm ). Partie III : Soit ( un ) la suite numérique définie
1) a) Montrer que lim x ln x = 0 . par : u0 =
3
et un +1 = f (un ) pour tout n de IN
x →0
x>0 2
.b) Montrer que f est continue à droite en 0 1) Montrer par récurrence que un ≥ 1 pour tout n

2) a) Vérifier que
ln x
=2
ln x ( )
pour tout x de
de IN
x x 2) Montrer que la suite ( un ) est décroissante et en
]0, +∞[ et en déduire que xlim
ln x déduire qu’elle est convergente.
=0 .
3) Déterminer la limite de la suite ( un ) .
→+∞ x
 ln x 
b) Vérifier que f (=x) x 1 −  pour tout x Déduire la limite de la suite ( vn ) définie par:
 x
.de ]0, +∞[ puis calculer lim f ( x) vn = f −1 ( un ) pour tout n de IN .
x →+∞

c) Montrer que la courbe ( C f ) admet une

branche parabolique de direction la droite ( D )
.d’équation y = x au voisinage de +∞
d) Montrer que la courbe ( C f ) est au-dessous
.de la droite ( D ) sur l’intervalle [1, +∞[
f ( x)
3) a) Calculer lim puis interpréter
x →0 x
x>0

géométriquement le résultat
g ( x)
b) Montrer que f '( x) = pour tout x de
2 x
]0, +∞[ puis calculer f '(1)
c) Dresser le tableau de variations de f sur
[0, +∞[

22
 Prof ::Nassabi Abdessamiâ

1) Résoudre dans les équations suivantes: Partie I :

Soit g la fonction sur I  0;  par : g ( x)  2 x  4ln x  4
2

 ln  x 2   4
1 15
 ln 2 1  x   9  ln  x   
ln  x  4 1) Calculer lim g ( x) et lim g ( x)
x  x 0

1  ln  x  3  ln  x  2 x  3
2
 ln 4
 x   10ln  x   9
2
2) Calculer g '( x) puis dresser le tableau de variations de g
2) Résoudre dans les inéquations suivantes : 3) Déduire que g ( x)  0 ; x  0; 
ln 2  x 
  ln x  31  2 ln x   0  ln  x 2  1  ln  x  2  
1 Partie II :
6
2 ln  x  Soit f la fonction définie sur I par : f ( x)  2 x  3  4
ln x
1 3 x
 ln   x     ln 3  x   ln 2  x   ln  x   1
ln   x  2 1) Calculer lim f ( x) puis interpréter le résultat graphiquement
x 0

3) Résoudre dans
2
les systèmes suivants : 2) a)Calculer lim f ( x)
x 

ln  x y   5

; x+ y  e
 b)Montrer que la droite    d’équation y  2x  3
3 2
est une



ln  x   4 ln  y   3 ln  x   ln  y   2  ln 3 asymptote oblique à  C f  au voisinage de 
4) Pour chacun des cas suivants ,déterminer le plus entier c)Déterminer la position relative de  C f  et la droite   
naturel n vérifiant l’inégalité correspondante :
g ( x)
2 n
10 5
(1.1)n 100 4 n
0.03 3) a) Vérifier que f '( x)  ; x  0; 
x2
n n
7 5.5 b) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur I
25 1
100
4 40 1
100
1 4) Donner l’équation de la tangente (T) à  C f  au point d’abscisse 1
5) Tracer la droite    et la courbe de  C f  .
1) Calculer les limites suivantes :
3ln x 2 1 ln( x) 1 Partie I :
lim : lim : lim x ln 1   x2
1 ln x x 3 ln( x) x x  f  x   x ln 
x 0
  ;x 0
Soit f la fonction définie sur par :   x  .
2 ln(1 x 3 x 1  f  0  0 ; x  0
lim ln x ln x : lim : lim x ln 
x 0 x 3 x 3 x x 1
1)Montrer que f est continue à droite en zéro
2
ln x 3ln x 2 x 2 ln( x) 3x 2 2)Étudier la dérivabilité de la fonction f à droite en zéro , puis
lim : lim : lim ln
x e x e x 0 2 ln( x) x 4x 1 interpréter le résultat graphiquement
ln( x 1) ln(1 x 3 ) x x 3)Calculer lim f ( x) puis interpréter le résultat graphiquement
x 
lim : lim : lim ln
4)Calculer f '  x  , puis vérifier que :  x   f ''  x   x( x42)
2
x ln(5 x 3) x 0 x x x 2 2 
 2

2) Calculer f '  x  dans chacun des cas suivantes : 5)Étudier les variations de la fonction f ' et déterminer lim f '  x 
x 

6)En déduire le signe de f '  x  puis dresser le tableau de

f ( x)  x 2  2 ln x  1 ; f ( x)  ln 1  4 x  x 2 ; f ( x)  x ln  x 2  1
variations de la fonction f
 3x  1 
3
 3  7)Donner l’équation de la tangente  T  à  C f  au point d’abscisse 2
f ( x)  ln   ; f ( x)   2   ; f ( x)  ln  ln x 
 x 1   ln x
8)Tracer la droite  T  et la courbe de  C f  .
3) Déterminer une primitive F de la fonction f sur I.
2x 1 Partie II :
f x ;I 2x
2
x x 1 Soit h la fonction définie sur 
 par : h  x  
x2
1) Montrer que :  x    ; f  x   h  x   xf   x  .
x
f x 2
;I
x 1
2)Résoudre dans 
 l’inéquation f  x   h  x 
1 Partie III :
f x ; I 1;
x ln x On considère la relation  R  suivante :  x  
  ; g  x   xg  x   h  x 
'

ln x g  x
f x ; I 0; On pose : G  x   pour tout x  
x x
1)Montrer que la fonction g vérifier la relation  R 
f x tan( x) ;I 0;
2 si, et seulement si :  x  
  ; G  x   x 1 2  1x
'

2)En déduire toutes les fonction g vérifier la relation  R 

Partie I : Partie I :
Soit g la fonction sur I  0;  par : g ( x)  x  1  ln x x 1

Soit g la fonction sur I  1;  par : g ( x)  ln ln  x    x ln  x 
1) Calculer g '( x) puis dresser le tableau de variations de g
2) Montrer que l’équation g  x   0 admet une solution unique  1) Calculer lim g ( x) et lim g ( x)
x  x 1

sur I .puis vérifier que : e    e

2 1
2) Calculer g '( x) puis dresser le tableau de variations de g
3) dresser le tableau de signe g sur I 3) Montrer que l’équation g  x   0 admet une solution unique 
Partie II :
sur I .puis vérifier que : 6.4    6.5
 x ln x
  f  x  ;x 0 4) dresser le tableau de signe g sur I
Soit f la fonction définie sur par :  x 1
 f  0  0 Partie II :
 ;x  0
 x 1
 f  x   ln ln  x  ; x 1; x  e
1) Montrer que f est continue à droite en zéro
Soit f fonction définie sur 1;   e par :   
2) Étudier la dérivabilité de la fonction f à droite en zéro , puis f 1 0
  ;x 1
interpréter le résultat graphiquement
3) Déterminer la nature de la branche infinie au voisinage  1) Montrer que f est continue à droite en 1
g  x 2) Étudier la dérivabilité de la fonction f à droite en 1 , puis
4) Montrer que  x  
 ; f  x 
 x  1 interpréter le résultat graphiquement
2

3) Calculer lim f ( x) et lim f ( x) puis interpréter les résultats

5) Vérifier que f     puis Dresser le tableau de variation de f x  e x  e

graphiquement
 f  x    2 x ln x  ( x  1)
2
6) Montrer que  x  

''
1) Étudier la nature de la branche infinie au voisinage 
x  x  1
3
g  x
2) Montrer que  x  1;   e ; f   x  
7) Montrer que 2 x ln x et x  1 ont le même signe sur chacun
2
 ln  ln x  
2

intervalles 0;1 et 1;

3) Vérifier que f     ln   puis dresser le tableau de variation de f
8) Montrer que la courbe  C f  admet un unique point d’inflexion que
4) Tracer (C f ) .(on prend   6.45 )
l’on déterminera .
Partie III : 5) Résoudre graphiquement dans l’intervalle e ;  l’inéquation :
soit la fonction h définie sur  ;  par : h( x)  f  x  ln  ln  x    x  1
1) Montrer que h admet une fonction réciproque h 1 définie sur un
intervalle J à déterminer Partie I :
Soit g la fonction sur I  0;  par : g ( x)  x  x  2  2ln x
2
2) Vérifier que h    1
1
  à partir du tableau de variation de la fonction g en-dessous :
3) Montrer que :  h '1
1

1

Montrer que :
  x  0;1  g  x   0
4) Tracer (Ch1 ) et (C f )
  x  1;   g  x   0
Partie I :
2x
Soit g la fonction définie sur 1;  par : g  x    ln 1  x 
x 1 Partie II :
1) Dresser le tableau de variation de g.  2
par : f  x   x  1   ln x

Soit f la fonction définie sur
2) Montrer que l’équation g(x) = 0 admet dans l’intervalle 1;    x
deux solutions 0 et α et vérifier que 3,8 < α < 4. 1) Calculer lim f ( x) puis interpréter le résultat graphiquement
3) En déduire le signe de g( x ) sur 1;  x 0

2) Etudier la branche infinie au voisinage 

4) Montrer que  x  1;    : g ( x)  1 3) Etudier les variations de f sur 0; 

 x
Partie II :
 ln  x  1 4) Résoudre dans l’intervalle 0;  , l’équation 1  2 ln x  0
 f  x  ;x 0
Soit f la fonction définie sur  0,  par :  x . 5) En déduire que la courbe (C f ) coupe la droite  D  : y  x en
 f  0  0 ;x  0
 deux points dont on déterminera les coordonnées.
1) Montrer que f est continue sur  0,  . 6) Etudier la position relative de la courbe (𝑪𝒇 ) et la droite  D  )
2) Etudier la dérivabilité de f à droite en 0. 7) Tracer la droite  D  et (C f ) .(On admet que (C f ) admet un
g  x
3) Montrer que (x  0); f '  x   . point d’inflexion unique dont l’abscisse est entre 2,4 et 2,5 )
2x x Partie III :
4) Dresser le tableau de variation de f On considère la suite (𝑼𝒏 ) définie par : 𝑼𝟎 = √𝟑 et 𝑼𝒏+𝟏 = 𝒇(𝑼𝒏 )
pour tout 𝒏 ∈ ℕ.
5) vérifier que : f    2  . 1) Montrer par récurrence que pour tout 𝒏 ∈ ℕ : 𝟏 ≤ 𝑼𝒏 ≤ 𝟐.
1 
2) Montrer que la suite (𝑼𝒏 ) est décroissante.
6) Tracer la courbe (C f ) dans le repère (O, i , j )
3) En déduire que la suite (𝑼𝒏 ) est convergente et calculer sa
limite.
 Fonction exponentielle
I) Fonction exponentielle népérienne.
Activité : Conséquences
1) Montrer que la fonction ln admet une fonction réciproque définie sur IR. La fonction exp est définie,
Définition: La fonction réciproque de la fonction ln est une fonction définie continue et dérivable sur
sur IR est appelée la fonction exponentielle népérienne ou naturelle et se IR, et pour tout réel on a :
exp( x ) = y ⇔ x = ln y avec x ∈ IR et y > 0
exp( x ) = e x et ( e x ) ' = e x
note exp . donc
2) Calculer exp(0) et exp(1) . ..e ≈ 2,7182818284 59045235
• Le nombre e est
3) déduire que la fonction exp est continue , dérivable et strictement un nombre irrationnel.
croissante sur IR.
4) Etudier le signe de la fonction exp sur IR. • Si u est dérivable sur I,
5) En déduire que pour tout couple (a; b) de réels on a : alors la fonction x  e u( x )
exp a 1
o exp ( a + =
b ) exp(a ) × exp(b ) ; exp ( a − =
b) et exp ( −=
a) est dérivable sur I et on a :
( e u( x ) ) ' = u′( x )e u( x ) .
exp b exp a
 
6) Tracer la courbe de la fonction exp dans un repère orthonormé ( O , i , j).
exp x Propriétés algébriques
7) En déduire les limites suivantes : xlim
→+∞
exp( x ); lim exp( x ) et lim
x →−∞ x →+∞
.
x Pour tous réels a et b , on a:
8) Déterminer exp'( x ) et ( exp( u( x )) ) ' tel que u une fonction dérivable .  ea × eb = ea+b
exp( x ) − 1 ea
9) Calculer lim
x→0
et donner l’équation de la tangente de (Cexp ) au  = ea−b et
1
= e−a
x eb ea
point B(0;1) .
( e a ) e na ( n ∈  )
n
=
10) Montrer que ( ∀r ∈ Q ) :exp( r ) =e r .
 e ln b = b avec b>0

Equations et inéquations
Définition : Pour tous réels x et y , on a :
On appelle  ex > 0
fonction  ex = ey ⇔ x = y
exponentielle,  ex < ey ⇔ x < y
la fonction  x = ln y
 e x= y ⇔ 
réciproque de la y > 0
fonction
logarithme Limites ( n ∈ IN ∗ )
• lim e x = +∞ • lim e x = 0
népérien. x →+∞ x →−∞
x
L’image d’un réel • lim e = +∞ ex
• lim n = +∞
x →+∞ x x → +∞ x
x par la fonction
= • lim xe x
0= • lim x n e x 0
x →−∞ x → −∞
exponentielle x
e −1
x • lim =1
est notée e x→0 x

Corollaire :Si u est une fonction dérivable sur I, alors la fonction x  u′( x )e u( x ) admet des
primitives de la forme : x  e u( x ) + c où c est une constante réelle.
II) Fonction exponentielle de base a avec a ∈ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ; + ∞[ .

Définition: La fonction réciproque de la fonction log a estune fonction définie sur IR est appelée la
fonction exponentielle de base a et se note exp a tel que : exp a ( x=) a=
x
e x ln a .
Dérivée de la fonction x  a x : ( ∀x ∈ IR ) ;expa '(=
x) (a x=
)' (e x ln a=
)' (ln a ).e x=
ln a
(ln a ).a x

Re marque • Si a ∈ ]0;1[ la fonction x  a x est strictement décroissante sur IR.

• Si a ∈ ]1; +∞[ la fonction x  a x est strictement croissante sur IR.

23
 EXERCICES ET PROBLÈMES Exercice 7 :
Exercice 1: Soit la fonction f définie pour tout réel x par:
1) Simplifier les expressions suivantes. f ( x )= (2 x 2 − 7 x + 5) e x
A = ( e x + e − x )2 − ( e x − e − x )2 1) Déterminer la dérivée seconde de f.
B =(e x − e − x )(e 2 x + e −2 x + 1)
2) Vérifier que :
2) Montre que pour tout x de IR on a :
( ∀x ∈ IR ) ; f ( x=
) 4e x + 2 f '( x ) − f "( x )

e− x − 1 1 − e x 3) Déterminer une primitive de la fonction f.

