Université catholique de Louvain

Faculté d’architecture, d’ingénierie architecturale, d’urbanisme

Site de Tournai

Géométrie

Notes de cours Martin Buysse

LTARC1143 2021-2022
Contents

1 Le triangle 6
1.1 Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Les polygones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Le cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Points, droites & plans 24

2.1 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2
Introduction

Ces notes constituent le support écrit du cours de géométrie. Elles s’ajoutent aux dias diffusées lors des
cours magistraux, lesquelles sont accessibles sur la plate-forme MoodleUCL. Relevant de principes
mathématiques établis depuis plusieurs siècles voire plusieurs millénaires, elles ne se réfèrent à aucun
ouvrage particulier. La géométrie y est introduite telle qu’elle semble pouvoir être utile, en particulier,
à des étudiants en architecture.

Objectifs
A partir du vocabulaire élémentaire défini par Thalès et Pythagore, dont les théorèmes sont les fonde-
ments de la trigonométrie, puis par Descartes, à qui l’on doit l’émergence de la géométrie analytique,
l’objectif du cours de géométrie est de développer chez l’étudiant, à force d’exercices de difficulté
croissante, une intelligence des figures dans le plan et dans l’espace, sollicitant et améliorant donc son
pouvoir de représentation, ainsi qu’une aptitude à manipuler, manœuvrer, “piloter” ces figures grâce
à la mise en équations rigoureuse de problèmes les impliquant.
A ce titre, avec le cours d’analyse, le cours de géométrie sert la double cause d’améliorer la vision
dans l’espace de l’étudiant, et de le préparer à mieux comprendre les questions qui lui seront posées
dans quelque domaine que ce soit, afin d’être capable d’y proposer des réponses pertinentes.
Enfin, le cours de géométrie permet à l’étudiant d’acquérir le langage nécessaire à la compréhension
des cours à vocation technique qui lui sont dispensés par la suite.

Modalités
Le cours de géométrie est divisé en leçons théoriques d’une part, dispensées en auditoire, et en séances
d’exercices de l’autre, organisées pour des groupes d’une trentaine d’étudiants. Le programme des
séances d’exercices, qui sont des séances de travail encadré, est annoncé à l’avance, séance après
séance, pour permettre aux étudiants de les préparer, et de confronter leurs résolutions avec celles de
l’enseignant. Les exercices proposés se rapportent aux éléments développés dans les leçons théoriques
précédant les séances. Il est impératif de prendre ces préparations au sérieux. Les étudiants qui ne s’y
appliqueraient pas risquent de se trouver rapidement dépassés par la difficulté des exercices proposés,
et de perdre ainsi le fil du cours.
En chiffres, le cours de géométrie, dispensé en première année du baccalauréat en architecture, est
organisé en deux modules de deux semaines et demie chacun. Chaque module est composé de 3 ou
4 cours magistraux de 3 ou 4 heures et de 4 séances d’exercices de 2 heures condensés sur 15 jours-
calendrier. Un test dispensatoire, suivi dans la foulée d’une correction en auditoire, vient compléter
chaque module. Les cours magistraux sont eux-mêmes divisés en exposés théoriques d’une part, et en

3
résolutions d’exercices d’autre part. Avec un total d’une quarantaine d’heures en salle, 3 crédits lui
sont associés. Le calendrier des leçons théoriques et séances d’exercices et la constitution des groupes
sont communiqués aux étudiants en début de quadrimestre.
L’évaluation consiste en un examen écrit, d’une durée maximale de 3 heures, essentiellement constitué
d’exercices originaux à résoudre. Ces exercices sont du similaires à ceux qui ont été proposés en
séance. Il y a un examen en janvier, un autre en mai/juin et un troisième en août/septembre. Les tests
dispensatoires clôturant les deux modules s’ajoutent aux trois examens réguliers. Chacun des tests,
écrits, d’une durée maximale d’une heure et demie, porte sur la matière du module qu’il clôture. Les
deux tests ne donnent lieu qu’à une seule note, moyenne des notes obtenues pour chacun d’entre eux.
Seul l’étudiant ayant une note moyenne supérieure à 10/20 verra son résultat reporté en session de
janvier.

Contenu
L’usage de la calculatrice est interdit, tant lors des séances d’exercice qu’à l’examen. Cette option est
une contrainte pédagogique qui marque le contenu des leçons d’une part, choisi pour que l’étudiant
dispose dans les situations envisagées de l’autonomie nécessaire à calculer de lui-même, et des exer-
cices s’y rapportant d’autre part, dont les solutions doivent "tomber juste". L’étudiant a la possibilité
de se familiariser avec l’usage de la calculatrice et avec la résolution de problèmes impliquant des
données réelles (et non plus idéales) dans les cours à vocation technique dispensés tout au long de son
cursus.
Suivant un schéma remarquablement simple se fondant sur les théorèmes de Thalès et de Pythagore,
énoncés et démontrés au cours après (re-)découverte des objets élémentaires de la géométrie plane et
définition des notions d’angle, de longueur et de surface, l’étudiant se trouve rapidement confronté
à une série d’exercices sur les triangles semblables dont l’apparente simplicité l’amène pourtant à
devoir établir et résoudre des systèmes d’équations parfois complexes. L’appropriation du concept
de similitude et donc d’échelle ainsi recherchée est entre autres destinée à aiguiser chez l’étudiant
l’aptitude à la représentation par le plan et la coupe architecturales ainsi que par la maquette.
Les leçons couvrent ensuite les développements de la trigonométrie, en tant que prolongement des
théorèmes de Thalès et de Pythagore, c’est-à-dire en tant que traduction et tabulation des résultats que
l’application combinée de ces théorèmes permet d’obtenir dans une variété de situations fréquemment
rencontrées. A ce titre, les fonctions trigonométriques d’angles remarquables tels π/5, π/8, π/10, π/12
sont calculées et tabulées, pour être régulièrement exploitées dans les exercices de trigonométrie (qui
de ce fait exigent une grande rigueur dans la manipulation d’expressions irrationnelles).
Ainsi, d’abord dans le plan, puis dans l’espace, l’étudiant s’attellera à trouver son chemin dans
des figures géométriques d’apparence complexe, mais cependant verrouillées par les caractéristiques
géométriques simples de ses constituants. Quatre séances d’exercices sont consacrées à la première
partie du cours.
Après avoir bouclé l’étude des triangles et des polygones remarquables par celle du cercle, le cours
entre dans sa seconde partie: la géométrie analytique. Elements et propriétés de l’espace vectoriel R3
sont introduits pour définir ensuite les droites, les plans et les équations, analytiques ou paramétriques,
qui les gouvernent, l’objectif étant de parvenir à manipuler ces objets à partir de leurs équations,
c’est-à-dire les comparer, les construire parallèles, perpendiculaires ou simplement sécants les uns
aux autres, d’établir leurs intersections, points de percée, et finalement, de calculer des distances entre

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chacun de ces objets. Les constructions mentales requises pour arriver à résoudre les problèmes s’y
référant sont autant d’exercices permettant à l’étudiant de développer ou d’améliorer sa vision dans
l’espace ainsi que ses capacités d’analyse et de mise en équations.
Quatre séances sont consacrées à ces problèmes, partant du simple calcul de la surface d’un triangle à
partir des coordonnées de ses sommets, jusqu’à la détermination des équations d’une perpendiculaire
commune à deux sécantes ou des coordonnées de points particuliers dans des figures représentant des
bâtiments imaginaires.
Tous les exercices de géométrie sont originaux. Ils ont été conçus pour être attractifs et admettent
pour la plupart une solution dont le caractère simple et élégant est censé accentuer le sentiment de
puissance et donc le plaisir (!) résultant de sa résolution.

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Chapter 1

Le triangle

Le triangle est la figure géométrique qui permet de délimiter une surface avec le plus petit nombre
de segments droits1 , à savoir trois. C’est à ce titre qu’il joue un rôle majeur dans tous les domaines
de la mathématique, ainsi que dans les nombreux savoirs plus ou moins mathématisés. Son nom fait
référence à trois angles.
Lorsque deux droites se croisent en un point (on dit
qu’elles sont sécantes), elles déterminent un plan, et
dans ce plan, elles définissent quatre régions distinctes II
appelées secteurs angulaires. Un angle est un nom-
bre réel associé à l’un de ces secteurs et qui donne une
I III
mesure de l’importance de ce secteur2 . Ce nombre peut
être calculé en traçant un cercle de rayon quelconque IV
centré à l’intersection des deux droites définissant le
secteur, et en prenant le rapport de la longueur de l’arc
de cercle intercepté par ces deux droites et le périmètre
du cercle. Le résultat s’exprime en tours. Un tour est
donc la mesure du secteur correspondant au plan tout
entier. Un demi-tour est la mesure d’un des secteurs
résultant de l’intersection de deux droites confondues;
cet angle est appelé angle plat. Un quart de tour est
la mesure d’un des secteurs résultant de l’intersection
de deux droites partageant le plan en quatre secteurs
égaux; ces droites sont dites perpendiculaires et l’angle
est appelé angle droit.

1 tour 1/2 tour 1/4 tour

1
Ces segments sont les côtés et les points de jointure des côtés sont les sommets.

6
 Une autre manière de mesurer l’importance du
secteur consiste à prendre le rapport de la
longueur de l’arc de cercle intercepté par les
deux droites définissant le secteur et du rayon de
ce même cercle. Le résultat s’exprime en radi-
ans. Un radian correspond donc à un secteur
tel que l’arc de cercle intercepté par les deux
droites le définissant a la même longueur que le
rayon de ce cercle. L’angle plat vaut la moitié du
périmètre 2πr divisé par la longueur r du rayon,
à savoir π radian. Et l’angle droit vaut π/2 ra-
dian. Puisqu’il désigne un rapport de longueurs,
le radian n’est pas à proprement parler une unité;
la mesure en radian d’un angle est un “nombre
1 radian
pur”, dépourvu d’unités.
Bien qu’elles résultent d’un choix arbitraire et n’aient donc pas le caractère naturel du tour et du
radian3 , d’autres unités sont traditionnellement utilisées pour exprimer un angle, comme le degré
(nonantième partie de l’angle droit,) ou le grade (centième partie de l’angle droit). On a donc la règle
de conversion suivante:

1 tour = 2π radian = 360 degrés = 400 grades .

Deux droites sécantes définissent quatre secteurs
angulaires égaux deux à deux; les secteurs égaux
résultant de cette découpe sont dits opposés par
le sommet. Lorsque deux droites parallèles
(deux droites sont parallèles si elles sont con- θ
tenues dans un même plan sans être sécantes)
croisent une troisième droite, elles définissent φ
aux deux points d’intersection deux situations
équivalentes. D’un points à l’autre, les angles
sont dits correspondants. Les quatre secteurs an-
gulaires situés à l’extérieur de la région définie
par les deux droites parallèles sont égaux deux
à deux; ils sont dits alterne-externe. De même,
les quatre secteurs angulaires situés à l’intérieur
de la région définie par les deux droites paral- ψ
lèles sont égaux deux à deux; ils sont dits alterne-
interne. Dans la figure ci-contre, les angles θ et φ
ω
sont opposés par le sommet, les angles θ et ω sont
correspondants, les angles θ et ψ sont alterne-
externe, et les angles φ et ω sont alterne-interne.

Une droite partageant un secteur angulaire en deux secteurs angulaires égaux est appelée bissectrice.
Un angle inférieur à l’angle droit est dit aigu; un angle supérieur à l’angle droit est dit obtu. Deux
angles sont dits supplémentaires si leur somme vaut l’angle plat; ils sont dits complémentaires si leur
3
On verra au cours d’analyse pourquoi l’unité radian est préférée à l’unité tour

7
somme vaut l’angle droit4 . Dans un triangle, les deux côtés qui définissent un angle donné, et donc le
“touchent”, sont dits adjacents à l’angle; le troisième côté est dit opposé à l’angle.
A partir de ces propriétés, il est aisé de démontrer que

la somme des angles d’un triangle est égale à l’angle plat (1.1)

(il suffit de translater le triangle d’une longueur égale à l’un de ses côtés le long de ce même côté
et d’identifier les angles correspondants et alterne-interne apparaissant dans la figure obtenue). Il en
découle qu’un triangle ne peut compter plus d’un angle obtu ni même plus d’un angle droit.
Si l’on définit b comme la longueur d’un des côtés choisi pour base, et h comme la longueur de
la hauteur, c’est-à-dire du segment tiré du sommet opposé à la base, perpendiculairement à la base
et jusqu’à celle-ci ou à son prolongement, on peut calculer la surface d’un triangle à partir de la
surface d’un parallélogramme, elle-même déduite de celle d’un rectangle5 (le rectangle étant la figure
permettant de définir la notion-même de surface comme un produit de longueurs); elle vaut:

b·h
S= . (1.2)
2

1.1 Thalès
Les propriétés des triangles semblables reposent sur un résultat fondamental de la géométrie plane6 ,
à savoir le théorème de Thalès. Nous l’énonçons et le démontrons ci-dessous.

Toute parallèle à l’un des côtés d’un triangle

divise les deux autres côtés en segments proportionnels

Dans la figure ci-contre, la droite M N vient couper les côtés

A AB et AC du triangle ABC parallèlement à BC. Il s’agit
donc de démontrer que les rapports AM/M B et AN/N C sont
égaux7 . On remarque d’emblée que les triangles AM C et
M N M BC, de bases respectives AM et M B, ont la même hauteur,
puisque leurs bases sont alignées (voir ci-dessous). Le rapport
de leurs surfaces sera donc égal au rapport de leurs bases, à
savoir AM/M B. Il en va de même pour les triangles AN B
et N CB, de bases respectives AN et N C; et le rapport de leurs
B C surfaces s’écrit AN/N C.
4
Deux angles sont anti-supplémentaires si leur différence vaut l’angle plat, et anti-complémentaires si elle vaut l’angle
droit.
5
En effet, à partir d’un triangle quelconque, on peut former un parallélogramme en lui accolant le même triangle ayant
subi une rotation de 180; il est clair que la surface de ce parallélogramme vaut le double de celle du triangle; en outre, ce
parallélogramme a la même surface que le rectangle de longueur b et de largeur h, puisque ce-dernier peut être construit
en ajoutant et retirant au parallélogramme un même triangle; la surface du triangle original vaut donc la moitié de celle du
rectangle. Parallélogrammes et rectangles sont étudiés en fin de chapitre.
6
A partir de maintenant, sauf mention explicite, nous travaillerons exclusivement dans le plan.

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Il suffit ensuite d’observer
que les triangles M BC et A A
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N CB, tous deux de base 0000000000000000000000000
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BC, ont la même surface 0000000000000000000000000
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puisque leurs hauteurs sont M 0000000000000000000000000
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identiques; et qu’il en va 000000000000000000000
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de même pour les trian- 000000000000000000000
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gles AM C et AN B dont 000000000000000000000
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les surfaces respectives 000000000000000000000
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s’obtiennent par soustraction B C B C
des surfaces des deux précé-
dents triangles à la surface
A A
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du grand triangle ABC. Dès 0000000000000000000000000
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lors, 0000000000000000000000000
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M N 0000000000000000000000000
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M 00000000000000000
11111111111111111 N
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AM AN 000000000000000000000
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= .
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(1.3) 000000000000000000000
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MB NC 000000000000000000000
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Cette démonstration du
000000000000000000000
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théorème de Thalès est due à
000000000000000000000
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0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
B C B C
Euclide.

De ces figures il ressort en outre que les angles des triangles ABC et AM N sont deux à deux égaux:

\ \
ABC = AM N, \ \
BCA = M NA \=N
et CAB \
AM . (1.4)

On dit que ces triangles sont semblables. De l’équation (1.3), on déduit que AB/AM = (AM +
M B)/AM = 1 + M B/AM = 1 + N C/AN = (AN + N C)/AN = AC/AN . C’est-à-dire que
deux des côtés des triangles ABC et AM N sont dans les mêmes rapports; or le choix de ces côtés
est arbitraire8 ; il en va donc de même pour les trois côtés de ces deux triangles. En général, on écrit

ABC AB AC BC
⇔ = = =k, (1.5)
AMN AM AN MN

où le symbole “S” désigne la similitude entre les triangles9 . Ces relations sont appelées relations de
similitude et k est appelé rapport de similitude entre le triangle ABC et le triangle AM N . Ou encore,
AM N est une représentation à l’échelle 1/k de ABC. L’opération de symétrie qui permet de passer
de l’un à l’autre est appelée homothétie ou dilatation, et peut être combinée avec d’autres opérations
comme une translation ou une rotation, sans que les relations de similitudes s’en trouvent affectées.

Notons en outre que pour établir la similitude de deux triangles, il suffit que deux des trois conditions
(1.4) soient remplies, la troisième découlant immédiatement de (1.1).
Les relations (1.5) sont d’une importance capitale dans tous les domaines de la géométrie. Elles sont
l’expression mathématique de l’invariance des angles sous transformation d’échelle (ou homothétie
ou dilatation); c’est-à-dire que n’importe quelle figure géométrique peut être dilatée – agrandie ou
8
Du point de vue du théorème de Thales, les trois situations suivantes sont équivalentes: , , .
9
L’intérêt de cette notation est de présenter sur un plateau d’argent les relations de similitudes qui en découlent. Il est
à ce titre impératif que les lettres désignant les sommets des deux triangles se correspondent strictement (en fonction des
angles deux à deux égaux).

