Objectif Olympiades de Mathématiques: Tome 6: Géométrie I 1st Edition Mohammed Aassila Full Chapter Download PDF

Objectif Olympiades de Mathématiques:
Tome 6 : Géométrie I 1st Edition

Mohammed Aassila
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OBJECTIF OLYMPIADES
DE MATHÉMATIQUES
TOME 6 : GÉOMÉTRIE I
Mohammed AASSILA
Objectif Olympiades de Mathématiques
Livres publiés :
2 Volume 1 : Algèbre, 2020.

2 Volume 2 : Analyse, 2020.
2 Volume 3 : Combinatoire I, 2021.
2 Volume 4 : Combinatoire II, 2021.
2 Volume 5 : Arithmétique, 2021.
2 Volume 6 : Géométrie I, 2022.
2 Volume 7 : Géométrie II, 2022.
Avant propos
Le secret de la réussite dans la résolution des problèmes d’Olympiades consiste en deux
choses :
1 connaître les bonnes techniques ;
2 s’entraîner intensivement.
Petite explication :
❏ L’idée, c’est toujours de connecter quelque chose qui est inconnue à quelque chose de
connue. On « ramène » la résolution d’un problème qu’on découvre pour la première
fois à l’application d’une technique « classique » de résolution. D’où l’importance de
connaître les bonnes techniques.
❏ À partir du moment où l’on s’entraîne, et que l’on façonne notre cerveau à cette gymnas-
tique durant plusieurs heures par jour, et sur une longue durée, alors ça devient facile,
et en plus vraiment marrant.
C’est ainsi que l’on devient champion olympique !
« Objectif Olympiades de Mathématiques » est une série de livres ayant pour but de mettre
entre les mains des élèves des ouvrages où tous les résultats, méthodes et techniques, qu’il est
impératif de connaître sont exposés de manière claire et précise, commentés et mis en relief
par de très nombreux exemples et exercices corrigés en détail. Le contenu de chaque livre est
conçu pour être compréhensible par un élève courageux du collège ou lycée, tous les concepts
sont abordés de façon très progressive, et toutes les notions enseignées au delà du lycée sont
introduites avant d’être utilisées.
Chaque chapitre contient une présentation complète des principaux résultats, méthodes et
techniques, à connaître, commentés et mis en relief par des exemples, des prolongements, et
des mises en garde. De très nombreux exercices, corrigés en détail, et dont l’objectif est de :
- assimiler et mettre en pratique les notions vues en début de chapitre ;
- amener le lecteur à la compréhension et à la bonne maîtrise des notions étudiées ;
- mettre l’élève en situation de compétition mathématique nationale ou internationale.
Ce livre est le sixième volume de la série Objectif Olympiades de Mathématiques. Il est entière-
ment consacré à la géométrie. Il comporte plus de 675 exemples et exercices, dont la solution
est rédigée avec le soin et le souci d’exposer les idées et les démarches de raisonnement. En-
richies de nombreuses remarques et généralisations, les solutions sont à la fois précises et
éducatives.
Merci d’avance à ceux qui voudront bien me faire part de leurs remarques, suggestions, cri-
tiques, ou autres solutions plus élégantes que celles proposées. J’accueillerai donc volontiers
les commentaires, corrections ou encouragements qui pourront m’être directement adressés à
l’adresse électronique : objectif.olympiades@gmail.com
Strasbourg, 27 Février 2022

.
Table des matières
1 Outils fondamentaux 3
1.1 Droites. Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Droites remarquables dans le triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Triangles isométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Théorème des milieux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8 Triangles semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.9 Théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.10 Quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.11 Aires. Périmètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.12 Symétrie. Transformations géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Résultats de base (Niveau 1) 31

2.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Triangles isométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4 Inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5 Aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6 Théorème des milieux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.7 Théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.8 Triangles semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.9 Théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.10 Points remarquables dans un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3 Résultats de base (Niveau 2) 87

