Calcprep Court
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c 2002, Conseil des provinces atlantiques pour les sciences, Comité des mathématiques
et de la statistique
Cette brochure peut être reproduite librement à des fins éducatives ou person-
nelles.
1
Table des matières
1 Le calcul différentiel et intégral en année préparatoire 3
1.1 De quelles mathématiques aurai-je besoin à l’université? . . . . . . . 3
1.2 Qu’est-ce que le calcul différentiel et intégral? . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Pourquoi le calcul différentiel et intégral est-il important? . . . . . . 4
1.4 De quels préalables ai-je besoin? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 En quoi consiste un cours de calcul différentiel et intégral à l’université? 5
1.6 À L’AIDE! On veut m’enlever ma calculatrice! . . . . . . . . . . . 6
2
1 Le calcul différentiel et intégral en année préparatoire
1.1 De quelles mathématiques aurai-je besoin à l’université?
Cela dépend de la discipline dans laquelle vous vous inscrirez. Il conviendrait de
vérifier avec le Département ou le comité de programme en question. En règle
générale, si vous visez un diplôme en sciences, vous aurez probablement besoin d’un
ou de plusieurs cours de calcul différentiel et intégral. Dans certains programmes,
ce sont des cours de statistique qui sont privilégiés. Pour obtenir un diplôme en
physique, génie, mathématiques ou informatique (et dans certaines autres disci-
plines), il vous faudra des cours supplémentaires de mathématiques allant au-délà
des cours de niveau collégial.
Certains départements (autres que le Département de mathématiques) offrent
leurs propres cours de calcul différentiel et intégral, d’algèbre linéaire ou de statis-
tique. Dans ce cas, vous ne serez peut-être pas tenu(e) de suivre des cours de
type CQP, MAT proposés par le Département de mathématiques de l’Université de
Sherbrooke.
3
1.3 Pourquoi le calcul différentiel et intégral est-il impor-
tant?
En sciences, de nombreux processus impliquant une variation ou des variables reliées
sont étudiés. Si ces variables sont liées d’une façon impliquant la chance et une
variation aléatoire importante, la statistique est l’un des principaux outils que l’on
utilisera pour étudier les liens existants. Cependant, dans les cas où un modèle
déterministe constitue au moins une approximation valable, le calcul différentiel
et intégral est un outil permettant d’étudier efficacement les façons dont les vari-
ables interagissent. Les situations impliquant des taux de variation au fil du temps
ou des taux de variation d’un lieu à un autre sont des exemples particulièrement
importants.
La physique, l’astronomie, les mathématiques et le génie sont des domaines où
le calcul différentiel et intégral joue un rôle primordial; on peut difficilement voir
comment une seule de ces disciplines existerait dans sa forme moderne sans le calcul
différentiel et intégral. Toutefois, la biologie, la chimie, l’économie, l’informatique
et d’autres sciences utilisent aussi le calcul différentiel et intégral. De nombreuses
facultés de sciences exigent donc que tous leurs étudiant(e)s suivent un cours de
calcul différentiel et intégral; dans d’autres cas, l’étudiant(e) pourra peut-être choisir
entre des cours de calcul différentiel et intégral, de statistique et d’informatique, par
exemple.
Il faut bien comprendre que les mathématiques ne se limitent pas au calcul
différentiel et intégral. L’algèbre linéaire, la probabilité, la géométrie et la combi-
natoire ne sont que quelques-unes des branches des mathématiques abordées dans
les écoles qui sont importantes au niveau universitaire. Les compétences en matière
de résolution de problèmes, qui touchent toutes les branches des mathématiques,
permettent d’appliquer les mathématiques à d’autres sujets.
4
1.5 En quoi consiste un cours de calcul différentiel et intégral
à l’université?
Vous constaterez probablement qu’à l’université les cours de calcul différentiel et
intégral se déroulent à un rythme plus rapide qu’au secondaire. Vous, et vous
seul(e), serez responsable de remettre vos travaux à temps et d’être présent(e) aux
cours, aux contrôles et aux examens.
Vous ne pourrez réussir ce cours en vous contentant de mémoriser toute la
matière; il vous faudra aussi la comprendre, chose qui ne se produira pas instan-
tanément et que le maı̂tre ne pourra pas faire à votre place. Vous devrez faire des
efforts soutenus et participer activement au cours. Si vous travaillez avec constance
jusqu’à la fin, vous serez récompensé(e) de vos efforts.
La matière du cours se compose d’un nombre plutôt restreint de grands principes
et d’un nombre modéré de formules que vous devrez savoir et non de centaines
de raccourcis et de règles particulières. Les étudiant(e)s font souvent l’erreur,
particulièrement en ce qui a trait aux problèmes sous forme d’énoncé, d’essayer
d’apprendre une règle pour chaque type de problème. Ne faites pas ça; essayez
plutôt de comprendre les divers éléments des problèmes.
Voici les étapes d’apprentissage et de maı̂trise d’une nouvelle notion de calcul
différentiel et intégral :
• Pour commencer, vous devriez avant le cours lire dans votre manuel la
matière qui suivra pour avoir une idée de ce que dira l’enseignant(e). Cela
vous aidera à suivre le cours et à prendre des notes plus facilement.
• Dans son cours, l’enseignant(e) présentera la nouvelle notion, donnera
des exemples et expliquera peut-être ses liens avec d’autres notions. Il pourra
aussi suggérer des façons de résoudre des problèmes.
• Travaillez à résoudre des problèmes, faites les travaux demandés (y com-
pris étudier encore les problèmes si nécessaire, qu’on vous le demande ou
non) et assurez-vous de comprendre ce que vous faites. Il est préférable de
travailler pendant environ une heure plusieurs fois par semaine qu’une seule
fois pendant longtemps. La constance dans le travail est essentielle à
l’apprentissage; les cours ne servent qu’à vous aider à vous engager
dans ce processus.
• Si vous ne comprenez pas quelque chose, déterminez bien de quoi il s’agit et
allez demander de l’aide. Soyez prêt à expliquer au professeur(e) ou au
chargé(e) de cours (ou à un(e) ami(e), à la personne-ressource du centre d’aide
en mathématiques, ou à quelqu’un d’autre) ce que vous ne comprenez pas.