• −x = Exercice 8:
e + 1 ex + 1
Soit la fonction f définie pour tout nombre réel x
1 e− x
• x = par: f ( x )= x + 4 x , On désigne par (C f ) sa
e + 1 e− x + 1 1+ e
Exercice 2: → →

Résoudre dans IR les équations suivantes. courbe dans un repère orthonormé (O; i ; j ) .
1) e 2 x + e x − 2 = 0 1) Déterminer lim f ( x ) et lim f ( x ) .
x →+∞ x →−∞
2 x +1 x +1
2) e + e − 2e = 0 2

2) a) Montrer que: ( ∀x ∈ IR ) ; f '( x ) = 1− e x 

x
−x
3) e − 2e + 1 =
x
0  1+ e 
Exercice 3: b) Dresser le tableau de variation de f sur IR.
Résolvez dans IR les inéquations suivantes. c) En déduire que I (0; 2) est un point d’inflexion
1) e 2 x + e x − 2 < 0 3) Calculer lim f ( x ) − x et interpréter
x →+∞
ex − 1
2) e + 2e − 3 ≥ 0
2x x
3) x >0 graphiquement le résultat trouvé.
e −2 4) Montrer que la droite ( D ) d’équation y= x + 4
Exercice 4: calculer les limites suivantes. est une asymptote à (C f ) au voisinage de −∞
e2 x − 1
=A lim = E lim ( x 2 − x )e x 5) Etudier la position relative de (C f ) et ( D ) .
x →0 x x →−∞
6) Montrer que l’équation f ( x ) = 0 admet une
2e x
=B lim 2 = F lim ( 2 − x ) e − x solution unique α dans IR, et que −4 < α < −3
x →+∞ x + x x →+∞
1 7) En déduire que : eα =−1 − 4 .
= −x
= lim x (e − 1) α
 
x
C lim ln x .e G
x →+∞ x →+∞
8) Tracer la courbe (C f ) dans le repère (O , i , j ) .
e x + x2
D =−
lim x 2 e x H=
lim Exercice 9:
x →+∞ x →+∞ x +1 Soit f la fonction définie sur IR par:
Exercice 5:
(e )
2
−x
f=
( x) −1
Calculer f '( x) dans chacun des cas suivants.
On désigne par (C f ) sa courbe dans un repère
1) f ( x ) x=
.e x 2) f ( x ) e − x .ln x
→ →

ex orthonormé (O; i ; j ) . (unité: 2cm)

3) f=( x) 4) f= ( x ) ln(e x + e − x )
1+ e 2x 1) Calculer lim f ( x ) , et interpréter
x →+∞
Exercice 6 : graphiquement le résultat.
Déterminer une primitive F de la fonction f sur I. 2) Montrer que l’axe des ordonnées est une
− x +1
1) f ( x ) e= ; I IR . direction asymptotique de (C f ) au voisinage de −∞
1 3) a) Montrer que :
2) f ( x ) =−x
; I IR .
e +1
e 2x ( ∀x ∈ IR ) ; f =
'( x ) (
2e − x 1 − e − 2 x )
3) f ( x ) = ; I IR b) Dresser le tableau de variation de f.
e +1
2x

ex 4) Montrer que (C f ) admet un point d’inflexion .

4) f ( x ) = ; I IR
(e x + 1)2 5) Soit g la restriction de la fonction f sur [ 0; +∞[
1
e x a)Montrer que g admet une fonction réciproque g −1
5) f ( x ) = ; I IR
x2 b) Montrer que ( ∀x ≥ 0 ) : g −1 ( x ) =− ln (1 − x )
e2 x + e x − 1
6) f ( x) = ; I IR 6) Tracer (C f ) et (C g ) dans le même repère.
−1
ex −1

24
Exercice 10 : (Sujet 2019 Rattrapage) c) Vérifier que pour tout x de [ 2;4] :
Première partie: Soit f la fonction définie sur
2
e x − 4 − 1 ≤ 0 puis en déduire que pour tout
 x − 2  x −4 x de [ 2;4] : g( x ) ≤ 0.
IR∗ par: f ( x )= 2 + 8   e
 x  2) a) Vérifier que pour tout x de [ 2;4] :
On désigne par (C f ) sa courbe représentative  x−2
→ →
f ( x) − x =
 x 2  g( x )
dans un repère orthonormé (O; i ; j ) . (unité: 1cm)  
1) a) Vérifier que lim f ( x ) = 2 , et interpréter b) En déduire que pour tout x de [ 2;4] : f ( x ) ≤ x .
x →−∞

graphiquement le résultat. 3) On considère la suite ( un ) définie par :

b) Vérifier que lim f ( x ) = +∞ , et interpréter = u0 3= et un+1 f ( un ) pour tout n de IN.
x →0

graphiquement le résultat. a) Montrer que : (∀n ∈ IN ) :2 ≤ un ≤ 4 .

2) a) Calculer lim f ( x ) .
x →+∞
b) Déterminer la monotonie de la suite ( un ) ,
b) Montrer que l’axe des ordonnées est une puis en déduire quelle est convergente.
direction asymptotique de (C f ) au voisinage c) Calculer la limite de ( un ) .
de +∞ . Exercice 11 :
3) a) Montrer que pour tout x de IR∗ on a:
Partie A : On considère la fonction g définie
8( x − 2)( x 2 − 2 x + 4)e x − 4
f '( x ) = par : g( x ) =1 − ( 1 + x ) e x
x3
1) Dresser le tableau de variation de g.
b) Vérifier que ( ∀x ∈ IR ) ; x 2 − 2 x + 4 > 0 2) Calculer g(0). Puis en déduire le signe de g(x)
c) Montrer que f est strictement décroissante Partie B : Soit f la fonction définie sur IR par :
sur l’intervalle ]0; 2] , et strictement f (=
x ) x(1 − e x ) . On désigne par (C f ) sa courbe
→ →
croissante sur les intervalles dans un repère orthonormé (O; i ; j ) .
]−∞;0[ et [ 2; +∞[ .
1) Calculer lim f ( x ) et lim f ( x ) .
d) Dresser le tableau de variation de f sur IR∗ x →+∞ x →−∞
→ →
4) Tracer (C f ) dans le repère (O; i ; j ) . 2) Montrer que la droite ( D ) : y = x est une
asymptote oblique à (C f ) au voisinage de
5) a) Vérifier que la fonction H : x  1 e x − 4 est
x −∞ . Et préciser la position relative de ( D ) et

une primitive de la fonction h : x  x −2 1 e x − 4 (C f ) .

x
3) Montrer que (C f ) admet au voisinage de +∞
sur l’intervalle [ 2;4] .
b) Vérifier que : une branche parabolique de direction
( x − 1) x − 4 asymptotique l’axe des ordonnées.
( ∀x ∈ IR ) ; f ( x ) =
∗
2 + 8e x − 4 − 32
x2
e
4) a) Montrer que : (∀n ∈ IR ) : f ′( x ) =g( x )

∫
4
c) Calculer l’intégrale e x − 4 dx . b) Dresser le tableau de variation de f.
2
5) Montrer que (C f ) admet un point d’inflexion I
d) Calculer en cm 2 l’aire du domaine plan
limité par (C f ) et l’axe des abscisse et les dont on déterminera ses coordonnées.
droites d’équations= x 2=et x 4. 6) Construire ( D ) et (C f ) .
Deuxième partie : Partie C : On considère la suite ( un ) définie par :
1) Soit g la fonction définie sur [ 2;4] par: u0 =−1 et un+1 = f ( un ) pour tout n de IN .
8 ( x − 2) e x−4 − x 2
g( x ) = a) Montrer que : (∀n ∈ IN ) : − 1 ≤ un ≤ 0
a) Calculer g( 4).
b) Déterminer la monotonie de la suite ( un ) ,
b) Vérifier que pour tout x de [ 2;4] ,
puis en déduire quelle est convergente.
g( x ) =−( x − 4)2 e x − 4 + x 2 ( e x − 4 − 1) c) Calculer la limite de la suite ( un ) .

25
Problème1 : Problème 2
On considère la fonction f définie sur I = IR Partie I : Soit g la fonction numérique définie
1 − ln(1 + e − x )
par : f ( x ) = sur IR par : g( x ) = x + 1 − e x
Soit ( C f ) la courbe représentative de f dans 1) Déterminer g '( x) pour tout x de IR
 2) Poser le tableau de variation de la fonction g
un repère orthonormé O, i, j ( ) (unité : 2 cm ) (sans calcul de limites)
1) Montrer que lim f ( x) = 1 , puis interpréter 3) En déduire que pour tout x de IR , g ( x) ≤ 0
x →+∞
Partie II : On considère la fonction numérique
géométriquement le résultat. ( x 1) e − x − 1
2
f définie sur IR par : f ( x ) =−
2) a) Vérifier que f ( x ) = x + 1 − ln ( 1 + e x ) pour
Soit ( C f ) la courbe représentative de f dans un

tout x de IR .
b) Montrer que lim f ( x) = −∞ .
repère orthonormé O, i, j ( ) (unité : 2 cm )
x →−∞
x2 x 1
3) a) Vérifier que la droite ( D ) : y= x + 1 est une 1) a) Vérifier que f ( x) = x + 2 x + x − 1 pour
e e e
asymptote oblique à ( C f ) au voisinage de −∞ tout x de IR .
b) Déduire que lim f ( x) = −1 puis interpréter
b) Etudier la position relative ( D ) et ( C f ) x →+∞

géométriquement le résultat
1 f ( x)
4) a) Montrer que f '( x ) = avec x ∈ IR . 2) a) Calculer lim f ( x) et lim
1+ ex x →−∞ x →−∞ x
b) Dresser le tableau de variations de f . b) En déduire une branche infinie de ( C f ) au
voisinage de −∞
5) Etudier la concavité de ( C f ) sur IR .
3) a) Montrer que f '( x)= (1 − x 2 ) e− x pour tout x
6) a) Montrer que ( C f ) coupe la droite de IR .
(∆) : y = α ln(e − 1) .
x au point d’abscisse= b) Dresser le tableau de variations de f sur IR
b) Montrer que : f ( x) ≥ x ⇔ x ≤ α . 4) Montrer que la droite ( D) d’équation y = x
7) Montrer que la courbe ( C f ) coupe l’axe des est la tangente à ( C f ) en O .
5) a) Montrer que f ( x) − x = ( x + 1) e− x g ( x) pour
abscisses au point d’abscisse −α .

( )
tout x de
8) Tracer ( C f ) dans le repère O, i, j . b) Déduire la position relative de la courbe
9) a) Montrer que f admet une fonction ( C f ) et la droite ( D )
réciproque f −1 définie sur un intervalle J à 6) Montrer que l’équation f ( x) = 0 admet une
déterminer. solution unique α telle que 2 < α < 3
b) Calculer f −1 (0) et ( f −1 ) '(0) . 7) a) Montrer que f ''( x) = ( x 2 − 2 x − 1) e − x pour
tout x de IR
c) Tracer C f ( ) dans le même repère.
−1
b) Montrer que ( C f ) admet deux points
d) Déterminer f −1 ( x) pour tout x de J . d’inflexion dont on déterminera ses coordonnées.
10) Soit x  Fx()+ k avec k∈ IR la suite définie par : 8) Construire la courbe ( C f ) et la droite ( D )

u0 = 0 et un+1 = f ( un ) pour tout n de IN dans le même repère O, i, j ( )
a) Montrer que un ≤ α pour tout n de IN (On prendra
4
α ≈ 2,5 et − 1 ≈ 0,5 )
e
b) Montrer que la suite x  Fx()+ k avec k∈ IR est croissante et
9) Vérifier que H : x  − ( x + 2 ) e − x est une
en déduire qu’elle est convergente.
primitive de h : x  ( x + 1) e− x sur IR
c) Déterminer la limite de la suite ( un ) .

26
 2022 ‫اﻣﺘﺤﺎن ﺗﺠﺮﯾﺒﻲ – ﺧﯿﺎر ﻓﺮﻧﺴﯿﺔ ﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮﯾﺒﯿﺔ ﻣﺴﻠﻚ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﻔﯿﺰﯾﺎﺋﯿﺔ‬

Problème 11 points
 f ( x ) =x − x ln x ; x > 0
2

Partie 1: Soit f la fonction définie sur IR par: 

 f ( x ) =
x + x 2e x ; x ≤ 0
 
Et soit ( C f ) la courbe de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( O ; i; j ) avec  i = 1cm ( )
0,5 1) Montrer que ƒ est continue en 0 .
0,75 2) Montrer que ƒ est dérivable en 0 ,puis interpréter les résultats obtenus géométriquement.

, puis en déduire que ( C f ) admet une branche parabolique

0,75 f ( x)
3) Calculer lim f ( x) et lim
x →+∞ x →+∞ x
de direction l’axe des ordonnées au voisinage de +∞ .
0,75 4) a. Calculer lim f ( x) , puis montrer que la droite ( D) : y = x est une asymptote à la courbe
x →−∞

( C ) au voisinage de −∞ .
f

0,5 b. Montrer que ( C f ) située au dessus de la droite ( D ) sur l’intervalle ]−∞;1] .

0,75 5) a. Montrer que: f '( x ) = 1 − x − 2 x ln x ; x > 0 et f '( x ) = 1 − e x + ( x + 1)2 e x ; x ≤ 0

0,75 b. Montrer que ƒ est strictement croissante sur l'intervalle ]−∞;1] et qu’elle est strictement

décroissante sur l'intervalle [1; +∞[ .

0, 5 c. Dresser le tableau de variation de f sur IR . (remarquer que f '(1) = 0 )

0,5 6) a. Montrer que l’équation f ( x) = 0 admet une solution unique α dans l’intervalle ]1; 2[ .
1
0,25 b. En déduire que ln(α ) =
α
0, 5 7) a. Montrer que : f ''( x) = ( x 2 + 4 x + 2)e x pour tout x l'intervalle ]−∞;0]
0,5 b. Vérifier que ( C f ) admet deux points d’inflexions d’abscisses −2 + 2 et −2 − 2 .

1 8) Construire la courbe ( C f ) dans le repère ( O ; i; j ) .
α 3α 2 − α 3 + 1
0,75 9) a. A l’aide d’une intégration par partie montrer que : ∫
1
x 2 ln x dx =
9
0,5 b. Calculer, en cm 2 , l’aire du domaine plan délimité par la courbe ( C f ) , la droite ( D) ,
et les deux droites d’équations x = 1 et x = α

Partie 3 : Soit x  Fx()+ k avec k∈ IR la suite définie par : u0 = 0, 2 et un +1 = f (un ) pour tout n de IN

0,5 1) Montrer que 0 < un < 1 pour tout n de IN

0,5 2) Montrer que la suite ( un ) est croissante et en déduire qu’elle est convergente.

0,75 3) Déterminer la limite de la suite ( un )

27
 Calcul intégral
I) Intégrale d’une fonction sur un segment.
Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ;b] et F une primitive de f sur [a ;b] .
∫
b
Le nombre F (b) − F (a ) est appelé intégrale de a à b de f , on le note f ( x )dx .
a

Notation: Par commodité, le nombre F (b) − F (a ) s’écrit aussi [ F ( x )]a . C’est-à-dire: ∫a [ F ( x=

) ]a
b b b
f ( x=
)dx F (b) − F (a )

∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx
b a
∫
a
Conséquences : f ( x )dx = 0 et
a a b

Propriété : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, alors quel que soit l’élément a de I,
La fonction x  ∫a f ( t )dt est la primitive de f sur I qui s’annule en a.
x

II) Propriétés de l’intégrale.

Si f et g sont deux fonctions définies et continues sur un intervalle I, et a, b et c trois réels de I. et soit k ∈ IR .

∫a [ f ( x ) + g( x )] dx = ∫a f ( x )dx + ∫ g( x )dx et ∫ k . f ( x )dx = k .∫ f ( x )dx

b b b b b
 Linéarité de l’intégrale:
a a a

∫=
f ( x )dx ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
b c b
 Additivité ou relation de Chasles :
a a c

∫
b
 Positivité de l’intégrale: Si f(x) ≥ 0 sur I et si a ≤ b , alors f ( x )dx ≥ 0
a

∫ f ( x )dx ≤ ∫ g( x )dx .
b b
 Intégrale et ordre: Si f(x) ≤ g(x) sur I et si a ≤ b , alors
a a

∫
b
 Inégalité de la moyenne: Si m≤ f(x) ≤ M sur I et si a ≤ b , alors : m (b − a ) ≤ f ( x )dx ≤ M (b − a )
a
 Valeur moyenne d’une fonction :
1
Si a < b alors le nombre µ = ∫
b
f ( x )dx est appelé valeur
b−a a

moyenne de f sur l’intervalle [ a; b ] .

Remarques :
• La valeur moyenne de f est comprise entre m et M .
• Si le plan est rapporté à un repère orthonormé et si f(x) ≥ 0 sur I,

∫
b
alors µ est la hauteur du rectangle de base b − a et d’aire : a
f ( x )dx

III) Techniques de calcul d’une intégrale.