9
rétrécie – sans que les angles en subissent la moindre modification. Ce sont ces relations qui fondent
la légitimité des représentations à l’échelle comme le plan et la coupe10 .
Remarquons enfin qu’on peut transformer ces relations pour obtenir:

AB AM AB AM AC AN
= , = et = ,
AC AN BC MN BC MN
c’est-à-dire que

Le rapport de deux côtés choisis dans un triangle donné est identique au rapport
(1.6)
des côtés qui leur correspondent dans un second triangle semblable au premier.

C’est cette version de la loi des triangles semblables, c’est-à-dire, in fine, du théorème de Thalès, que
nous préviligierons dans le reste du cours. On dit aussi que deux triangles semblables ont la même
forme. Autrement dit, la forme d’un triangle est exclusivement déterminée par ses angles (ou par ses
rapports de côtés, ce qui revient au même).

1.2 Pythagore
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit. Le plus grand de ses côtés, appelé
hypothénuse, est opposé à l’angle droit; les deux autres côtés sont appelés côtés de l’angle droit. Dans
un triangle rectangle, les deux angles aigus sont nécessairement complémentaires. L’intérêt que l’on
porte au triangle rectangle est indissociable du théorème de Pythagore – sur lequel repose le calcul
des distances en géométrie euclidienne. Nous l’énonçons et le démontrons ci-dessous.

Dans un triangle rectangle, le carré de c a

l’hypothénuse
vaut la somme des carrés des deux autres côtés. b
Imaginons un triangle rectangle de côtés
a a < b < c. Considérons quatre copies
a de ce triangle et rangeons-les de deux
manières différentes dans un carré de
côté a+b. De la figure ci-contre il ressort
après une brève analyse angulaire que la
c b surface restant dans le premier carré vaut
c c2 , tandis que la surface restant dans le
second vaut a2 + b2 ; et ces surfaces sont
b égales.

c2 = a2 + b2 (1.7)
10
Pour les planisphères, les choses sont plus compliquées et dépassent le cadre de ce chapitre.

10
Exemples
Les exercices proposés en fin de chapitre peuvent être résolus à l’aide de l’identification des triangles
semblables et du théorème de Pythagore. Avant de les aborder, nous passons en revue les triangles les
plus familiers.
Un triangle isocèle a deux côtés égaux. Il est
aisé de démontrer que les angles opposés à ces
côtés sont eux aussi égaux11 . Inversement, si un
triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.
Le triangle rectangle isocèle a, comme son nom
l’indique, deux côtés égaux définissant un angle
droit. Chacun des deux autres angles vaut donc √
π/4. Le grand côté est dans un rapport de 2
avec les deux autres. Tous les triangles rectan-
gles isocèles ont la même forme (i.e. ils sont tous
semblables entre eux).

Le triangle équilatéral a trois côtés égaux. On

montre aisément que ses trois angles sont eux
aussi égaux. Inversement, un triangle qui a trois
angles égaux est équilatéral. Chacun de ces an-
gles vaut π/3. Tous les triangles équilatéraux ont
la même forme.
Le triangle pythagoricien ou sacré est un triangle
rectangle dont les trois côtés sont en progression
arithmétique12 . Soit le plus petit côté de longueur
a, le suivant de longueur a + r, et l’hypothénuse

4 5 de longueur a + 2r. Le théorème de Pythagore

nous apprend que (a+2r)2 = (a+r)2 +a2 , c’est-
à-dire 3r 2 + 2ar − a2 = 0, équation du second
3 degré en r. Les solutions de cette équation sont
r = a/3 et r = −a. La seconde solution est à
rejeter puisqu’elle implique une raison négative.
10 6 Quant à la première, elle correspond à la progres-
sion a, 4a/3, 5a/3; autrement dit, si a = 3, on a
les côtés 3, 4 et 5; si a = 6, on a les côtés 6, 8
et 10; etc. Pour tous ces triangles, les rapports de
8 côtés sont identiques. Ou encore: tous les trian-
gles dont les côtés sont en progression arithmé-
tique sont semblables entre eux - ils ont la même
forme.

11
Le triangle de l’écolier ou demi-triangle
équilatéral est un triangle rectangle dont les trois
angles sont en progression arithmétique. Soit le
plus petit angle α, le suivant α + ρ, et le plus
grand α + 2ρ. Comme la somme des angles d’un 30°
triangle vaut l’angle plat, on a 3α + 3ρ = π.
En outre, le plus grand angle est l’angle droit:
α + 2ρ = π/2. Isolant α dans la seconde équa-
tion et l’injectant dans la première, on trouve
ρ = π/6, et donc α = π/6. Les angles sont
dès lors, dans l’ordre croissant: π/6, π/3 et π/2.
Tous les triangles de l’écolier ont bien entendu
la même forme. Le triangle constitué d’un trian-
gle de l’écolier et de son symétrique par rapport
à l’axe défini par le grand côté de l’angle droit est
équilatéral puisque ses angles valent chacun π/3.
C’est pour cette raison que le triangle de l’écolier
60° 90°
est aussi appelé demi-triangle équilatéral.
Le triangle égyptien est un triangle dont les trois côtés sont en progression géométrique13 . Soit le plus
petit côté de longueur a, le suivant de longueur ar, et l’hypothénuse de longueur ar 2 . En appliquant
le théorème de Pythagore, on obtient: a2 r 4 = a2 r 2 + a2 , c’est-à-dire, après avoir simplifié par a2 ,
r 4 −r 2 −1 = 0. Cette équation du quatrième degré en r ne fait apparaître que des puissances paires de
r et peut des lors être résolue en remplaçant 2 2
√ r par q. On obtient √ alors q − q − 1 = 0, du second degré
en q, dont les solutions sont q = (1 + 5)/2 et q = (1 − 5)/2. La seconde est à rejeter puisque
q = r 2 > 0. La première est appelée le nombre d’or, un nombre que des propriétés mathématiques
√
remarquables ont rendu célèbre dans la science des proportions. On a donc r 2 = (1 + 5)/2, ce qui
signifie que dans le triangle égyptien, le rapport entre l’hypothénuse et le petit côté vaut le nombre
d’or. Puisque les rapports de côtés sont déterminés, les triangles égyptiens ont eux aussi tous la même
forme.

1.3 Trigonométrie
On sait que la condition pour que deux triangles soient semblables est qu’ils aient deux angles en
commun. Si on se limite aux triangles rectangles, cette condition est par définition remplie pour
l’angle droit et ne concerne donc plus qu’un angle: deux triangles rectangles sont semblables s’ils ont
un angle en commun (en plus de l’angle droit, s’entend). Or les rapports de côtés de deux triangles
semblables sont deux à deux identiques – énoncé (1.6). Donc, pour un angle donné, dans un triangle
rectangle, les rapports de côtés sont déterminés. Pour un angle α donné, on a, en tous les cas, des
rapports de côtés identiques:
13
Une progression géométrique peut être définie comme une suite de nombres réels multipliés à chaque pas par un même
facteur r positif et supérieur à un, appelé raison de la progression: a, ar, ar 2 , ar 3 , . . .

12
 c a
α
α c’’ b

b’ c’ α
a’’
b’’
a’
a a′ a′′ b b′ b′′ a a′ a′′
= ′ = ′′ = . . . = ′ = ′′ = . . . = ′ = ′′ = . . .
c c c c c c b b b
Autrement dit, il existe une correspondance univoque entre d’une part l’un angle des angles aigus d’un
triangle rectangle, et d’autre part les rapports de côté de ce même triangle. Tâchons d’établir cette
correspondance pour quelques triangles rectangles familiers.
Dans le triangle de l’écolier, l’angle le plus aigu
vaut π/6. Il n’est pas difficile d’établir les rap-
ports de côtés correspondant à cet angle. Imag-
inons que l’hypothénuse de ce triangle ait pour l
longueur ℓ. Puisqu’il s’agit d’un demi-triangle l/2
équilatéral, le côté opposé à π/6 vaut ℓ/2. Quant
au côté adjacent à π/6, on peutp le calculer par le
π /6
théorème
√ de Pythagore: il vaut (ℓ2 −(ℓ/2)2 ) =
3ℓ/2. Le rapport du côté opposé à π/6 et de
l’hypothénuse vaut donc 1/2, celui du√côté ad-
jacent à π/6 et de l’hypothénuse vaut 3/2, et
celui
√ du côté opposé et du côté adjacent vaut
3/3.
Le triangle rectangle isocèle a √deux angles
de π/4 et son hypothénuse est 2 fois plus
grande que ses deux autres côtés (théorème de
Pythagore). Si l’on considère l’un des deux an-
2 l l gles de π/4, on peut dès lors affirmer que le
rapport
√ du côté opposé et de l’hypothénuse vaut
2/2,
√ celui du côté adjacent et de l’hypothénuse
π/4 vaut 2/2, et celui du côté opposé et du côté ad-
jacent vaut 1.

En reconsidérant le triangle de l’écolier du point

de vue de l’angle de π/3, on peut affirmer que le
l
√ du côté opposé à π/6 et de l’hypothénuse
rapport
vaut 3/2, que celui du côté adjacent à π/6 et
de l’hypothénuse vaut 1/2, et que√ celui du côté
opposé et du côté adjacent vaut 3. π/3
l/2

13
 Considérons maintenant le cas extrême d’un tri-
angle rectangle dont un des deux angles aigus est
tellement petit qu’il est nul et que le triangle en
question n’est plus qu’un segment de droite hor-
izontal dont la longueur est à la fois celle du côté
adjacent à cet angle et celle de l’hypothénuse; la
longueur du côté opposé à l’angle nul étant elle
aussi nulle. L’angle vaut 0; le rapport du côté
0 opposé et de l’hypothénuse vaut 0, le rapport du
côté adjacent et de l’hypothénuse vaut 1, et le
rapport du côté opposé et du côté adjacent vaut
l 0.
Imaginons le cas équivalent d’un triangle rectan-
gle dont un des deux angles aigus est tellement
grand qu’il est droit et que le triangle en question
n’est plus qu’un segment de droite vertical dont
la longueur est à la fois celle du côté opposé à cet
l
angle et celle de l’hypothénuse; la longueur du
côté adjacent à l’angle nul étant elle aussi nulle.
L’angle vaut π/2; le rapport du côté opposé et de
l’hypothénuse vaut 1, le rapport du côté adjacent
et de l’hypothénuse vaut 0, et le rapport du côté
opposé et du côté adjacent n’est pas défini (en π/2
réalité, ce rapport tend vers l’infini).
On peut réunir les résultats obtenus dans un tableau, avec en abscisse les différents angles et en
ordonnée les rapports de côtés correspondants:

π π π π
0 6 4 3 2

√ √
côté opposé 1 2 3
hypothénuse 0 2 2 2 1
√ √
côté adjacent 3 2 1
hypothénuse 1 2 2 2 0

côté opposé √
3
√
côté adjacent 0 3 1 3 ∞

Pour ces quelques angles particuliers (qui sont des fractions entières de π), nous avons donc établi
la correspondance univoque avec les rapports de côtés. Il y a, parmi ceux-ci, un absent de marque:
l’angle π/5.

14
 En effet, dans un triangle rectangle dont l’un des
A angles vaut π/5, que vaut le rapport du côté adja-
cent à π/5 et de l’hypothénuse ? Pour calculer ce

π
rapport, on recourt à la figure intermédiaire d’un
triangle isocèle ABC dont l’angle \ BAC entre
5 les deux côtés égaux vaut π/5. Les deux autres
angles valent donc chacun 2π/5. On attribue à
ql la base BC de ce triangle la longueur arbitraire
ℓ et aux grands côtés AB et AC la longueur qℓ
clairement supérieure à ℓ. On trace ensuite la bis-
sectrice de l’un de deux angles égaux, soit \ ABC
jusqu’au point D du côté opposé. Cette bissec-
trice coupe le triangle initial en deux triangles
B l C plus petits: BCD construit sur la base du trian-
gle initial, et DAB sur son grand côté AB. Un
A bref coup d’œil sur les angles suffit pour noter
que ces triangles sont tous deux isocèles. Ce qui
veut donc dire que les deux grands côtés BC et
π BD du premier de ces deux triangles ont pour
5 longueur ℓ, de même que les deux petits côtés
BD et AD du second. La base du triangle BCD
a donc pour longueur qℓ − ℓ = (q − 1)ℓ. En
ql outre, le triangle BCD est semblable au grand
D triangle initial ABC puisqu’ils ont les mêmes
angles. Le rapport entre la base et l’un des grands
côtés est donc le même dans les deux triangles:
ℓ/(qℓ) = (q − 1)ℓ/ℓ. C’est-à-dire, après avoir
simplifié par ℓ: q 2 − q − 1 = 0. Nous avons
B l C déjà rencontré cette équation du second degré
lors du calcul des rapports de côtés dans le tri-
A angle égyptien. Elle admet deux√solutions, dont
une seule est positive: q = (1 + 5)/2, à savoir
le nombre d’or. Pour terminer, on trace la hauteur
ql/2 π du triangle isocèle DAB à partir de D jusqu’au
5 milieu E de AB, et dans le triangle rectangle
AED ainsi défini, dont l’angle DAE\ vaut π/5,
E on calcule le rapport du côté adjacent qℓ/2 et
D de l’hypothénuse
√ ℓ, et on obtient q/2, c’est-à-
dire (1 + 5)/4, ou encore la moitié du nombre
d’or. On en profite pour montrer au passage, en
procédant de la même manière dans le triangle
BCD que l’on divise en deux triangles rectan-
gles égaux, que dans un triangle rectangle où l’un
B l C des angles vaut π/10, le rapport du côté opposé
π /10 √
et de l’hypothénuse vaut ( 5 − 1)/4.
Avant de poursuivre, procédons à quelques définitions. Comme nous l’avons établi en début de sec-

15
tion, et comme nous venons de le vérifier pour une série d’angles remarquables, dans un triangle
rectangle, il existe une correspondance univoque entre un des angles aigus et les rapports de côtés,
c’est-à-dire qu’il suffit d’un seul angle pour déterminer les rapports de côtés. Ne dépendant que d’un
angle, ces rapports de côtés sont donc des fonctions exclusives de cet angle. Nous donnons à ces
fonctions les noms de sinus pour le rapport du côté opposé à l’angle et de l’hypothénuse, de cosinus
pour le rapport du côté adjacent à l’angle et de l’hypothénuse, et de tangente pour le rapport du côté
opposé et du côté adjacent14 . Pour un angle α donné, ces fonctions s’écrivent respectivement sin α,
cos α et tg α.

a b a
c a
sin α = cos α = tg α =
c c b α
b
14
Il existe une autre manière de définir ces fonctions trigonométriques dans ce qu’on appelle le cercle trigonométrique.
On introduit dans le plan un système d’axes, c’est-à-dire deux droites perpendiculaires orientées et graduées appelées re-
spectivement axe des abscisses ou axe des x (droite horizontale) et axe des ordonnées ou axe des y (droite verticale). Ces
axes sont tous deux gradués de la même manière (même échelle) de “moins l’infini” à “plus l’infini” de telle sorte que
leur intersection, dite origine des axes, corresponde au nombre zéro sur chacun d’entre eux. Dans ce système d’axes, les
coordonnées d’un point sont les projections orthogonales de ce point sur les axes, c’est-à-dire les valeurs obtenues en pro-
jetant le point sur les axes perpendiculairement (ou encore orthogonalement) à ceux-ci. Ces coordonnées sont appelées
respectivement abscisse et ordonnée du point en question.

1
1
y (x,y)
sin α (cos α , sin α )
α
0 1 x 0 1
cos α

Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l’origine des axes. Il est divisé par les deux axes en quatre secteurs
angulaires appelés quadrants et numérotés de un à quatre en tournant dans le sens contraire des aiguilles d’une montre,
c’est-à-dire le sens trigonométrique ou encore le sens positif, à partir de la portion positive de l’axe des abscisses. Dans
le cercle trigonométrique, un angle est défini comme la mesure du secteur angulaire délimité par une première demi-droite
correspondant à la portion positive de l’axe des abscisses et par une deuxième demi-droite quelconque partant de l’origine
des axes. Puisque deux demi-droites déterminent deux secteurs angulaires, on prend pour convention de définir comme
positif l’angle obtenu en tournant de la première demi-droite vers la seconde dans le sens positif; l’angle correspondant à
l’autre secteur angulaire est obtenu en tournant de la première demi-droite vers la seconde dans le sens négatif et est donc
défini négatif.
Il est aisé de montrer que pour un angle défini par une demi-droite quelconque située dans le premier quadrant, le cosinus
d’un angle donné est l’abscisse du point d’intersection du cercle et de la demi-droite définissant l’angle, tandis que le sinus
est l’ordonnée de ce même point. On généralise cette identification à tous les quadrants, aussi bien pour les angles positifs
que pour les angles négatifs. C’est dans cette identification que réside l’intérêt de l’introduction du cercle trigonométrique.
En l’occurrence, pour tout angle α donné, on a les propriétés suivantes:

cos(−α) = cos α cos(π − α) = − cos α cos(2π − α) = cos α

sin(−α) = − sin α sin(π − α) = sin α sin(2π − α) = sin α

La tangente peut aussi être définie dans le cercle trigonométrique, mais cette définition est inutile dans le cadre de ce cours.