3.1 Quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2 Concourance et colinéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2.1 Théorème de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2.2 Théorème de Céva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.2.3 Théorème de Ménélaüs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.3 Cercles et angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.4 Cercles et tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.5 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.6 Chasse aux angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
1
2 TABLE DES MATIÈRES
3.7 Droite de Simson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.8 Droites antiparallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.9 Complément : matrices et déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4 Trigonométrie 125
4.1 Définitions. Relations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.2 Calculs avec les expressions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.3 Extremums et trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.4 Loi des sinus. Théorèmes de Céva et de Ménélaüs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.5 Problèmes de géométrie plane et trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5 Géométrie du triangle 191

5.1 Théorème de Céva. Théorème de Ménélaüs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.1.1 Théorème de Céva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.1.2 Théorème de Ménélaüs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.2 Points remarquables dans un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.2.1 Orthocentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.2.2 Centre du cercle inscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.2.3 Centre du cercle exinscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.3 Méthodes de résolution des problèmes d’alignement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.3.1 Présentation des méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.4 Méthodes de résolution des problèmes de concourance . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5.4.1 Présentation des méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5.5 Conjugués isogonaux et triangles podaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
5.6 Symédianes et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
5.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
6 Cercles 265
6.1 Propriétés fondamentales des cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
6.1.1 Exercices d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
6.2 Droites et cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
6.3 Droite de Simson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
6.4 Quadrilatères inscriptibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
6.5 Puissance d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
6.5.2 Shooting lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
6.6 Cercles tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
6.7 Droite tangente à un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
6.8 Cercle inscrit et droites perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
6.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
7 Quelques théorèmes. Applications 355

7.1 Théorème de Céva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
7.2 Théorème de Ménélaüs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
7.3 Théorème de Ptolémée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
7.4 Diagonales perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
7.5 Théorèmes de Desargues et de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
7.6 Théorème du papillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
TABLE DES MATIÈRES 3
7.6.1 Généralisation du théorème du papillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

7.7 Théorème des projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
7.8 Théorème de la bissectrice et arcs de cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
7.9 Théorème de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
7.10 Théorème de Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
7.11 Théorème de Neuberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
7.12 Théorème de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
7.13 Théorème de Brianchon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
7.14 Théorème de H. M. Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
7.15 Théorème de Brocard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
7.16 Théorème de S. N. Collings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
7.17 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
4 TABLE DES MATIÈRES
Chapitre
1
Outils fondamentaux
Dans ce chapitre, on présente la géométrie enseignée actuellement dans les collèges français.
Toutes ces notions, ainsi que beaucoup d’autres, seront étudiées plus en détail tout au long de ces
deux livres de géométrie.
1.1 Droites. Cercles
Définition (Segment)
1 La distance entre deux points A et B est la longueur du segment d’extrémités A et

B. On note ce segment [AB] et sa longueur AB.
2 Le milieu d’un segment est le point de ce segment qui est à la même distance de
ses extrémités.
b
A
b
C
b
B C est le milieu du segment [AB].
Définition (Cercle. Disque)
O désigne un point, et r un nombre positif.

1 Le cercle de centre O et de rayon r est l’ensemble des points situés à la même
distance r du point O .
2 Le disque de centre O et de rayon r est l’ensemble des points situés à une distance
du point O inférieure ou égale à r .
[BB′ ] est un diamètre.