(Dire “ je ne comprends rien ” ne sert pas à grand-chose.) Par ailleurs, n’allez
pas demander à l’enseignant de vous dire comment répondre à la question
6.11 et refuser d’écouter des explications détaillées.
5
• Enfin, sachez que l’on vérifiera vos connaissances par des questionnaires
d’évaluation, des examens de mi-parcours ou les examens de fin d’année. Les
examens compteront probablement pour la majeure partie de votre note. Si
vous avez remis des travaux copiés mal compris, vous perdrez plus de points
au moment des examens que vous en aurez gagnés à court terme. Mais si
vous suivez bien les enseignements et remettez les travaux demandés en vous
assurant de tout comprendre avant d’aller plus loin, vous réussirez fort prob-
ablement.
Si vous prenez du retard, il faudra le rattraper. Il ne faudra pas paniquer, car il est
possible de le faire. Il existe diverses ressources pour vous aider.
• Vous-même. Si vous prenez du retard et n’étudiez pas assez - disons de cinq
à six heures par semaine hors de la classe pour chaque cours, mettez-vous vite
au travail et ouvrez votre manuel.
• Votre manuel renferme des centaines d’exemples de résolutions de problèmes
et des milliers de problèmes. Habituellement, on trouve les réponses à près de
la moitié des problèmes au dos du livre. Vous pourriez aussi vous procurer un
guide d’études montrant en détail la façon de travailler ces problèmes. Vous
pouvez aussi acheter d’autres livres comme les manuels de la série Schaum,
qui renferme aussi des résolutions de problèmes.
• Vous pourrez durant les heures de consultation prévues aller voir l’enseignant(e)
du cours pour obtenir de l’aide. Essayez de déterminer à l’avance ce qu’il peut
vous aider à comprendre de façon à mieux profiter de la rencontre.
• Vous pouvez aussi discuter de votre problème avec vos camarades, ce qui n’est
pas la même chose, bien entendu, que de copier leurs travaux. À l’université,
des peines sévères, dont l’expulsion parfois, sont imposées aux étudiant(e)s
qui plagient.
• L’Université de Sherbrooke dispose d’un Centre d’aide en mathématiques
qui offre de la consultation en personne et en ligne. À vous d’en profiter!
• Il est possible que votre université ou votre association étudiante organise des
ateliers sur la manière d’étudier et de prendre des notes efficacement, de faire
face au stress des examens, etc. Vous pourrez aussi bénéficier de conseils pour
d’autres problèmes pouvant nuire à vos études.
6
Dans d’autres cours d’introduction au calcul différentiel et intégral, les calculatrices
ou les ordinateurs sont utilisés de façon intensive pour explorer le comportement
des fonctions.
• Si vous ne pouvez utiliser votre calculatrice dans votre cours de calcul différentiel
et intégral, les questions seront posées de façon que vous n’en ayez pas besoin
pour répondre. L’enseignant(e) ne peut raisonnablement vous demander de
développer (1.42433x + 2.4577)3 sans calculatrice et il ne le fera pas non plus.
Il pourrait par contre vous demander de développer (x + 2)3 , et vous n’aurez
pas besoin de calculatrice pour cela.
• Si l’utilisation de la calculatrice n’est pas permise, toute expression n’ayant
pas une simplification bien connue peut √ toujours être laissée telle quelle.
Ainsi, bien que vous devriez savoir que√ 25 = 5 et que log10 1000 = 3, vous
pouvez toujours laisser, par exemple, 17 ou ln(1000) telles quelles, ce qui
est encore plus facile que d’utiliser une calculatrice. Notez toutefois
√ √qu’on
s’attendra généralement à ce que vous simplifiiez, par exemple, 17/ 17 en
1. L’utilisation de l’algèbre (par opposition à l’arithmétique) pour simpli-
fier des expressions sera chose fréquente dans votre cours. Les conventions
touchant ce qui doit et ne doit pas être simplifié vous seront clairement ex-
pliquées durant le cours.
• Même si vous ne pouvez utiliser une calculatrice dans votre cours de calcul
différentiel et intégral, on vous demandera souvent de répondre par une ex-
pression algébrique comportant des nombres entiers. Par exemple, on√pourrait
vous demander ceci : “ Répondez par une expression de la forme b/c où b
et c sont des nombres entiers.” Il est beaucoup plus√ important dans le calcul
différentiel et intégral de savoir que sin(π/4) = 2/2 et pourquoi que de
savoir que c’est approximativement égal à 0, 707.
Dans les cours où pour une raison précise les questions des tests impliquent de
nombreux calculs, on vous autorisera - et on vous encouragera - à utiliser une
calculatrice, voire même un ordinateur. Entre temps, si vous n’avez pas le droit
d’utiliser une calculatrice dans les tests, vous pouvez raisonnablement être sûr(e)
que les calculs seront simples.
7
2 Les mathématiques dont vous aurez besoin
Dans cette section, nous présentons plus de 175 questions couvrant les connaissances
en mathématique minimums dont vous aurez absolument besoin pour votre cours
de calcul différentiel et intégral universitaire. Des réponses à quelques-unes de ces
questions sont fournies dans cette section, tandis que les autres se trouvent à la fin
de la brochure.
Ce ne sont pas tous les sujets importants des mathématiques du secondaire qui
sont abordés dans cette brochure, et il est même possible que nous ayons oublié de
mentionner certaines des connaissances pertinentes au calcul différentiel que vous
devriez avoir. Idéalement, vous seriez capable de résoudre des problèmes plus com-
pliqués que ceux que l’on trouve dans cette brochure. Toutefois, si vous comprenez
la matière abordée ici, vous serez raisonnablement bien préparé(e) pour le calcul
différentiel et intégral.
2.1 Arithmétique
Vous devriez être capable de vous passer d’une calculatrice en arithmétique de base,
y compris de faire des opérations impliquant des fractions, des nombres négatifs et
des décimales. Vous devriez être capable de calculer des puissances et des racines
simples. Apprise au primaire et au premier cycle du secondaire, cette matière est
essentielle pour tout ce qui suivra. De plus, de nombreux problèmes d’arithmétique
sont en réalité de “l’algèbre avec des nombres”.