 Calcul d’une intégrale à l’aide d’une primitive.
La connaissance des primitives de fonctions usuelles permet de calculer des intégrales. (Tableau page 17)
 Intégration par parties: Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
Alors ( uv=
)' u ' v + uv ' , donc =
uv ' ( uv )'− u ' v . Or une primitive de ( uv )' est uv ,

∫ u' ( x ) × v ( x )dx =[ u( x ) × v ( x )]a - ∫ u( x ) × v' ( x )dx

b b b
d’où a a
(Formule d’itégration par parties)

 Décomposition de fractions en éléments simples.

 Intégrale - Parité : Soit f une fonction continue sur un intervalle [ −a; a ] .
∫ f ( x )dx = 2∫ f ( x )dx ∫
a a a
Si f est paire, alors Si f est impaire, alors f ( x )dx = 0
−a 0 −a

 Intégrale – Périodicité : Soit f une fonction continue et périodique sur IR de période T.

b +T a +T b +T
Alors, quels que soient les réels a et b on a : ∫a +T f ( x )dx = ∫a f ( x )dx et ∫ f ( x )dx = ∫
b
f ( x )dx
a b
 Linéarisation des fonction trigonométrique. (Nombres complexes)

28
IV) Quelques applications du calcul intégral.
Aires de surfaces planes
Supposons que le plan est muni d’un repère orthogonal .
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle .
L’aire de la surface délimitée par , et les droites
et
Est égale à (unité d’aire).

• Cas particulier : L’aire de la surface délimitée par ,

l’axe des abscisses et les droites et est

Volume d’un solide de révolution

Le plan est muni d’un repère orthonormé .
Soit f une fonction continue sur un intervalle .
En faisant pivoter la courbe de f autour de l’axe (Ox),
on engendre un solide de révolution, dont
le volume est (unité de volume)
Remarques Activité
1) f ne doit pas être nécessairement positive. 1) Déterminer la fonction correspondante au demi-
2) En intervertissant les rôles de x et de y, on obtient un cercle de rayon r et de centre l’origine du repère.
solide de révolution engendré par une rotation autour de 2) En utilisant les intégrales, en déduire la formule
l’axe (Oy) de l’aire d’un disque de rayon r.
3) En utilisant les intégrales de révolution, en
Dans ce cas, on a :
déduire la formule du volume d’une sphère de
• rayon r.

EXERCICES ET PROBLÈMES .
EXERCICE1 : Calculez les intégrales suivantes . EXERCICE2 :
I1 = ∫ ( −2 x + 4 x )dx I 2 = ∫ ( x + e )dx
2 0
2 x Calculer les intégrales suivantes par la méthode
0 1
d’intégration par parties :
π
dx
∫= ∫
1 e

∫= ∫ =
1 x
I3 I4 2
x cos( x 2 )dx I1 x e dx I 2 x ln x .dx
0
2x +1 0 0 1
π
π
3 x − 2x x=
∫= ∫
2
2
∫= ∫1 ( x 2 − 4)2 dx
I5 dx I6
2
I3 x sin x dx I4 x ² sin x dx
0 0
2 ( x − 1) 2

∫ ∫
e 6
π =I5 ln x .dx =I6 2 x 3 3 + x 2 dx
∫= I 8 ∫ tan x dx
1 1 1
4 2
I7 x | x | dx π π
-1 0

∫ t ( t ² + 1) dt
I9 =
1 3 =
∫ x x 1 dt
I10 =+
3 I7 ∫=
2
x cos x dx
0
I8 ∫ 0
2
x ² cos x dx
0 0
x ln x
∫= ∫
1 e
t π
= I9 dx I .dx
∫= ∫
1
cos x sin3 x dx x+2
2 10
I11 dt I12 π
0 1 x²
0
1+ t² 4

∫= ∫
e 1
1 = I11 1 x ² ln x .dx I12 xe 2 x dx
∫0 ∫2 x 2
3 1
I13 = 2 t − 1 dt I 14 = .e dx x 1 0

1 1x
∫=
x
∫
1

e ln x
π = I13 cos t .e t dt I14 .e dx
I15 ∫= dt I16 ∫ tan x dt
4
0 2 x3
1 x 0

29
EXERCICE3 : EXERCICE7 :
On Considère les deux intégrales : Soit f la fonction définie sur ] 0;+∞[ par
π π
2(1 − ln x )
1 1
I=∫ 4
dx et J=∫ 4
dx
0 cos ² x 0 cos 4 x f ( x) = x + 3 + et (C f ) sa courbe dans un
x
1) Calculer I .  
repère orthonormé (O , i , j ) .
sin x  π .
2) Soit f ( x ) = et f définie sur 0; 4 
1) a) Montrer que la droite ( D ) : y= x + 3 est
cos3 x  
une asymptote à la courbe (C f ) .
3 2
'( x )
a) Monter que : f= 4
− . b) Etudier la position de (C f ) et ( D ) .
cos x cos ² x
2) Déterminer l’aire S (λ ) de la surface comprise
b) Déterminer une relation entre I et J .
c) En déduire la valeur de J . entre la courbe (C f ) , la droite ( D ) et les droites
EXERCICE4 : d’équations x = 1 et x = λ avec λ ≥ 1 .
Considérons les intégrales suivantes :
EXERCICE8 :
dx ; J = ∫ 1 x ² dx =et K ∫ 1 x ² + 2 dx
∫
1
I=
x² + 2 0
x² + 2 0 2x +1
Soit f une fonction définie par : f ( x ) =
0
.
1) Soit la fonction f définie sur [ 0 ;1] par ( x − 2 )3
f ( x ) = ln( x + x ² + 2 ) .
1) Déterminer D f
2) Déterminer les réels a et b tel que :
a- Calculer la dérivée de f .
b- Calculer la valeur de I . (
∀x ∈ D f := f ( x)
a
) +
b
( x − 2) ( x − 2)3
2
2) a- Vérifier que J + 2 I =
K.
∫
1
b- Monter que =K 3−J 3) Calculer −1
f ( x ) dx .
c- En déduire les valeurs de J et de K . EXERCICE9 :
EXERCICE5 : Pour tout réel positif a, on définit I (a ) = ∫ ln 2x dx
a

1 1 x
Soit f : x  .
e (1 − x )
x
1) A l’aide d’une intégration par parties, montrer
ln(a ) − 1
1) Etudier les variations de f . =
que I (a ) 2
+1.
a
 1 
2) En déduire que :  ∀x ∈  0 ;   : 1 ≤ f ( x ) ≤
2 2) En déduire la limite de I (a ) quand a tend vers
. +∞
  2  e .
x² 1 x)
3) On définit maintenant J (a ) = ∫ ln(
a
3) a) Vérifier que : 1 + x + = dx .
1− x 1− x 2 1 x +1
b) Montrer que : 4) Vérifier que : ( ∀x ≥ 1) : x 2
≤ x 2 + 1 ≤ 2 x 2 , puis
1
1+ x 1 1
dx
∫0
2
e x
dx + ∫0
2
x ² f ( x )dx ∫
= 2
0 e x
(1 − x )
montrer que 1 I (a ) ≤ J (a ) ≤ I (a ) .
2
1
1+ x EXERCICE10 :
c) Calculer : ∫0
2
ex
dx .
1 ex ex
1) a − Vérifier que : =
1 − −
1 1
1 (e x + 1)2 e x + 1 (e x + 1)2
d) Montrer que : ≤ ∫ 2 x ² f ( x ) dx ≤ .
dx
b- En déduire la valeur de J = ∫0
24 0 1
12 e .
EXERCICE6 : (e + 1)2
x

f définie sur IR par : f ( x=) ( x + 1)e − x et (C f ) sa c- A l’aide d’une intégration par parties , calculer
  x ex
l’intégrale suivant K = ∫
1
courbe dans un repère orthonormé (O , i , j ) (u 4 cm). dx
0 (e x + 1)3
1) Déterminer l’aire S (λ ) , de la surface délimitée
2) a- En linéarisant cos3 ( x) , montrer que
par la courbe (C f ) ,l’axe des abscisses et les
1
cos3 ( x)  cos(3 x)  3cos( x)
droites d’équations x = 0 et x = λ (avec λ > 0 ). 4

2) Déterminer lim S (λ ) . b- Calculer l’intégrale J   cos3 ( x) dx .
λ→+∞
0

30
1. Résoudre dans les équations suivants : Partie I :
par : g  x   1  xe
x
e  5e  6  0
2x x
 e 3 x  7e x  6  0  e x  21e  x  4  0 Soit g une fonction définie sur
  8  7.(2) x  6  0  16 x  5  4 x  6  0  4 x  2 x 1  1  0
x
1. Calculer g '  x  puis dresser le tableau de variation de la
2. Résoudre dans les inéquations suivantes : fonction g
5e 2 x  2e x  3  0   e x  1 e x  4   0  e4 x  21e2 x  100 2. déduire que  x  ; g  x 0

4e2 x  2  7e x 1  3  0  ln  3e x  5 4  ln  e x  2e -x  0 Partie II :On considère la fonction f définie sur par :

2 f  x   x  1   x  1 e x

3. Résoudre dans les systèmes suivants :

f  x
1. Calculer : lim f  x  et lim
x
e x + e1 y
e 1e y 1
e 1 ; e x  x  x
puis déduire la
x 1 -y
2e x e y 4 e
 
e e 2
branche infinie à C f au voisinage de 
Étudier les branches infinies de courbe  C f  et les variations la 2. a. Montrer que lim f  x   
x
fonction f dans chacun des cas suivants : b. Montrer que la droite    d’équation y  x  1 une
 
2x x 2x x
1) f x e 3e 1 ; 2) f x e 3 xe 2
asymptote oblique à la courbe C f au voisinage de 
ex
 
2 3
3) f x ; 4) f x 2x 1 c. Etudier la position relative de    et C f sur
ex 5 ex 1
x2 3x 1 2 3. a. Montrer que :  x   f ' x  g  x
5) f x ; 6) f x x 3
x
e 1 x
e 1 b. Déduire que f est strictement croissante sur

7) f x ln(e x 1) ; 8) f x x
1 x
e 4. a. Calculer f ''  x  pour tout x
x
b. Etudier la concavité de la courbe C f  
c. Donner l’équation de tangent T  en point d abscisse 0.
Soit f la fonction définie sur par : f  x   e2 x ln  e2 x  1
2e2 x
5. Construire C f   ;    et T  .
1. Montrer que :  x   f '  x   2 f ( x) 
e2 x  1
2. En déduire toutes les fonctions primitives de f sur . Partie I :On considère la fonction f définie sur par :
3. Déterminer la primitive F de la fonction f sur qui s’annule en 0 f  x   2 ln(e x  2 e x  2)
 
1- Montrer que : l’équation  x   ;1  x  ex 1. Vérifier que  x   ;
f  x   2x  2 ln  1  2 x  2x 
 e e 
2- En déduire que :  x  0;1  ; e x  2. Calculer lim f ( x) puis montrer que la droite  D 
1
.
1 x x 

3- En déduire un encadrement du nombre 3 e . d’équation y  2x est une asymptote de C f au voisinage   

3. Calculer lim f ( x) Puis interpréter géométriquement le
 
x 
 f  x  x  2 x e x
;x  0
 résultat obtenu.
Soit f la fonction définie sur par :  1 4. a- calculer f '  x  : et vérifier que f '  0   0
 f  x   xe x ;x  0

b- Etudier le signe de e  1 sur
x

1) Montrer que f est continue sur c- dresser le tableau de variation de f

2) Étudier la dérivabilité à droite et à gauche de la fonction f en 0
puis interpréter le résultat graphiquement
5. a- Etudier le signe de  ex  1  
e x  2 sur

3) Étudier les branches infinies de courbe  C f  b- Montrer que  x  0; ln 4   ; f  x   x

 ' e x 6. Construire  C f  dans le repère orthonormé  O, i , j 
 f  x    x  2 ;x 0
 2 x Partie II :
4) Montrer que : 
x  1 1x On considère la suite  un n définie par : u0  1 et un1  f  un 
 '
 f  x   e ;x  0
1. Montrer que :  n   ; 0  un  ln 4
x
5) Étudier le signe de f ' x  puis dresser le tableau de variation de f 2. Montrer que la suite  un  est décroissante
6) Donner l’équation de la tangente  T  à la courbe  C f  au point O 3. En déduire que la suite  un  est convergente et déterminer
7) Tracer la droite  T  et la courbe de  C f  . sa limite.
 par : f  x   x  e x  1 par: f  x   x  1   x 2  1 e x
x
On considère la fonction f définie sur On considère la fonction f définie sur
e 1 2
1. Montrer que f  x    f  x  pour tout x de  x
et déduire que 1. a- Vérifier que  x   ; f  x   x  1  4  x e 2   e
x

le point O est le centre de symétrie de la courbe  C f   

2
b- En déduire que lim f  x   
2. Vérifier que :  x   ; f (x)  x  1  x2 x  
e 1 c- Montrer que la droite  D  d’équation y  x  1 est une
3. a- calculer f '  x  : et vérifier que f '  0   3
2  
asymptote de C f au voisinage 
b- dresser le tableau de variation de f sur d-Montrer que la  C f  est située en-dessous de la droit  D 
4. Donner l’équation de la tangente  T  à  C f  au point O
2. a-Montrer que lim f  x   
5. a-Montrer que lim f  x    x  

b- Montrer que la courbe  C f  admet au voisinage de 

x 

b- En déduire que la droite  D  d’équation y  x  1 est une

 
une branche parabolique dont on précisera la direction.
asymptote de C f au voisinage 
Montrer que  x   ; f '  x   1   x  1
2
3. ex
c-Montrer que la  C f  est située en-dessous de la droit  D 
4. La courbe  Cg  ci-contre est la représentation graphique de
6. Tracer les droites  D  et  T  et la courbe  C f 
la fonction g  x   1   x  1 e
x 2

 
7. Montrer que la fonction H : x  x  ln e x  1 est une primitive

de la fonction h : x  1 sur
e 1
x

8. Déterminer la primitive F de la fonction f sur

Partie I :
par : g  x   e  2 x
x
Soit g une fonction définie sur
a-A partir la courbe  Cg  de g déterminer le signe de g sur
c- Calculer g '  x  puis dresser le tableau de variation de g
b-dresser le tableau de variation de f
d- Etudier le signe de g sur .
Partie II : c- Montrer que la courbe  C f  possède deux points d’inflexion
On considère la fonction f définie sur par : f (x)  x d’abscisses 3 et 1
e  2x 5. Tracer les droites  D  et la courbe  C f 
x

1. a-Calculer lim f ( x) et lim f ( x)

x  x 
(On prendra f  3 2,5 et f  1 0, 7 )
b-Interpréter géométriquement chacun des deux derniers résultats
2. a-calculer f '  x  puis étudier le signe de f '  x  6. a-Vérifier que la fonction H : x  x  1 e x est une
x
b- dresser le tableau de variation de f sur fonction primitive de la fonction h : x xe sur
c- Donner l’équation de la tangente  T  à  C f  au point O b-Déterminer la primitive F de la fonction f sur

3. Tracer  T  à  C f  (on prendra

1 1, 4 et on admettra que Partie I :
e2
g une fonction définie sur  par : g ( x)  2(1  e x )  x
la  C f  a deux points d’inflexion l’abscisse de l’un appartient à
Soit
1. Etudier les variations de g sur 
l’intervalle 0;1 et l’abscisse de l’autre est supérieur à
3 )
2 2. Montrer que l’équation g  x   0 admet une seule solution
4. Résoudre graphiquement l’inéquation  x  ; 0  ; f  x   x  sur ln(4);ln(6)
Partie III : Soit h la fonction définie sur  ; 0  par h  x   f  x  . 3. Etudier le signe de g sur


1. Montrer que la fonction h admet une fonction réciproque h1  1  ex

Partie II :Soit f la fonction définie sur  par : f ( x) 
définie sur un intervalle J que l’on précisera. x2
2.