16
Elles dépendent l’une de l’autre: le rapport
du sinus et du cosinus d’un même angle en
donne la tangente, tandis que par le théorème de sin α
tg α =
Pythagore, la somme des carrés du sinus et du cos α
cosinus d’un même angle vaut un15 . C’est-à-dire
que la connaissance de l’une de ces trois fonc- sin2 α + cos2 α = 1
tions entraîne de facto la connaissance des deux
autres.
En outre, puisque les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires, on note que le
sinus du complémentaire d’un angle vaut le cosinus de cet angle et et que le cosinus du complémen-
taire d’un angle vaut le sinus de cet angle, c’est-à-dire que pour un angle α donné, sin(π/2 − α) =
cos α et cos(π/2 − α) = sin α.
Il est utile de préciser que l’introduction de ces fonctions dites trigonométriques ne nous apporte
aucune information. La trigonométrie n’est rien d’autre qu’un langage (dont les mots sont sinus,
cosinus et tangente) permettant d’appliquer de façon plus pratique les théorèmes fondamentaux de
Thalès et de Pythagore. De fait, comme on l’a montré pour, π/2, π/3, π/4, π/5, π/6 et π/10, le
calcul des fonctions trigonométriques repose exclusivement sur la loi des triangles semblables et sur
le théorème de Pythagore. Une fois ces fonctions calculées, nous pouvons les consigner dans des
tables et les réutiliser dans d’autres circonstances, dans d’autres figures, pour résoudre des problèmes
impliquant les mêmes angles. La calculatrice, qui permet de “calculer” les fonctions trigonométriques,
peut elle-même être assimilée à une gigantesque table de trigonométrie où seraient consignées les
valeurs de ces fonctions pour tous les angles connus16 .
Pour nous permettre de calculer les fonctions trigonométriques d’autres angles remarquables tels π/8
et π/12 par exemple, nous allons établir des formules trigonométriques. L’une des plus importantes
de ces formules est celle qui relie le sinus ou le cosinus d’une somme ou d’une différence d’angles
aux sinus et aux cosinus des angles pris individuellement.
Considérons le triangle quelconque représenté ci-dessous. On calcule sa surface de deux manières
différentes. D’une part on le découpe en deux triangles rectangles ayant pour hypothénuses respectives
les côtés a et b; les bases (horizontales) de ces deux triangles valent respectivement a cos β et b cos α;
la hauteur est la même pour les deux triangles et peut s’écrire b sin α ou a sin β; on peut dès lors
calculer la somme de leurs surfaces. D’autre part on prend pour base le côté a: la hauteur relative vaut
b sin γ; et la surface se calcule aisément.

γ
a b a b
β α
a cos β · b sin α b cos α · a sin β a · b sin γ
S= + S=
2 2 2
En identifiant ces deux expressions, en les simplifiant et en vérifiant que γ = α + β, on obtient:

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β .

16
En réalité, la calculatrice n’est pas une table; elle utilise des méthodes numériques pour obtenir une valeur approx-
imative des fonctions trigonométriques de n’importe quel angle; elle n’est pas capable d’obtenir la valeur exacte de ces
fonctions.

17
Il suffit ensuite de remplacer dans cette expression β par −β pour obtenir le sinus d’une différence de
deux angles; le cosinus de la somme de deux angles vaut le sinus du complémentaire de cette somme,
c’est-à-dire le sinus de la différence π/2 − (α + β) = (π/2 − α) − β; le cosinus d’une différence
vient en remplaçant β par −β dans l’argument du cosinus de la somme α + β. On a donc
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β ,
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β ,
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β .
Ces expressions sont extrêmement utiles. Il est possible de s’en servir pour calculer les fonctions
trigonométriques d’angles s’exprimant comme la somme ou la différence de deux angles dont les
fonctions trigonométriques sont elles-mêmes connues. On détermine par exemple le sinus et le cosinus
de π/12 en constatant que π/12 vaut la différence de π/4 et de π/6, ou encore celle de π/3 et de π/4.
En outre, on évalue ci-contre le sinus et le
cosinus de la somme α + α pour établir
d’autres formules qui expriment les fonctions sin(2α) = 2 sin α cos α
trigonométriques de l’angle 2α dit angle double cos(2α) = cos2 α − sin2 α
en fonction des fonctions trigonométriques d’un
angle α donné.
En exprimant cos α en fonction de sin α puis
θ 1 − cos θ sin α en fonction de cos α dans l’expression de
sin2 = cos(2α), on peut la retourner pour obtenir re-
2 2
2 θ 1 + cos θ spectivement le sinus et le cosinus d’un angle en
cos = fonction du cosinus de l’angle double; définis-
2 2
sant θ = 2α, on obtient les expressions ci-contre.
Il est à nouveau possible d’utiliser ces dernières expressions pour calculer le sinus et le cosinus du
demi-angle θ/2 en fonction du cosinus d’un angle θ donné. Le sinus et le cosinus de π/8 par exemple,
et donc la tangente de π/8, s’obtiennent à partir du cosinus de π/4.
Les principaux résultats sont intégrés dans le tableau suivant. Les fonctions trigonométriques faisant
intervenir la racine carrée d’un argument impliquant lui-même une racine carrée n’y sont pas reprises;
leur détermination est laissée à titre d’exercice.

π π π π π π π π
0 12 10 8 6 5 4 3 2

√ √ √ √ √
6− 2 5−1 1 2 3
sin 0 4 4 · 2 · 2 2 1
√ √ √ √ √
6+ 2 3 1+ 5 2 1
cos 1 4 · · 2 4 2 2 0
√ √ √
3
√
tg 0 2− 3 · 2−1 3 · 1 3 ∞

Les formules énoncées et démontrées ci-dessus peuvent être utilisées pour calculer les fonctions
trigonométriques de nombreux angles. En les exprimant comme une différence d’angles, on peut
par exemple calculer les fonctions trigonométriques de π/15 = π/6 − π/10, de π/20 = π/4 − π/5,
de π/24 = π/6 − π/8, de π/30 = π/5 − π/6, de π/40 = π/8 − π/10, de π/60 = π/10 − π/12, etc.
En les exprimant comme la moitié d’un angle, on obtient par ailleurs les fonctions trigonométriques
de π/16 = (π/8)/2, mais également de π/20 = (π/10)/2, de π/24 = (π/12)/2, etc.

18
Les fonctions trigonométriques des multiples (par un entier) de ces angles peuvent découler des liens
entre angles complémentaires, supplémentaires, etc. On a par exemple cos(2π/5) = cos(π/2 −
π/10) = sin(π/10), cos(3π/5) = cos(π − 2π/5) = − cos(2π/5), et cos(4π/5) = cos(2π −
π/5) = cos(π/5). On les obtient aussi en exprimant ces angles comme des sommes d’angles, avec
par exemple cos(3π/10) = cos(π/5+π/10). Ou encore, plus généralement, à partir des formules des
sinus et cosinus de l’angle double, mais aussi de l’angle triple (on établit que cos(3α) = cos(2α +
α) = 4 cos3 α − 3 cos α) ou de l’angle quadruple, quintuple, sextuple, etc.
En guise d’exercice, montrez à partir d’un triangle isocèle dont l’angle entre les côtés égaux vaut
π/7, que cos(π/7) est une solution de l’équation du troisième degré 8x3 − 4x2 − 4x + 1 = 0 (le
raisonnement est une variante plus compliquée de celui qui a permis d’obtenir le cosinus de π/5). A
partir de la formule (à démontrer) donnant le cosinus de l’angle triple en fonction de celui de l’angle
simple, montrez en outre que cos(π/9) est solution de l’équation du troisième degré 8x3 −6x−1 = 0.
Il n’est pas difficile de prouver que les fonctions trigonométriques des fractions entières de π peuvent
toutes s’exprimer comme des racines de polynômes de degré fini et à coefficients entiers.

1.4 Les polygones

Les polygones sont des figures qui permettent de délimiter une surface avec un certain nombre de
segments droits. Le triangle en est la plus simple et a fait l’objet des sections précédentes. Un
polygone à n côtés peut être décomposé en n − 2 triangles en reliant entre eux certains des n sommets
à l’aide de n − 3 segments droits différents des côtés, entièrement inclus dans la surface du polygone
et ne pouvant se rencontrer ailleurs qu’en un sommet17 . Il en ressort que dans un polygone à n côtés,
la somme des angles vaut (n − 2) · π. Le périmètre d’un polygone est la somme des longueurs de ses
côtés.
Un polygone dont les côtés sont de même longueur et dont les angles sont égaux est dit régulier.
La symétrie des polygones réguliers implique que les bissectrices de leurs angles sont concourantes,
c’est-à-dire qu’elles se croisent en un même point appelé point de concours. Un polygone régulier à n
côtés peut donc être divisé en n triangles isocèles égaux. Le cercle dans lequel il s’inscrit, c’est-à-dire
le plus petit cercle le contenant tout entier, passe par l’ensemble de ses sommets; et le cercle qu’il
circonscrit, c’est-à-dire le plus grand cercle qu’il contient tout entier, passe par le milieu de chacun de
ses côtés. Le centre de ces cercles est le point de concours des bissectrices.

Le quadrilatère
Un polygone à quatre côtés est un quadrilatère. La somme des angles d’un quadrilatère vaut 2π. Les
diagonales d’un quadrilatère sont les segments droits reliant les sommets non reliés par les côtés. Si
deux de ses côtés sont parallèles, le quadrilatère est un trapèze. Les côtés paralèlles sont appelés les
bases; la hauteur est un segment tiré perpendiculairement d’une des bases jusqu’à l’autre ou à son
prolongement. Il est aisé de montrer que la surface d’un trapèze vaut le produit de sa hauteur et de la
moyenne arithmétique de ses bases. Un trapèze possédant un (et donc au moins deux) angle(s) droit(s)
est un trapèze rectangle. Un trapèze dont les deux côtés non parallèles sont égaux est dit isocèle. Les
angles d’un trapèze isocèle sont deux à deux égaux. Un trapèze dont les deux côtés parallèles sont
égaux est un parallélogramme. Les côtés d’un parallélogramme sont deux à deux égaux et deux à
deux parallèles. La surface d’un parallélogramme vaut le produit d’un des côtés choisi pour base et de
17
En général, cette décomposition n’est pas unique.

19
la hauteur relative à cette base. Un parallélogramme dont les quatre côtés sont égaux est un losange.
Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires. La surface d’un losange vaut la moitié du produit
des diagonales. Un parallélogramme possédant un (et donc quatre) angle(s) droit(s) est un rectangle.
La surface d’un rectangle vaut le produit du petit et du grand côtés, appelés respectivement largeur et
longueur. Un rectangle dont les côtés sont égaux ou un losange possédant un (et donc quatre) angle(s)
droit(s) est un carré. Un carré est un quadrilatère régulier. La surface d’un carré vaut le carré de son
côté.
Contrairement au cas du triangle, on ne peut pas affirmer que deux quadrilatères ayant des angles
deux à deux égaux ont les mêmes rapports de côtés. En effet, deux rectangles de même largeur n’ont
pas nécessairement la même longueur. Pour s’assurer que deux quadrilatères sont semblables, ou
encore, qu’ils ont la même forme, il faut que les deux triangles résultant de leur décomposition en
triangles soient semblables. Or la forme de ces triangles est non seulement déterminée par les angles
du quadrilatère, mais aussi par ceux que forme l’une de ses diagonales avec les côtés. Pour déterminer
la forme de l’un de ces triangles, et donc des deux, il faut et il suffit, en plus des angles du quadrilatère,
d’un des rapports de côtés de ce triangle, c’est-à-dire par exemple du rapport de deux côtés adjacents
du quadrilatère. Tous les rapports de côtés sont ainsi déterminés. On dira donc que la forme d’un
quadrilatère est déterminée par ses angles et le rapport des longueurs de deux côtés adjacents.
Attardons-nous sur le cas du rectangle. En
somme, un rectangle est un quadrilatère sont les
quatre angles sont droits. La forme d’un rect-
angle est donc déterminée par le rapport de sa
longueur et de sa largeur, soit q. Le rectangle l
le plus simple est celui pour lequel q = 1, à
savoir le carré. Deux autres rectangles retien-
dront notre attention: le rectangle donnant sa
L
forme aux feuilles de papier que nous utilisons q=1
quotidiennement, le papier A4 ; et le rectangle
d’or.
La particularité du papier au format An est qu’en
le découpant dans le sens de la largeur en deux
rectangles égaux, on tombe sur le format An−1 .
Si le rectangle initial a pour longueur L et pour
l largeur ℓ, les rectangles résultant de la découpe
auront pour longueur ℓ et pour largeur L/2. Pour
qu’il aient la même forme que le rectangle ini-
L tial, il faut que q = L/ℓ = ℓ/(L/2), c’est-à-dire,
après avoir divisé par ℓ numérateur et dénomi-
nateur du membre de droite de cette expression,
l que q = 1/(q/2), ou encore, pour la solution
√
positive, q = 2 ≃ 1, 414. Si l’on sait en outre
que le format A0 a été choisi pour avoir une sur-
L/2 face d’un mètre carré, il vient que les dimensions
q=1,414... du papier A4 sont, en mètres, solutions du sys-
tème L · ℓ = 2−4 et L/ℓ = 21/2 . On trouve
L = 2−7/4 ≃ 0, 297 et ℓ = 2−9/4 ≃ 0, 210.

20
Le rectangle d’or est un rectangle tel que
lorsqu’on le découpe en deux rectangles dont le
premier est un carré ayant pour côté la largeur
du rectangle initial, le second (rectangle résiduel)
soit un rectangle de même forme que le rectangle l
initial. Si le rectangle initial a pour longueur L
et pour largeur ℓ, le rectangle résiduel aura pour
longueur ℓ et pour largeur L − ℓ. Pour que le
L
rectangle résiduel ait la même forme que le rect-
angle initial, il faut que q = L/ℓ = ℓ/(L − ℓ),
c’est-à-dire, après avoir divisé par ℓ numérateur l
et dénominateur du membre de droite de cette ex-
pression, que q = 1/(q−1), ou encore, que q sat-
sifasse l’équation q 2 − q − 1 = 0 admettant pour L−l
solution positive la moyenne arithmétique de 1
√
et 5, à savoir le nombre d’or que nous avons
q=1,618...
rencontré à plusieurs reprises: q ≃ 1, 618.

Le pentagone
Le pentagone est un polygone à cinq côtés. Il peut être décomposé en trois triangles et la somme de
ses angles vaut 3π. Un pentagone régulier a donc cinq angles de 3π/5. Si l’on trace les bissectrices
de ces angles jusqu’à leur point de concours, on définit cinq triangles isocèles égaux dont les angles
égaux valent 3π/10 et le troisième angle 2π/5. Le périmètre d’un pentagone de côté c vaut 5c. La
surface d’un pentagone de côté c vaut cinq fois la surface d’un triangle isocèle de base c et de hauteur
c/(2 tg (π/5)), c’est-à-dire S = 5c2 /(4 tg (π/5)). En fonction du rayon r du cercle inscrit dans le
pentagone, la surface vaut cinq fois la surface d’un triangle isocèle de base 2r tg (π/5) et de hauteur
r, c’est-à-dire S = 5r 2 tg (π/5). En fonction du rayon R du cercle circonscrit au pentagone, la
surface vaut cinq fois la surface d’un triangle isocèle de base 2R sin(π/5) et de hauteur R cos(π/5),
c’est-à-dire S = 5R2 sin(π/5) cos(π/5) = 5R2 sin(2π/5)/2.

L’hexagone
L’hexagone est un polygone à six côtés. Il peut être décomposé en quatre triangles et la somme de ses
angles vaut 4π. Un hexagone régulier a donc six angles de 2π/3. Si l’on trace les bissectrices de ces
angles jusqu’à leur point de concours, on définit cinq triangles équilatéraux égaux. En fonction
√ du du
c ou du rayon r du cercle inscrit, la surface d’un hexagone régulier vaut respectivement 3 3 c2 /2
côté √
ou 2 3 r 2 .

Un raisonnement du même type peut être tenu pour l’octogone, le décagone, le dodécagone, ou plus
généralement, pour le polygone à n côtés. Le calcul de leur surface est laissé à titre d’exercice.

21
1.5 Le cercle
Le cercle a été introduit en début de chapitre et dans la section précédente en tant qu’ensemble des
points situés à égale distance, désignée par le rayon r, d’un point donné appelé centre du cercle. Le
diamètre du cercle est le plus grand segment droit pouvant être tracé à l’intérieur du cercle; il vaut le
double du rayon. Apparament incalculable, le rapport entre le périmètre18 et le diamètre a été désigné
par le nombre π que nous avons utilisé abondamment sans en connaître (et sans en exploiter) la valeur.
C’est donc l’expression du périmètre P = 2πr qui définit le nombre π.
Si le cercle n’est pas un polygone, on peut toutefois se le représenter comme un polygone régulier
possédant une infinité de côtés19 . En traçant les bissectrices de son infinité d’angles, ce “polygone
régulier” peut être découpé en une infinité de “triangles” isocèles dont la base est infiniment petite
et dont les côtés égaux sont confondus avec la hauteur et correspondent au rayon du cercle. Cette
façon de voir les choses va nous permettre de calculer la surface du cercle et d’obtenir une estimation
arbitrairement précise du nombre π.