Exemples :
1
1. Déterminer 3 + 25 .
Solution: Pour additionner (ou soustraire) des fractions, on les exprime
avec un dénominateur commun. Par exemple,
1 2 1·5 2·3 5 6 11
+ = + = + =
3 5 3·5 5·3 15 15 15
8
Problèmes : (réponses aux pages 38 et 39)
2
1. Déterminer 3 + 35 .
3
2. Déterminer 4 − 15 .
1 6
3. Représenter 3 × 5 sous la forme d’une fraction réduite.
4. Représenter 3, 125 sous la forme d’une fraction réduite.
5. Représenter 37/25 sous la forme d’un nombre décimal.
9
2.2 Algèbre de base
Comme on l’a fait remarquer plus haut, l’algèbre de base est étroitement liée à
l’arithmétique, et bon nombre de ses règles sont connues comme étant des “règles
d’arithmétique”. Vous devriez savoir que a × b peut s’écrire sous la forme ab.
Vous devriez connaı̂tre les règles de base relatives aux additions, aux soustrac-
tions, aux multiplications, aux divisions et aux exposants. Vous devriez savoir que
des opérations comme la division par 0 ou le calcul d’une racine carrée d’un nombre
négatif ne peuvent se faire dans le système des nombres réels.
Vous devriez aussi savoir comment résoudre une équation simple, simplifier une
expression algébrique et évaluer une expression en y insérant des valeurs. Toutes
ces connaissances seront très importantes dans votre cours de calcul différentiel et
intégral.
Exemples:
7 3
1. Simplifier aa4 bb4 .
Solution : En effectuant des opérations de base pour les exposants, nous
obtenons
a 7 b3 7−4 3−4 3 −1 a3
= a b = a b =
a4 b4 b
2. Résoudre l’équation ax + 4 = 2x − a en x lorsque a = 5.
Solution: En substituant a = 5 et isolant x par des opérations successives,
on obtient la solution suivante :
5x + 4 = 2x − 5
5x + 4 − 2x = 2x − 5 − 2x
3x + 4 − 4 = −5 − 4
1 1
3x = −9
3 3
x = −3.
Donc x = −3.
10
Problèmes: (réponses aux pages 38 et 39)
5. Résoudre l’équation 3x + 2 = x + 2 en x.
6. Si x = 5 et y = 7, déterminer x2 − xy + 3y.
a2 −(−a2 )
7. Simplifier a2 .
8. Si a = 5 et b = 2, déterminer a − b2 + 2ab.
9. Résoudre x5 + 2x + 3 = x5 − x.
10. Si x = 3 et xy = 1, déterminer y.
11. Simplifier (a2 /a−2 )(b−2 /b2 ).
12. Résoudre a + x + 2 = a − x + 4.
11
2.3 Inégalités et valeurs absolues (matière vue en MAT900)
Vous devriez être capable de résoudre des inégalités simples et d’effectuer des
opérations algébriques avec ces inégalités. Vous devriez en particulier savoir quelles
sont les opérations qui renversent les inégalités et celles qui les préservent. Vous
devriez comprendre la notation des intervalles, y compris des intervalles ouverts,
fermés et mi-ouverts, ainsi que les intervalles dont les limites se situent à ∞.
Vous devriez savoir comment calculer une valeur absolue et faire des opérations
algébriques simples au moyen de la fonction valeur absolue.
Exemples:
7−2x
1. Résoudre 3 ≤ 4.
Solution: De l’inégalité 7−2x
3 ≤ 4, on obtient 7 − 2x ≤ 12 et −2x ≤ 5.
Alors, x ≥ − 25 , ou autrement x ∈ [− 52 , ∞).
2. Résoudre x2 + 3x − 10 ≤ 0.
Solution:
En factorisant le côté gauche de l’inéquation, on obtient (x + 5)(x − 2) ≤ 0.
Puisque l’équation correspondante (x + 5)(x − 2) = 0 a pour solutions −5 et
2, on peut analyser son signe séparément sur chacun des intervalles suivants
de la droite réelle : (−∞, −5), (−5, 2), (2, ∞).
En effet, pour chacun de ces intervalles, on détermine le signe comme suit :
Intervalle x + 5 x − 2 (x + 5)(x − 2)
(−∞, −5) − − +
(−5, 2) + − −
(2, ∞) + + +
Du tableau, on déduit que x2 + 3x − 10 ≤ 0 sur l’intervalle x ∈ [−5, 2].
12
Problèmes: (réponses aux pages 38 et 39)
13
2.4 Fonctions (matière vue en MAT900)
Vous devriez comprendre le concept de “fonction” et de “fonction inverse” et savoir
comment calculer la composition de deux fonctions ou plus. Vous devriez être capa-
ble de déterminer le codomaine et le domaine d’une fonction simple. Ces connais-
sances seront importantes pour comprendre la règle d’enchaı̂nement pour la dérivée
d’une composition de fonctions, diverses méthodes d’intégration et les limites.
Exemples:
1. Déterminer les domaines des fonctions
√ :
(a) f (x) = x21−1 (b) g(x) = 4 − x
Solution
(a) Le domaine de la fonction f (x) = x21−1 est l’ensemble des valeurs x telles
que x2 − 1 6= 0, c’est-à-dire x 6= ±1, ou x ∈ {(−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞)}.
√
(b) Le domaine de la fonction g(x) = 4 − x est l’ensemble des valeurs x
telles que 4 − x ≥ 0, c’est-à-dire x ≤ 4, ou x ∈ (−∞, 4].
f (x+h)−f (x)
2. Si f (x) = 3x + 5, déterminer h
Solution
Solution
√
(a) f (g(x)) = f (x2 ) = x2 − 1, cette fonction ayant pour domaine (−∞, −1]∪
[1, ∞).
√ √
(b) g(f (x) = g( x − 1) = ( x − 1)2
Cette fonction prend les valeurs x − 1 dans le domaine [1, ∞), mais n’est pas
définie ailleurs.
14
Problèmes: (réponses aux pages 38 et 39)
1. Déterminer le plus grand domaine (parmi les nombres réels) pour lequel la
fonction f (x) = 1/x peut être définie.