 3 

Comparer h1   2  et h1  1  
3
1) Calculer lim f ( x) puis interpréter le résultat graphiquement
x 0

2) Etudier la branche infinie au voisinage 

3. Tracer, dans le même repère  O; i ; j  , la courbe (Ch1) 1
3) Vérifier que f ( ) 
Partie IV :  (  2)
On considère la suite  un n définie par : u0  2 et un1  h  un  4) Etudier les variations de f sur 0; 
1. Montrer que :  n   ; un  0 5) Tracer  C f  (On prendra   1,5 )
2. Montrer que la suite  un  est croissante Partie III :
3. En déduire que la suite  un  est convergente et déterminer sa On considère la suite  un  définie par : u0  1 et un 1  2 1  e  u n

limite.
1. Montrer que :  n   ; 1  un   c -montrer que la courbe  C f  est au dessus de  Δ  sur
2. Montrer que :  n   ; un1  un  g (un ) l’intervalle   ;2  ln  4   et en dessous de  Δ  sur
3. Montrer que la suite  un  est croissante l’intervalle  2  ln  4  ;  
En déduire que la suite  un  est convergente et déterminer sa f  x
4.

3. Montrer que lim   puis interpréter

x  x
limite.
géométriquement le résultat
que f ’  x     e x  2  1
2
Partie I : 4. a- Montrer pour tout x de

par : f  x   2  8 x  2 e x  4  
2
Soit f la fonction définie sur  b- Dresser le tableau de variations de la fonction f
x 5. Calculer f "  x  pour tout x de puis montrer que A  2; 2 
1. a- Vérifier que lim f  x   2 et lim f  x   
x  x 0 est un point d’inflexion de  C f 
b- Interpréter géométriquement chacun des deux derniers résultats
6. Montrer que l’équation f  x   0 admet une solution unique
2. a- Calculer lim f ( x)
x 
 telle que 2  ln 3    2  ln 4
b- Montrer que la courbe  C f  admet une branche parabolique
7. Construire  Δ  et  C f  dans le repère  O, i , j 
de direction l’axe des ordonnées au voisinage +∞
8. a- Montrer que la fonction f admet une fonction réciproque

3. a- Montrer que x   ; f   x  
8  x  2  x  2x  4 e

2 x4
  f
1
définie sur
3
b- Construire dans le même repère  O, i , j  la courbe (C f 1)
x
b-Dresser le tableau de variation de f sur 
4. Construire la courbe  C f  9. Calculer  f 1 '  2  ln  3   (Remarquer  f 1 (2  ln(3))  2  ln(3) 

5. a- Vérifier que la fonction H : x  1 e est une fonction

x4
2
x  x 
On considère la fonction f définie sur par : f  x   x  e 2  1 
primitive de la fonction h : x  x 2 1 e x  4 sur   
x
 x  1 e x4 1. Calculer lim f ( x) et lim f ( x)
 
b- Vérifier que x   f  x   2  8e x  4  32
x
2
x 
f  x
x 

2. Calculer lim et interpréter géométriquement le résultat

c-Déterminer la primitive F de la fonction f sur  x  x
Partie II : 3. a- Montrer que la droite  Δ  d’équation y  x est
Soit g une fonction définie sur I   2; 4  par g  x   8  x  2  e x 4
x 2
asymptote à la courbe  C f  au voisinage de 
1. Calculer g  4  b-Etudier la position relative de la courbe  C f  et la droite  Δ 
2. a-Vérifier que :  x  I  ; g  x     x  2  e
2 x 4
x e
2
 x 4
1   x  x
 x 
2

4. a- Montrer que :  x   ; f  x   e 2  1   xe 2  e 2  1 
'

b-Vérifier que :  x  I  ; e x 4  1  0    
c-En déduire que :  x  I  ; g  x   0 b-Dresser le tableau des variations de la fonction f sur

 
3. a-Montrer que :  x  I  ; f  x   x  x 2 2 g  x 
x
5. Montrer que f   x   1 e 2 g  x  ; où
x 2
b -En déduire que :  x  I  ; f  x   x x
g  x    2x  4  e 2  x  4 pour tout x de
Partie III :
6. A partir de la courbe ci-contre de
On considère la suite  un n définie par : u0  3 et un1  f  un 
la fonction g déterminer le signe de
1. Montrer que :  n  ; 2  un  4 g  x  sur (remarque : g    0 )
2. Déterminer la monotonie de la suite  un  7. Etudier la concavité de  C f  et
3. En déduire que la suite  un  est convergente et déterminer sa déterminer les abscisses des deux
limite. points d’inflexions.
8. Construire  Δ  et  C f 
On considère la fonction f définie sur par :
(On prend :   4,5 et f    3, 5 )
f  x   x  5  1 e
2 2
x 2 x 2
e 4   9. Montrer que la fonction f admet une fonction réciproque
1
1
f définie sur , puis calculer ( f ) '(ln 4)
1. Calculer lim f ( x) et lim f ( x)
x  x 
10. On considère la suite  un  définie par : u0  1 et un1  f  un 
2. a- Démontrer que la droite  Δ  d’équation y   x  est une
5
2 a-Montrer que :  n   ; 0  un  ln 4
asymptote à la courbe  C f  au voisinage de  b -Montrer que la suite  un  est décroissante
b- Résoudre l’équation e(x 2)  4  0 c-En déduire que la suite  un  est convergente et déterminer
5.

sa limite.
 Equations différentielles linéaires
I) Equation Différentielle Linéaire du 1er ordre : y=' ay + b avec a ∈ IR
Définitions :
1 - L’équation suivante : ( E ) : y=' ay + b ou a et b deux constante, est appelé équation différentielle
linéaire à coefficients constants d’ordre un, ou y est la fonction inconnue.
2 - On appelle solution de l’équation différentielle ( E ) , toute fonction f qui vérifie ( E ) .

Propriétés : - Les solutions de ( E ) sont les fonctions x  ke ax − b où k est un réel.

a
- Quel que soit le couple ( x0 ; y0 ) de réels, l’équation différentielle ( E ) admet une unique
solution f qui vérifie f ( x0 ) = y0

II) Equation Différentielle Linéaire du 2nd ordre : y ''+ ay '+ by =

0 avec (a; b)∈ IR 2
Définition : L'équation r 2 + a .r + b =0 , s'appelle l'équation caractéristique de l'équation différentielle
( E ) : y ''+ ay '+ by =
0

Résolution d’une équation ( E ) : Soit ∆ le discriminant de l’équation caractéristique.

∆ L’équation caractéristique admet Les solutions de ( E ) sont les fonctions
∆>0 Deux solutions réelles r1 et r2 y : x  αe r1 x + β e r2 x où (α; β ) ∈ IR 2
∆ =0 Une seule solution réelle r y : x  (αx + β )e rx où (α; β ) ∈ IR 2
Deux solutions complexes
∆<0 conjuguées p ± iq y : x  e px ( α cos(qx ) + β sin(qx ) ) où (α; β ) ∈ IR
2

Rappel : Les solutions de l’équation différentielle y ''+ ω2 y =

0,
sont les fonctions y : x  a cos(ωx ) + b sin(ωx ) où (a , b) ∈ IR 2 .

EXERCICES ET PROBLÈMES 2. Déterminer la solution f de ( E2 ) , qui vérifie les

Exercice1: deux conditions f (0) = 1 et f '(0) = 0 .
Soit ( E ) l'équation différentielle: y=' 3 y + 1 . Exercice4 :
1. Résous l'équation ( E ) . Soit ( E3 ) l'équation différentielle :
2. Déterminer la solution f de ( E ) qui prend la y′′ − 4 y′ + 4 y =
0
valeur 6 en 0 1. Résous l'équation ( E3 ) .
Exercice2: 2. Déterminer la solution f de ( E3 ) , qui vérifie les
Soit ( E1 ) l'équation différentielle : y ''+ 16 y = 0
deux conditions f (0) = 4 et f '  1  = e .
1. Résous l'équation ( E1 ) .  2

3. Calculer l’intégrale I = ∫0 f ( x )dx .

1
2. Déterminer la solution f de ( E1 ) , telle que:
π
f   = −2 et f ' ( π ) =8 . Exercice5 :
 4
3. Montrez que, 0.
Considérons l'équation ( E4 ) : y′′ − 4 y′ + 13 y =
π
) : f ( x ) 2 2 cos  4 x −  .
1. Résous l'équation ( E4 ) .
( ∀x ∈ IR
=
 4 2. Déterminer la solution f de ( E4 ) , qui vérifie les
Exercice3 : deux conditions f (0) = 0 et f '(0) = 6 .
Soit l'équation différentielle : ( E2 ) : y′′ + y′ − 2 y = .
0 3. En déduire l’intégrale
I = ∫ f ( x )dx .
1

0
1. Résous l'équation ( E2 ) .

31
 Nombres complexes
Les nombres complexes prennent naissance au XVIème siècle lorsqu’un italien Gerolamo
Cardano (1501 ; 1576), ci-contre, au nom francisé de Jérôme Cardan, introduit pour résoudre
des équations du troisième degré.
En 1572, un autre italien, Rafaele Bombelli (1526 ; 1573) publie "Algebra, parte maggiore
dell’aritmetica, divisa in tre libri" dans lequel il présente des nombres de la forme et
poursuit les travaux de Cardan sur la recherche de solutions non réelles pour des équations du
troisième degré.
A cette époque, on sait manipuler les racines carrées d’entiers négatifs mais on ne les considère pas
comme des nombres. Lorsqu’une solution d’équation possède une telle racine, elle est dite imaginaire.
La notation i apparaît en 1777 siècle avec Leonhard Euler (1707 ; 1783) qui développe la théorie des nombres complexes
sans encore les considérer comme de « vrais » nombres. Il les qualifie de nombres impossibles ou de nombres imaginaires.
Au XIXe siècle, Gauss puis Hamilton posent les structures de l’ensemble des nombres complexes. Les nombres sans partie
imaginaire sont un cas particulier de ces nouveaux nombres. On les qualifie de « réel » car proche de la vie. Les complexes
sont encore considérés comme une création de l’esprit.

I) Notion de nombre complexe.

1) Définition-Vocabulaire.
Définition : On appelle nombre complexe, tout élément écrit a + ib , dans lequel a et b deux réels et i un
élément vérifiant i 2 = −1 . L’ensemble des nombres complexes est noté  .
Vocabulaire : Soient a et b deux réels
- L'écriture a + ib d'un nombre complexe z est appelée la forme algébrique de z
- Le nombre a s'appelle la partie réelle et le nombre b s'appelle
la partie imaginaire, et on note Re(z) = a et Im( z ) = b .
Remarques: Soient a et b deux réels et z= a + ib
 Si b = 0 alors z est un nombre réel.
 Si a = 0 alors z est un nombre imaginaire pur, et on dit que z ∈ iIR .
 Dans  , on définit une addition et une multiplication qui suivent les mêmes règles de calcul que
dans IR.
 z= z ' ⇔ Re( z ) =Re( z ') et Im( z ) =Im( z ')
 z= 0 ⇔ Re( z ) = 0 et Im( z ) =0.
  est un corps non ordonné.
2) Conjugué d'un nombre complexe.
Définition : Soit un nombre complexe z= a + ib avec a et b deux réels.
On appelle nombre complexe conjugué de z , le nombre, noté z , où z= a − ib
Propriétés : Soit z= a + ib et z ' deux nombres complexes et n entier naturel non nul.
z z
1) z = z ; 2) z + z ' = z + z ' ; 3) z × z ' = z × z ' ; 4) z n = ( z ) n ; 5)   = / z'≠ 0
 z' z '
6) z × z =a 2 + b 2 ; 7) z + z =2 Re( z ) ; 8) z − z =2 Im( z ) ; 9) z ∈ iIR ⇔ z =− z ; 10) z ∈ IR ⇔ z =z

II) Représentation géométrique d'un nombre complexe.

 
Définitions : Soient a et b deux réels. Et le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O , u, v ) .
 A tout nombre complexe z= a + ib , on associe le point M (a, b) , le nombre complexe z= a + ib est
appelé affixe du point M. Et le point M est appelé image ponctuelle de z= a + ib , et on note M ( z ) .
 
 L’image vectorielle du nombre z= a + ib est le vecteur w = OM , le nombre z= a + ib est appelé
 
affixe du vecteur w = OM . (Voir figure 1 p33)

32
Propriétés : ( figure1)

M ( z ) et M '( z ') sont deux points du plan et w ( z ) un vecteur.

 Le vecteur MM ' a pour affixe z '− z .
 
 Le vecteur OM+ OM ' a pour affixe z + z ' .
 Le vecteur k w , k réel, a pour affixe k . z .
z + z'
 Le milieu I du segment [ MM '] a pour affixe z I =
2
=
 Le nombre OM a 2 + b 2 est appelé module de z, noté z

Propriétés des modules : Soient z et z ' deux nombres complexes, et n un entier naturel.
n z z
•z =
a 2 + b2 •z =
zz • z× z' = z × z' • zn =
z • =/ z ' ≠ 0
z' z'
• z =− z =z =− z =
• z =0 ⇔ z 0 • z+ z' ≤ z + z' Inégalité trigonométrique

III)Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul.  

Dans tout ce qui reste, le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O , u, v )
Soit M(z) un point du plan avec M différent du point O et z= a + ib .
  a   b
Alors OM = a 2 + b 2 , cos( u, OM ) = et sin( u, OM ) =
a 2 + b2 a 2 + b2
Définitions :
 On appelle argument de z= a + ib , noté arg( z ) tout réel θ tel que:
a b
cos θ = et sin θ  
a 2 + b2 a 2 + b2 =
( u, OM =
) argz θ
 Si on pose r = z et arg( z ) = θ , =
alors z r ( cos θ + i sin θ )
et cet écriture est dite écriture trigonométrique de z .