Surface du cercle

Tâchons de calculer la surface

d’un polygone à n côtés où n
est grand et susceptible de ten-
dre vers l’infini. Ce polygone est
constitué de n triangle isocèles
dont la base vaut approxima- r
tivement un nème du périmètre,
à savoir 2πr/n, et la hauteur 2πr
approximativement le rayon r.
Notons que plus n est grand,
meilleure est cette approxima-
tion, et que dans la limite où
n tend vers l’infini, cette iden-
tification n’est plus approxima-
tive! La surface d’un polygone
régulier à n côtés vaut donc ap-
proximativement n · (2πr/n ·
r)/2 = πr 2 . Répétons que
ce résultat ne correspond à la
véritable surface du polygone
régulier que dans la limite où r
le nombre n de côtés tend vers
l’infini, c’est-à-dire pour le cer- 2πr
cle, dont la surface s’écrit donc
S = πr 2 .
La décomposition présentée ci-dessus illustre le calcul de la surface d’un cercle de rayon r en la
18
Le périmètre du cercle peut être défini comme la longueur du segment obtenu en “déroulant” l’arc formé par l’ensemble
des points du cercle le long d’une droite.
19
C’est-à-dire comme la limite lorsque n tend vers l’infini d’une suite de polygones réguliers à n côtés.

22
ramenant au calcul de la surface d’un triangle de base 2πr et de hauteur r. Ce raisonnement, tenu
par Archimède au troisième siècle avant Jésus-Christ, préfigure des méthodes du calcul infintésimal,
formellement développé par Newton deux millénaires plus tard.

Calcul de π
Le nombre π est une des constantes mathématiques les plus importantes. Nous allons tenter d’en
obtenir une estimation en suivant de nouveau une idée d’Archimède20 . Le moyen le plus naturel
pour y parvenir est d’en établir des bornes, c’est-à-dire deux nombres réels entre lesquels il doit être
compris. Plus ces bornes seront proches l’une de l’autre, meilleure sera notre estimation. C’est ce que
nous allons tâcher de faire en nous appuyant sur des considérations géométriques élémentaires.
Commençons par un exemple simple. Un cer-
cle de rayon r donné s’inscrit dans un carré de r
r
√ 2r et circonscrit un carré dont le côté vaut
côté
2r. Dès lors, le périmètre√ 2πr du cercle est
compris entre le périmètre 4 2r du petit carré et
le périmètre
√ 8r du grand carré. Ce qui signifie
que 2 2 < π < 4, ou encore 2, 82 < π < 4.
Cette première estimation peut être améliorée
en considérant à la place des deux carrés,
deux polygones réguliers plus proches du cer-
cle. Prenons par exemple deux dodécagones
r réguliers. Un cercle de rayon r s’inscrit dans
un dodécagone régulier dont le périmètre vaut
douze fois 2r tg (π/12), c’est-à-dire 24(2 −
√
r 3)r. Par ailleurs, le même cercle circonscrit un
dodécagone régulier dont le périmètre
√ vaut√ douze
fois 2r sin(π/12), c’est-à-dire 6( 6 + 2)r. Le
périmètre 2πr du cercle étant compris√ entre
√ les
périmètres des√ dodécagones, on a 3( 6 − 2) <
π < 12(2 − 3), ou encore 3, 10 < π < 3, 22.
La moyenne arithmétique de ces bornes vaut ap-
proximativement 3, 16 et présente une erreur in-
férieure à un pour cent!
Nous pourrions encore parfaire cette estimation à l’aide d’un polygone régulier à n côtés avec n
beaucoup plus grand, la difficulté résidant alors dans le calcul des fonctions trigonométriques de π/n.

20
Archimède ne connaissait pas la trigonométrie, mais comme nous l’avons déjà indiqué, la trigonométrie n’est qu’un
langage destiné à rendre plus commode l’usage des théorèmes fondamentaux dans certaines circonstances. Archimède s’en
est passé pour aboutir aux conclusions qui seront les nôtres.

23
Chapter 2

Points, droites & plans

2.1 Vecteurs

R3 , {(x, y, z) | x, y, z ∈ R}
z
Un élément de R3 est un triplet de réels. Il est ap- pz
pelé vecteur. Pour le vecteur ~ p de composantes
(px , py , pz ), on écrit ~
p = (px , py , pz ). Un élé- p
ment de R3 définit également un point. Pour
le point P de coordonnées (px , py , pz ), on écrit
P ≡ (px , py , pz ). Les réels px , py et pz sont
les projections orthogonales respectives du point
sur l’axe des x ou axe des abscisses, l’axe des y
ou axe des ordonnées, et l’axe des z ou axe des
cotes, trois axes orientés, perpendiculaires entre
eux, gradués de la même manière et dont les orig- py y
ines coïncident. L’espace muni de ces trois axes
est appelé espace coordonné. Il est la représenta- px
tion graphique de R3 . x

z
Un vecteur peut être représenté graphiquement
p par n’importe quelle translation d’un segment
orienté dont l’origine coïncide avec l’origine des
p p axes, et l’extrémité avec le point ayant pour coor-
données les composantes du vecteur. Autrement
dit, les composantes d’un vecteur ne corre-
pz p spondent aux coordonnées de son extrémité que
lorsque son origine coïncide avec l’origine des
p axes. On dit qu’un vecteur est flottant, c’est-à-
p
dire qu’il n’est pas localisé à un endroit précis
py y de l’espace. Dorénavant, on associera au vecteur
px p une notion de direction, et au point une notion de
situation.
x

24
 z
Addition
rz
q = (qx , qy , qz ) ∈ R3 ,
Soient p~ = (px , py , pz ), ~
alors p~ + ~q , (px + qx , py + qy , pz + qz ) ∈ R3 . q
L’addition dans R3 est interne et partout définie,
associative, commutative, admet l’existence d’un p
neutre, le vecteur nul ~0 = (0, 0, 0), et l’existence r
d’un opposé −~ p , (−px , −py , −pz ) à chacun ry y
des éléments p~ = (px , py , pz ) de R3 .
rx
x
z Graphiquement, l’opération consiste à faire coïn-
cider l’origine d’un des deux vecteurs termes de
la somme avec l’extrémité du second, et de tracer
q r= p +q le vecteur résultant à partir de l’origine du second
p = q +p jusqu’à l’extrémité du premier. L’opération pou-
p vant être menée avec chacun des deux vecteurs
termes, on voit apparaître un parallélogramme
q y (appelé historiquement le parallélogramme des
forces) dont l’une des diagonales correspond au
vecteur résultant de la somme.
x

Quant à l’autre diagonale de ce parallélogramme,

z
elle correspond au vecteur résultant de la dif-
férence des vecteurs initiaux. En effet, si p~ + ~q = q=r _ p
~r, alors ~q = ~r−~p. Se rapportant au même graphe, r
on note que ~ q correspond au vecteur reliant les p
extrémités de ~ p et de ~r. La différence de deux
vecteurs permet donc d’obtenir un vecteur ayant
la direction induite par deux points donnés dans q y
l’espace.
x
Multiplication par un scalaire1 z k pz
Soient p~ = (px , py , pz ) ∈ R3 , k ∈ R,
p , (kpx , kpy , kpz ) ∈ R3 .
alors k~ kp
Cette multiplication est induite par l’addition
dans R3 . En effet, la somme de deux vecteurs
identiques donne un vecteur dont les com- p
posantes valent le double des composantes du k py y
vecteur initial. Cette multiplication permet de
définir le parallélisme entre deux vecteurs: k px
x
q = (qx , qy , qz ) ∈ R3 et différents de ~0,
soient p~ = (px , py , pz ), ~
alors p~ k ~q ⇔ ∃ k ∈ R tel que p~ = k~ q.

25
Produit scalaire
q = (qx , qy , qz ) ∈ R3 ,
Soient p~ = (px , py , pz ), ~
alors p~ · ~q , px qx + py qy + pz qz ∈ R.
Le produit scalaire est comme son nom l’indique un scalaire, c’est-à-dire un réel, résultant d’une
opération entre deux vecteurs. Il est commutatif et jouit de propriétés remarquables dont la com-
préhension dépasse le cadre de ce cours. En outre, il induit une norme, c’est-à-dire une notion de
longueur, qui correspond parfaitement avec la notion de distance euclidienne:
py , pz ) ∈ R 3 ,
soit p~ = (px ,√
p k , p~ · ~
p
alors k~ p = p2x + p2y + p2z .
On constate que la norme de p~ correspond effectivement à la longueur du segment orienté qui le
représente dans le plan, obtenue par l’application du théorème de Pythagore.
On énonce une propriété importante du produit scalaire:
q = (qx , qy , qz ) ∈ R3 ,
soient p~ = (px , py , pz ), ~
alors p~ · ~q = k~
p kk~q k cos θ où θ = (~ [p, ~q)
Pour la démontrer, on considère le triangle engendré par deux vecteurs quelconques ~p et ~q, et on
calcule le carré de la longueur du troisième côté, k~q − p~ k2 = (qx − px )2 + (qy − py )2 + (qz − pz )2 =
k~
p k2 + k~q k2 − 2~p·~ q à l’aide du théorème de Pythagore généralisé2 . Reformulée autrement, cette
propriété permet d’établir l’angle entre deux vecteurs en fonction de leurs composantes:
q = (qx , qy , qz ) ∈ R3 ,
soient p~ = (px , py , pz ), ~
alors cos θ = (~p·~ q )/(k~ p kk~
q k).
Il vient que si le produit scalaire de deux vecteurs p~ 6= ~0 et ~q 6= ~0 de R3 est nul, ces deux vecteurs sont
perpendiculaires (cos θ = 0). Inversément, si deux vecteurs de R3 sont perpendiculaires, leur produit
scalaire est nul.

Produit vectoriel
q = (qx , qy , qz ) ∈ R3 ,
Soient p~ = (px , py , pz ), ~
3 q , (py qz − pz qy , pz qx − px qz , px qy − py qx ) ∈ R3 .
alors ~p ∧ ~
2
Le théorème de Pythagore généralisé permet de calculer la longueur r d’un côté d’un triangle quelconque à partir des
longueurs p et q des deux autres côtés et de l’angle θ défini par ceux-ci: r 2 = p2 + q 2 − 2pq cos θ. Pour le prouver, on trace
la hauteur relative au côté q, formant ainsi un triangle rectangle d’hypothénuse r et de petits côtés p sin θ et q − q cos θ,
dans lequel il ne reste plus qu’à formuler le théorème de Pythagore.
3
En pratique, pour calculer un produit vectoriel, on recourt à “la méthode des déterminants”; d’apparence compliquée,
celle-ci permet d’obtenir un résultat numérique fiable rapidement.
Le déterminant d’une matrice 2 × 2 (2 lignes, 2 colonnes), c’est-à-dire d’un ensemble de
quatre nombres disposés en deux colonnes de deux, est un nombre résultant de la différence a b
= ad − bc
du produit du premier nombre de la première colonne avec le deuxième nombre de la deux- c d
ième colonne et du produit des deux autres nombres (voir ci-contre).
Pour calculer le produit vectoriel de deux vecteurs ~ q , on forme une matrice (6 lignes, 2
p et ~ px qx
colonnes) en rangeant deux copies des composantes du vecteur p ~ dans une première colonne py qy
= py qz − pz qy
et deux copies de celles du vecteur ~ q dans une seconde colonne, et on calcule les trois pz qz
= pz qx − px qz
déterminants des matrices formées respectivement par les deuxième et troisième lignes, les px qx
= px qy − py qx
troisième et quatrième lignes, et les quatrième et cinquième lignes (voir ci-contre). Ces trois py qy
déterminants donnent les trois composantes du produit vectoriel. pz qz

26
Le produit vectoriel est comme son nom l’indique un vecteur résultant d’une opération entre deux
vecteurs. A ce titre, il a donc une norme, une direction et un sens.
Sa direction découle de la propriété suivante:
q = (qx , qy , qz ) ∈ R3 ,
soient p~ = (px , py , pz ), ~ p q
alors (~
p ∧ ~q) ⊥ p~ et (~p∧~ q) ⊥ ~
q.
Autrement dit, le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur per-
pendiculaire à chacun d’eux, c’est-à-dire au plan engendré par ces deux q
vecteurs lorsque leurs origines coïncident. Pour démontrer cette propriété,
il suffit de s’assurer que (~
p∧~
q ) · p~ = 0 et (~ p, ~q ∈ R3 .
p ∧ ~q) · ~q = 0, ∀~
p

Quant à la norme du produit vectoriel, on peut lui associer une grandeur géométrique à partir de la
propriété suivante:
q = (qx , qy , qz ) ∈ R3 ,
soient p~ = (px , py , pz ), ~
alors k~p ∧ ~q k = k~p kk~ q k sin θ où θ = (~ [p, ~q)

Cette propriété se démontre simplement en développant le carré de la norme

du produit vectoriel pour finalement l’exprimer en fonction du carré du
q produit scalaire: k~ p ∧ ~q k2 = k~ p · ~q)2 = k~
p k2 k~q k2 − (~ p k2 k~q k2 sin2 θ. Elle
h permet d’établir que la norme du produit vectoriel p~ ∧~q est égale à la surface
p du parallélogramme (de base k~ p k et de hauteur k~q k sin θ) engendré par les
vecteur p~ et q~ lorsque leurs origines coïncident.
Le sens du produit vectoriel est conventionnellement donné par la “règle du tournevis”, c’est-à-dire
le sens du tournevis qui s’enfonce où se retire suivant qu’on le tourne dans le sens horaire ou anti-
horaire. De même, lorsqu’on fait pivoter le premier vecteur vers le second par le chemin le plus court,
on détermine si le produit est rentrant ou sortant suivant que l’on tourne dans le sens horaire (ou
anti-trigonométrique ou encore négatif) ou anti-horaire (ou trigonométrique ou encore positif). On
note à cette occasion que le produit vectoriel est anti-commutatif:
q = (qx , qy , qz ) ∈ R3 ,
soient p~ = (px , py , pz ), ~
alors p~ ∧ ~q = −~q ∧ p~.

2.2 Equations z
Equation analytique d’un plan P
Soit le plan P passant par l’origine et perpendic- n
ulaire au vecteur ~n = (nx , ny , nz ). Puisqu’il
passe par l’origine, ce plan contient tous les
points dont les coordonnées sont les composantes y
d’un vecteur perpendicluaire à ~n; et tous les
points du plan P ont pour coordonnées les com- x P
posantes d’un vecteur perpendiculaire à ~n.
P = {(x, y, z) ∈ R3 | (nx , ny , nz ) · (x, y, z) = 0},
i.e. P ≡ nx x + ny y + nz z = 0.

27
Cette expression se lit P a pour équation nx x + ny y + nz z = 0, et signifie que tous les points et
seuls les points dont les coordonnées (x, y, z) satisfont l’équation appartiennent au plan P . Il s’agit
donc de la forme générale de l’équation analytique d’un plan P passant par l’origine. On vérifie que
(0, 0, 0) est bien solution de l’équation. ~n est appelé vecteur normal au plan P . Tout multiple de ce
vecteur est également normal au plan. A un facteur réel global près, l’équation analytique de P est
unique.
Le plan P ne passant pas par l’origine et perpendiculaire au vecteur ~n = (nx , ny , nz ) contient tous
les points dont les coordonnées sont les composantes d’un vecteur dont le produit scalaire avec ~n est
une constante propre au plan (et au choix de ~n).

z En effet, si le point A appartient au plan, le pro-

duit scalaire du vecteur ~n avec le vecteur ~a qui
n a pour composantes les coordonnées du point A
est donné par k~n kk~a k cos θ où k~a k cos θ est une
constante (correspondant à la distance entre le
plan et l’origine des axes) puisque θ est l’angle
a entre ~a et ~n, c’est-à-dire entre ~a et la direction
n perpendiculaire au plan. En outre, tous les points
P
du plan P ont pour coordonnées les composantes
d’un vecteur dont le produit scalaire avec ~n est
y
une constante propre au plan (et au choix de ~n).
x
P = {(x, y, z) ∈ R3 | (nx , ny , nz ) · (x, y, z) = p},
i.e. P ≡ nx x + ny y + nz z − p = 0.
Cette expression est la forme générale de l’équation analytique d’un plan P . ~n est le vecteur normal
au plan P , et p est le produit de la distance entre le plan P et l’origine et de la norme de ~n. A un
facteur réel global près, l’équation analytique de P est unique.
Deux plans sont dits parallèles s’ils admettent le même vecteur normal. Ils sont parallèles distincts
s’ils n’ont pas d’intersection, et parallèles confondus (c’est-à-dire égaux) sinon. Deux plans sont dits
sécants s’ils se croisent en une droite. Deux plans sont dites orthogonaux ou perpendiculaires si leurs
vecteurs normaux sont perpendiculaires.

z
Equations paramétriques d’une droite D tv
Soit la droite D passant par le point A de coor-
v
données (ax , ay , az ) et parallèle au vecteur ~v de
composantes (vx , vy , vz ). Chacun des points de a a +t v
D
la droite peut être atteint par le vecteur résultant
de la somme du vecteur ~a = (ax , ay , az ) et d’un y
multiple donné du vecteur ~v :
x
D = {(x,y, z) ∈ R3 | (x, y, z) = (ax , ay , az ) + t(vx , vy , vz ), t ∈ R},
 x = a x + vx t
i.e. D ≡ y = ay + vy t t ∈ R.
z = a z + vz t


28
Ces équations sont les équations paramétriques de la droite D; ~v est son vecteur directeur, et A son
point d’appui. t est le paramètre des équations. A chaque valeur de t correspond un et un seul point de
la droite D; de même, pour chaque point de la droite, il existe une et une seule valeur de t satisfaisant
les équations. On note que tout multiple de ~v est un vecteur directeur de D, et que tout point de
la droite D peut servir de point d’appui. Il existe donc une double infinité de systèmes d’équations
paramétriques décrivant la même droite.
Deux droites sont dites parallèles si elles admettent le même vecteur directeur. Elles sont parallèles
distinctes si elles n’ont pas d’intersection, et parallèles confondues (c’est-à-dire égales) sinon. Deux
droites sont dites sécantes si elles se croisent en un point. Deux droites sont dites orthogonales si leurs
vecteurs directeurs sont perpendiculaires. Deux droites sont dites perpendiculaires si elles sont à la
fois sécantes et orthogonales. Deux droites sont dites gauches si elles ne sont ni sécantes ni parallèles.