15
2.5 Polynômes
Vous devriez savoir comment additionner, soustraire, multiplier et diviser des polynômes
et les décomposer en facteurs. Vous devriez connaı̂tre des formes d’expression
spéciales comme la différence entre deux puissances. Vous devriez comprendre le
lien qui existe entre les racines et la décomposition en facteurs et être capable de
résoudre une équation quadratique. Vous devriez être capable de travailler avec une
fonction polynomiale plus générale, par exemple réduire sin(x)2 + 2 sin(x) + 1.
Exemples:
1. Développer : (x2 − 1)(x2 + 3)
3. Résoudre : y 2 − 7y + 12 = 0
y 2 − 7y + 12 = 0 devient
(y − 4)(y − 3) = 0
16
Problèmes: (réponses aux pages 38 et 39)
1. Résoudre : x2 − 5x + 3 = 0.
2. Factoriser 2x2 + 5x + 2.
6. Développer : (x + 2)4 .
(x+1)3 −(x−1)3
7. Développer et simplifier : x
(x+1)3 +(x−1)3
8. Développer et simplifier : x
17
2.6 L’algèbre des fractions
Vous devriez être capable de simplifier une expression fractionnaire, de transformer
une expression fractionnaire complexe en une expression simple, de mettre des ex-
pressions fractionnaires sur un dénominateur commun et d’effectuer un développement
en fractions partielles. Ces connaissances seront utiles pour trouver diverses dérivées,
simplifier des dérivées et des intégrales et en particulier pour la technique d’intégration
par les “fractions partielles”.
Exemples :
(x−1)2 +4x
1. Simplifier x+1 .
x−1 x−2
x+2 − x+1
2. Simplifier x .
x2 +1
3. Exprimer x2 −1 en fractions partielles.
x2 +1 2 2
Solution : x2 −1 =1+ x2 −1 =1+ (x+1)(x−1) .
A B
Nous cherchons à écrire ceci sous la forme 1 + x+1 + x−1 . En exprimant ces
fractions avec un dénominateur commun, on obtient A(x − 1) + B(x + 1) =
0x + 2; donc A = −1, B = 1, et
x2 + 1 1 1
=1− + .
x2 − 1 x+1 x−1
.
18
Problèmes : (réponses aux pages 38 et 39)
1 1
1. Simplifier x+1 − x−1 .
x 1
8. Simplifier x+1 − x(x+1) .
1
9. Exprimer x2 +x−6 en fractions partielles.
x3 +4x2 +4x+1
10. Exprimer x2 +2x en fractions partielles.
1
11. Exprimer x3 −x en fractions partielles.
19
2.7 Rationalisation des numérateurs ou des dénominateurs
Vous devriez savoir comment supprimer les racines carrées (et autres) du numérateur
ou du dénominateur d’une fraction en multipliant le numérateur et le dénominateur
par une expression appropriée. Cette technique sera importante pour trouver les
dérivées de certaines expressions impliquant des racines.
Exemples :
1. Rendre rationnel le dénominateur de √1a
Solution
√ : Il s’agit de multiplier le numérateur et le dénominateur par
a afin d’obtenir : √ √
1 1 a a
√ =√ √ =
a a a a
√
2. Rendre rationnel le dénominateur de 1+ √x
2+ x
Solution : Rappelons d’abord qu’un produit du type (a + b)(a − b) donne
la différence des carrés a2 − b2 . Alors, si le dénominateur d’une
√ expression
rationnelle est la somme d’une constante et d’un multiple de x, nous serions
en mesure de faire disparaı̂tre la racine carrée
√ en multipliant par la différence
entre la constante et ce même multiple de x. En l’occurrence,
√ il s’agit ici
de multiplier le numérateur et le dénominateur par 2 − x pour obtenir le
résultat voulu.
√ √ √
1+ x (1 + x) (2 − x)
√ = √ √
2+ x (2 + x) (2 − x)
√ √
2− x+2 x−x
= √ √
4−2 x+2 x−x
√
2+ x−x
=
4−x
√
1+√x
3. Rendre rationnel le numérateur de 2+ x
Solution : Cette fois-ci, nous multiplions le numérateur et le dénominateur
par le conjugué du numérateur :
√ √ √
1+ x (1 + x) (1 − x) 1−x
√ = √ √ = √
2+ x (2 + x) (1 − x) 2− x−x
20
Problèmes : (réponses aux pages 38 et 39)
x+1
1. Rendre rationnel le dénominateur de √ .
x
a
2. Rendre rationnel le dénominateur de √ √3 .
a b
21
2.8 Graphes de fonctions linéaires
Vous devriez être capable de tracer le graphe des fonctions et des inégalités linéaires,
de déterminer la pente et l’ordonnée à l’origine d’une droite à partir de son équation
et vice versa, de déterminer le point d’intersection de deux lignes, d’utiliser la
relation entre les pentes de deux droites orthogonales et de trouver la distance entre
deux points.
Un grand nombre de ces notions seront conceptuellement importantes dans le
calcul différentiel et intégral, qui porte souvent sur les pentes, les tangentes, les
sécantes, etc.
Exemples :
1. Déterminer le point d’intersection des droites x = 2 et x + y = 5.
Solution : Il n’est pas nécessaire de tracer un graphe ici. En effet, rap-
pelons d’abord que la droite (ou courbe) correspondant à une équation est
composée de l’ensemble des points (x, y) pour lesquels l’équation est vérifiée;
par conséquence, l’intersection de deux droites ou courbes est l’ensemble des
couples (x, y) qui permettent de vérifier chaque équation.
Donc nous cherchons un point (x, y) tel que x = 2 et x+y = 5. En substituant
la valeur de x donnée par la première équation dans la seconde, nous obtenons
2 + y = 5, y = 3, soit la réponse (x, y) = (2, 3).
2. Déterminer la pente de la droite passant par les points (−5, 0) et (3, 2).
Solution : Le “déplacement vertical” est de 2−0 = 2, tandis que le “déplacement
horizontal” est de 3 − (−5) = 8.
Donc la pente est égale au rapport = 2/8 = 1/4.
3. Déterminer l’équation de la droite orthogonale à x + 2y = 3 et passant par le
point (5, 0).
Solution : D’abord, trouvons la pente de la droite x + 2y = 3. Pour trouver
cette pente, on peut isoler y dans l’équation, ce qui donne 2y = 3−x et ensuite
y = 32 − 12 x. Donc la pente de la droite x + 2y = 3 est égale à m = − 21 .