B [OA] est un rayon, OA = OB = OB′ .
b
′ est un arc de cercle.
AB
[AB] est une corde.
O A
b b
B′
5
6 CHAPITRE 1. OUTILS FONDAMENTAUX
Définition (Droite)
1 Trois points A, B et C sont alignés lorsque l’on peut tracer une ligne droite passant
par ces trois points.
2 Si A et B sont deux points distincts, la droite (AB) est l’ensemble de tous les points
alignés avec A et B.
Définition (Droites sécantes)
Deux droites sont sécantes si elles se coupent en un seul point, appelé point d’intersec-
tion.
Définition (Droites perpendiculaires)
Deux droites (d1 ) et (d2 ) sont perpendiculaires si elles sont sécantes en formant un angle
droit. On note (d1 )⊥(d2 ).
Définition (Droites parallèles)
Deux droites (d1 ) et (d2 ) sont parallèles si elles ne sont pas sécantes. Elles n’ont aucun point
en commun, ou bien elles sont confondues. On note (d1 ) (d2 ).
Proposition
Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Si (d1 ) (d3 ) et (d2 ) (d3 ), alors (d1 ) (d2 ).
Proposition
1 Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles
entre elles. Si (d1 )⊥(d3 ) et (d2 )⊥(d3 ), alors (d1 ) (d2 ).
2 Si deux droites sont parallèles, et si une troisième droite est perpendiculaire à
l’une, alors elle est aussi perpendiculaire à l’autre.
Si (d1 ) (d2 ) et si (d3 )⊥(d1 ), alors (d3 )⊥(d2 ).
Définition (Médiatrice)
La médiatrice d’un segment [AB] est la droite qui est perpendiculaire à ce segment et qui
passe par son milieu.
1.2. ANGLES 7
Proposition
1 Si un point M appartient à la médiatrice du segment [AB], alors MA = MB.

2 Si un point M vérifie MA = MB, alors il appartient à la médiatrice du segment [AB].
1.2 Angles
Définition (Demi-droite)
La portion de la droite (OA) délimitée par le point O et contenant A est appelée la demi-
droite d’origine O passant par A. Cette demi-droite est notée [OA).
Définition (Angle)
[
1 Deux demi-droites [OA) et [OB), de même origine O , forment un angle noté AOB
[.
ou BOA
2 L’origine commune des demi-droites est appelée le sommet de l’angle.
3 Les deux demi-droites [OA) et [OB) sont appelées les côtés de l’angle.
A
O
❏ Si A, B et C sont trois points alignés, alors

a + b = 180◦ .
❏ Si a + b = 180◦ , alors les points A, B et C
a b
sont alignés.
b b b
A B C
❏ Si n’importe quel nombre d’angles sont

« situés » autour d’un point, alors leur
somme est égale à 360◦ . Par exemple, c
b
dans le dessin ci-contre on a : a + b + c + d
b a
d + e = 360◦ . e
❏ Angles opposés par le sommet :

si deux droites se coupent, alors a = c et
b
b = d. a c
d
Définition (Angles alternes-internes)
Soient deux droites (d1 ) et (d2 ) et une sécante (d) qui coupe (d1 ) et (d2 ) en deux points A et
B. Deux angles sont alternes-internes lorsque :
1 ils ont pour sommet A et B ;
2 ils sont situés de part et d’autre de la droite (d) ;

3 ils sont entre les droites (d1 ) et (d2 ).
(d1 )
(d)
(d2 )
Proposition
1 Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-
internes qu’elles forment ont même mesure.
2 Si deux droites sont coupées par une sécante en formant des angles alternes-internes
de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.
C γ D
δ Les droites (AB) et (CD) sont pa-
rallèles si, et seulement si, α = δ et
α β = γ.
β
A B
Corollaire
1 Si deux droites sont parallèles et si une droite est perpendiculaire à l’une d’elles, alors elle
est perpendiculaire à l’autre.
2 Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre
elles.
1.3 Triangles
Définition (Triangle)
1 Un polygone est une figure fermée dont les côtés sont des segments.
2 Un triangle est un polygone à trois côtés.
Définition (Triangles particuliers)
1 Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longeur.

1.3. TRIANGLES 9
2 Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur.
3 Un triangle rectangle est un triangle dont deux côtés sont perpendiculaires.
K
A E b
C
D
b
α β b
L M
B
F
⋄ ABC est un triangle isocèle en A. Le côté [BC] est appelé la base du triangle isocèle. On a :
[ = CBA.
AB = AC et ACB [
[ = EFD
⋄ DEF est un triangle équilatéral, on a : DE = EF = FD et FDE [ = DEF [ = 60°.
⋄ KLM est un triangle rectangle, on a : \ LKM = 90°. Le côté [LM] s’appelle l’hypoténuse. Le mot
« hypoténuse » vient du grec hypo (sous) et teinô (tendre) : c’est le côté qui « sous-tend » l’angle
droit.
Proposition (inégalité triangulaire)
1 Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des lon-
gueurs des deux autres côtés.
2 Dans un triangle ABC non aplati, on a les inégalités :
AB < AC + CB, AC < AB + CB et CB < AC + AB.
Proposition (égalité triangulaire)
Soient A, B et C trois points distincts.