Interprétation géométrique Propriétés des arguments

A( z A ) , B( z B ) , C( zC ) et D( z D ) des points , deux à deux distincts. arg ( zz ') ≡ arg ( z ) + arg ( z ') [ 2π ]
  z −z 
 zB − z A AB et ( AB , AC ) ≡ arg  C A  [ 2π ] arg ( z n ) ≡ n arg ( z ) [ 2π ]
 zB − z A 
 z
z −z arg   ≡ arg ( z ) − arg ( z ') [ 2π ]
 A , B et C sont alignés si et seulement si C A ∈ IR .  z'
zB − z A
1
z −z arg   ≡ − arg ( z ) [ 2π ]
 Le triangle ABC est rectangle ssi C A ∈ iIR* . z
zB − z A
z −z z −z ()
arg z ≡ − arg ( z ) [ 2π ]
 A , B , C et D sont circulaires si C A × B D ∈ IR .
z B − z A zC − z D arg ( − z ) ≡ π + arg ( z ) [ 2π ]

IV) Equations du second degré dans  . Si a et b deux réels non nuls

a > 0 ⇒ arg ( a ) ≡ 0 [ 2π ]
Considérons l’équation az 2 + bz + c = 0 , où a, b et c des réels
avec a ≠ 0 . Et soit ∆= b − 4ac le discriminant.
2 a < 0 ⇒ arg ( a ) ≡ π [ 2π ]
 Si ∆ < 0 : L'équation az 2 + bz + c =0 a deux solutions π
b > 0 ⇒ arg ( ib ) ≡ [ 2π ]
complexes conjuguées : 2
π
=z1
−b − i ∆
= et z2
−b + i ∆
. b < 0 ⇒ arg ( ib ) ≡ − [ 2π ]
2a 2a 2

33
 V) Formule de Moivre - Notation r .e iθ .
( cos θ + i sin θ ) ( cos( nθ ) + i sin( nθ ) )
n
Formule de Moivre:Pour tout réel θ et tout entier n on a : =

Remarque : La formule de Moivre permet par exemple d'exprimer sin( nx ) et cos( nx ) en fonction de
puissances de cos x et/ou sin x .
Notation exponentielle :Pour des nombres complexes de module 1 et d’argument x et y on peut
démontrer que :
( cos x + i sin x )( cos y + i sin y=) cos( x + y ) + i sin( x + y ) , Et par analogie avec la propriété e x × e y =
e x+ y
Le nombre cos x + i sin x est noté e ix , notation compatible avec la formule de Moivre.
iθ
Donc tout nombre complexe non nul de module r et d’argument θ s’écrit r .e

Propriétés : Soient θ et α deux réels et n un entier, alors :

e iθ 1
( e iθ ) e inθ ( Moivre )
n
iθ iα i (θ + α )
= e ×e e = ; iα
e i (θ −α )=
; iα
e − iα ; =
e e

e iθ + e − iθ e iθ − e − iθ
Propriété : Pour tout réel
= θ on a : cos θ = ; sin θ ( Formules d ' Euler )
2 2i

Remarque : Ces formules permettent de linéariser cos n ( x ) et sin n ( x ) , c'est-à-dire d'exprimer ces
quantités en fonction de sin( px ) et cos( px ) . La linéarisation des fonctions trigonométriques est souvent
très utile en analyse, par exemple pour déterminer des primitives de ces fonctions.
VI) Transformations planes. 
Soient M ( z ) , M '( z ') et Ω(ω) trois point du plan complexe et u(b) un vecteur .
Translation Homothétie Rotation
Si M’ est l’image de M Soit k un réel non nul. Soit θ un réel
par la translation t de Si M’ est l’image de M par Si M’ est l’image de M par la

vecteur u(b) , l’homothétie h de centre Ω et de rotation R de centre Ω et d’angle θ
alors : z'= z + b rapport k, alors : z' − ω= k ( z − ω ) ., alors
L’égalité z'= z + b est L’égalité z '−=
ω k ( z − ω) est = e iθ ( z − ω )
z' − ω
iθ
appelé l’écriture appelé l’écriture complexe de cette L’égalité z '−
= ω e ( z − ω) est
complexe de cette homothétie. appelé l’écriture complexe de cette
translation.
Donc : rotation, donc :
Donc :
t( M ) =M ' ⇔ z' =z + b h( M )= M ' ⇔ z' − ω = k ( z − ω ) R( M )= M ' ⇔ z' − ω = e iθ ( z − ω )

VII) Ensembles de points .

 L’ensemble des points M(z) tels que : z=
− z A r avec r > 0 est le cercle de centre A et de rayon r

 L’ensemble des points M(z) tels que : z − z A =z − z B est la médiatrice du segment [AB]

 Parfois pour déterminer l’ensemble des points M(z) , On pose z =

x + iy / ( x; y ) ∈ IR 2 dans la condition
et l’on essaie de se ramener à une équation cartésienne.

34
 EXERCICES ET PROBLÈMES d) Soit R la rotation de centre Ω et d’angle π .
2
EXERCICE1: Déterminer l’image du point A par la rotation R.
Déterminer la forme algébrique des nombres EXERCICE4: (Session normale 2019)
( 3 − 2i )
2
complexes suivants : z1 = i ; z=
2020
2 1) Résoudre dans  l’équation : z 2 − 2 z + 4 =0.

z3 =
1+ i
; z4 =
(1 − 2 i ) 2 − (1 − i ) 3
; z =
1 2) Dans le plan rapporté à un repère orthonormal
 
(1 + 3 i ) 3+ (1 + i ) 2 7 − 4i
5
3i direct (O , u, v ) , on considère les points A , B ,
1+ i 1 1 i C et D d’affixes respectives : a= 1 − i 3 ;
z6 = ; z7 = + + .
1− i 1− i 1+ i 2
b =2 + 2i ; c = 3 + i et d =−2 + 2 3
EXERCICE2:
1) Résoudre dans  l’équation : z 2 − z + 1 =0 . a) Vérifier que : a − d =− 3 ( c − d ) .
2) On considère dans le plan
  complexe muni d’un b) En déduire que A , B , C et D sont alignées.
repère orthonormé (O , u, v ) , les points 3) On considère z l’affixe d’un point M et z '
d’affixes respectives A , B et C , tel que : l’affixe M’l’image du point M par la rotation
1 3 1 3 1+ 5 R de centre O et d’angle − π .Vérifier que
zA = +
   ; zB =
i    − i et zC       =
2 2 2 2 2 3
- Placer les points A, B et C dans le plan 1
z' = az
complexe. 2
3) On désigne par A’ l’image du point A par la 4) Soit H(h) l’image du point B par la rotation R,
π et le point P(p), tel que p= a − c
rotation de centre O et d’angle . a) Vérifier que : h = ip .
2
- Placer le point A’ et démontrer que le triangle b) Montrer que le triangle OHP est rectangle et
A A’C est isocèle en A . isocèle en O.
4) On désigne par B’ l’image du point B par la EXERCICE5:
π Le plan est rapporté à un repère orthonormal
 
rotation de centre O et d’angle .
4 (O , u, v ) direct. On considère les points A,B, C et
- Placer le point B’ , et exprimer l’affixe zB ' en D d’affixes respectives a = 1 ; b = 3 + 4i ;
c =2 3 + i ( −2 − 3 ) et d =−2 3 + i ( −2 + 3 ) .
fonction z B .
- En déduire la forme trigonométrique et la L’objet de l’exercice est de proposer une
forme algébrique de zB ' construction géométrique des points D et C.

5) Déterminer les valeurs de cos π et sin π 1) a. Montrer que l’image du point B par la rotation
12 12
de centre A et d’angle 2π est le point D.
EXERCICE3: (Session normale 2016) 3
1) Résoudre dans  l’équation : b. En déduire que les points B et D sont sur un
z − 4 z + 29 =
2
0 cercle (C) de centre A dont on déterminera le rayon.
2) Dans le plan rapporté à un repère orthonormal 2) Soit F, l’image du point A par l’homothétie de
 
direct (O , u, v ) , on considère les points A , B centre B et de rapport 3 .
et Ω d’affixes respectives a , b et ω telles 2

que : a=5+2i ; b=5+8i et ω = 2 + 5i a. Montrer que l’affixe zF du point F est −2i.

a) Considérons u = b − ω . Vérifier que u= 3 + 3i b. Montrer que le point F est le milieu de [CD].
, pois montrer que arg( u) ≡ π [ 2π ] . c − zF
c. Montrer que = − i 3 . En déduire la forme
4 a − zF
b) Déterminer un argument du nombre u . c − zF
c) Vérifier que: a − ω = u , en déduire que exponentielle de
a − zF
. Déduire des questions
 b−ω π
ΩA =ΩB et que arg   ≡ [ 2π ] . précédentes que la droite (AF) est la médiatrice du
a−ω 2 segment [CD].

35
EXERCICE6: EXERCICE10:
1) Résoudre dans l’ensemble des nombres
Le plan
  est rapporter au repère orthonormé direct complexes l’équation : z 2 − 4 z + 16 =
0
(O , u, v ) .Déterminer l'ensemble des points M ( z ) 2) Dans le plan complexe rapporté a un repère
 
tels que:
1) z − 1 + 2i = 4 2) z − 2 + i = z + 2 − 2i
( )
orthonormé direct O, u, v ,on considère les
points A et B d’affixes respectives
3) iz − 2 + i = 6 4) z − 1 + 2i = z − 3 − i
a= 2 − 2 3i et= b 2 3 + 2i .
π
5) zz + i ( z − z ) =−1 6) arg ( z ) =[ π ] a- Ecrire a et b sous forme trigonométrique,
4
EXERCICE7: et vérifier que a 21 est un nombre réel.
b- Montrer que OAB est un triangle rectangle
Le plan et isocèle en O.
  est rapporté à un repère orthonormé direct 3) a-Déterminer l’affixe du point E l’image
(O , u, v ) . Soient A, B et C les points d'affixes du
point A par la translation t de vecteur OB .
respectives a = 2i ; b = − 3 + i et c = − 3−i. b- Montrer que OAEB est un carré.
1) Placer les points A, B et C sur une figure. 4) On considère la rotation R de centre B et
2) Soit Z = a − b . π
c−b
d’angle − et qui transforme M ( z ) en M '( z ')
2
a. Interpréter géométriquement Z et arg(Z) . a- Montrer que :
b. Écrire Z sous la forme algébrique et sous la (
z ' =−iz + 2 3 − 2 + 2 + 2 3 i )
forme trigonométrique. b- Déduire que l’affixe du point C l’image
c. En déduire la nature du triangle ABC . du point A par la rotation R est c =−2 + 2 3i
  5) Soit le point D d’affixe d= 6 + 2 3i
d. Déterminer ( BC , BA) .
a- Montrer que les points O , B et D sont
EXERCICE8: alignés
d −c 1 3
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct
  b- Montrer que = +i , puis en
a−c 2 2
(O , u, v ) , et f la transformation du plan qui à M
déduire que ADC est un triangle équilatéral.
d’affixe z associe M’ d’affixe z’ tel que :
z’ = 4z + 6 – 3i . EXERCICE11:
Le plan complexe est rapporté
  à un repère
Déterminer l’unique point invariant de f et en
déduire la nature et les éléments caractéristique de f. orthonormé direct (O , u, v ) .
1) a- Résoudre dans  l’équation z ² − 4 z + 8 = 0.
EXERCICE9:
b- Ecrire les solutions sous la forme algébrique
Le plan complexe est muni d’un repère et trigonométrique.
  2) On considère les points A et B d’affixes
orthonormal (O , u, v ) .On considère les points A, B
Respectives 2-2i et 2+2i .
et C d’affixes respectives : a = 2, b= 1 + i 3 et a- Placer dans le plan les points A et B .
c= 1 − i 3 . b- Quelle est la nature du triangle OAB ?
π
1) a. Placer les points A, B et C dans le plan
( 2 − 2 i ) .e
i

complexe. 3) Soit le point C d’affixe : z=

C
3
.
b. Démontrer que les points A , B et C sont sur a- Ecrire zC sous la forme algébrique et sous
un même cercle (Γ ) de centre O. la forme trigonométrique.
c. Construire le cercle (Γ ) π π
b- En déduire les valeurs de cos et sin .
12 12
2) Déterminer un argument du nombre complexe b, 4) a- Comparer OA et OC et déterminer
 
et on déduire (OA, OB ) . Quelle est la nature du  
(OA, OC ) .
triangle OAB ? b- quelle est la nature exacte du triangle OAC .

36
EXERCICE12: (Session normale 2015) EXERCICE 14 :
1) Résoudre dans  l’équation :
z 2 + 10 z + 26 =
0 1) Résoudre dans l’ensemble  l’équation :
2) Dans le plan z 2 − 6 z + 10 =
0
 rapporté à un repère orthonormal 2) Dans le plan complexe rapporté à un repère
direct (O , u, v ) , on considère les points A , B ,  
C et Ω d’affixes respectives : a =−2 + 2i ; ( )
orthonormé direct O, u, v , on considère les
b =−5 + i ; c =−5 − i et ω = −3 points A et B d’affixes a = 4 et b= 3 − i
a) Vérifier que : b − ω = i . a) Soient z l’affixe d’un point M du plan et
a−ω z ' l’affixe du point M ' , image de M par la
b) En déduire la nature du triangle ΩAB .
π
3) Soit D l’image du point C par la translation T rotation R de centre A et d’angle −
 2
de vecteur u d’affixe 6 + 4i .
a) Montrer que l’affixe de D est d = 1 + 3i Montrer que z ' =−iz + 4 + 4i
b) Montrer que b − d = 2 , en déduire que A b) Vérifier que l’affixe du point C image du
a−d
point B par la rotation R est c= 3 + i
est le milieu [ BD ] .
c) En déduire la nature du triangle ABC
EXERCICE 13 : 
1) Résoudre dans  l’équation : z 2 − 2 z + 2 =0 3) Soient t la translation de vecteur AB et D
2) On pose a = 1 − i et b =2 + 3 + i l’image du point C par la translation t
a) Écrire a sous forme trigonométrique a) Déterminer d l’affixe du point D
π b) En déduire la nature du quadrilatère
b
( )
i
b) Vérifier que = 1 + 3 e 3 puis écrire b ABDC
a
sous forme trigonométrique 4) Déterminer l’ensemble des points M ( z ) tels
( )

  
c) Déterminer une mesure de l’angle OA, OB que z − 3 − i = 3 + i
  EXERCICE 15
d) En déduire cos et sin
12 12
6
1) Résoudre dans  l’équation : z 2 − 4 z + 13 =
0
e) Déduire que b est un nombre imaginaire
2) Dans le plan complexe rapporté à un repère
pur.  
3) Dans le plan complexe rapporté à un repère ( )
orthonormé direct O, u, v , on considère les
 
orthonormé direct ( )
O, u , v , on considère les points A , B et C d’affixes a = i , b= 2 + 3i
et c = b
points A , B et C d’affixes a , b et c =−1 + i 3
Soient z l’affixe d’un point M du plan
Soient z l’affixe d’un point M du plan et
et z ' l’affixe du point M ' , image de M
z ' l’affixe du point M ' , image de M par la
π
π par la rotation R de centre B et d’angle
rotation R de centre A et d’angle 4
2
a) Exprimer z ' en fonction de z
a) Exprimer z ' en fonction de z
b) Déterminer d l’affixe du point D est
b) Vérifier que le point C est l’image du point
l’image du point A par la rotation R
B par la rotation R et en déduire la nature
c) En déduire la nature du triangle ABD
du triangle ABC
d) Montrer que les points B , C et D sont
4) Soit ( E ) l’ensemble des points M ( z ) tels que
alignés
z − 2 − 3 − i = z +1− i 3
a) Déterminer l’ensemble ( E ) . « La vie, c’est comme une bicyclette, il faut
b) En déduire que le milieu du segment [ BC ] avancer pour ne pas perdre l’équilibre »
Albert Einstein
appartient à l’ensemble ( E )

37
 Géométrie analytique dans l’espace
1) Rappel
  
 La norme d’un vecteur u = AB est le nombre réel positif u = AB .
     
 Si u et v ont le même sens, alors u ⋅ v = u × v
     
 Si u et v sont de sens contraire, alors u ⋅ v =− u × v
 
 Si u et v deux vecteurs non nuls, alors:
 
u⋅v =
 
( )
 
u × v × cos u, v
   
 Si H est le projeté orthogonal de C sur ( AB ) , alors AB ⋅ AC = AB ⋅ AH
    2
 Le produit scalaire u ⋅ u est appelé carré scalaire de u et noté u2 = u .
   
 u ⊥ v ⇔ u⋅v = 0.
  
 Si u , v et w trois vecteurs et k un nombre réel. On a :
              
 u⋅v = v ⋅u ; u ⋅ (v + w ) = u ⋅ v + u ⋅ w ; u ⋅ ( k v ) =k ( u ⋅ v )
          2 
 ( u ± v ) = u + v ± 2u ⋅ v ( u + v ) ⋅ ( u − v )= u − v
2 2 2 2
et
  
Dans tout le reste, on considère que le plan est muni d’un repère orthonormé (O, i , j , k ) .
   
Soient u(a ; b; c ) ; v(a '; b ';c') et w (a ''; b '';c'') deux vecteurs exprimés dans la base ( i , j , k ) , on a :
     
 u ⋅ v = a a '+ b b '+ cc' et u ⋅ u = a 2 + b 2 + c 2 =
2
u donc u = a 2 + b2 + c 2
   b ' b '' a ' a '' a ' a ''
 det(u, v , w ) = a −b +c .
c ' c '' c ' c '' b ' b ''
 
 AB ( x B − x A ; yB − y A ; z B − z A ) ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( zB − z A )
2 2 2
et AB = AB =
 x + x A yB + y A z B + z A 
 Si le point I est le milieu du segment [ AB ] on a : I  B
2 
; ;
 2 2
=x x A + at
 
 Le système :  y = y A + bt / t ∈ IR est une représentation paramétrique de la droite D( A ; u ) .
=
 z z A + ct
2) Plan et vecteur normal.
a) Vecteur normal à un plan.
Définition :Soit (D) une droite perpendiculaire à un plan (P), tout vecteur non nul directeur de (D)
est appelé vecteur normal à (P).

b) Equation d’une droite définie par un point A et un vecteur normal n(a; b; c )

Théorème :

Soit A un point de l’espace et n un vecteur non nul.