Equations analytiques d’une droite D

En éliminant le paramètre du système d’équations paramétriques de la droite D obtenues ci-dessus,
c’est-à-dire en l’isolant dans l’une des équations et en injectant l’expression obtenue dans les deux
autres équations,
 on obtient une expression du type:
nx x + ny y + nz z − p = 0
i.e. D ≡
mx x + my y + mz z − q = 0
où nx , ny , nz , p, mx , my , mz , q sont des coeffi- n
cients réels qui dépendent des coordonnées du v
point d’appui, des composantes du vecteur di- D
recteur, et de la méthode utilisée pour se débar-
rasser du paramètre. Ces équations sont les équa- m
tions analytiques de la droite D. D est donc
analytiquement décrite par l’intersection de deux
plans.
Toutes transformation de ce système en un système équivalent offrira une description analytique de
la même droite D en tant qu’intersection de deux autres plans. Il existe en effet une double infinité
de plans différents dont l’intersection demeure la droite D. A ce titre, les équations analytiques
d’une droite sont loin d’être uniques et permettent moins aisément que les équations paramétriques de
visualiser la droite qu’elles décrivent.
On note que le produit vectoriel des vecteurs normaux ~n = (nx , ny , nz ) et m
~ = (mx , my , mz ) à
chacun des plans décrivant la droite D est un vecteur directeur de D.
Pour passer d’un système d’équations analytiques à un système d’équations paramétriques, on peut
se servir du vecteur directeur obtenu par le produit vectoriel des vecteurs normaux à chacun des plans
décrivant la droite, et choisir pour point d’appui un point quelconque satisfaisant les deux équations
du système. Une autre méthode, plus simple, consiste à introduire un paramètre t en l’attribuant selon
les possibilités à x ou à y ou à z, et d’isoler ensuite les deux autres variables pour les exprimer en
fonction de t.

Equations paramétriques d’un plan P

Soit le plan P passant par le point A de coordonnées (ax , ay , az ) et parallèle aux vecteurs ~u =
(ux , uy , uz ) et ~v = (vx , vy , vz ). Chacun des points du plan peut être atteint par le vecteur résultant de
la somme du vecteur ~a = (ax , ay , az ) et de l’addition de multiples de chacun des vecteurs ~u et ~v :
P = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y, z) = (ax , ay , az ) + k(ux , uy , uz ) + ℓ(vx , vy , vz ), k, ℓ ∈ R},

29
 
 x = a x + u x k + vx ℓ
z i.e. P ≡ y = ay + uy k + vy ℓ k, ℓ ∈ R.
z = a z + u z k + vz ℓ

v
Ces équations sont les équations paramétriques
lv du plan P ; ~u et ~v sont ses vecteurs directeurs, et
u A son point d’appui. k et ℓ sont les paramètres
ku a +k u+l v
des équations. A chaque couple de valeurs de k
a
P et ℓ correspond un et un seul point du plan P ; de
même, pour chaque point du plan, il existe un et
y un seul couple de valeurs pour k et ℓ satisfaisant
x les équations.
On note que toute somme de multiples de ~u et de ~v est également parallèle au plan et est, à ce titre, un
vecteur directeur de P . Il y a donc une multitude de choix possibles (une quadruple infinité) pour les
vecteurs directeurs de P . En outre, tout autre point du plan peut également servir de point d’appui. Il
existe donc une double infinité de choix possibles pour le point d’appui. Comparée à la quasi-unicité
de l’équation analytique du plan P , cette multitude de systèmes différents décrivant un même plan est
d’une clarté et d’une efficacité bien moindre. On remarque enfin que le produit vectoriel des vcteurs
directeurs ~u et ~v de P donne un vecteur normal au plan P .
Pour passer des équations paramétriques du plan P à son équation anlytique, il suffit de choisir pour
les coefficients de x, y et z les composantes du vecteur (normal à P ) résultant du produit vectoriel
de ses deux vecteurs directeurs, et d’utiliser ensuite les coordonnées du point d’appui (qui doivent
satisfaire l’équation) pour déterminer le terme indépendant. Une autre méthode consiste à éliminer
les paramètres k et ℓ du système, c’est-à-dire résoudre en k et ℓ deux équations du système et injecter
les expressions obtenues pour k et ℓ dans la troisième équation, laquelle devient l’équation analytique
du plan P . Cette méthode est généralement plus laborieuse que la première.
Pour passer de l’équation analytique du plan P à ses équations paramétriques, il suffit d’introduire
deux paramètres, k et ℓ variant dans R. Parmi les multiples possibilités, la plus simple consiste à les
attribuer à x et y, ou à x et z, ou à y et z selon les circonstances, et à exprimer respectivement z ou y
ou x en fonction de ces paramètres à l’aide de l’équation analytique.
Un plan est dit parallèle à une droite s’il admet pour vecteur directeur le vecteur directeur de la droite;
la droite est alors également dite parallèle au plan. Un plan est dit orthogonal ou perpendiculaire à
une droite s’il admet pour vecteur normal le vecteur directeur de la droite; la droite est alors également
dite orthogonale ou parallèle au plan.

2.3 Distances
La distance entre deux objets est la longueur du chemin le plus court reliant ces deux objets4 .
Distance entre deux points
4
Tous les résultats obtenus dans cette section peuvent l’être au terme d’une analyse vectorielle directe, c’est-à-dire sans
recours aux constructions de droites, de plans et de points de percée évoquées ci-dessous. L’objectif de ce cours étant
précisément de favoriser la manipulation dans l’espace de points, de droites et de plans, la voie qui a été choisie pour aboutir
au calcul de distances s’appuiera donc résolument sur ces éléments géométriques.

30
La distance entre deux points I et J de coordonnées respectives (ix , iy , iz ) et (jx , jy , jz ) s’obtient en
calculant la norme du vecteur ~j − ~i:
soient ~i = (ix , iy , iz ), ~j = (jp 3
x , jy , jz ) ∈ R ,
alors d(I, J) = k~j − ~i k = (jx − ix )2 + (jy − iy )2 + (jz − iz )2

Distance entre un point et un plan

Pour établir la distance entre un point I et un plan P , on construit une droite D perpendiculaire à P
et passant par I, on détermine le point J d’intersection entre la droite D et le plan P , et on calcule la
distance entre les points I et J; cette distance correspond bien à la longueur du chemin le plus court
entre le plan P et le point I.
Soient le point I ≡ (ix , iy , iz ) et le plan P ≡ nx x + n y y + nz z − p = 0,
x = ix + nx t
Soit la droite D telle que D ∋ I et D ⊥ P , i.e. D ≡ y = iy + ny t t ∈ R.
z = iz + nz t

 

 x = ix + n x t 
 x = ix + nx t
y = iy + ny t t ∈ R
  y =i +n t
y y
Soit le point J = D ∩ P , i.e. J ≡ , i.e. J ≡

 z = i z + n z t 
 z = iz + n zt

nx x + ny y + nz z = p
 ~
t = −(~n · i + p)/(~n · ~n)
~ ~ ~
ou encore J ≡ (ix − nx ~n~n·i+p ~
n·i+p
n , iy − ny ~
·~
~
n·i+p
n , iz − nz ~
n·~ n ).
n·~
~
Alors d(I, P ) = d(I, J) = (~n · i + p)/k~n k.

Distance entre un point et une droite

Pour établir la distance entre un point I et une droite D, on construit un plan P perpendiculaire à D
et passant par I, on détermine le point J d’intersection entre la droite D et le plan P et on calcule la
distance entre les points I et J; cette distance correspond bien à la longueur du chemin le plus court
entre la droite D et le point I.

x = kx + vx t
Soient le point I ≡ (ix , iy , iz ) et la droite D ≡ y = ky + vy t t ∈ R,
z = kz + vz t


Soit le plan P tel que P ∋ I et P ⊥ D, i.e. P ≡ vx x + vy y + vz z − ~v · ~i = 0.

 
 x = kx + vx t x = kx + vx t
 y =k +v t t∈R
 
y = k + v t
y y y y
Soit le point J = D ∩ P , i.e. J ≡ , i.e. J ≡
 z = kz + v z t z = kz + v z t
t = ~v · (~i − ~k)/(~v · ~v )
 
vx x + vy y + vz z = ~v · ~i
 
~ ~ ~ ~ ~ ~
ou encore J ≡ (kx + vx ~v·(~vi− k) ~v ·(i−k)
v , ky + vy ~v·~
·~
~
v ·(i−k)
v , kz + vz ~v·~v ).
~ ~
Alors d(I, D) = d(I, J) = k~v ∧ (i − k)k/k~v k.

Distance entre deux plans

La distance entre deux plans non parallèles est nulle. Si deux plans P1 et P2 sont parallèles, pour
établir la distance qui les sépare, on construit une droite D perpendiculaire à l’un et donc à l’autre, on
détermine les points I et J d’intersection de la droite D avec les plans P1 et P2 respectivement, et on
calcule la distance entre les points I et J; cette longueur correspond bien à la longueur du chemin le
plus court entre les deux plans.

31
Soient les plans P1 ≡ nx x + ny y + nz z − p = 0 et P2 ≡ nx x + ny y + nz z − q = 0.
x = n x t
Soit une droite D ⊥ P , i.e. D ≡ y = ny t t ∈ R.
z = nz t

Soient I = D ∩ P1 et J = D ∩ P2 ,
i.e. I ≡ (nx p/k~n k2 , ny p/k~n k2 , nz p/k~n k2 ) et J ≡ (nx q/k~n k2 , ny q/k~n k2 , nz q/k~n k2 ),
Alors d(P1 , P2 ) = d(I, J) = |q − p|/k~n k.

Distance entre une droite et un plan

La distance entre une droite et un plan non parallèles est nulle. Si un plan P est parallèle à une droite
D, pour établir la distance qui les sépare, il suffit de calculer la distance entre le point d’appui I de D
et le plan P ; cette longueur correspond bien à la longueur du chemin le plus court entre la droite D et
le plan P .

x = ix + vx t
Soient le plan P ≡ nx x + ny y + nz z − p = 0 et la droite D k P , i.e. D ≡ y = iy + vy t t ∈ R,
z = iz + vz t

où I ≡ (ix , iy , iz ) est un point de D et ~v = (vx , vy , vz ) un vecteur perpendiculaire à ~n = (nx , ny , nz ).
Alors d(D, P ) = d(I, P ) = (~n · ~i + p)/k~n k.

Distance entre deux droites

La distance entre deux droites sécantes est nulle. La distance entre deux droites parallèles peut
s’obtenir en calculant la distance entre le point d’appui de l’une d’elle et la seconde. On établit la
distance entre deux droites gauches D1 et D2 en construisant deux plans P1 et P2 parallèles et inclu-
ant respectivement D1 et D2 , et en calculant la distance entre ces plans.
 
x = ix + vx t x = jx + ux ℓ
Soient les droites D1 ≡ y = iy + vy t t ∈ R, et D2 ≡ y = jy + uy ℓ ℓ ∈ R.
z = iz + vz t z = jz + uz ℓ
 

Soit le plan P1 tel que P1 ⊃ D1 et P1 k D2 , i.e. P1 ≡ nx x + ny y + nz z − ~n · ~i = 0, où ~n = ~u ∧ ~v .

Soit le plan P2 tel que P2 ⊃ D2 et P2 k D1 , i.e. P2 ≡ nx x + ny y + nz z − ~n · ~j = 0.
Alors d(D1 , D2 ) = d(P1 , P2 ) = |(~u ∧ ~v ) · (~j − ~i)|/k~u ∧ ~v k.

2.4 Applications
Pour construire une droite à partir de deux points donnés, il suffit d’utiliser pour point d’appui l’un
des deux points donnés, et pour vecteur directeur le vecteur reliant les deux points donnés.
Pour construire un plan à partir de trois points (non alignés) donnés, il suffit d’utiliser pour point
d’appui l’un des trois points donnés, et pour vecteurs directeurs deux vecteurs non parallèles reliant
chacun deux des trois points donnés.
Pour construire un plan à partir d’un point donné et d’une droite donnée (ne contenant pas le point
donné), il suffit d’utiliser pour point d’appui le point donné, et pour vecteurs directeurs le vecteur
directeur de la droite et un vecteur reliant le point donné au point d’appui de la droite.
Pour construire un plan perpendiculaire à une droite donnée et passant par un point donné, il suffit
d’utiliser pour point d’appui le point donné, et pour vecteur normal le vecteur directeur de la droite
donnée.

32
Pour construire un plan parallèle à une première droite donnée et contenant une deuxième droite
donnée (non parallèle à la première droite donnée), il suffit d’utiliser pour point d’appui le point
d’appui de la deuxième droite donnée, et pour vecteurs directeurs les vecteurs directeurs des deux
droites données.
Pour construire un plan perpendiculaire à un plan donné et contenant une droite donnée (non perpen-
diculaire au plan donné), il suffit d’utiliser pour point d’appui le point d’appui de la droite donnée, et
pour vecteurs directeurs le vecteur directeur de la droite donnée et le vecteur normal du plan donné.
Pour construire une droite perpendiculaire à un plan donné et passant par un point donné, il suffit de
choisir pour point d’appui le point donné et pour vecteur directeur le vecteur normal du plan donné.
Pour construire une droite parallèle à un plan donné, passant par un point donné et sécante avec une
droite donnée (non parallèle au plan donné et ne contenant pas le point donné), il suffit de choisir
pour point d’appui le point donné, et pour vecteur directeur le vecteur reliant le point donné et le point
d’intersection de la droite donnée avec un plan contenant le point donné et parallèle au plan donné.
Pour construire une droite perpendiculaire à deux droites gauches données, il suffit de prendre pour
vecteur directeur le produit vectoriel des vecteurs directeurs des deux droites données, et pour point
d’appui le point de percée de l’une des deux droites données dans le plan contenant l’autre droite
donnée et parallèle au produit vectoriel des vecteurs directeurs des deux droites données.
Pour construire une droite passant par un point donné et sécante à deux droites gauches données (ne
contenant pas le point donné), il suffit de choisir pour point d’appui le point donné et pour vecteur
directeur le vecteur reliant le point donné et le point de percée de l’une des deux droites données dans
le plan contenant le point donné et l’autre droite donnée.

33
Exercices
Triangles semblables
S1. Soit un carré de côté 2. On divise ce carré en S2. Soit ABC un triangle rectangle en A tel que
deux rectangles égaux. On divise ensuite l’un des AB = 3 et AC = 4. Calculez la valeur des trois
deux rectangles obtenus en deux triangles rectan- hauteurs de ce triangle. De combien faut-il pro-
gles égaux. On divise ensuite l’un des deux tri- longer la plus petite de ces hauteurs pour qu’elle
angles obtenus en deux triangles rectangles. Et rencontre la droite parallèle à AB et passant par
on divise enfin le plus petit des deux triangles C?
obtenus en deux triangles rectangles. Calculez
la surface du plus petit de ces triangles.
B
S3. Dans la figure ci-contre, calculez la surface du tri- C D
angle ABC en sachant que DE = 3 et CD = 4. A
A B E
F
G S4. Calculez la surface de
l’hexagone ABDEF G représenté
F C
en sachant que BD = 6
ci-contre √
E et CE = 3.

D B C D
S5. Dans la figure ci-contre ABDO est
√ un rectangle.
En sachant que OD = DC = CB = 2, calculez la E
distance OE.

