Composition Sem 2

Inspection Académique de Saint-Louis Année Scolaire 2019-2020
Lycée de Dioudé Diabé Classe : T S2

Prof : M.Djitté Durée : 04 heures
Composition de Mathématiques du 2e semestre

Vendredi 07/08/2020 08h-12h
+ Exercice 1 (05 pts)
I. On considère l’équation (E) : z 3 + 2z 2 − 16 = 0.

1. Montrer que 2 est solution de (E) .
2. Montrer que (E) peut s’écrire sous la forme (E) : (z − 2)(az 2 + bz + c) = 0 où a, b et c sont trois
réels à déterminer.
3. En déduire les autres solutions de (E) sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique.
II. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O, → −u ,→
−
v)
1. Placer les points A, B et D d’affixe respectives zA = −2 − 2i ; zB = 2 et zD = −2 + 2i
2. a. Calculer l’affixe zC du point C tel que ABCD soit un parallélogramme.
b. Placer le point C.
π
3. Soit E l’image de C par la rotation r de centre B et d’angle − et F l’image de C par la rotation
2
π
r’ de centre D et d’angle .
2
a. Calculer les affixes des points E et F , notées zE et zF .
b. Placer les points E et F .
zF − zA
4. a. Vérifier que = i.
zE − zA
b. En déduire la nature du triangle AEF .
π
5. Soit I milieu de [EF ]. Soit R la rotation de centre I et d’angle − .
2
a. Déterminer l’écriture complexe de R.
b. Déterminer l’image du triangle EBA par R.
+ Exercice 2 (04 pts)
A l’occasion des journées culturelles d’un lycée, le foyer socio-éducatif organise un jeu.
Pour cela , il dispose d’une urne contenant trois boules blanches et deux boules noires indiscernables
au toucher.
Un joueur tire successivement et au hasard trois boules de l’urne en respectant la règle suivante :
• Si la boule tirée est noire, il la remet dans l’urne ;
• Si elle est blanche, il ne la remet pas dans l’urne ;
On note les évènements :
A : « tirer une seule boule blanche »
B : « tirer trois boules blanches »
C : « tirer trois boules noires »
D : « tirer deux boules blanches et une noire »
E : « tirer deux boules noires et une blanche »
1. Construire un arbre pondéré modélisant le problème.
183
2. Montrer que la probabilité de A est P (A) = .
500
3. Calculer P (B) et P (C).
47
4. a. Montrer que P (D) = .
100
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b. Calculer P (E).
5. Lors du tirage des trois boules, le joueur marque trois points pour chaque boule blanche tirée et
deux points pour chaque boule noire tirée. On désigne par X la variable aléatoire égale à la somme
des points marqués par le joueur.
a. Montrer que X(Ω) = {6, 7, 8, 9}.
b. Déterminer la loi de probabilité de X.
c. Calculer l’espérance mathématique de X.
+ Problème (11,5 pts)

x − 1 −x
Partie A : Soit (E) : y 00 + 3y 0 + 2y = e
x2
1. Montrer que la fonction h définie sur ]0; +∞[ par h(x) = e−x ln x est solution de (E).
2. Montrer qu’une fonction f est solution de (E) si et seulement si f − h est solution de l’équation
différentielle (E 0 ) : y 00 + 3y 0 + 2y = 0.
3. Résoudre (E 0 ) puis (E).
4. Trouver la solution de (E) dont la courbe passe par A(1; e−1 ) et admet en ce point une tangente
parallèle à l’axe (Ox).
1
Partie B : Soit g la fonction définie par g(x) = − ln x + − 1.
x
1. Dresser le tableau de variations de g.
2. Calculer g(1) et préciser le signe de g(x). 
−x −1
f (x) = e (1 + ln x) − e si x ≥ 1


Partie C : Soit f la fonction définie par  1
−
f (x) = (1 − x)e 1 − x si x < 1

→
− → −
On note (Cf ) sa courbe représentative dans un repère (O, i , j ).
1. a. Vérifier que f est définie sur R.
b. calculer lim f (x) et lim f (x) .
x→−∞ x→+∞
2. Etudier la continuité de f en 1.
x−1
f (x) − f (1) −x 1 − e ln x
3. a. Montrer que ∀x ∈]1; +∞[, =e + .
x−1 x−1 x−1
b. Etudier la dérivabilité f en 1. Interpréter les résultats.
4. a. Montrer que ∀x ∈ [1; +∞[, f 0 (x) = e−x g(x).
b. Calculer f 0 (x) sur l’autre intervalle.
c. Etudier le signe de f 0 (x) puis dresser le tableau de variations de f .
5. a. Donner la nature de la branche infinie en +∞.
b. Montrer que la droite (∆) : y = −x est asymptote à (Cf ) en −∞.
c. Etudier la position de (Cf ) par rapport à (∆) sur ] − ∞; 1[.
→
− →−
6. Construire (Cf ) dans le repère (O, i , j ).
7. Soit k la restriction de f à l’intervalle I =] − ∞; 1[.
a. Montrer que h réalise une bijection de I vers un intervalle J à préciser.
b. Calculer k(0) et k −1 (e−1 ). k −1 est-elle dérivable en e−1 ? Si oui calculer (k −1 )0 (e−1 ).
c. Tracer (Ck −1 ) dans le même repère.
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