L’ensemble des points M du plan tels que n ⋅ AM = 0 est

la droite de vecteur normal n et passant par A.

 Théorème : soit n(a; b; c ) un vecteur non nul avec (a; b; c ) ≠ (0;0;0) . et d un nombre réel.
 Une droite admettant n(a; b; c ) comme vecteur normal a une équation de la forme ax + by + cz + d = 0

 Réciproquement : tout plan d’équation ax + by + cz + d = 0 admet n(a; b; c ) comme vecteur normal.

Remarque :
• Deux plans dites orthogonales si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
• Deux plans dites parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

38
 c) Distance d’un point à un plan.
Propriété : Considérons un point A( x A , y A , z A ) et un plan ( P ) : ax + by + cz + d =0
ax A + by A + cz A + d
La distance du point A au plan ( P ) est: d ( A ;( P )) =
a 2 + b2 + c 2
3) Sphère.
a) Equation cartésienne d’une sphère définie par son centre et son rayon.
=
Sachant que l’ensemble des points M ( x; y; z ) qui vérifient ΩM R ( avec R > 0 ) est une sphère de
centre Ω et de rayon R. alors on en déduit la propriété suivante
Propriété : La sphère de centre Ω (a; b; c ) et de rayon R a pour équation : ( x − a )2 + ( y − b)2 + ( z − c )2 =
R2

b) Equation cartésienne d’une sphère définie par son diamètre.

 
Propriété : La sphère de diamètre [AB] est l’ensemble des points M du l’espace tels que: MA ⋅ MB =
0.

 
Remarque : MA ⋅ MB = 0 ⇔ ( x − x A )( x − x B ) + ( y − y A )( y − yB ) + ( z − z A )( z − z B ) = 0
4) Positions Relatives d’un plan et d’une sphère .
Pour étudier la position relative d’un plan ( P ) et d’une sphère ( S ) de centre Ω et de rayon R. Il suffit
de comparer d (Ω , ( P )) au rayon R.
d (Ω , ( P )) =
R d (Ω , ( P )) < R d (Ω , ( P )) > R
Le plan ( P ) et la sphère ( S ) ont Le plan ( P ) coupe la sphère ( S ) Le plan ne coupe pas la
un seul point commun H, le suivant un cercle de centre H, le sphère
projeté de projeté de Ω sur ( P ) et de rayon
Ω sur ( P ) . On dit que le plan
=r R2 − d 2
( P ) est tangent à la sphère ( S ) .

5) Produit vectoriel.
a) Orientation de l’espace.
L’espace doit être orienté en adoptant le même point de vue qu’en sciences physiques,
on peut notamment utiliser la règle des trois doigts de la main droite
ou le « bonhomme d’ampère » :
  
On dit alors que le repère (O, i , j , k ) est de sens direct.
b) Notation et définition.    
Le produit vectoriel de deux vecteurs non nuls u et v est le vecteur, noté u ∧ v tel que :
    
Si u et v sont colinéaires alors u ∧ v = 0 ;
 
Si u et v ne sont pas colinéaires alors :
   
1) Direction : Le vecteur u ∧ v est orthogonal à u et à v .
  
2) Le sens de w = u ∧ v est tel que la base ( u , v , w

) soit de sens direct.
   
3) Norme : u ∧ v = u × v × sin u; v . (  )
Remarque : Le produit vectoriel est un vecteur, alors que le produit scalaire est un nombre.

39
   
Propriétés : Pour tous vecteurs u , v , w et tout nombre réel a,
                   
• (u ∧ v ) =− (v ∧ u) •=u∧0 0 • a ( u ∧ v ) =∧
u (av ) =
(au ) ∧ v • u ∧ ( v + w) = u ∧ v + u ∧ w

  b b'  a a'  a a' 

• u=
∧v i − j+ k
c c' c c' b b'
 
 u ∧ AM
• Soient la droite D( A ; u ) et le point M, alors d ( M ;( D ) ) = 
u
c) Positions relatives d’une droite et d’une sphère.
Pour étudier la position relative d’une droite (D) et d’une sphère ( S ) de centre Ω et de rayon R. Il
suffit de comparer d (Ω , ( D )) au rayon R.
d ( Ω , ( D )) =
R d (Ω , ( D )) < R d (Ω , ( D )) > R
La droite (D) est tangente à la La droite (D) coupe la sphère ( S ) en La droite (D) ne coupe
sphère ( S ) . deux points différents. pas la sphère ( S )

 
Propriété : L’aire du triangle ABC est égale à 1 AB ∧ AC
2
…………………………………….………………………………………………………………
EXERCICES ET PROBLÈMES EXERCICE2:
Dans tous les exercices, l’espace est rapporté ABCDEFCH est un cube de côté 1.
   L'espace est orienté par le repère orthonormé
à un repère orthonormé direct (O, i , j , k ) .   
EXERCICE1: direct ( A, AB, AD, AE ) .

On considère les quatre points A,B,C et I de I est le milieu de [EF] et K

coordonnées respectives: A ( −1;2;1) ;
est le centre du carré ADHE.
  
1) Vérifier que BK = IG ∧ IA .
B(1; −6; −1) ; C(2;2;2) et I (0;1; −1) En déduire l'aire du
 
1) a) Calculer le produit vectoriel : AB ∧ AC triangle ICA.
b) Déterminer une équation du plan (ABC) 2) Calculer le volume du tétraèdre BICA. En
2) Soit (Q) le plan d’équation : x + y – 3 z + 2 = déduire la distance du point B au plan (ICA).

0

et (Q’) le plan de repère (O, i ,k ) . EXERCICE3:

a)Pourquoi (Q) et (Q’) sont-ils sécants ? On donne les points A(1,1,0) , B(1,-1,1) et
b) Donner une représentation paramétrique de la C(0,1,1) et soit le plan. ( P ) : x +2 y – 2 z + 1 =0
droite d’intersection (∆) des plans (Q) et (Q’).  
1) Calculer AB ∧ AC et en déduire que les points
3) Ecrire une équation cartésienne de la sphère (S) A , B et C ne sont pas alignés
de centre I et de rayon 2. 2) Montrer que : (ABC) : 2 x + y + 2 z − 3 =0.
4) On considère les points J et K de coordonnées
3) Vérifier que les plans (P) ⊥ (ABC) .
respectives : J ( −2;0;0) et K (1;0;1)
- Déterminer l’intersection de la sphère (S) et de 4) Donner une représentation paramétrique de la
la droite (JK). droite (D) intersection des plans (P) et (ABC) .

40
5) Soit le point I(2,1,1) et M un point de (D) . 3) (D) étant l’intersection du plan ( P ) et de l’axe

Déterminer M pour que la distance IM soit (O , i ) , E étant l’intersection du plan ( P ) et de
minimale et en déduire d ( I ,( D )) . 
l’axe ( O , k ).
6) a) Montrer que les points I , A, B et C ne sont
- Déterminer
 
les coordonnées des vecteurs
 
pas coplanaires . DE et AB . Et Calculer DA . DE .
b) Calculer le volume du tétraèdre IABC . 4) Montrer que le triangle ABC est isocèle et
c) Calculer d ( I ;( ABC )) et en déduire l’aire calculer son aire.
du triangle ABC. 5) Déterminer les coordonnées du centre de
7) Soit l’ensemble (S) des points M(x,y,z) gravité du triangle ABC.
6) a) Calculer d ( I ; ( P )) avec I(0 ;2 ;0).
vérifiant : x 2 + y 2 + z 2 − 4 x − 2 y − 2 z + 38 =
0.
9 b) Déterminer le volume du tétraèdre IBCA
a) Montrer que S est une sphère de centre I et par deux méthodes différentes.
tangente au plan (ABC) . EXERCICE6:
b) Déterminer une équation cartésienne du plan On donne A(2,1,0) ; B(1,2,2) et C(3,3,1).
 
1) a) Calculer AB ∧ AC .
(Q) tangent à la sphère (S) et strictement
b) En déduire que les points A, B et C ne sont
parallèle à (ABC) . pas alignés.
c) Montrer que ( ABC ) : x – y + z − 1 = 0.
c) Montrer que le plan (P) coupe la sphère (S)
d) Calculer le volume du tétraèdre OABC.
suivant un cercle (Γ ) dont on précisera son
2) Soit H le projeté orthogonal du point O sur le
rayon r et les coordonnées de son centre K . plan (ABC). Déterminer OH.
EXERCICE4: 3) a) Montrer que le triangle ABC est équilatéral.
Considérons les points A (1;1;2 ) ; B ( 0;1;1) b) Déterminer les coordonnées du point G
   
et le vecteur N = i + j − k . centre de gravité du triangle ABC.
1) Montrer que O , A et B ne sont pas alignés. 4) Soit S l’ensemble des points M (x , y , z) tels
 que : x2 + y2 + z2 – 2x – 6y + 5 = 0.
2) Montrer que le vecteur N est orthogonal aux
  a) Vérifier que (S) est une sphère dont on
vecteurs OA et OB . précisera les coordonnées du centre I et le rayon R
3) En déduire une équation cartésienne du plan b) Vérifier que les points A, B et C appartiennent
( OAB ) . à (S).
c) En déduire l’intersection de la sphère (S) et
4) Soit le plan ( P ) : x + y − z =0. le plan ( ABC ) .
a- Donner une représentation paramétrique de la d) Donner des équations cartésiennes des plans
droite ( ∆ ) passant par A et perpendiculaire à (P1) et (P2) parallèles à ( ABC ) et tangents à (S).
(P)
b- Déterminer les points M de ( ∆ ) tel que EXERCICE7: (devoir 2022)
d ( M ; ( P )) = 1 .
On considère dans l’espace rapporté à un repère
 
orthonormé direct (O, i, j , k ) les points
c- Caractériser l’ensemble des points M de ( P )
A(2;1;3) ; B(3;1;1) et C (2; 2;1)
tel que d ( M ; ( ∆ ) ) = 2 .     
1) Montrer que : AB ∧ AC =2i + 2 j + k
8) a- Donner une équation cartésienne du plan
2) Montrer que 2 x + 2 y + z − 9 =
médiateur (Q) du segment [ AB ] .
0 est une équation
cartésienne du plan ( ABC ) .
B - Montrer que (Q) et ( P ) sont sécants.
EXERCICE5 : 3) Soit la sphère (S) d’équation :
On considère les points A(2,2,0) ; B(0,2,2) et x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 y − 34 =
0
C(1,0,1).
   -Montrer que le centre de la sphère (S) est le point
1) Déterminer les coordonnées de= u CA ∧ CB .
2) Déterminer une équation du plan (ABC) . Ω(1; −1;0) et son rayon est r = 6

41
4) Montrer que d(Ω;( ABC )) = 3 et en déduire que EXERCICE10: (session ordinaire 2022)
le plan ( ABC ) coupe la sphère (S) suivant un Dans L'espace rapporté à un repère orthonormé
 
cercle (C ) . direct (O, i, j , k ) , on considère les points A(0,1,1).
5) Déterminer le centre du cercle (C ) . B(1,2,0) et C(-1 ;1 ;2)
   
EXERCICE8: 1) a) Montrer que AB ∧ AC = i+ j .
On considère les points A(-1,-1,1) ; B(-1,2,-2) b) En déduire que x+z-1=0 est une équation
et le plan ( P ) dont une équation cartésienne est : cartésienne du plan (ABC)
x+ y+z−2= 0. 2) Soit (S) la sphère de centre Ω(1;1; 2) et de rayon
1) Montrer que la droite ( AB ) est parallèle à ( P ) .
R= 2
2) Soit α un réel et ( Sα ) l’ensemble des points - Déterminer une équation de la sphère (S).
M ( x , y , z ) de l’espace tel que : 3) Montrer que le plan (ABC) est tangent à la
x ² + y ² + z ² + 2 x − 2 α y + 2 α z + α² + α =0 . sphère (S) au point A.
a- Montrer que, ( Sα ) est une sphère de centre Iα 4) On considère la droite ( ∆ ) passant par le point
et de rayon Rα= α ² − α + 1 , pour tout réel α . C et perpendiculaire au plan (ABC).
b- Montrer que ,quand α varie dans IR, I α décrit a) Déterminer une représentation paramétrique de
la droite ( AB ) . la droite ( ∆ ) .
3) Etudier suivant les valeurs de α , les positions b) Montrer que la droite ( ∆ ) est tangente à la
relatives de ( Sα ) et du plan ( P ) . sphère (S) en un point D dont on déterminera les
4) Soit I le milieu de [ AB ] et I 1−α le centre de
coordonnées.
  
la sphère ( S 1−α ) .
( )
c) Calculer le produit scalaire AC ⋅ i + j , puis en

a- Montrer que I est le milieu de  I α ; I1−α  . déduire la distance d ( A;( ∆ ) )

b- En déduire que les sphères ( Sα ) et ( S 1−α )

sont symétrique par rapport au point I .
EXERCICE9:
Soit
S { M ( x, y, z ) / x 2
4 y + 4 z + 5 0}
+ y 2 + z 2 − 2 x +=
On considère A(−2 ;0 ;0),B(0 ; 1 ;0) et
C(0 ;0 ;−1)
1)Montrer que (S) est une sphère dont on
déterminera le centre Ω et le rayon R .
 
2)a) Calculer AB ∧ AC .
b) En déduire que : ( ABC ) : x – 2 y + 2 z + 2 =0
3) a) Montrer que les points A, B, C et Ω ne sont
pas coplanaires
b) Calculer le volume du tétraèdre Ω ABC
c) Calculer l’aire du triangle ABC, puis en
déduire la distance de point Ω au plan (ABC)
d) En déduire l’intersection de la sphère (S) et le
plan (ABC) est un cercle dont on précisera le
centre I et le rayon r.

42
 Dénombrement
I) Cardinal d’un ensemble fini – Parties d’un ensemble.
 Soit Ω un ensemble fini de n éléments, Ω ={ x1 ; x2 ;...; xn } .
L’entier naturel n est appelé cardinal de Ω . On note : card Ω =n
 A et B désignent deux parties de Ω . On écrit : A ⊂ Ω et B ⊂ Ω
 card ( A ∪ B= ) cardA + cardB − card ( A ∩ B ) .
 Si A et B sont deux ensembles disjoints (c’est-à-dire A ∩ B = ∅)
alors card ( A ∪ B=
) cardA + cardB
 A = {x ∈ Ω : x ∉A}, est le complémentaire de A.
 A∪ A =Ω et A∩ A =∅
 card=
A card Ω − cardA

II) Principe de produit ou principe fondamental de dénombrement.