Puisque la droite en question est orthogonale à la droite x + 2y = 3, sa pente
doit correspondre à l’inverse multiplicatif de l’inverse additif de la pente de
la premiére droite, c’est-à-dire −1/(− 12 ) = 2. Donc la pente de la droite
recherchée vaut 2, et cette droite a pour équation y = 2x + b.
Enfin, puisque chaque point de notre droite doit satisfaire cette dernière
équation, on a 0 = 2 × 5 + b, ce qui donne b = −10, et
y = 2x − 10 .
22
Problèmes : (réponses aux pages 38 et 39)
1
0
-1 1
-1
(a) y > 2 (b) x > y + 2 (c) x < y + 2 (d) x > 2 (e) x + y > 2
23
2.9 Graphiques
Vous devriez être capable de tracer le graphe de polynômes et des fonctions ra-
tionnelles tout en montrant des caractéristiques comme les zéros, les ordonnées à
l’origine, les asymptotes horizontales, verticales et inclinées ainsi que les points de
discontinuité. Vous devriez aussi être capable de repérer des caractéristiques im-
portantes d’un graphique.
Un graphique - en ce qui nous concerne - doit être tracé en déterminant les
principales caractéristiques et en les faisant se rejoindre par des courbes continues.
Il ne s’agit pas de dessiner cinq ou six points et de les relier par des lignes droites.
Dans votre cours de calcul différentiel et intégral, vous apprendrez à améliorer vos
compétences en matière de graphisme en y ajoutant d’autres caractéristiques comme
les maxima, minima et points d’inflexion.
Exemples :
1. Laquelle des équations suivantes représente le mieux le graphe ci-dessous ?
(a) y = x2
1 (b) y = 1/x
0 (c) y = sin(x)
-1 -1 1 (d) x = −1/y
(e) x = y 2
Solution : On peut éliminer d’emblée les choix (a), (c) et (e), puisque le
graphe possède une asymptote verticale (il s’agit de la droite x = 0). Parmi les
deux choix qui demeurent, remarquer que le graphe correspondant à l’équation
(b) se situe aux premier et troisième quadrants (c’est-à-dire que x et y sont
du même signe), tandis que l’équation (d) est vérifiée par les points de la
courbe, dont le point (1, −1). Le seul choix possible est donc l’équation (d),
et, effectivement, ces propriétés sont présentes dans le graphe.
(a) A seulement
1 1 1 (b) B seulement
0 0 0 (c) C seulement
-1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 (d) A, B et C
(e) A et B
A B C (f) A et C
Solution : La réponse est (f). Le graphe B n’a pas, pour chaque x, une
valeur unique correspondante y. À l’opposé, les graphes A et C possèdent
24
cette propriété. L’apparence continue du graphe B ou sa ressemblance avec
une parabole n’importe pas. (Il s’agit plutôt d’un graphe d’une équation de
la forme x = f (y).)
(a) A seulement
1 b 1 1 (b) B seulement
0 0 0 (c) C seulement
-1 -1 r1 -1 -1 1 -1 -1 1 (d) A, B et C
(e) B et C
A B C (f) A et C
(a) y = x2 − 2
1 (b) y = (x + 1)2
0 (c) y = x2 + 2x − 1
-1 -1 1 (d) y = x2 − 2x − 1
(e) y = x2 + 2x − 2
(a) y = x3
1 (b) y = −x3
0 (c) y = x3 + 4x
-1 -1 1 (d) y = x3 − 4x
(e) y = 4x − x3
25
2.10 Exposants et racines
Vous devriez connaı̂tre les identités de base des exposants et des racines et être
capable de les utiliser pour résoudre des équations et établir d’autres identités. En
particulier, vous devriez être capable de transformer une expression comme x1n en
une puissance négative ou une racine en une puissance fractionnaire. Ces identités
seront extrêmement importantes en calcul différentiel et intégral, parce qu’elles per-
mettent d’utiliser une seule règle pour dériver et intégrer de nombreuses expressions
apparemment
√ différentes. Par exemple, nous utilisons la même règle pour dériver
xn , k x, et 1/x.
Exemples:
1. Évaluer 418 /416 .
Ainsi, p √
a7/2 a5/2 a3/2 a1/2 = a8 = a4 .
4. Déterminer a−2 si a4 = 9.
26
Problèmes: (réponses aux pages 38 et 39)
√
x×x2
1. Simplifier l’expression 1/x2 .
√
2. Quelle est la valeur de b si a3/2 a−2 3 a = ab ?
6. Étant donné que a4 = b8 , pour des nombres réels a, b, lequel des énoncés doit
être vrai ?
(a) a = b2 (b) a = −b2 (c) a = b−2
(d) a = b2 ou a = −b2 (e) aucune de ces réponses.
√
7. a16 b16 = (a) (ab)2 (b) (ab)4 (c) (ab)8 (d) (ab)16
(e) aucune de ces réponses.
√
8. Si ab = ( 3 a)12 , que vaut b ?
27
2.11 Logarithmes (matière vue en MAT900)
Les logarithmes sont extrêmement importants dans bien des sciences et il importe
donc d’être capable de dériver et d’intégrer les expressions en comprenant. À cette
fin, vous devez être capable de manipuler les logarithmes algébriquement. Vous
devriez connaı̂tre la définition des logarithmes pour diverses bases, leur relation
avec les puissances et les racines et la loi des changements de base loga (b) logb (c) =
loga (c). Bien que les logarithmes semblent compliqués au départ, en fait, il n’y a
pas beaucoup de choses à apprendre à leur sujet.
Exemples:
1. Déterminer log5 (125).
Solution : Puisqu’on reconnaı̂t 125 comme étant le cube de 5, (ou on
y arrive assez rapidement par essais et erreurs), on a 53 = 125, et alors
log5 (125) = 3.
2. Simplifier log2 (3) log3 (4)
Solution : En utilisant la loi des changements de base, on a log2 (3) log3 (4) =
log2 (4); puisque 4 = 22 , la réponse est log2 (4) = 2.
√
3. Quel est le logarithme en base 10 de√10 10 ? √
Solution : Étant donné que 10 10 = 103/2 , on a log10 (10 10) = 3/2.
