2013-2014 Préparation à l’agrégation interne de mathématiques 


TL

Suites de fonctions et approximation uniforme

Pour ce thème, il importe de connaı̂tre :
– la définition de la convergence simple et de la convergence uniforme, le critère de Cauchy uniforme ;
– les propriétés conservées par la limite simple d’une suite de fonctions : la croissance, la convexité, la parité,
la périodicité ;
– les propriétés de la limite uniforme d’une suite de fonctions : la continuité, la dérivabilité, l’interversion de
limites ( « double limite »), l’intégration sur un segment ;
– les résultats concernant l’approximation uniforme des fonctions continues sur un segment par des fonctions
en escalier, par des fonctions affines par morceaux ou par des fonctions polynômes (théorème de Weierstrass).

Exercice 1
sin2 nx
Soit (fn ) la suite de fonctions définies sur l’intervalle I =] − π, π[ par fn (0) = 0 et fn (x) = si x 6= 0.
n sin x
Étudier la convergence simple puis uniforme de la suite (fn ) sur I.

Exercice 2
Soit (fn ) la suite de fonctions définies sur I = [0, π/2] par fn (x) = cosn x sin x.
1. Montrer que la suite (fn ) converge uniformément, sur I, vers la fonction nulle.
2. Pour n ∈ N, on pose gn = (n + 1)fn . Montrer que, pour tout δ > 0, la suite (gn ) converge uniformément,
sur [δ, π/2], vers la fonction nulle.
Z π/2
3. Vérifier que lim gn (t) dt 6= 0.
n→+∞ 0

Exercice 3
Soit k un réel positif et (fn ) une suite de fonctions k-lipschitziennes définies sur [0, 1] et à valeurs dans R.
On suppose que (fn ) converge simplement vers une fonction f . Montrer que f est k-lipschitzienne et que la
convergence est uniforme.

Exercice 4
Soit p un entier naturel non nul. On considère les suites de fonctions définies sur Mp (R) par :
n n
M Mk
 X
fn (M) = Ip + et gn (M) = (où Ip désigne la matrice identité d’ordre p).
n k=0
k!

1. Quelles sont les limites des suites (fn ) et (gn ) lorsque p = 1 ?

!
1 n 1
2. Vérifier que l’on a, pour tout n ∈ N et tout k ∈ J0, nK, l’inégalité k 6 .
n k k!
n
kMk

3. En déduire l’inégalité kgn (M) − fn (M)k 6 exp(kMk) − 1 + (où k · k est une norme matricielle
n
subordonnée).
4. Étudier la convergence de la suite (fn ).

1
Exercice 5
Soit (Pn )n∈N une suite de polynômes convergeant uniformément sur R vers une fonction f . Montrer que f est
une fonction polynôme. (Ind. Utiliser le critère de Cauchy uniforme).