• arbre de choix
• Principe de produit : Si une expérimentation complexe peut se décomposer en p opérations
élémentaires successives tels que :
- La première opération peut être effectuée de n1 manières différentes.
- La deuxième opération peut être effectuée de n2 manières différentes.
- La troisième opération peut être effectuée de n3 manières différentes. Et ainsi de suite …
ième
- La p opération peut être effectuée de n p manières différentes.
Alors l’ensemble de toutes ces opérations peut être effectuées de N = n1 × n2 × n3 × ...× n p manières
différentes
III) Arrangements et permutation d’un ensemble fini.
• Arrangements sans répétitions.
 Notion de factorielle : Soit n un entier naturel tel que n > 1
= n ( n − 1)( n − 2 ) × .....× 3 × 2 × 1
On appelle " n factorielle " le nombre entier noté n! tel que n!
Par convention, on pose 0! = 1 et 1! = 1.
 Ω étant un ensemble à n éléments, on appelle arrangement de p éléments de Ω , toute suite de p éléments
distincts de Ω . On le note An .
p

Il y a n façons de choisir le 1er élément, (n-1) façons de choisir le 2ème élément, …, [n-(p-1)] façons de
choisir le pème . et d’après le principe
n!
Donc Anp = n ( n − 1)( n − 2 ) .....( n − p + 1) = si p≤n. An0 = 1 ; An1 = n ; Ann = n ! .
( n-p ) !
 Ω étant un ensemble à n éléments, on appelle permutation, tout arrangement des n éléments de Ω .
Il y a n! permutations de Ω si les n éléments sont distinguables entre eux.
• Arrangements avec répétitions.
C’est le nombre d’arrangements que l’on peut faire avec p éléments choisis parmi n éléments, chacun d’eux
peut figurer plusieurs fois dans le même arrangement. Le nombre d’arrangements avec répétitions est np
N. B. :Quand il s’agit de classer k « objets », rangés en p groupes dont les éléments sont considérés comme
indistinguables entre eux à l’intérieur de chaque groupe, il faut trouver le nombre de permutations
distinctes de p objets quand k1 sont d’une sorte, k2 d’une autre, …, k p de la pème sorte, avec
k!
k1 + k2 + ... + k p =k. Ce nombre est alors : .
k1 !× k2 !× ...× k p !

43
IV) Combinaisons d’un ensemble fini .
Ω étant un ensemble à n éléments, on appelle combinaison de p éléments de Ω , toute partie de p
Anp n!
éléments de Ω . On la note C n telle que : C n = = / 1≤ p ≤ n .
p p

p ! p !( n − p )!
n− p
p
Formules usuelles : C n = C n ; C=
0
n C=
n
n 1 ; = n −1
C n1 C=
n n ; pC np = nC np−−11
n
C np = C np−−11 +C np−1 (formule de Pascal) ; ∑ Cnk a k .bn− k
( a + b )n =
k =0
(formule du binôme)

V) Types de tirages.
• La plupart des expériences aléatoires peuvent être interprétées comme des tirages de p boules d’une
urne qui en contient n.
• Il y a deux critères pour distinguer ces tirages :
1) L’ordre : Si l’ordre dans lequel on tire les boules est pris en considération, on dit que c’est un
« tirage avec ordre », sinon c’est un « tirage sans ordre ».
2) La répétition : Si on remet chaque boule tirée dans l’urne avant de tirer la suivante, on peut tirer
plusieurs fois la même boule : on parle alors d’un tirage avec répétition ou avec remise. Dans le
cas contraire on parle d’un tirage sans répétition ou sans remise.
Ω étant un ensemble à n éléments, On tire p éléments parmi n éléments, donc :
Type de tirage Ordre Répétition Nombre de tirages
possibles
Successif avec remise Important Possible np
Successif sans remise Important Impossible Anp p≤n
Simultané Pas important Impossible C np p≤n

. Exercices
Exercice1 Exercic2
Un sac contient 4 boules vertes, 3 boules rouges Un sac contient 2 boules verte, 5 rouges et 3 bleus.
et 2 boules bleus. On tire successivement et sans remise, trois boules.
On tire simultanément et trois boules du sac. 1) Déterminer le nombre de cas possible.
1) Déterminer le nombre de cas possible. 2) Déterminer le nombre de cas possibles :
2) Déterminer le nombre de cas possibles de A : « Tirer trois boules vertes »
chacun des événements suivants : B: « les boules tirées sont de même couleur »
A : « Tirer trois boules vertes » D: «Tirer deux boules rouges et une boule bleue »
B: « les boules tirées sont de même couleur » E: « Tirage contenant une boule rouge exactement »
D: «Tirer deux boules rouges et une boule bleue » F: « Tirage ne contenant aucune boule rouge »
E: « Tirage contenant une boule rouge exactement » G: « Tirage contenant au moins une boule rouge »
H: « Tirage contenant au plus deux boules vertes»
F: « Tirage ne contenant aucune boule rouge »
K:«les boules sont de couleurs différentes deux à deux »
G: « Tirage contenant au moins une boule rouge »
M: « les boules tirées sont de couleur différentes »
H: « Tirage contenant au plus deux boules vertes»
N: « Tirage contenant au moins deux couleurs »
K:« les boules tirées sont de couleurs différentes
R: « Tirage contenant au plus deux couleurs »
deux à deux »
S: « Tirer une boule blanche, puis une boule rouge,
M: « les boules tirées sont de couleur différentes » puis une boule noire »
N: « Tirage contenant au moins deux couleurs » T: « Tirer une boule blanche et une boule rouge
R: « Tirage contenant au plus deux couleurs » et une boule noire »

44
 Probabilités
I) Vocabulaires.
 aléatoire = Lié au hasard ; imprévisible ;arbitraire.
 On dit qu’une expérience est aléatoire si on peut déterminer parfaitement, par avance toutes les
issues possibles mais on ne peut pas prévoir par avance, laquelle de ces issues sera réalisée.
 L'univers Ω est l'ensemble de tous les résultats possibles.
Posons Ω = {ω1, ω2, … , ωn}. (C’est-à-dire card Ω =n )
 On appelle événement toute partie A de Ω.
 Un événement réduit à une seule issue {ωi} est un événement élémentaire.
 Ω est appelé l’événement certain.
 ∅ est appelée l’événement impossible.
 Si A et B désignent deux événements de Ω, l’événement A∪B est réalisé si l’un au moins des
événements A et B est réalisé.
 L’événement A∩B est réalisé si les événements A et B sont tous les deux réalisés.
 On dit que les évènements A et B incompatibles si A ∩ B = ∅ ; Cela revient à dire que les deux
évènements ne peuvent pas se réaliser en même temps.
 L'événement contraire d'un événement A, est A constitué des éléments de Ω n'appartenant pas à A.
Exemple : Lancer un dé à 6 faces et noter le chiffre apparent sur la face supérieure, est une expérience
aléatoire :
- Il y a 6 issues possibles.
- L’univers de cette expérience est Ω ={1; 2; 3; 4; 5; 6} .
- A :« Le résultat est impair » est un événement qu’on peut exprimer en langage
symbolique de la forme suivante A = {1; 3; 5} .
Donc A = {2; 4; 6}
- B :« Le résultat est un multiple de 5 », est on peut écrire B = {5} . Donc B est un événement
élémentaire, mais « 5 » est une issue possible et B est un ensemble qui contint cette seule issue.
II) Probabilité d’un événement.
Définition : Pour certaines expériences aléatoires, sous certaines conditions, on peut déterminer en
pourcentage ou par un quotient « la chance » qu’un événement a pour se réaliser. Ce nombre s’appelle
la probabilité de l’événement.
 La probabilité d'un événement A d'un univers fini Ω est la somme des probabilités des événements
élémentaires qui le constituent.
 Par exemple :Si Ω ={ω1 ;ω 2 ;ω3 ;...;ω n } et A = {ω 2 ;ω5 ;ω8 } alors : p( A) = p({ω2 }) + p({ω5 }) + p({ω8 })
 p(Ω ) =1 ; p(∅ ) =0 et Pour tout événement A on a : 0 ≤ p(A) ≤ 1
Propriétés
- Pour tous événements A et B on a : p( A ∪ B )= p( A) + p( B ) − p( A ∩ B ) .
- Pour tous événements disjoints ou incompatibles A et B on a : p( A ∪ B )= p( A) + p( B )
- Pour tous événements deux a deux disjoints ou incompatibles A1, A2…An on a :
p( A1 ∪ A2 ∪…∪= An ) p( A1 ) + p( A2 ) + … + p( An ) .
- Pour tout événement A, p( A)= 1 − p( A) .

45
III) Equiprobabilité.
Définition : Dans une expérience aléatoire, si tous les événements élémentaires ont la même probabilité
d’être réalisée, on dit qu’on est dans une situation d’équiprobabilité. Donc : si Ω ={ω1 ;ω 2 ;ω3 ;...;ω n }
cardA
Alors p({ωi }) = 1 ; c’est-à-dire pour tous événement A on a : p( A) = .
card Ω card Ω
Remarque : Dans le cas de l'équiprobabilité la détermination d'une probabilité se ramène en générale à
des problèmes de dénombrement.
Exemple : On lance un dé équilibré (non truqué) dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On
s'intéresse à la probabilité de l'évènement : A « le numéro de la face supérieure est multiple de 2 »
cardA 3 1
on a : A = {2 ;4 ; 6} donc p( A= ) = =
card Ω 6 2
IV) Probabilité conditionnelle.
Définition : Soit B un événement de l’ensemble Ω , tel que P(A) ≠ 0 .
P( A ∩ B)
On définit sur Ω une nouvelle probabilité, notée PB , en posant, pour tout événement A, PB ( A) =
P( B)
On note PB ( A) = P (A/ B) qui se lit « probabilité de A que B est réalisé ».

Propriété : Soient A et P (A) = P(B) deux événements de l’ensemble Ω , tel que P ( B ) ≠ 0 .

P( A ∩ B)
B

Alors : P ( A ∩ B )= P ( B ) × PB ( A) .

sont indépendants lorsque P ( A ∩ B )= P ( B ) × P ( A) .

P( A ∩ B)
Définition : On dit que deux événements A et PB ( A) =
P( B)

Remarque : Ne pas confondre indépendant et incompatible

V) Probabilités totales.
1) Arbre de probabilité : C'est un arbre sur lequel on place des probabilités conditionnelles
d'événements, cette présentation permet de rendre plus simple le calcul de probabilité :
Remarque : Arbre probabiliste Arbre à dénombrer
Exemple
Soit p une probabilité sur un univers Ω et A, B et C trois évènements
incompatibles et leur réunion est Ω
Soit un événement M, donc nous obtenons l'arbre probabiliste ci-contre :
Remarque : Un arbre de probabilités comporte des nœuds et des branches.
On applique les règles suivantes :
 la somme des probabilités marquées sur des branches issues d’un même
nœud est égale à 1,
 la probabilité d’un événement qui correspond à un chemin est le produit
des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin
 la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des branches
aboutissant à cet événement.
p ( M )= p ( M ∩ A) + p ( M ∩ B ) + p ( M ∩ C )
Donc :
= p A ( M ) × p ( A ) + pB ( M ) × p ( B ) + pC ( M ) × p ( C )
2) Formule des probabilités totales.
Théorème : Soit A1, A2, …, Ak, des événements de probabilité non nulle, réalisant une partition de
l’univers Ω. Alors, pour tout événement B de ce même univers, on a :
p( B) = p ( B ∩ A1 ) + p ( B ∩ A2 ) +......+ p ( B ∩ Ak )
= p A1 ( B ) × p ( A1 ) + p A2 ( B ) × p ( A2 ) + ...... + p Ak ( B ) × p ( Ak )

46
Exercice : On considère trois urnes respectivement notées U1, U2 et U3. L’urne U1 contient une boule
rouge et cinq boules jaunes, l’urne U2 contient trois boules rouges et une boule jaune, l’urne U3 contient
une boule rouge et deux boules jaunes.
On choisit une urne au hasard et on tire une boule de cette urne.
Quelle est la probabilité que la boule tirée soit rouge ?
VI) Variables aléatoires.
Introduction : Une variable aléatoire est une variable dont la valeur est déterminée en fonction du résultat
d’une expérience aléatoire.
Activité : On lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On gagne 2 points pour chaque
résultat « Pile » et on perd 1 point pour chaque résultat « Face ».
L’ensemble des issues est Ω = {PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF} et il est de bon sens de
choisir l’équiprobabilité sur Ω.
L’application X : Ω → [ 0 ,1] , qui, à chaque issue, associe le gain du joueur, prend les valeurs – 3, 0 3
et 6. Pour chaque valeur, on peut considérer l’événement (X = 3) = {PPF, PFP, FPP} et lui associer sa
3
probabilité
8
On obtient ainsi une nouvelle loi de probabilité sur l’ensemble des gains : X(Ω) ={- 3, 0, 3, 6}.
On la nomme loi de X.
gain xi x1 = - 3 x2 = 0 x3 = 3 x4 = 6
p( X = xi ) 1/8 3/8 3/8 1/8

Définition : soit X une variable aléatoire discrète, l’application p est dite loi de probabilité de X, définie par:
P : X ( Ω ) → [ 0,1]
xi  p( X = xi )

Remarque : Si X est une variable aléatoire discrète et p sa loi de probabilité et X (Ω ) ={ x1 ; x2 ; x3 ;.....; xn }

n
Alors : ∑ p(=
i =1
X x=
i) 1

Esperance mathématique :
n
: E(X) ∑
On appelle espérance mathématique de X le nombre, noté E(X), définit par = = x i p( X x i )
i =1

Variance et écart type :

 On appelle variance de X le nombre positif noté V(X) suivant : =
V ( X ) E ( X 2 ) − ( E ( X ))2
 On appelle écart type de X le nombre positif noté σ ( X ) suivant : σ (X ) = V(X )
VII) Loi Binomiale.
Définition : On réalise n fois successivement et d’une manière indépendante une Propriété :
expérience aléatoire qui a deux résultats possibles : succès de probabilité p et échec Si X est une
de probabilité (1-p). Donc (∀k ∈ X (Ω )); P ( X = k ) = C nk p k (1 − p)n− k variable aléatoire
binomiale de
X : nombre de succès obtenu est une variable aléatoire binomiale de paramètre n et p. paramètre n et p.
Alors :
Quelques interprétations
 E(X) est la moyenne des valeurs xi, pondérées par les valeurs pi. X ( Ω ) ={0;1;...; n}
 Dans le domaine des jeux (le terme « espérance » vient de là), E(X) est le gain moyen E ( X ) = np
que peut espérer un joueur sur un grand nombre de parties. V(= X ) np(1 − p )
Cela permet de qualifier un jeu d’équitable (ou honnête) lorsque E(X) = 0 ; σ ( X ) = V( X )
lorsque E(X) > 0, le jeu est favorable au joueur, il lui est défavorable si E(X) < 0.
 La variance et l’écart-type sont des paramètres de dispersion.