A O
B A
S6. Le rectangle S7. En sachant que
ACDF est inscrit le triangle ODB
dans le triangle représenté ci-contre
OEB rectangle en O est rectangle en D,
représenté ci-contre; C que OB est la hauteur
OB = 2OE = 12 et du triangle OAC
la surface du triangle A rectangle en O, que
F DE vaut 5. Déter- B OC = OA/2 = ℓ,
minez la distance D calculez, en fonction
OF . de ℓ, la distance BD.
O F E O D C
B C S8. Soit le trapèze isocèle ABCD représenté ci-contre.
Calculez la longueur de la petite base BC en sachant
que la longueur de la grande base AD vaut 5, que la
longueur des côtés AB et DC vaut 3, ces deux côtés
étant respectivement perpendiculaires aux diagonales du
trapèze.
A D

35
 C

E
B
S9. Dans la figure ci-contre, calculez la dis-
tance séparant F de G en supposant que les D F
H
hypothénuses des triangles DBA et DBC
valent respectivement 6 et 8. G
A
A B
E S10. Dans la figure ci-contre, calculez la surface du
trapèze CF GH en sachant que la surface du rectangle
ABCD vaut 48, que la droite pointillée coupe le seg-
ment EC au tiers de sa longueur et que la longueur du
segment AC vaut 10.
G H
C
D F C D
B
S11. Dans le schéma ci-contre,
calculez la distance séparant B
A
de D en sachant que les seg- O
ments AE et CD sont tangents
au cercle de centre O et de
rayon 11/4 et mesurent respec-
tivement 12 et 6/5. E
B S12. Soit le triangle ABC rectangle en A de côtés AB = 3 et
AC = 4; soit F D une perpendiculaire à AB; (a) calculez la
longueur de l’hypothénuse du triangle DEF rectangle en D in-
scrit dans le triangle ABC en sachant que DC = 1; (b) calculez
la distance entre D et C en supposant cette fois que le triangle
F D DEF est semblable au triangle ABC; (c) calculez la distance
entre D et C en supposant que le triangle DF E est semblable au
triangle ABC.
A E C F
E A B
S13. Dans le schéma ci-contre, établissez les dimen-
sions (largeur x et longueur y) du rectangle CDEF en
sachant qu’il a la même surface que le triangle isocèle y
ABC dont les deux côtés égaux valent 2. x C
D
C D S14. En vous référant à la figure ci-contre, établissez
les dimensions x et y du rectangle AEF G en sup-
A posant qu’il a la même surface que le trapèze rectangle
B E
CDEB, dont les côtés CD, DE et BE valent respec-
y
tivement 11, 1 et 9. Les points qui paraissent alignés le
x sont effectivement.
G F

36
S15. En vous référant à la figure ci-contre, étab-
C D
lissez les dimensions x et y du rectangle AEF G
en supposant qu’il a la même surface que le
trapèze rectangle CDEB, dont les côtés CD, A B
E
DE et BE valent respectivement 1, 1 et 3. Les
points qui paraissent alignés le sont effective- y
ment. x
G F
A B
x S16. En vous référant à la figure ci-contre, établissez les
longueurs x et y des bases du trapèze rectangle ABCE en
supposant qu’il a la même surface que le triangle rectangle
ECD et en sachant que les segments AE et ED ont pour
E y C \ est droit.
longueurs respectives 5 et 8 et que l’angle BCD
Les points qui paraissent alignés le sont effectivement.

B S18. Dans la figure ci-

contre, vous remarquez
z que DEF G est un carré
D inscrit dans le triangle
D J E
isocèle ABC de hauteur
BK et que GCHI est
S17. Dans la figure ci-
un parallélogramme. On
contre, vous remarquez x vous indique en outre que
que la petite diagonale du A G K F C le segment DE est de
parallélogramme EF GD
longueur 1. Calculez
est perpendiculaire à deux
la surface du parallélo-
de ses côtés, et que y gramme GCHI en sup-
le trapèze ABGF est
isocèle. On vous in- A posant qu’elle est égale
à celle du triangle ABC.
dique en outre que le seg-
Tâchez de mettre le prob-
ment DB est de longueur I H lème en équations à l’aide
2. Calculez la surface
du losange DGBC en F I des longueurs x, y et z des
segments F C, F I et BJ,
supposant qu’elle vaut le
respectivement.
tiers de la surface totale
du polygone ABCDE. G
Tâchez de mettre le prob- E y B
lème en équations à l’aide
des longueurs x et y des
x
H
segments GH et EG, re-
spectivement. D
C

37
 B

S19. Calculez la surface du triangle ABC D C

√ ci-contre en sachant que DE = 1,
représenté
BE = 5 et BC = 2. Utilisez les longueurs
respectives x et y des segments AE et AD. y E
x
B
A

F S20. Calculez la surface du pentagone ABCDE

A C représenté ci-contre en sachant que la droite
tracée en traits interrompus est un axe de
symétrie de la figure et que les côtés AE et AB
valent respectivement 3 et 4. Les points qui
paraissent alignés le sont effectivement.
E D
C

S21. Calculez la surface du triangle ACE B

représenté ci-contre en sachant que les segments
√ D
BE et DE ont pour longueurs respectives 4 2
et 3. Les points qui paraissent alignés le sont ef-
fectivement.
A E
B

y
S22. Calculez la surface du triangle ABC
représenté ci-contre en sachant que DF = 1 et
CE = 5/2. Utilisez les longueurs respectives x
E et y des segments F E et BE.

F x

A D C

38
 O A B
S23. Le trapèze OBCD est rectangle en O. En
outre, OB = 7, OD = AC = 4 et le segment AE G
A
est perpendiculaire au segment BC et le coupe en
deux parties égales. Calculez la surface du triangle F E
F CD. Précision: B, G, F et D sont alignés.
D C
√
C D S24. Le triangle OBA est rectangle en O. En outre, AB = 2 10, OB = 2, les angles
\ et OBC
OCB \ sont égaux et CD est perpendiculaire à OA. Calculez la longueur du
E segment OE.
O B
B
S25. Le trapèze OABC est rectangle en O. En sachant que ses diagonales sont per-
pendiculaires et que la plus longue d’entre elles coupe la seconde en deux segments
de longueurs respectives 2 et 4, calculez la surface de ce trapèze.
A
A G B

S26. Le segment AB est perpendiculaire au F C O C

segment GE, lui-même perpendiculaire au
segment ED; le segment BH est perpen-
dicluaire au segment AD. En outre, les
distances GF , F H et HE sont identiques.
Sachant que BC = 3 et CH = 2, cal- H
culez la surface totale du polygone irrégulier
ABCDEF (précision: A, F , C et D sont
alignés).

E D

B S27. Calculez la surface du triangle

ABC représenté ci-contre en sachant
que le segment DC a pour longueur 1.
E Remarque: tâchez d’établir une équa-
x tion impliquant la longueur x des seg-
ments AE, EB et BC.
A D C

39
S28. Calculez la surface du triangle ABC rect-
C
angle en B représenté ci-contre en sachant que y
DE = 1. Utilisez les longueurs respectives x et
y des segments AD et DC. Notez que les angles D
et longueurs de la figure ne sont pas conformes à
x
la réalité. A
E B
C

S29. Calculez la surface du triangle ABC rectangle en

x A représenté ci-contre en sachant que AB = 2AM =
2. Tâchez, en complétant la figure, de faire apparaître
des triangles semblables susceptibles de vous livrer
M les équations qui vous permettront de déterminer la
longueur x du segment M C.

B G x C
A B
y
S30. Calculez la surface du pentagone ABCDE
représenté ci-contre en sachant que BI = 1. F D
Tâchez, en exploitant les caractéristiques de la I
figure, d’établir deux équations impliquant les
longueurs x et y des segments GC et CD, re-
spectivement.

A H E

B S31. Le trapèze ABCD représenté ci-

contre a ses diagonales perpendicu-
laires. En sachant que la longueur de
la grande diagonale AC vaut 20, que
A C la longueur du plus grand des côtés
x E y non parallèles, soit BC, vaut 13, et
que le rapport des bases DC et AB
vaut 3/2, calculez la surface de ce
trapèze. Tâchez d’établir préalable-
ment les longueurs x et y des segments
AE et EC respectivement.
D

40
 B
S32. Calculez la surface du triangle ABC
E
représenté ci-contre en sachant que les seg-
ments ED et BC ont pour longueurs respec- x
tives 9 et 10. Tâchez, pour commencer, de
déterminer la longueur x du segment BD.
D C
A

D C S33. Calculez la surface du trapèze ABCD représenté

ci-contre en sachant qu’il est rectangle en A, que la pe-
E tite base mesure 12, que la petite diagonale a la même
y longueur que la grande base, et que le segment EC
mesure 156/25. Tâchez, pour commencer, de déter-
miner la longueur x de la grande base. y est la mesure
A x B de la hauteur.

41
Trigonométrie
P1. Cochez la case “V” ou “F” suivant que vous estimez l’assertion vraie ou fausse.
 V  F Un parallélogramme n’est un rectangle que si la somme des carrés des longueurs de son
petit côté et de son grand côté est égale au carré de la longueur de sa grande diagonale.
 V  F Si deux triangles sont semblables et qu’un côté de l’un a la même longueur qu’un côté
de l’autre, alors ils sont nécessairement égaux.
 V  F Deux triangles semblables ne sont tous les deux rectangles que s’ils sont égaux.
 V  F Un triangle quelconque peut avoir deux angles obtus s’il n’est pas rectangle.
 V  F Le sinus d’un angle n’est jamais égal à sa tangente.
P2. Cochez la case “V” ou “F” suivant que vous estimez l’assertion vraie ou fausse.
 V  F Si deux triangles sont semblables et qu’un côté de l’un a la même longueur qu’un côté
de l’autre, alors ils sont nécessairement égaux.
 V  F Si on partage un rectangle quelconque en deux en traçant l’une de ses diagonales, on
obtient deux triangles dont les angles valent nécessairement, par ordre croissant, π/6, π/3 et π/2.
 V  F Un parallélogramme n’est un rectangle que si la somme des carrés des longueurs de son
petit côté et de son grand côté est égale au carré de la longueur de sa petite diagonale.
 V  F Le sinus d’un angle est égal à son cosinus si la tangente est nulle.
 V  F Un triangle qui n’est pas rectangle a au moins un angle obtu.
P3. Calculez la longueur de la diagonale d’un trapèze dont les petite et grande bases ont pour longueurs
respectives 4 et 6, et dont les angles aigus valent π/3.
A

P4. Dans la figure ci-contre, ABCDEF G est un

G B
heptagone régulier centré en O. Déterminez (sans
les mesurer!) en radians les angles \ \
OAB, ODB,
[ F
CBI, \ \ DCH
DB, CDH, \ et BIC.[

F O C

I A
E D
I B
H

K
P5. Dans la figure ci-contre, ABCDEF GHI est un en- H C
néagone régulier centré en O. Déterminez (sans les mesurer!)
en radians les angles F[ \ \
OA, OAB, [ DCJ,
F AB, OCI, [ CJD [
O J
[
et BCJ.
G D

F E

42
 A

P6. Le cercle circonscrit au pentagone E R B

régulier ABCDE est centré en O et a pour
rayon R = 1. G étant le milieu de BC,
calculez la longueur x du segment BH O x
(précision: A, B et H sont alignés; O, G
G
et H sont alignés). Indication: vous pouvez
essayer de calculer x2 ; vous en prendrez la
racine carrée par la suite. D C H
A P7. Le cercle circonscrit au dodécagone
L B
régulier ABCDEF GHIJKL est centré en
O et a pour rayon R = 1. M D étant perpen-
K C
R Q diculaire à BN , et P N étant perpendiculaire
M à BP , calculez la longueur x du segment BP
x
(précision: B, C, M et N sont alignés; B, Q,
J N
O D D et P sont alignés; O, D et N sont alignés;
P O, Q et C sont alignés).

I E A

H B
H F
G
P8. Le cercle circonscrit à l’octogone R
régulier ABCDEF GH est centré en O et a
pour rayon R√ = 1. Après avoir prouvé que G
x
tg (π/8) = 2 − 1, calculez la longueur x O I C J
du segment CJ (précision: A, B et J sont
alignés; O, I, C et J sont alignés).

A F D
J B E
P9. Le cercle circonscrit au décagone
I R C régulier ABCDEF GHIJ est centré en O
x et a pour rayon R = 1. L étant le milieu de
CD, calculez la longueur x du segment CM
L M (précision: A, C et M sont alignés; O, L et
O
M sont alignés). Indication: vous pouvez
H D
essayer de calculer x2 ; vous en prendrez la
racine carrée par la suite.
G E
F

P10. Calculez la surface d’un octogone régulier en fonction (a) du côté c, (b) du rayon r du cercle
inscrit et (c) du rayon R du cercle circonscrit.
P11. Calculez la surface d’un décagone régulier en fonction (a) du côté c, (b) du rayon r du cercle
inscrit et (c) du rayon R du cercle circonscrit.
P12. Calculez la surface d’un dodécagone régulier en fonction (a) du côté c, (b) du rayon r du cercle
inscrit et (c) du rayon R du cercle circonscrit.

43
P13. Dans la figure ci-dessous, calculez la
C
surface du quadrilatère ABGI en sachant que
DE = 1.
D
C D E B H
E

F A G F

P14. Dans la figure ci-dessus, calculez la surface du

quadrilatère ABHF en sachant que BE = 1.
B1111111
0000000
0000000 G
1111111
1111111
0000000 A B
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
A I H G F O C

P15. En sachant que le côté de l’hexagone régulier

ABCDEF centré en O et représenté ci-contre vaut 1, cal-
culez la surface du trapèze rectangle ELKJ. Note: les
E D
y L
longueurs x et y sont celles des segments LK et EL, re-
spectivement.
x
H I
J
D E K
C x
P16. Sachant que la longueur du segment AB vaut 1, calculez la surface
B
H du triangle isocèle DEF représenté ci-contre. Note: la longueur x est
celle du segment DH.

A G F
E F
P17. Dans la figure ci-dessous, les triangles D
BCO, CDO, DEO et EF O sont sem- G
blables; les triangles F GO, GHO et HIO
sont semblables; les triangles IJO et JKO 11111111111111111111
00000000000000000000
C
00000000000000000000
11111111111111111111
sont semblables. Calculez la surface du rect- 00000000000000000000
11111111111111111111 H
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
angle ABOK√en sachant que celle du triangle 00000000000000000000
11111111111111111111
BCO vaut 2 2. B 11111111111111111111
00000000000000000000
00000000000000000000
11111111111111111111 I
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
O
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
A K J

44
 D
C
B
P18. Calculez la surface du tri-
angle AED représenté ci-contre
en sachant que BG = 1. Les
G points qui paraissent alignés le
sont effectivement.
A
F E C D
B
P19. Calculez la surface du tri-
angle AF D représenté ci-contre E
en sachant que BE = 1. Les
points qui paraissent alignés le A
sont effectivement. G F

E1. Dans le schéma ci-contre, les plans

ABCDEF GHIJKLM et A′ B ′ C ′ D ′ E ′ F ′
sont horizontaux, et tous les points désignés
par une même lettre latine majuscule apparti-
ennent à une même droite verticale, quel que
B’ C’ D’ soit l’exposant accompagnant cette lettre (ex-
emple: la droite verticale AA′ ). Sachant que
A’ F’ E’ F K est de longueur 2, que ABCDEF est un
hexagone régulier, que DGLE est un rectan-
gle, que EJKF est un parallélogramme, que
GIH est un triangle isocèle et rectangle en
I, que les triangles GDD ′ et JLE sont sem-
blables et que ELH, AF K et HIJK sont
des droites, établissez les dimensions (côté
AB de l’hexagone et hauteur AA′ ) de la tour
hexagonale ABCDEF A′ B ′ C ′ D ′ E ′ F ′ . Si
votre raisonnement fait intervenir une fonc-
tion trigonométrique d’un angle remarquable
(π/8, π/12, etc.) le calcul de cette fonction
doit y figurer.

C D G
B
A H
F E L
I
K J M

45
E2. Dans le schéma ci-contre, les plans
C"
B" D"
ABCDEF GHIJKLM , D ′ E ′ G′ H ′ I ′ J ′ et G’ H’
′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′
A B C D E F sont horizontaux, et tous les A" E" D’
points désignés par une même lettre latine majus-
F" J’ I’
C E’
cule appartiennent à une même droite verticale, D G H
quel que soit l’exposant accompagnant cette lettre
B
(par exemple DD ′ D ′′ et EE ′ E ′′ ). Sachant que A
ABCDEF est un hexagone régulier de côté 1, que E J I
DGJE et GHIJ sont des carrés, que JIKL et F
F ELM sont des rectangles, et que les triangles
L K
KII ′ et M F F ′′ sont isocèles, calculez l’angle M
D\ ′ G′ D ′′ .
E3. Dans le schéma ci-contre, les plans
G ABCDEF GHIJKLM et H ′ I ′ J ′ K ′ sont
K’ horizontaux, et tous les points désignés par
une même lettre latine majuscule apparti-
D ennent à une même droite verticale, quel
E H’ que soit l’exposant accompagnant cette let-
C tre (par exemple HH ′ et II ′ ). Sachant que
I’ ABCDEF
√ est un hexagone régulier de côté
F
B 2, que les triangles isocèles ALF , F M E,
F KK ′ sont respectivement rectangles en L,
A I M et K, que le triangle F LK est isocèle,
K
L et que les rectangles F GHK et KHIJ sont
J égaux, et que les points D, E et G sont
H alignés, calculez la surface de l’hexagone
M J’ ABCDEF et le volume du parallélipipède
KHIJK ′ H ′ I ′ J ′ .