4. Déterminer logb (a2 ) si loga (b2 ) = 3.
Solution : Puisque loga (b2 ) = 3, on en déduit que loga (b) = 3/2. En vertu
de la loi des changements de base, on a logb (a) = 2/3, et ainsi logb (a2 ) = 4/3.
5. (Sans notes et sans calculatrice!) Le logarithme naturel de 10 est compris
entre :
(a) 0 et 1 (b) 1 et 2 (c) 2 et 4 (d) 4 et 6 (e) 6 et 10
Solution : Évidemment, si on savait que ln(10) = 2.3025 . . ., on n’aurait
pas besoin de se creuser la tête! Mais, il suffit de savoir que la base du loga-
rithme naturel e est comprise entre 2 et 3 pour éliminer les choix (a) et (b)
qui sont trop petits (puisque e2 < 32 < 10), ainsi que les choix (d) et (e) qui
sont trop grands (puisque e4 > 24 > 10). La réponse doit donc être (c).
28
Problèmes : (réponses aux pages 38 et 39)
29
2.12 Géométrie et trigonométrie de base (matière vue en
MAT900)
Le calcul différentiel et intégral n’utilise pas la géométrie très avancée, mais vous de-
vriez bien connaı̂tre les triangles similaires, le théorème de Pythagore et les droites
parallèles. En ce qui concerne la géométrie analytique, vous devriez bien connaı̂tre
les formules du point milieu et de distance. La trigonométrie est importante dans di-
verses branches des sciences, mais particulièrement en mathématiques, en physique
et en génie.
Vous devriez être capable de transformer des degrés en radians et vice versa
(180◦ = π radians). Vous devriez connaı̂tre la définition des fonctions de la trigonométrie
et être capable de les utiliser pour trouver les côtés et les angles des triangles. Vous
devriez connaı̂tre et être capable d’utiliser les lois relatives aux sinus et aux cosinus
en ce qui a trait aux triangles.
La plupart des angles n’ont pas de fonctions trigonométriques faciles à donner en
expressions exactes plutôt qu’en approximations décimales (et on ne vous deman-
dera pas de le faire), mais vous devriez connaı̂tre les fonctions trigonométriques de
quelques angles communs comme 0◦ , 30◦ , 45◦ , 60◦ et 90◦ . Vous devriez aussi savoir
comment exprimer les fonctions trigonométriques des angles hors de l’intervalle
[0◦ , 90◦ ] en termes de fonctions trigonométriques d’angles à l’intérieur de celui-ci.
Vous devriez aussi bien connaı̂tre les fonctions trigonométriques inverses. Notez
que même si (par exemple) sin2 (x) signifie (sin(x))2 et sin(x)−1 signifie 1/ sin(x),
ce qui est csc(x), la notation sin−1 (x) signifie arcsin(x).
Exemples :
1. Si la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est de 10, et si la
longueur d’un des côtés est de 8, quelle est la longueur de l’autre côté ?
Solution : Supposons que x est la longueur inconnue. Selon le théorème de
Pythagore, on a x2 + 82 = 102 , qui implique x2 = 100 − 64 = 36 et x = 6.
2. Déterminer les coordonnées du point milieu du segment reliant les points (2, 3)
et (8, −3).
Solution : Les coordonnées du point milieu sont obtenues par la formule :
2+8 3+−3
2 , 2 , ce qui donne (5, 0).
3. Si les longueurs de deux côtés d’un triangle sont de 1 et 2, et si l’angle séparant
ces angles mesure 45◦ , quelle est la longueur x du troisième côté ?
Solution : Selon la loi du cosinus, x2 = p 12 + 22 − 2(1)(2) cos(45◦ ) = 5 −
√ √ √
4( 2/2) = 5 − 2 2. Alors, on obtient x = 5 − 2 2.
(Nous exprimons la réponse de cette façon, puisqu’on ne peut pas la simplifier
davantage).
30
Problèmes : (réponses aux pages 38 et 39)
1. Combien mesure en degrés l’angle le plus grand d’un triangle dont les longueurs
des côtés sont de 15, 20 et 25 unités ?
2. Quelle est la longueur de la diagonale d’un rectangle dont les côtés mesurent
10 et 15 unités ?
√ √ √ √
(a) 25 (b) 25 (c) 125 (d) 225 (e) 325
3. Lequel des triplets suivants ne pourrait pas correspondre aux longueurs des
côtés d’un triangle rectangle ?
√ √
(a)(3, 4, 5) (b)(12, 16, 20) (c)(2, 2, 3) (d) (12, 13, 5) (e) ( 2, 2, 2)
4. Quelles sont les coordonnées cartésiennes du point milieu du segment reliant
les points (10, 6) et (4, 10) ?
(a) (2, 3) (b) (3, 2) (c) (5, 5) (d) (7, 8) (e) aucune des ces réponses.
31
2.13 Identités trigonométriques (matière vue en MAT900)
Il existe de nombreuses identités qui sont vérifiées par les fonctions trigonométriques.
Elles sont importantes dans le calcul différentiel et intégral, parce qu’on les utilise
pour réduire le nombre de règles à apprendre. Notez que cos2 (α) signifie (cos(α))2 .
Un bon nombre d’identités relatives à un angle peuvent toutes être établies à
partir des définitions des six fonctions par l’intermédiaire des relations tan(α) =
sin(α)/ cos(α), cot(α) = cos(α)/ sin(α), sec(α) = 1/ cos(α) csc(α) = 1/ sin(α) et
l’identité sin2 (α) + cos2 (α) = 1.
Il existe aussi diverses identités pour les fonctions trigonométriques d’une somme
ou d’une différence d’angles et pour les angles doubles et les demi-angles. Ces iden-
tités sont aussi utiles dans le calcul différentiel et intégral.
Exemples :
1. sin2 (θ) sec(θ) csc(θ) =
(a) sin(θ) (b) cos(θ) (c) tan(θ) (d) sec(θ) (e) csc(θ) (f) cot(θ)
Solution : La réponse est (c) puisque
nous obtenons cos(2α) = 2(0, 32 ) − 1 = −0, 82. Remarquer qu’il n’est pas
nécessaire de connaı̂tre α explicitement!