1 Si B ∈ [AC], alors AC = AB + BC.
2 Si AC = AB + BC, alors B ∈ [AC] : les points A, B et C sont alignés.
Proposition
La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°.
La somme des mesures des angles d’un polygone à n côtés est égale à (n − 2) × 180°.
B C
❏ La mesure de l’angle externe d’un tri-

angle est égale à la somme des mesures b
des angles internes opposés : c = a + b.
a
c
1.4 Droites remarquables dans le triangle
Définition (Médiatrice)
La médiatrice d’un côté d’un triangle est la droite perpendiculaire à ce côté et passant
par son milieu.
Proposition
Les médiatrices des côtés d’un triangle se coupent en un même point O, c’est le centre du
cercle circonscrit à ce triangle.
O
B
Proposition
Le triangle rectangle est inscrit dans le cercle de diamètre son hypoténuse.
| • |
Définition (Médiane)
Une médiane d’un triangle est une droite qui passe par un sommet de ce triangle et par
le milieu du côté opposé à ce sommet.
Proposition
Les médianes d’un triangle se coupent en un même point G, c’est le centre de gravité du
triangle.
•
\ G
|| ||
B C
1.5. TRIANGLES ISOMÉTRIQUES 11
Définition (Hauteur)
Une hauteur d’un triangle est une droite qui passe par un sommet de ce triangle et qui
est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Proposition
Les hauteurs d’un triangle se coupent en un même point H, c’est l’orthocentre du triangle.
C
B′
H
A rs
A′
C′ B
Définition (Bissectrice)
La bissectrice d’un angle d’un triangle est la demi-droite qui partage cet angle en deux
angles de même mesure.
Proposition
Les bissectrices des angles d’un triangle se coupent en un même point I, c’est le centre du
cercle inscrit dans ce triangle.
•
I
A B
1.5 Triangles isométriques
Définition
Deux triangles ABC et MN P sont isométriques si leurs côtés sont deux à deux de même
longueur :
AB = MN , AC = MP, et BC = N P.
P
C
N
B
M
A
☞ On respecte l’ordre des lettres : A et M, B et N , C et P.

☞ Soient ABC un triangle isocèle en A, et H le milieu de [BC], alors les triangles ABH et ACH
sont isométriques. En effet : (i) AB = AC car le triangle est isocèle en A. (ii) BH = CH car H
est le milieu de [BC]. (iii) [AH] est un côté commun aux deux triangles.
☞ Si deux triangles ABC et MN P sont isométriques alors leurs angles sont égaux :
b = M,
A b b= N
B b et b = P.
C b
☞ Si deux triangles ABC et MN P sont isométriques alors ils ont la même aire.
☞ Des triangles ayant des angles égaux ne sont pas forcément isométriques. De même, des
triangles ayant la même aire ne sont pas forcément isométriques.
☞ On dispose d’autres critères pour montrer que deux triangles sont isométriques sans mon-
trer les trois égalités des côtés.
Théorème : Critère CAC (côté-angle-côté)
Si deux triangles ABC et MN P ont un même angle compris entre deux côtés respective-
ment égaux, alors ils sont isométriques : BC = N P, AC = MP et b = P.
C b
P
C
N
B
M
A
Théorème : Critère ACA (angle-côté-angle)
Si deux triangles ABC et MN P ont un côté de même longueur compris entre deux angles
b= M
respectivement égaux, alors ils sont isométriques : AC = MP, A b et C b = P.
b
P
C
N
B
M
A
1.6. THÉORÈME DES MILIEUX 13
1.6 Théorème des milieux
Théorème des milieux (Cas du triangle)
Soit ABC un triangle, D ∈ [AB] et E ∈ [AC].