Exercice 6 : une preuve du théorème d’approximation uniforme de Weierstrass

1. Le théorème de Dini Soit (fn ) une suite de fonctions continues sur [0, 1], à valeurs dans R et
convergeant simplement vers une fonction continue f . On suppose que pour x fixé la suite (fn (x)) est
croissante. On souhaite montrer que la convergence de (fn ) vers f est uniforme (c-à.d que la suite (gn )
définie par gn = f − fn converge uniformément vers la fonction nulle).
Supposons que la suite (gn ) ne converge pas uniformément vers la fonction nulle.
(a) Établir l’existence d’un réel ε > 0, d’une application ϕ : N → N strictement croissante, et pour
chaque n ∈ N d’un réel xn ∈ [0, 1] tels que
– gϕ(n) (xn ) > ε
– la suite (xn ) converge vers un réel x ∈ [0, 1].
(b) Utiliser les autres hypothèses pour aboutir à une contradiction puis conclure.
2. On considère la suite (Pn ) de fonctions polynômes sur [0, 1] définie par les relations :
x − P2n (x)
P0 = 0, ∀n ∈ N, Pn+1 (x) = Pn (x) + .
2
√
3. Montrer que, pour x ∈ [0, 1], 0 6 Pn (x) 6 x.
√
4. Déduire de ce qui précède que (Pn ) est uniformément convergente, sur [0, 1], vers la fonction x 7→ x.
5. Montrer que la fonction x 7→ |x| est limite uniforme, sur [−1, 1], d’une suite de fonctions polynômes.
6. Montrer que toute fonction continue sur [0, 1] à valeurs dans R est limite uniforme d’une suite de fonctions
continues et affines par morceaux (c-à.d de combinaisons linéaires de fonction de la forme x 7→ |x − c|).
7. Montrer le théorème de Weierstrass : toute fonction continue sur [a, b] (a < b) à valeurs dans R est limite
uniforme d’une suite de fonctions polynômes.
Z b
8. Soit f : [0, 1] → R une fonction continue. On suppose que f (t) tn dt = 0 pour tout n ∈ N.
a
Montrer que f est nulle.

Exercice 7 : un lemme de Riemann-Lebesgue

Soit f : [a, b] → R une fonction continue par morceaux. Pour tout réel λ on pose :
Z b
Iλ (f ) = f (t)eiλt dt.
a

1. Montrer que toute fonction continue par morceaux sur [a, b] à valeurs dans R est limite uniforme, sur
[a, b] d’une suite de fonctions en escalier.
2. Montrer que Iλ (f ) tend vers 0 lorsque λ tend vers +∞. (Ind. Établir le résultat pour une fonction en escalier,
puis passer au cas général par approximation).

Exercice 8 : une autre preuve du théorème d’approximation uniforme de Weierstrass uti-

lisant les polynômes de Bernstein
Soit f : [0, 1] → R une fonction continue. Pour n ∈ N∗ , on définit la fonction Bn (f ) sur [0, 1] par :
n
!  
X n k
Bn (f )(x) = f xk (1 − x)n−k .
k=0
k n


On se propose de montrer que la suite de fonctions Bn (f ) n∈N∗
converge uniformément, sur [0, 1], vers f .

2
1. Calculer explicitement Bn (f ) et prouver le résultat dans les trois cas particuliers
 suivants
 :f
est la fonction
n n n−1
x 7→ 1, f est la fonction x 7→ x, f est la fonction x 7→ x2 . (Ind. Une formule : = .)
k k k−1
2. On suppose maintenant f quelconque et on fixe ε > 0.
(a) Vérifier que, pour tous x ∈ [0, 1] et n ∈ N∗ ,
n
!
n k k
X   
f (x) − Bn (f )(x) = x (1 − x)n−k f (x) − f .
k=0
k n
(b) Montrer, en utilisant le théorème de Heine, qu’il existe un réel η > 0 ayant la propriété suivante :
k k
 
∗
si x ∈ [0, 1], n ∈ N et k ∈ J1, nK sont tels que x − 6 η alors f (x) − f 6 ε.
n n
k k
   
(c) On note I(x) = k ∈ J0, nK, x − 6 η et J(x) = k ∈ J0, nK, x − >η .
n n
!
n k k
  
∗
X
i. Montrer que, pour tous x ∈ [0, 1] et n ∈ N , x (1 − x)n−k f (x) − f 6 ε.
k∈I(x)
k n
∗
ii. Montrer que, pour tous x ∈ [0, 1] et n ∈ N ,

n
! !
n k k 2 kf k∞ X n k k 2
X     
x (1 − x)n−k f (x) − f 6 x (1 − x) n−k
x − .
k∈J(x)
k n η 2 k∈J(x) k n

(d) Déduire, en utilisant les résultats des questions précédentes, que la suite (Bn (f ))n∈N∗ converge
uniformément, sur [0, 1], vers f .
Ce qui donne une autre preuve du théorème de Weierstrass.