47
 EXERCICES ET PROBLÈMES On tire simultanément et au hasard 3 boules de
Exercice 1 : l'urne, et on considère les événements suivants :
On tire simultanément 3 boules d’une urne qui contient 5A « Les 3 boules tirées sont de même couleur »
boules rouges, 3 boules blanches et 7 boules noires. B « Les 3 boules tirées sont de même numéro »
- Calculer la probabilité des événements suivants : C « Les 3 boules tirées sont de même numéro et
A: « Obtenir une boule de chaque couleur » de même couleurs »
B: « Obtenir trois boules de même couleur » 1)a) Calculer p(A) , p(B) et p(C).
C: « Obtenir deux boules rouges et une boule
b) En déduire que p(A∪B) = 17 .
d’une autre couleur » 60
D: « Obtenir au moins deux boules noires » 2) Déterminer les probabilités des événements
Exercice 2 : D « Obtenir au moins une boule numérotée 1 »
Une urne contient deux boules blanches numérotées E « La somme de numéros inscrit sur les boules
1,2 et trois boules rouges numérotées 1,2,2 toutes tirée est égale à 0 »
les boules sont indiscernables au toucher . Exercice 5 :
1) On tire simultanément deux boules de l'urne. 1) Un groupe de 26 personnes dont 10 sont des femmes
a) Calculer la probabilité des événements suivants: doit élire un comité de 3 personnes.
A « Tirer deux boules de couleurs différentes »
Calculer la probabilité de chacun des événements :
B « Tirer deux boules de même numéro »
b) Sachant que les deux boules tirées sont de A « Le comité contient au moins une femme ».
couleurs différents, calculer la probabilité pour B « Le comité contient au moins 2 hommes ».
qu’elles portent le même numéro. C « Le comité ne contient pas à la fois Madame X
2) Dans cette question, l'épreuve consiste à tirer et Monsieur Y ».
successivement et sans remise deux boules de 2) Ce groupe de 26 personnes doit élire un comité
l'urne soit X la variable aléatoire égale au composé d'un président d'un vice-président et d'un
nombre des boules rouges tirées, déterminer la
loi de probabilité de X et calculer E (X). secrétaire.
Exercice 3 : (nationale)  Calculer la probabilité de chacun des événements :
Une urne contient 9 boules indiscernables au E « Le poste de président doit être occupé par un
toucher :5 boules rouges numérotées 1 ;1 ;2 ;2 ;2 homme »
et 4 boules blanches portant les nombres F « Le président est un homme, le secrétaire est une
1 ;2 ;2 ;2. femme »
On considère l’expérience suivante : on tire au
G « Les deux sexes figurent dans le comité ».
hasard et simultanément trois boules de l’urne.
1) Calculer la probabilité des événements suivants: Exercice 6 : (session ordinaire 2022)
A « Les trois boules tirées sont de même couleur » Une urne contient 10 boules : 3 boules blanches,
B « Les trois boules tirées portant le même nombre » 3 boules vertes et 4 boules rouges indiscernables au
C « Les trois boules tirées sont de même couleur toucher.
et portant le même nombre » On tire au hasard simultanément trois boules de
2) On répète l’expérience précédente trois fois avec l'urne
remise dans l’urne des trois boules tirées après chaque
tirage, et on considère la variable aléatoire X qui 1) Montrer que P ( A) = 1 ; où A est l'évènement
6
égale au nombre de fois de réalisation de A. «N'obtenir aucune boule rouge »
a) Déterminer les paramètres de la variable X.
2) Calculer P (B) ); B est l'événement
b) Montrer que P ( X= 1)= 25 et calculer P ( X = 2) .
72 «Obtenir trois boules blanches ou 3 boules vertes»
Exercice 4 : 3) Montrer que P (C) = 1 ; où C est l'événement
Une urne contient 6 boules blanches et 4 boules 2
noires, indiscernables au toucher. « Obtenir exactement une boule rouge »
Les boules blanches sont numérotées −1 ,−1,0,1,1,1 4) Calculer p(D): où D'est l'événement "Obtenir au
et les boules noires sont numérotées −1 ,0,1,1 moins deux boules rouges

48
Exercice 7 : Exercice 9 :
Dans une usine, on produit chaque jour mille Une urne contient 5 boules rouges dont 2 ont une
pièces du même modèle. Chacune de ces pièces tache noire et 4 boules jaunes dont une a une tache
est susceptible de présenter un défaut A, un défaut noire.
B ou simultanément les deux défauts A et B. On extrait une boule au hasard.
On admet que : Quelle est la probabilité de chacun des évènements
8 % des pièces présentent le défaut A. suivants ?
Parmi les pièces qui ont le défaut A, 15 % ont le A : « la boule extraite est jaune »
défaut B B : « la boule extraite a une tache noire »
Parmi les pièces qui n’ont pas le défaut A, 5 % C : « la boule extraite n’est pas jaune et sans tache
ont le défaut B. noire. »
Déterminer, parmi la production d’un jour, le Exercice 10 :
nombre de pièces qui : Une urne contient une boule blanche numérotée 1,
- Présentent simultanément les défauts A et B deux boules rouges numérotées 1 et 2 et trois
- Présentent le défaut B mais pas le A boules vertes numérotées 1, 2 et 3. Les boules sont
- Présentent le défaut B et peut-être le A indiscernables.
- Ne présentent ni le défaut A, ni le défaut B On extrait successivement deux boules de l'urne
Exercice 8 : sans remise dans l’urne de la première boule tirée.
Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules
Trouver la probabilité de chacun des événements
noires.
Ces six boules sont indiscernables suivants :
au toucher. A : « les deux boules sont rouges »
B : « les deux boules sont de couleurs différentes »
1) On tire simultanément 4 boules de l'urne.
C : « le tirage comporte au moins une boule rouge »
Calculer la probabilité d'obtenir une seule boule
D:« le tirage comporte exactement une boule verte »
blanche.
E : « le tirage comporte une boule verte et une
2) On effectue 4 tirages successifs d'une boule,
boule numérotée 1 »
sans remise.
F : « le tirage comporte une boule rouge ou une
a. Calculer la probabilité de tirer dans l'ordre
boule numérotée 1 ».
une boule noire, une boule noire, une boule Exercice 11 :
noire et une boule blanche. Un élève répond au hasard aux dix questions d’un
b. Calculer la probabilité de tirer une seule Q.C.M. Pour chaque question, cinq réponses sont
boule blanche au cours de ces quatre proposées dont une seule est exacte. X est la
tirages. variable aléatoire égale au nombre de bonnes
3) On effectue maintenant quatre tirages réponses.
successifs d'une boule avec remise. 1) Montrer que la loi de probabilité de X est une
a) Calculer la probabilité de tirer dans l'ordre loi binomiale.
une boule noire, une boule noire, une boule 2) Calculer la probabilité d’avoir au moins cinq
noire et une boule blanche. bonnes réponses
b) Calculer la probabilité de tirer une seule 3) Calculer l’espérance mathématique du nombre
boule blanche au cours de ces quatre tirages. de bonnes réponses.
c) Calculer la probabilité de n'obtenir aucune
boule blanche au cours des quatre tirages.
d) Calculer la probabilité de tirer au moins une
boule blanche au cours de ces quatre tirages.

49
 Soit x un réel Formules de transformation Transformation de produits en sommes

− 1 ≤ cos x ≤ 1 cos (=
a + b ) cos a .cos b − sin a .sin b 1
cos a × cos
= b ( cos(a + b) + cos(a − b) )
− 1 ≤ sin x ≤ 1
cos (=
a − b ) cos a .cos b + sin a .sin b
2
……………………………… 1
cos ( x + 2kπ ) =
cos x sin (=
a + b ) sin a .cos b + cos a .sin b sin a × =
sin b ( cos(a − b) − cos(a + b) )
2
sin ( x + 2kπ ) =
sin x sin (=
a − b ) sin a .cos b − cos a .sin b 1
………………………………
sin a × cos
= b ( sin(a + b) + sin(a − b) )
tan a + tan b 2
cos ( − x ) =cos x tan ( a + b ) = Transformation de sommes en produits
1 − tan a × tan b
sin ( − x ) =− sin x
tan a − tan b a+b a−b
………………………………… tan ( a − b ) = cos a + cos b =
2cos   cos  
1 + tan a × tan b  2   2 
cos ( π − x ) =− cos x
a+b a−b
sin ( π − x ) =
............................................. cos a − cos b =
−2 sin 
sin x  sin  2 
cos 2 x + sin 2 x =
1  2   
…………………………………

cos ( π + x ) =− cos x a+b a−b

sin2 x = 2sin x .cos x sin a + sin b =
2 sin   cos  
sin ( π + x ) =
− sin x  2   2 
=
cos 2 x cos 2 x − sin 2 x
………………………………… a+b a−b
sin a − sin b =
2cos   sin  
π  =
cos 2 x 2cos 2 x − 1  2   2 
cos  + x  =
− sin x
2  cos 2 x= 1 − 2 sin 2 x Pour résoudre : a . cos x + b.sin x = c
π  tan 2 x =
2 tan x
sin  + x  =
cos x Si a × b × c ≠ 0
2  1 − tan 2 x
…………………………………
Il suffit de transformer a .cos x + b. sin x
.......................................
π  Sous la forme a 2 + b 2 cos ( x − α )
cos  − x  =
sin x 1 + cos 2 x
2  cos 2 x = Avec :
2
a b
π  1 − cos 2 x = cos (α ) = et sin (α )
sin  − x  =
cos x sin x =
2
a 2 + b2 a 2 + b2
2  2

Valeur absolue : x est un réel et r est un réel positif . on a :

• x =
x si x ≥ 0 • x =
− x si x ≤ 0 • x =
−x • x2 =
x
• x ≤ r ⇔−r ≤ x ≤ r • x ≥ r ⇔ x ≤ − r ou x ≥ r

50
 Cadres de référence de l'examen national du 1.2.13. Utiliser la dérivée première et la dérivée
baccalauréat - 2015 seconde pour étude d'une fonction numérique et pour
Série : Sciences Expérimentales prouver certaines inégalités...
Premier domaine principal: Analyse 1.2.14. Déterminer les fonctions primitives des
fonctions usuelles
I) Suites numériques 1.2.15. Utiliser les formules de dérivation pour
déterminer les fonctions primitives d'une fonction sur
1.1.1. Utiliser les suites géométriques et les suites un intervalle.
arithmétiques pour étudier des exemples de suites de 1.2.16. Maitriser le calcul algébrique sur les
au + b logarithmes
la forme u= n+1 aun + b ou un +1 = n .
cun + d 1.2.17. Maitriser la résolution des équations, des
1.1.2. Uliser les limites des suites de référence et les inéquations et des systèmes logarithmiques.
critères de convergence pour déterminer la limite 1.2.18. Reconnaitre et appliquer le logarithme décimal
d'une suite numérique. (en particulier pour résoudre des équations du type
1.1.3. Déterminer la limite de la composée d'une suite 10 x = a et des inéquations du type 10 x ≤ a )
et d'une fonction continue (suites du type vn = f ( un ) ). 1.2.19. Maitriser les limites logarithmiques de base et
les appliquer.
1.1.4. Etudier la convergence d'une suite ( un ) de la
1.2.20. Maitriser la résolution des équations des
forme un +1 = f ( un ) où f est une fonction continue sur inéquations et des systèmes comportant des
un intervalle I et qui vérifie f ( I ) ⊂ I et déterminer sa exponentiels népériens.
limite. 1.2.21. Maitriser les limites de base de la fonction
1.1.5. Utiliser les suites pour résoudre des problèmes exponentielle népérienne et les appliquer.
variés issus de domaines différents. 1.2.22. Etudier des fonctions ou des composées de
II) Continuité, dérivation et étude de fonctions fonctions figurant au programme et les représenter
graphiquement (ensemble de définition, éléments de
1.2.1. Etudier la continuité d'une fonction numérique symétrie, périodicité, monotonie, branches infinies,
en un point en utilisant le calcul des limites. tangentes, concavité, points d'inflexion).
1.2.2. Déterminer l'image d'un segment ou d'un 1.2.23. Résoudre l'équation différentielle y=' ay + b
intervalle par une fonction continue ou par une 1.2.24. Résoudre l'équation diff y "+ ay '+ by = 0.
fonction continue et strictement monotone.
III) Calcul intégral
1.2.3. Appliquer le théorème des valeurs
intermédiaires pour étudier certaines équations et 1.3.1. Utiliser une fonction primitive ou la technique
inéquations ou pour étudier le signe de certaines de l’intégration par parties pour calculer l’intégrale
expressions... d'une fonction.
1.2.4. Appliquer le théorème des valeurs 1.3.2. Utiliser les propriétés de l'intégrale.
intermédiaires dans le cas d'une fonction continue et 1.3.3. Calculer l'aire d'un domaine du plan limité par
strictement monotone sur un intervalle pour prouver deux courbes.
l'unicité de la solution de l'équation f ( x ) = λ . 1.3.4. Calculer le volume d'un solide de révolution
1.2.5. Etudier la dérivabilité d'une fonction numérique engendré par la rotation de la courbe d'une fonction
en un point et sur un intervalle. autour de l'axe des abscisses.
1.2.6. Déterminer la fonction dérivée d'une fonction Deuxième domaine principal : Algèbre et géométrie
numérique. I) Produit scalaire dans V3
1.2.7. Déterminer la monotonie d'une fonction
1.2.8. Déterminer le signe d'une fonction à partir de 2.1.1. Exprimer et démontrer l’orthogonalité de deux
son tableau de variations. vecteurs en utilisant le produit scalaire.
1.2.9. Déterminer le signe d'une fonction à partir de sa 2.1.2. Exprimer vectoriellement l'orthogonalité et ses
représentation graphique. propriétés.
1.2.10. Résoudre graphiquement des équations de la 2.1.3. Exprimer analytiquement l’orthogonalité et ses
forme : f ( x ) = g ( x ) et des inéquations de la forme propriétés.
f ( x ) ≤ g( x ) . II) Applications du produit scalaire dans l'espace
1.2.11. Déterminer la dérivée et la monotonie de la
fonction réciproque d'une fonction continue et 2.2.1. Déterminer une équation d'un plan défini par un
strictement monotone sur un intervalle et la point et un vecteur normal.
représenter graphiquement. 2.2.2. Déterminer une représentation paramétrique
1.2.12. Résoudre des problèmes d'application concernant d'une droite passant par un point et orthogonale à un
les valeurs minimales et les valeurs maximales. plan.

51
2.2.3. Etudier l'ensemble des points M ( x , y , z ) tels
que x 2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz + d =0. l’intersection de deux événements.
2.5.4. Reconnaitre l’indépendance de deux
2.2.4. Déterminer une équation cartésienne d'une
événements.
sphère définie par son centre et son rayon.
2.5.5. Déterminer la loi de probabilité d'une variable
2.2.5. Reconnaitre l'ensemble
  des points M de l'espace aléatoire et calculer ses différents paramètres.
vérifiant la relation MA ⋅ MB = 0. 2.5.6. Reconnaitre la loi binomiale et l'appliquer dans
2.2.6. Utiliser la distance d'un point à un plan pour des situations variées
résoudre des problèmes géométriques (positions
relatives d'un plan et d'une sphère et d'une droite et Tableaux de spécification
d'une sphère. Suivant les domaines principaux
III) Produit vectoriel
Domaine Sous-domaines Taux
2.3.1. Calculer l'aire d'un triangle en utilisant le principal d'importance
produit vectoriel. Suites numériques
2.3.2. Déterminer une équation d'un plan défini par Analyse Continuité, dérivation
trois points non alignés. et étude de fonctions 55%
2.3.3. Utiliser la distance d'un point à une droite pour Calcul intégral
résoudre des problèmes géométriques.
2.3.4. Appliquer le produit vectoriel pour résoudre des Produit scalaire dans V3
problèmes géométriques. Applications du produit 15%
Algèbre
IV) Nombres complexes scalaire dans l’espace
et
2.4.1. Maitriser le calcul algébrique sur les nombres géométrie Produit vectoriel
Nombres complexes
complexes (dans ses différentes écritures : algébrique, Calcul de probabilités 30%
trigonométrique et exponentielle).
2.4.2. Passer de l'écriture algébrique a l'écriture Total 100%
trigonométrique d'un nombre complexe et
réciproquement. Suivant les niveaux d'habileté
2.4.3. Linéariser des monômes trigonométriques en
utilisant l'écriture exponentielle d'un nombre complexe Niveau d'habileté Taux
2.4.4. Traduire les notions géométriques suivantes : d'importance
distance de deux points, mesure des angles, Application directe des
alignement de points, colinéarité et orthogonalité de connaissances (définition, propreté, 50%
vecteurs, en utilisant l'outil complexe. algorithme formule, technique,
2.4.5. Exprimer la translation, homothétie et la règle)
rotation en utilisant l’outil complexe. Evoquer et appliquer des
2.4.6. Reconnaitre une translation, une homothétie ou connaissances non explicites dans
une rotation à partir de leurs expressions complexes. une question (Définition propriété
2.4.7. Utiliser les nombres complexes pour résoudre des théorème, algorithme expression ; 35%
problèmes de géométrie (alignement, orthogonalité ) technique règle dans une situation
2.4.8. Résoudre l'équation az 2 + bz + c = 0 dans habituelle.
l'ensemble des nombres complexes où a, b et c sont Traiter des situations inhabituelles 15%
des nombres réels. par synthèse de connaissances et de
2.4.9. Résoudre des équations dont la résolution se résultats.
ramène à la résolution d'une équation du second degré Total 100%
à une seule inconnue à coefficients réels.
V) Calcul de probabilités

2.5.1. Utiliser le modèle de dénombrement convenable

selon la situation étudiée
2.5.2. Calculer la probabilité de la réunion de deux
évènements de l'évènement contraire d'un événement
et de l'intersection de deux événements.
2.5.3, Calculer la probabilité conditionnelle et
l’appliquer pour le calcul de la probabilité de

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