1
1 Si D est le milieu de [AB] et E est le milieu de [AC], alors (DE) (BC) et DE = BC.
2
1
2 Si (DE) (BC) et DE = BC, alors D est le milieu de [AB] et E est le milieu de [AC].
2
A D C
b b b
E F
b b
D E
b b
A B
b b
B C
b b
Théorème des milieux (Cas du trapèze)
Soit ABCD un trapèze avec (AB) (CD). Si E et F sont les milieux respectifs de [AD] et
1
[BC], alors (EF) (AB) (CD) et EF = (AB + CD).
2
Exemple 1
Soient ABC un triangle, D ∈ [AB] et E ∈ [AC] sont tels que AD = DB et AE = 2EC . On

désigne par F le point d’intersection de (BE) avec (CD). Montrer que 4EF = BE .
Soit M le milieu de [AE]. En appliquant le A

théorème des milieux dans les triangles ABE et b
1
CDM on obtient respectivement : DM = BE M
2 D
b
1 1 b
et EF = DM. Par suite EF = BE. E

2 4 b
On conclut que BE = 4EF. B

b
b
F C
b
Exemple 2
[ = CDA
Soit ABCD un quadrilatère convexe tel que ABC [ = 90°, et BCD
[ > BAD
[.
Montrer que AC > BD .
On prolonge les côtés AB et AD jusqu’à E et F de sorte que AB = BE et AD = DF (voir figure).

D’après le théorème des milieux on a (BD) (EF) et EF = 2BD. Puisque BC et DC sont les média-
trices de [AE] et [AF] respectivement, alors EC = AC = FC. D’après l’inégalité triangulaire on a :
EC + FC > EF, c’est-à-dire 2AC > 2BD, ce qui donne AC > BD.
A
b
D
b
B b
b
F
C b
E
b
Exemple 3
[ = 2 ACB
Soit ABC un triangle tel que CBA [ . E est le milieu de [BC], et D ∈ [BC] est le pied
de la hauteur issue de A. Montrer que : AB = 2DE .
Soit F le milieu de [AC], alors d’après le théorème des milieux on sait que AB = 2EF. Il suffit
donc de montrer que DE = EF. Puisque ADC est un triangle rectangle en D, alors la médiane
(DF) coupe le côté [AC] en son milieu (triangle rectangle inscrit dans son cercle circonscrit),
donc DF = FC = AF, par suite CDF [ = ACB. [ Comme (EF) (AB), CEF [ = CBA[ = 2ACB,[ d’où
[ [ [ [ [
CEF = CEF − CDF = ACB = CDF, par conséquent DE = EF.
Exemple 4
Soient ABC un triangle et D ∈ [AC] tel que AB = CD . On désigne par E et F les milieux
respectifs de [AD] et [BC]. On note M le point d’intersection de (AB) avec (EF).
Montrer que : AM = AE .
1 1
AB = CD = PF
Si P est le milieu de [BD] alors, d’après le théorème des milieux, on a : PE =
2 2
\=
et (PE) (BM), (AC) (PF). Par suite AME PEF = \ ce qui donne AM = AE.
PFE = AEM,
Exemple 5
Soient ABCD un quadrilatère, E et F les milieux respectifs de [AB] et [BC]. On suppose

que les droites (DE) et (DF) coupent la diagonale (AC) aux points M et N respectivement
de sorte que AM = MN = N C . Montrer que ABCD est un parallélogramme.
On montre, tout d’abord, que MBN D est un parallélogramme, puis ensuite que ABCD est
aussi un parallélogramme. Puisque AE = BE, BF = FC, et AM = MN = N C, alors (EM) (BN ) et
(FN ) (BM). Ainsi MBN D est un parallélogramme. D’où : BM = N D et AMB \ = FN \ \
M = CN D.
[ \
Les triangles AMB et CN D sont alors isométriques (critère CAC), ainsi AB = CD et BAC = DCN .
Par suite AB = CD, et ABCD est un parallélogramme.
A D
b b
M
b
E
b
N
b
B F C
b b b
1.6. THÉORÈME DES MILIEUX 15
Exemple 6
Dans la figure ci-contre, ABC est un triangle D