32
Problèmes : (réponses aux pages 38 et 39)
1. sin(2x) =
(a) 2 sin(x) (b) sin(x) + cos(x) (c) cos(x) sin(x)
(d) 2 cos(x) − 2 sin(x) (e) 2 cos(x) sin(x)
2. cot(α) cos(α) sin(α) =
(a) cos(α) sin(α) (b) sin2 (α) (c) cos2 (α) (d) cos(α) (e) sin(α)
3. tan(α) cot(α) =
(a) sin(α) (b)cos(α) (c) sin2 (α) (d)cos2 (α) (e) 1
p
4. Quelle est la valeur de tan(θ) si cos(θ) = (2)/2 ?
(a) 2 (b) 1 (c) 0 (d) 1/2 (e) ±1
5. Quelle est la valeur de cot(θ) si tan(θ) = 3 ?
(a) 3 (b) 1/3 (c) 0 (d) −3 (e) −1/3
33
2.14 Résolution de problèmes (section optionnelle)
La résolution de problèmes issus de contextes pratiques à l’aide du calcul différentiel
et intégral fait fréquemment appel aux mêmes compétences que la résolution de
problèmes pratiques à l’aide de l’algèbre. Dans chaque cas, il faut prendre les quan-
tités numériques importantes - connues ou inconnues - du problème et déterminer
la relation qui existe entre elles. On établit ainsi une série d’équations qui doivent
être résolues pour obtenir la quantité recherchée. On peut aussi devoir connaı̂tre
certaines quantités et relations qui ne sont pas fournies dans le problème.
N’essayez pas d’apprendre une formule pour chaque type de problème. On com-
met souvent l’erreur de penser qu’il existe une formule pour tel type de problème
et une autre pour un autre type de problème. Il existe toutes sortes de problèmes
différents. Apprenez plutôt les relations de base et les heuristiques.
Exemples :
1. Le robinet d’un réservoir de 100 litres le remplit en 2 heures, lorsque le drain
est fermé. Lorsque le drain est ouvert et le robinet fermé, le réservoir se vide
à un rythme constant, et ceci, en 3 heures pour un réservoir plein. Si, à midi,
le réservoir est à moitié plein, à quelle heure sera-t-il rempli (le robinet et le
drain étant ouverts)?
Solution : On doit tenir compte des vitesses auxquelles le réservoir se remplit
et se vide. Le robinet remplit le réservoir à une vitesse de 100/2 litres par
heure (`/h), tandis que le drain le vide à une vitesse de 100/3 litres par heure.
Puisqu’on cherche à ajouter 50 litres au réservoir, la durée nécessaire est de
50`/(100/6 `/h) = 3 h. Alors, le réservoir sera plein à 15 h.
2. Une échelle de 10 mètres est posée sur un mur. Si le pied de l’échelle est à 6
mètres du mur, à quelle hauteur se trouve le point milieu de l’échelle?
Solution : Nous traçons un diagramme que
voici. Puisque le mur est vertical, un angle droit 6
sépare le mur et le sol si nous supposons que le sol 10
est horizontal. En conséquence, l’échelle, le mur a u
et le sol forment un triangle rectangle (l’échelle 6
jouant le rôle de l’hypoténuse). Le théorème de a/2
Pythagorepnous fournit l’équation a2 + 62 = 102 , ? ?
d’où a = (100 − 36) = 8. Donc le point milieu 6 -
de l’échelle se situe à a/2 = 4 mètres du sol.
34
Problèmes : (réponses aux pages 38 et 39)
1. Déterminer la longueur de la base d’un triangle dont l’aire est de 100 cm2 , et
dont la longueur est du double de sa hauteur.
(a) 5 cm (b) 10 cm (c) 20 cm (d) 50 cm (e) 200 cm
2. Déterminer l’aire d’un rectangle si son périmètre est de 28 mètres, et sa
longueur diagonale, de 10 mètres.
3. Déterminer la longueur diagonale d’un rectangle dont le périmètre est de 26
mètres, et l’aire, de 30 mètres carrés.
4. Quelle est la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont l’aire est
de 30 mètres carrés et le périmètre, de 30 mètres ?
5. Si une chèvre peut manger le gazon d’un terrain en une journée, et qu’un mou-
ton peut manger ce même gazon en deux journées, combien de temps faudrait-
il à deux chèvres et un mouton pour manger ce gazon s’ils conjuguaient leurs
efforts ?
(a) 2/5 d’un jour (b) 3/8 d’un jour (c) 1 jour (d) 2 jours (e) 4 jours
6. À ses débuts à la bourse, Joe a doublé sa mise initiale le premier jour, et il a
perdu les deux tiers de cette mise initiale le second jour. Quelle a été sa mise
initiale s’il lui reste 100 $ après le second jour?
(a) 50 $ (b) 75 $ (c) 80 $ (d) 125 $ (e) 133,33 $ (f) 150 $
7. Un chiot et un chien pèsent ensemble 12 kilos. Combien pèse le chiot si son
poids est le tiers de celui du chien ?
8. Lors d’un trajet de 100 kilomètres, une automobiliste parcourt les premiers
50 kilomètres à une vitesse de 50 km/heure, et les autres 50 kilomètres à 150
km/heure. Combien de temps a-t-elle mis pour effectuer le trajet ?
(a) 30 minutes (b) 50 minutes (c) 60 minutes (d) 80 minutes (e) 90
minutes
9. Soixante kilomètres séparent les villes d’Ayton et de Beaton. À midi, Alice
quitte Ayton en auto vers Beaton à une vitesse de 80 km/heure, tandis que
Robert quitte Beaton en tracteur vers Ayton à une vitesse de 40 km/heure.
À quelle heure se rencontreront-ils ?
10. Soixante kilomètres séparent les villes d’Ayton et de Beaton. À midi, Alice
quitte Ayton en auto vers Beaton à une vitesse de 90 km/heure. Si Robert
doit parcourir le même trajet à vélo à une vitesse de 15 km/heure, à quelle
heure doit-il partir pour arriver à Beaton en même temps qu’Alice ?