E4. Dans le schéma ci-dessous, les plans

ABCDEF GHIJKLM , D ′ E ′ F ′ G′ H ′ L′ M ′ C’’ D’’ E’’
′′ ′′ ′′ ′′ ′′
et B C D E L sont horizontaux, et tous les B’’
points désignés par une même lettre latine majus- L’’
cule appartiennent à une même droite verticale, quel
que soit l’indice ou l’exposant accompagnant cette D’ E’
lettre (par exemple LL′ L′′ et KK1 ). Sachant que
F’
L’ G’
BCDL est un carré, que F GHM F ′ G′ H ′ M ′ est H’
un cube de côté 1, que les triangles KM L, LDE et K1 M’
L′′ L′ M ′ sont égaux et que leur plus petit angle vaut I1
30, calculez CC ′′ et AC. C D E
L F
B G
M
K H
I

A J

46
 z E5. Dans l’édifice représenté ci-contre,
I1 H1 les plans ABCDEF GHIJKLO,
L1 G1 B ′ C ′ K ′ , A′′ B ′′ K ′′ I ′′ L′′ O ′′ et G1 H1 I1 L1
O" sont horizontaux, et tous les points
I" désignés par une même lettre latine
L" majuscule appartiennent à une même
A" K" droite verticale, quel que soit l’indice ou
l’exposant accompagnant cette lettre (par
B"
exemple BB ′ B ′′ et LL′′ L1 ). Sachant que
K’ IJKL et EF GL sont des rectangles,
O J I H
que CDEK, GHIL et AKJO sont des
B’ y carrés, que les triangles ABK, BCK,
A C’ K L DCC ′ et L1 L′′ A′′ sont semblables (at-
G tention à l’ordre dans lequel sont placés
x les sommets!), que B ′ est le milieu de
B √
E F BB ′′ , que DE vaut 3 et que DEF \ vaut
C 120, calculez la hauteur LL1 de la tour
parallélipipédique.
D
H1

E6. Dans le schéma ci-contre, les plans

ABCDEF GHIJKLM O, C ′ D ′ E ′ J ′ K ′ L′ , I1 G1
E ′′ F ′′ G′′ I ′′ J ′′ et G1 H1 I1 sont horizontaux, et tous
les points désignés par une même lettre latine ma-
juscule appartiennent à une même droite verticale,
quel que soit l’indice ou l’exposant accompagnant
cette lettre (par exemple EE ′ E ′′ et GG′′ G1 ).
Sachant que CDKL est un trapèze, que F GIJ
est un rectangle, que OALM et DEJK sont des
I" G"
carrés, que M LK est un triangle équilatéral, que
H
les triangles M KJ et BCC ′ sont semblables,
que les triangles IGH, D ′ E ′ E ′′ et F ′′ G′′ G1 sont
semblables, et que la surface de la base IGH de la J" I
tour IGHI1 G1 H1 vaut 6, calculez la hauteur HH1 F" G
de cette tour.
E"
z J’
M E’
O K’ J
F
y
L’ K D’ E

A L
D
C’
B
x C

47
 C’’ E7. Dans le schéma
B’’ ci-contre, les plans
H’’ ABCDEF GHIJ,
A′ B ′ G′ H ′ et B ′′ C ′′ H ′′
sont horizontaux, et tous
les points désignés par
une même lettre latine
B’ majuscule appartien-
H’ nent à une même droite
verticale, quel que soit
C l’exposant accompagnant
B cette lettre (par exemple
H BB ′ B ′′ ). Sachant que
F JE est un triangle
J D équilatéral de côté 1,
que les triangles isocèles
I E EHH ′′ , F IJ et GF H
A’ G’
sont semblables, que
F
ABHG et HCDE sont
des rectangles, et que
l’angle H ′ G′ H ′′ vaut 30,
déterminez la longueur
A G du segment AA′ .

z
D’’ G’
O’’ E’’ H’
F’
D I’
I J
C O F
B H K y
E
A
x G L
E8. Calculez la hauteur OO′′ de l’édifice représenté ci-dessus en sachant que les plans F ′ H ′ I ′ et
O′′ D ′′ E ′′ sont parallèles au plan du sol (le plan horizontal ABCDEF GHIJKLO), que tous les
points désignés par une même lettre latine majuscule appartiennent à une même droite verticale, quel
que soit l’exposant accompagnant cette lettre (par exemple DD ′′ ), que les centres des trois cercles
√ par ordre décroissant de taille, O, G et L, que la distance entre le
représentés dans le plan du√sol sont,
point O et le point G vaut 6 + 2, que le plus petit cercle de la figure est de rayon 1 et a son centre
sur l’axe Oy, que la corde BE est perpendiculaire au segment OA et le coupe en son milieu, que les
triangles DOE et IGH sont rectangles en O et en G respectivement, que les quadrilatères EDF H et
HIJK sont des rectangles, et qu’en dehors des plans horizontaux et verticaux, tous les plans inclinés
de la figure forment un angle de 30 avec le plan du sol.

48
E9. Dans le schéma ci-contre, les plans B’’ C’’
ABCDEF GHIJKLM , C ′ D ′ E ′ K ′ J ′ et
A′′ B ′′ C ′′ J ′′ sont horizontaux, et tous les
A’’ J’’
points désignés par une même lettre latine
majuscule appartiennent à une même droite C’ D’
verticale, quel que soit l’exposant accompa- E’
gnant cette lettre (exemple: la droite verticale K’
JJ ′ J ′′ ). Sachant que HG est de longueur J’ D
B
2, que M LK est isocèle de côtés égaux C E
de longueur 1 et semblable à D ′ C ′ C ′′ , que
K
M IH, M LH, K ′ KH sont semblables, que A
DKE et JKM sont isocèles, que ABCJ, J
CDKJ et EF HK sont des rectangles, que L F
AJM I est un trapèze et que DKM I, IHG M
et EF G sont des droites, calculez le volume
de la tour ABCJA′′ B ′′ C ′′ J ′′ . I H G

E10. Dans la figure ci-contre, cal-

culez la hauteur OO ′ de la tour
(clocher inclus) en sachant que les
z plan A′ B ′ C ′ D ′ E ′ F ′ , E1 F1 G′ H ′ I ′ ,
O’ D’ H1 I1 J ′ K ′ L′ sont parallèles au plan
C’ E’ du sol (c’est-à-dire le plan horizontal
B’ O1 ABCDEF GHIJKLM N OP ), que
F’ tous les points désignés par une même
A’ lettre latine majuscule appartiennent
G’ à une même droite verticale, quel
E1 I’ que soit l’indice ou l’exposant ac-
F1 compagnant cette lettre (par exemple
F" H’
A" I1 F F ′′ F1 F ′ ), que M appartient à la
H1 droite GH, que la distance entre A
D J’ K’ et A′′ est de 3, que la distance en-
C E I
O L’ tre P et M est de 2, que ABCDEF
est un hexagone régulier, que GHI et
y
B F K JKL sont des triangles équilatéraux,
A J que EF GH, HIJK et JLM N sont
x L G des rectangles tandis que AF P M est
P M un parallélogramme, et qu’en dehors
N
H des plans horizontaux et verticaux, tous
les plans inclinés de la figure forment
un angle de π/6 avec le plan du sol.

49
 B’’

A’ B’

E11. Dans le schéma ci-contre, le plan contenant

le rectangle ABCD de grand côté de longueur 1
est horizontal, les droites AA′ et BB ′ B ′′ sont verti-
cales, le triangle BCF est équilatéral, la droite CE
\ les triangles EAA′
est bissectrice de l’angle ACD,
et EDC sont semblables, et les triangles ABC et
A′ B ′ B ′′ sont semblables. Calculez la hauteur BB ′′
de la figure. A B
E F
D’’’
C’’ D C
E12. Dans le schéma ci-contre, le plan con-
tenant le carré ABCD de côté de longueur
D’’ 1 est horizontal, les droites BB ′ , CC ′ C ′′ et
C’ B’ DD ′′ D ′′′ sont verticales, la droite M ′ B ′ est
C B parallèle à la droite M B, la droite DM est
M’ \ et les triangles
bissectrice de l’angle ADB,
M AD, M M A, C C ′ B ′ et D ′′′ D ′′ C ′′ sont
′ ′′
M semblables. Calculez la hauteur DD ′′′ de la
D A figure.

E13. Dans le schéma ci-dessous, les plans B1 K" J"

ABCDEF GHIJKLM , C ′ D ′ G′ H ′ I ′ J ′ et
′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ L" C"
B C J K L M , ainsi que la droite B1 M1 , sont
M1
horizontaux, et tous les points désignés par une J’ I’ H’
même lettre latine majuscule appartiennent à une D’
même droite verticale, quel que soit l’exposant ou G’
l’indice accompagnant cette lettre (exemples: les C’
M" B"
droites verticales CC ′ C ′′ ′′
√ et BB B1 ). Sachant que
AE est de longueur 3 3 − 3, que la longueur de
K J I H
CE vaut le double de celle de CD, que le triangle
AEY est rectangle en E, que le triangle AXE est L C
rectangle en X, que les triangles EDC, EDD ′ , D G
D ′ C ′ C ′′ et C ′′ B ′′ B1 sont semblables, que BCLM ,
CDIJ et DEF G sont des rectangles, que CJKL
et DGHI sont des carrés, et que ABXY DH et
Y
X
CY E sont des droites, calculez la hauteur M M1 . M B

E F

50
E14. Dans le schéma ci-dessous, le plan C’’
D’’
ABCDEF GHIJ est horizontal et les droites E’
F F ′ , EE ′ E ′′ , DD ′ D ′′ et CC ′ C ′′ sont verticales. D’ E’’
E
En outre ABHI est un carré de côté de longueur C’
√ D
2, BCH est un triangle équilatéral de hauteur
F’
CJ, CEGH est un losange, CDE et EF G sont C
deux triangles rectangles en D et F respectivement. F
Enfin, AHGF et BCD sont deux droites et les G
B
triangles GF F ′ , F ′ E ′ E ′′ , E ′′ D ′ D ′′ , D ′′ C ′ C ′′ et J H
CJB sont semblables. Déterminez la longueur du
segment CC ′′ . A I
E15. Dans le schéma ci-dessous, les plans
G D’ H’ ABCDEF GHIJO et C ′ D ′ G′ H ′ I ′ J ′ sont
G’ horizontaux, les droites CC ′ , DD ′ , GG′ ,
C’ H
I’ HH ′ , II ′ , JJ ′ sont verticales. Sachant que
C ABCDEF est un hexagone régulier de cen-
J’
B D I tre O et de côté 1, que GHIJ est un carré,
que le triangle DJE est isocèle, que les tri-
O J angles CGD et D ′ DO sont semblables, que
A EJI, CGH et GDJ sont des droites, cal-
E
F culez le volume du parallélipipède rectangle
GHIJG′ H ′ I ′ J ′

E16. Dans le schéma ci-dessous, le plan ABCDEF GHIJKLM est horizontal et les droites JJ ′
et LL′ L′′ sont verticales. Sachant que ABCDEF GH est un octogone régulier de centre I et de côté
1, que JM CK est un trapèze, que JCK est un triangle rectangle en C semblable à J ′ L′ L′′ , que le
triangle LJF est semblable à KJJ ′ , que ICK, F EM J, GF L, KJL et CDM sont des droites,
déterminez la longueur du segment LL′′ .

51
Géométrie analytique
V1. Calculez la distance entre les points de coordonnées (2, 1, 0) et (1, 1/2, 2).
V2. Evaluez les produits ((1, 2, 0) ∧ (3, −1, 2)) ∧ (−1, 1, 1), (1, 2, 0) ∧ ((3, −1, 2) ∧ (−1, 1, 1)),
(1, 2, 0) · ((1, 2, 0) ∧ (3, −1, 2)), (3, −1, 2) · ((1, 2, 0) ∧ (3, −1, 2)) et (1, 2, −1) ∧ (−1/4, −1/2, 1/4).
V3. Calculez la tangente de l’angle entre la droite passant par les points de coordonnées (−1, 1/2, 0)
et (1, 1, 1), et la droite passant par les points de coordonnées (1, 1, 1) et (1, 2, 3).
V4. Calculez le sinus de l’angle entre le plan passant par les points de coordonnées (0, 1, −1), (2, 1, 3)
et (−1, 1, 2) et la droite passant par les points de coordonnées (1, 1/2, 2) et (3, −1/2, 0).
V5. Prouvez que p~ ∧ ~
q = −~
q ∧ p~.
V6. Prouvez que p~ · (~
q ∧ ~r) = ~r · (~
p∧~
q ) = ~q · (~r ∧ p~).
V7. Calculez le volume du tétraèdre dont les positions des sommets sont données par p~ = (1, 2, 3),
q~ = (−1, 1, 0), ~r = (1, 0, 1) et ~s = (−2, 1, 1).
V8. Etablissez l’équation analytique du plan passant par les points de coordonnées respectives (1, 0, 1),
(2, −1, 3) et (1/2, 1, 1).
V9. Etablissez les équations paramétriques du plan Oxy.
V10. Etablissez l’équation analytique du plan contenant la droite d’équations x = −y+z et 5−z = y,
et le point de coordonnées (1, 0, 3).
V11. Etablissez les équations paramétriques du plan parallèle au plan d’équation 3x + 2y + z − 1 = 0
et passant par le point de coordonnées (1, 2, −2).
V12. Les trois points de coordonnées respectives (−1, 2, −2), (1, 0, 1), et (1/3, −1/3, 1/2) définissent-
ils un plan?
V13. Les points de coordonnées respectives (1, 2, −2), (1, 0, 1), (2, −1, 3) et (1/2, 1, 1) sont-ils
coplanaires?
V14. Etablissez l’équation analytique du plan perpendiculaire à la droite d’équations x = −y + z et
5 − z = y et passant par le point de coordonnées (1, 0, 3).
V15. Etablissez l’équation analytique du plan contenant la droite d’équations x − 1 = y et z =
2x + y + 7, et parallèle à la droite d’équations x = 0, y = t, z = −t, avec t ∈ R.
V16. Etablissez l’équation analytique du plan perpendiculaire au plan d’équation 3x − 2z − 7 = y et
contenant l’intersection des plans d’équations respectives x + 2y − z = 1 et −x + 3 = z.
V17. Etablissez les équations analytiques de la droite parallèle à l’axe des z et passant par le point de
coordonnées (1, 0, 3). Rencontre-t-elle la droite d’équations x + y = z et 2z − x = 1? Si oui, en quel
point?
V18. Etablissez les équations paramétriques de la droite passant par (−1/2, 1/2, 1) et parallèle à la
droite d’équations x + y = 7 et 2x = y.
V19. Etablissez les équations paramétriques de la droite intersection des plans d’équations x − 2y +
z = 3 et z = −1 + 2x.
V20. Etablissez les équations paramétriques de la droite passant par l’origine et perpendiculaire au
plan d’équations x = 1 + t + k, y = t − k, z = k, avec t, k ∈ R.

52
V21. Etablissez les équations analytiques de la droite passant par le point de coordonnées (1, 1, 1) et
parallèle à la droite d’équations x − y − z = 1 et y + 3 = z.
V22. Etablissez les équations paramétriques de la droite passant par le point de coordonnées (1, 1, 1)
et perpendiculaire à la droite d’équations x − y − z = 1 et y + 3 = z.
V23. Etablissez les équations paramétriques de la droite passant par le point de coordonnées (1/2, 1, 2),
parallèlle au plan passant par les points de coordonnées respectives (−1, 2, 3), (1, 4, 0) et (−1, −1, 2),
et rencontrant la droite passant par les points de coordonnées respectives (−1/2, 0, 1/3) et (1/2, 1, 1).
V24. Calculez la distance entre le point (1, 1/2, −1) et le plan d’équations x = ℓ, y = k + 1, z = 0,
avec ℓ, k ∈ R.
V25. Calculez la distance entre le plan d’équations x = ℓ − 2, y − k = 1, z = ℓ + k, avec ℓ, k ∈ R,
et l’intersection des plans d’équations respectives x − y = 3, z = x + y et y − x = 3z.
V26. Calculez la distance entre l’intersection de la droite d’équations x + y − z = 0 et 2 + z − 3x = 0
et du plan d’équation 3x − 6 = 2y, et le plan parallèle à la droite d’équations y + 1 = 0 et x = 2 et
contenant les points de coordonnées respectives (1, 7, 2) et (−1, 1, 1).
V27. Calculez la distance entre le point de coordonnées (2, −1, 2) et le plan contenant la droite
d’équations x = t, y = 2t et z = 1−t avec t ∈ R, et perpendiculaire au plan d’équation x−y+2z = 0.
V28. Calculez la distance entre l’intersection du plan d’équation −x − y + 2z = 0 et de la droite
d’équations x = t, y = 2t, z = 1 − t, avec t ∈ R, et le plan d’équation x + y + z = 1.
V29. Calculez la distance entre le point de coordonnées (1, 2, 3) et la droite d’équations 2x−4y +z =
2 et z − y = 3.
V30. Calculez la distance entre la droite passant par le point de coordonnées (−1, 1/2, 1) et perpen-
diculaire au plan d’équations −x + t = 1, y + ℓ = 2 et z = ℓ + t avec ℓ, t ∈ R, et le point de
coordonnées (1, −1, 1).
V31. Calculez la distance entre l’intersection du plan d’équation x + y − z + 5 = 0 et du plan
perpendiculaire à ce dernier et contenant la droite d’équations x + z − 2 = 0 et y = 1, et l’intersection
de cette même droite avec le plan d’équations −x + t = 1, y + ℓ = 2 et z = ℓ + t avec ℓ, t ∈ R.
V32. Calculez la distance entre les droites d’équations respectives y − x = z et z + 1 = y, et
y + 1 + x = 0 et z − 1 = y.
V33. Etablissez les équations paramétriques de la perpendiculaire commune à la droite d’équations
x = 2 + 3t, y = 1 + t et z = −t, avec t ∈ R, et la droite d’équations x = ℓ, y = 1 − ℓ et z = 2ℓ,
avec ℓ ∈ R.
V34. Calculez la distance entre le point (1, 0, 0) et la perpendiculaire commune à la droite passant
par (1, 0, 0) et (2, −1, 3), et la droite passant par (0, 1, 2) et (1/2, 1/2, 1).
V35. Etablissez les équations analytiques de la droite passant par (−2, 1, 3) et rencontrant les droites
d’équations respectives y − x = z et z + 1 = y, et y + 1 + x = 0 et z − 1 = y. Etablissez les équations
paramétriques de la perpendiculaire commune à la droite dont vous avez obtenu les équations et à
l’axe des x.
V36. Etablissez les équations paramétriques de la sécante commune aux quatre droites d’équations
respectives x = k, y = 0 et z = 0, avec k ∈ R, x = ℓ, y = ℓ et z = 1, avec ℓ ∈ R, x = 1 + s, y = 1
et z = 2s, avec s ∈ R, et x = t, y = 1 − t et z = 1/2 − t, avec t ∈ R.