35
2.15 Des problèmes plus difficiles (section optionnelle)
La matière présentée jusqu’ici dans cette brochure représente un minimum que vous
devez savoir avant de commencer un cours de calcul différentiel et intégral de niveau
universitaire. Nous espérons toutefois que vous savez aussi d’autres choses! Vous
devriez aussi avoir certaines notions d’algèbre linéaire, de géométrie, de statistique
et d’autres domaines des mathématiques. Vous devriez dans une certaine mesure
savoir appliquer les mathématiques dans d’autres domaines; vous devriez aussi
être capable d’expliquer clairement par écrit de ce que vous savez et de résoudre
des problèmes nécessitant de faire appel à plusieurs notions. Dans cette section,
nous présentons des problèmes représentant un défi additionnel. Des étudiantes et
étudiants intéressés pourront aussi trouver d’autres problèmes dans certaines pub-
lications, par exemple dans Crux Mathematicorum, ou de participer à des concours
de mathématiques.
36
9. Lequel des deux nombres 100200 ou 200100 est le plus grand? Justifiez votre
réponse.
10. Pour n = 1, 2, 3, . . ., on définit n! = n × (n − 1) × · · · 3 × 2 × 1. (Cette quantité
se dit “n factoriel” et joue un rôle important en mathématiques, notamment
en analyse combinatoire et en probabilité.).
(a) Déterminer n! pour n = 3, 4, . . . , 8
(b) Combien de fois le chiffre 0 se répète-t-il à la fin du nombre 100! ?
11. En utilisant des éléments de base en géométrie et le théorème de Pythagore,
déterminer sin(30◦ ), sin(45◦ ) et sin(60◦ ).
12. Déterminer sin(15◦ ) et sin(75◦ ).
13. À partir des lois du sinus et cosinus pour une somme de deux angles, déduire les
lois correspondantes pour la différence entre deux angles, pour le double d’un
angle, pour la moitié d’un angle, ainsi que les lois pour évaluer les quantités
sin(a) cos(b), sin(a) sin(b) et cos(a) cos(b).
14. Déterminer l’aire d’un losange en fonction de la longueur de la diagonale prin-
cipale (ou diagonale la plus longue), si la longueur de la diagonale secondaire
est égale à la longueur d’un des côtés.
15. Un cheval et son cavalier se situent à 4 kilomètres au nord d’une rivière qui
se dirige toute droite d’est en ouest. Ils peuvent se rendre à leur campement
en se dirigeant d’abord vers le sud sur 2 kilomètres, et ensuite vers l’ouest sur
2 autres kilomètres, mais ils veulent se rendre d’abord à la rivière afin que
le cheval puisse boire. Déterminer la distance minimale d’un trajet vers le
campement passant d’abord par la rivière.
16. La période du développement décimal de 1/3, soit 0, 333 . . ., est de 1; tandis
que celle du développement décimal de 1/7, soit 0, 142857142857 . . . est de 6.
Trouver des fractions dont les développements décimaux ont des périodes de
2, 3 et 4. Êtes-vous en mesure de trouver, pour ces périodes, des fractions
dont le dénominateur est minimal ?
17. Sans l’aide du calcul différentiel et intégral, démontrer que, pour tous les
nombres positifs a et b, on a
a+b √
≥ ab .
2
37
Réponses aux problèmes
19 11
Section 2.1 (1) 15 (2) 20 (3) 25 (4) 25
8 (5) 1, 48 (6) 1, 7 (7) 0, 001
(8)0, 123 (9) 11, 0 (10) 3 (11) 8 (12) 0, 0025
2
Section 2.2 (1) a4 (2) ac(d − e) (3) y+x
2 (4) a(1 + a + a2 ) (5) x = 0 (6) 11
(7) 2 (8) 21 (9) x = −1 (10) y = 1/3 (11) a4 /b4 ou (a/b)4 (12) x = 1
√ x (ou (−∞, ∞)) (3) c (4) (−∞, −2) ∪ (−1, ∞)
Section 2.3 (1) a √(2) tout
(5) y 6= 0 (6) (−∞, − 2] ∪ [ 2.∞) (7) [2, 4] (8) b (9) d (10) 0 (11) −x2
(12) x ∈ (2, 6) (13) x ∈ (−∞, 1) ∪ (2, ∞) (14) x ∈ [−1, 4] (15) x = − 43 , 2
Section 2.4 (1) x 6= 0 ou (∞, 0) ∪ (0, ∞) (2) x 6= −1 ou (∞, −1) ∪ (−1, ∞)
(3) x2 + 2x + 3 (4) [0, ∞) (5) Domaine : 6= 0. Codomaine : {−1, 1} ou ±1 (6)
(a) x21+1 (b) −1 (c) √x+1
1
(7) a−2 (8) 1/4 (9) x+1
x+2 (10) x−1/3 (11) e (12)
1−x
d (13) 2x−1
√
Section 2.5 (1) x = (5 ± 13)/2 (2) (2x + 1)(x + 2) (3) (x + 1)2 + 1 (4)
(3 + a)x2 + 3a (5) 1 (6) x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 16 (7) (6x2 + 2)/x (8)
2x2 + 6 (9) x4 − x3 + x − 1 (10) 4 (11) (x − 3)(x + 3)(x − 2)(x + 2)
3 2
−2
Section 2.6 (1) x2 −1 (2) x +x x+x+1 (3) (x+3)(x+2)
2
; non. (4) x (5) x(x+h) 1
38
√
Section 2.12
√ (1) 90◦ (2) e (3) c (4) d (5) a (6) −1/ 2 ou√−0, 707 . . .
(7) 45◦ (8) 3 (9) 75π/180 ou 5π/12 (10) c (11) c (12) 1/ 3 (13) b
(14) d
Section 2.13 (1) e (2) c (3) e (4) e (5) b (6) c (7) b (8) −7/25
(9) c (10) a
√
Section 2.14 (1) c (2) 24 m2 (3) 109 m (4) 13 m (5) a (6) f (7) 3 kg
(8) d (9) 12 h 30 (10) 8 h 40
39
Quelques résultats utiles
Identités algébriques
a2 − b2 = (a + b)(a − b) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
3 3 2 2
a − b = (a + ab + b )(a − b) a + b3 = (a2 − ab + b2 )(a + b)
3
tan(A)+tan(B) tan(A)−tan(B)
tan(A + B) = 1−tan(A) tan(B) tan(A − B) = 1+tan(A) tan(B)