53
V37. Cochez la case “V” ou “F” suivant que vous estimez l’assertion vraie ou fausse. En toutes
circonstances, on considère l’espace R3 muni d’un repère orthonormé.
 V  F La somme de deux vecteurs non-nuls, parallèles et de longueur différente est nécessaire-
ment un vecteur non-nul parallèle aux deux vecteurs dont il est la somme.
 V  F Le produit vectoriel de deux vecteurs non-nuls, parallèles et de longueur différente est
nécessairement un vecteur non-nul parallèle aux deux vecteurs dont il est le produit vectoriel.
 V  F Si le produit scalaire de deux vecteurs non-nuls est nul, alors, le produit scalaire d’un
troisième vecteur non-nul avec l’un de ces deux vecteurs n’est nul que s’il est nul avec les deux.
 V  F Si un vecteur non-nul u est perpendiculaire à un vecteur non-nul v lui-même perpen-
diculaire à un vecteur non-nul w, alors le vecteur w n’est en aucun cas perpendiculaire au vecteur
u.
 V  F Si la somme des vecteurs u et v est non-nulle et perpendiculaire au vecteur non-nul w,
alors le vecteur w n’est en aucun cas parallèle au vecteur u.
 V  F Il est toujours possible de construire un plan qui soit perpendiculaire à deux droites
gauches données.
 V  F Si deux droites ont des vecteurs directeurs opposés, alors elles sont parallèles.
 V  F Si le plan P1 est perpendiculaire au plan P2 , lui-même perpendiculaire au plan P3 , alors
le plan P3 est nécessairement parallèle au plan P1 .
 V  F Si le plan P1 est parallèle à la droite D, elle-même parallèle au plan P2 , alors le produit
scalaire des vecteurs normaux de P1 et de P2 est nécessairement différent de zéro.
 V  F Soient A, B, et C, trois points quelconques; la distance entre C et la droite AB est égale
à la moyenne arithmétique de la distance entre A et C et de la distance entre B et C.
 V  F Soient A, B, et C, de coordonnées respectives (1, 2, 3), (4, 5, 6) et (7, 8, 9); ces trois
points déterminent un plan.
 V  F Le produit vectoriel des vecteurs normaux de deux plans définissant une droite est un
vecteur directeur de cette même droite.
V F Le produit scalaire des vecteurs normaux de deux plans définissant une droite est toujours
nul.
 V  F Si le produit vectoriel du vecteur directeur d’une droite et du vecteur normal d’un plan
est égal au vecteur nul, alors cette droite est parallèle au plan en question.
 V  F Par quatre points, il est toujours possible de faire passer un plan si l’on peut définir à
partir de ces quatre mêmes points deux droites sécantes.

V38. Cochez la case “V” ou “F” suivant que vous estimez l’assertion vraie ou fausse. En toutes
circonstances, on considère l’espace R3 muni d’un repère orthonormé.
 V  F Si la somme des vecteurs u et v est non-nulle et perpendiculaire au vecteur non-nul w,
alors: le vecteur w est nécessairement perpendiculaire au vecteur u.
 V  F Le produit scalaire de la différence non-nulle de deux vecteurs et d’un vecteur perpen-
diculaire aux deux premiers vecteurs est nécessairement nul.
 V  F La somme de deux vecteurs non-nuls perpendiculaires est nécessairement un vecteur
non-nul perpendiculaire aux deux vecteurs dont il est la somme.
 V  F Le produit vectoriel de deux vecteurs non-nuls perpendiculaires est nécessairement un
vecteur non-nul perpendiculaire aux deux vecteurs dont il est le produit vectoriel.
 V  F Si un vecteur non-nul u est perpendiculaire à un vecteur non-nul v lui-même perpendic-
ulaire à un vecteur non-nul w, alors le vecteur w est nécessairement parallèle au vecteur u.

54
 V  F Si le plan P1 est perpendiculaire au plan P2 , lui-même perpendiculaire au plan P3 , alors
le produit scalaire des vecteurs normaux de P 1 et de P3 est nécessairement différent de zéro.
 V  F Par quatre points, il est toujours possible de faire passer un plan si l’on peut définir à
partir de ces quatre mêmes points deux droites parallèles.
 V  F Il est toujours possible de construire un plan qui soit parallèle à deux droites gauche
données.
 V  F Deux droites sont confondues si elles ont le même vecteur directeur.
 V  F Si le plan P1 est parallèle à la droite D, elle-même parallèle au plan P2 , alors le plan P1
est nécessairement parallèle au plan P2 .
 V  F Soient A, B, et C, trois points quelconques; pour calculer la distance entre C et la droite
AB, il suffit de déterminer la distance entre C et le milieu de A et de B.
 V  F Si le produit scalaire du vecteur directeur d’une droite et du vecteur normal d’un plan
est différent de zéro, alors l’intersection de cette droite avec le plan est différente de l’ensemble vide.
 V  F Si le produit vectoriel du vecteur directeur d’une droite et d’un vecteur directeur d’un
plan est égal au vecteur nul, alors cette droite est parallèle au plan en question.
 V  F Le vecteur directeur d’une droite est toujours perpendiculaire aux vecteurs normaux de
deux plans qui la définissent.
 V  F Soient A, B, et C, de coordonnées respectives (1, 1, −1), (1, −1, −1) et (−1, −1, −1);
ces trois points déterminent un plan.

V39. Soient les points A (2, 2, 1), B (1, 3, 1), C (1, 2, 0) et D (0, 12 , 0) dans l’espace vectoriel R3 doté
d’un repère orthonormé. Calculez l’angle formé par les droites AB et AC; construisez un vecteur
perpendiculaire au plan déterminé par les points A, B et C; calculez la surface du triangle BAC;
dans le plan z = 0, établissez les équations paramétriques et l’équation analytique de la droite CD.

V40. Soient les points A (2, 1, 1), B (1, 0, 0), C ( 23 , 32 , 1) et D (2, 21 , 0) dans l’espace vectoriel R3
doté d’un repère orthonormé. Calculez l’angle formé par les droites AB et AC; construisez un vecteur
perpendiculaire au plan déterminé par les points A, B et C; calculez la surface du triangle BAC; dans
le plan z = 0, établissez les équations paramétriques et l’équation analytique de la droite BD.

V41. Soient les points A (1, −2, 0), B (3, 0, −1) et C (0, 2, 0) dans l’espace vectoriel R3 doté d’un
repère orthonormé. Etablissez: (a) l’équation analytique du plan P1 défini par A, B, et C; (b)
l’équation analytique du plan P2 comprenant C et perpendiculaire à la droite définie par A et B;
(c) les équations paramétriques de la droite D définie par l’intersection de P1 et P2 ; et déterminez (d)
la distance séparant C de la droite définie par A et B.

V42. Soient les points A (0, 0, 1), B (0, 1, 0) et C (1, 1, 1) dans l’espace vectoriel R3 doté d’un repère
orthonormé. Etablissez: (a) l’équation analytique du plan P1 défini par A, B, et C; (b) l’équation
analytique du plan P2 comprenant C et perpendiculaire à la droite définie par A et B; (c) les équations
paramétriques de la droite D définie par l’intersection de P1 et P2 ; et déterminez (d) la distance
séparant C de la droite définie par A et B.
V43. Calculez la surface du triangle défini par les sommets de coordonnées respectives (1, 2, 3),
(0, 1, 0) et (1, −1, 2).
V44. Calculez la surface du triangle défini par les sommets de coordonnées respectives (2, 1, −1),
(1, 0, 1) et (1, 3, 4).
V45. Calculez la surface du triangle défini par les sommets de coordonnées respectives (2, 1, −1),
(1, 0, 1) et (1, 3, 4).

55
V46. Calculez la surface du triangle défini par les sommets de coordonnées respectives (0, 1, 1),
(1, 0, −1) et (1, 2, 3).
V47. Soient les points A (1, 2, 3), B (2, 2, 2) et C (1, 1, 2); calculez l’angle formé par les droites AB
et AC, et la surface du triangle BAC.
V48. Trouvez le quatrième sommet du parallélogramme dont les trois premiers sommets sont (1, 1, 3),
(0, 1, 1), et (1, −1, 2) (s’il y a plusieurs solutions possibles, choisissez-en une).
V49. Calculez la distance non nulle entre une diagonale d’un cube de côté 1 et la diagonale d’une de
ses faces.
V50. Soient les points A et B de coordonnées respectives (0, 1, −1) et (1, 1, 1), et la droite D
d’équations x = 1 + t, y = −t et z = −t avec t ∈ R. Calculez la distance entre la droite D1
passant par A et B, et la droite D2 définie par l’intersection du plan P1 contenant D et A, et du plan
P2 perpendiculaire à D et passant par B.
V51. Soient les points A et B de coordonnées respectives (0, 1, −1) et (1, 1, −1), et la droite D
d’équations x = 1 + t, y = 0 et z = −t avec t ∈ R. Calculez la distance entre la droite D1 passant
par A et B, et la droite D2 définie par l’intersection du plan P1 contenant D et A, et du plan P2
perpendiculaire à D et passant par B.
V52. Soient le point A de coordonnées (0, 1, 2), la droite D1 d’équations x = 1 + ℓ, y = −1 et z = ℓ
avec ℓ ∈ R, et la droite D2 d’équations z = 1 et x − 3y = 0. Soit la droite D passant par A et
rencontrant D1 et D2 . Déterminez les coordonnées de l’intersection I de D avec D2 .
V53. Soient le point A de coordonnées (−1, 1, 0), la droite D1 d’équations x = 1 + ℓ, y = 2ℓ et
z = 2 avec ℓ ∈ R, et la droite D2 d’équations x + y = 2 et x − z = 1. Soit la droite D passant par A
et rencontrant D1 et D2 . Déterminez les coordonnées de l’intersection I de D avec D2 .
V54. Etablissez les équations paramétriques de la droite D passant par A ≡ (0, 1, 3) et rencontrant
les droites D1 ≡ x = 1 + ℓ, y = ℓ, z = 1 − 2ℓ avec ℓ ∈ R et D2 ≡ x = k − 1, y = 3 − k/2, z = −1
avec k ∈ R.
V55. Etablissez les équations paramétriques de la droite D
- sécante à la droite D1 ≡ x = α, y = α, z = 1 − 2α avec α ∈ R,
- sécante à la droite D2 ≡ x = ℓ − 1, y = 3 − ℓ, z = 1 + ℓ avec ℓ ∈ R,
- et comprenant le point A ≡ (1, 1, 1).
V56. Déterminez la distance entre les droites D1 ≡ x = 1 + 2λ, y = 1 − λ, z = λ avec λ ∈ R, et
D2 ≡ x + y = 0, z = 0.
V57. Calculez la surface d’un des trois parallélogrammes dont trois des sommets A, B, C ont pour
coordonnées respectives (1, 1, 2), (3, −1, 0) et (0, 1, 1). Déterminez préalablement les coordonnées
du quatrième sommet choisi, soit E.
V58. Soient le vecteur ~v de composantes (0, 1, 1), la droite D1 d’équations x = ℓ, y = ℓ et z = 1
avec ℓ ∈ R, et la droite D2 d’équations z −x = 0 et y = 0. Soit la droite D parallèle à ~v et rencontrant
D1 et D2 . Déterminez les coordonnées de l’intersection I de D avec D2 .
V59. Soient le plan P ≡ y = x − 1, les droites D1 d’équations x = 1, y = ℓ et z = ℓ avec ℓ ∈ R,
et D2 d’équations x = t, y = 0 et z = 1 avec t ∈ R. Déterminez les équations paramétriques de la
droite D perpendiculaire à P et s’appuyant sur D1 et D2 .

56
Remarque: Pour les sept exercices suivants, il s’agira de considérer que : le plan du sol est le plan
Oxy; le plan CEJH est parallèle au plan du sol; les plans ABCDE ⊥ AEJF ⊥ F GHI ⊥
BCHG sont verticaux; les projections orthogonales de D et I sur le plan du sol tombent respective-
ment au milieu de AB et F G; la droite DI est parallèle au plan du sol.

I (?,?,3)

D
Z1. Calculez la distance entre l’un des
H J
deux plans du toit à double-pente et la
E droite définie par l’intersection du plan du
C (2,2,2) sol et du plan vertical coupant, dans le sens
de la longueur, la maison en deux parties
G
F égales. I

D (?,?,3)
B A (0,0,0)
Z2. Calculez la distance entre la droite H J (4,?,?)
définie par le faîte du toit et la droite E (0,0,2)
définie par l’une des quatre diagonales C
du parallélipipède rectangle constituant la
partie inférieure de la maison. G
F
I (?,?,2)

D B (2,2,0) A
H J
Z3. Calculez la distance entre la droite
E
C (1,1,1)
CD et la droite AJ représentées sur le
schéma ci-contre.
G
F (2,?,?)
I (?,?,2)

B A (0,0,0) D
H J
Z4. Calculez la distance entre la droite
E
CD et la droite BF représentées sur le C (1,1,1)
schéma ci-contre.
G
F (2,?,?)

B A (0,0,0)

57
 I (?,?,3)

H J
Z5. Calculez la distance entre la droite
E
C (2,2,2) CD et la droite BF représentées sur le
schéma ci-contre.
G I (?,?,3)
F (2,?,?)

D
B A (0,0,0) H J
Z6. Calculez la distance entre la droite
E
AF et la droite BJ représentées sur le C (2,1,2)
schéma ci-contre.
G
I (?,?,3) F (2,?,?)

D
B A (0,0,0)
H J
Z7. Calculez la distance entre la droite
E
C (2,1,2)
BF et la droite AJ représentées sur le
schéma ci-contre.
G
F (−2,?,?)

B A (0,0,0)

Z8. En sachant que le plan du sol est le plan Oxy, que le plan HIJKLM N est parallèle au plan du
sol, que les plans ABIOH ⊥ BCJI ⊥ CDELKP J ⊥ EF M RL ⊥ F GN M ⊥ GAHN sont
verticaux, que les projections orthogonales de O et R sur le sol tombent respectivement au milieu de
AB et EF , que la droite RQ est parallèle à la droite M N , et la droite OP est parallèle à la droite
HN , établissez, dans le schéma ci-dessous, les coordonnées complètes des points G, F , M , R, H, O
et Q:
P

Q R(?,3/2,3/2)

O(1/2,?,2)
J K L

M
N(2,3,1)
I H

C D E

G F(4,?,?)

B A(1,2,0)

58
 E F (?,?,−8/3) E F (?,?,−5/3)

Z9. Dans les parallélip- B B

A A
ipèdes rectangles représen-
tés ci-contre, déterminez G (2,1,?) G (1,0,?)
les coordonnées complètes H H
des points G, F , et E.
C (0,−1,1) C (−1,−2,2)
D (1,2,3) D (0,1,4)

E (1,1,1) F (3,−1,?)

B Z10. Dans le parallélipipède rectangle

A (1/2,0,−1) représenté ci-contre, déterminez les co-
G (?,?,−5/2) ordonnées complètes des points F , G,
H et H.
F
E
C
D
B
Z11. Dans le parallélipipède rectangle
représenté ci-contre, déterminez les co- A (1/2,0,−1)
ordonnées complètes des points C, G, G (?,?,3)
et F . H

E F
C (−1,1/2,?)
B (?,0,?) D (1,1,2)
A Z12. Dans le parallélipipède rectangle
représenté ci-contre, déterminez les co-
G (−1/2,2,2) ordonnées complètes des points C, B,
H et A.

E (1,2,3) F(0,−1,2)
C (−1,?,1)
D (0,0,3/2)
B (?,1,1)
Z13. Dans le parallélipipède rectangle A
représenté ci-contre, déterminez les co-
ordonnées complètes des points B, C,
et H.
G
H

C (?,5,?)
D

59