b b
C
équilatéral. On suppose que E et F sont les
milieux respectifs de [AD] et [BC]. Si EF =
3cm, déterminer la longueur de [AB]. E b b F
B
A b b
[ = 30°, d’où CD = 1 AC = 1 AB. D’après le théorème des milieux pour

Par hypothèses on a DAC
2 2
un trapèze on a :
1 3
3 = EF = (CD + AB) = AB par conséquent AB = 4.
2 4
Exemple 7 : (Russie, 1995)
Dans un quadrilatère donné ABCD , O est un point à l’intérieur de ABCD tel que
[ = COD
AOB \ = 120°, AO = OB, CO = OD . On désigne par K, L, M les milieux respectifs
de [AB], [BC] et [CD]. Montrer que le triangle KLM est équilatéral.
Il suffit de montrer que KL = ML et \ KLM = 60°. Soient N et P les milieux respectifs de [OB]
et [OC]. Alors par le théorème des milieux on a :
1 1 1 1
KN = OA = OB = PL, NL = OC = OD = PM.
2 2 2 2
Puisque (N K) (OA), (N L) (OC), (PL) (OB), (PM) (OD) et
[ = 120° + BOC
[L = AOC
KN [ = BOD
[ = LPM,
[
alors les triangles KN L et LPM sont isométriques (critère CAC). Donc KL = LM. D’autre part :
\ [ +N
KLM = KLN [ [ = PML
LP + PLM [ + LPC \ = 180° − 120° = 60°,
[ = 180° − CPM
+ PLM
par conséquent KLM est un triangle équilatéral.

Exemple 8 : (Chine, 1995)
Soit D un point à l’intérieur du triangle acutangle ABC . On note P et Q les projections

orthogonales de D sur les côtés [AB] et [AC] respectivement. Soit M le milieu de [BC].
[ = CDQ
Montrer que PM = QM si, et seulement si, BDP \.
⋄ Supposons que BDP \ Désignons par E et F les milieux respectifs de [BD] et [CD].
[ = CDQ.
1 1 [=
D’après le théorème des milieux on sait que EP = BD = MF, ME = CD = FQ. Puisque BDP
2 2
\ implique que PBD
CDQ \ alors PED
[ = QCD, [ = 2PBD \ = DFQ
[ = 2DCQ [ car DEMF est un parallélo-
\ \ [ \
gramme, par conséquent DEM = DFM, d’où PEM = MFQ, ainsi les triangles PEM et MFQ sont
isométriques (critère CAC), et donc PM = QM.
⋄ Supposons que PM = QM, alors les triangles PEM et MFQ sont isométriques (critère CCC),
[ = MFQ,
d’où PEM \ DEM \ = MFD.
\ Par suite PED [ c’est-à-dire 2PBE
[ = DFQ, \ Donc :
= 2DCQ.
[ = 90° − PBD
BDP \ = CDQ.
[ = 90° − DCQ \
1.7 Théorème de Thalès
Théorème de Thalès
Si deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, alors elles déterminent deux tri-
angles dont les côtés correspondants ont des longueurs proportionnelles.
D
C
N
AE AD ED
=⇒ = =
k k AB AC BC
A k
AM AN MN
= =
M AB AC BC
B E
Réciproque du théorème de Thalès
AM AN
Dans un triangle ABC, si M ∈ [AB], N ∈ [AC], et si = , alors :
AB AC
AM AN MN
(BC) (MN ) et = = .
AB AC BC
D
C
N
AM AN
=
AB AC
A
B E
1.8 Triangles semblables
Définition (Triangles semblables)
Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont deux à deux de même mesure.
1.8. TRIANGLES SEMBLABLES 17
❏ Les triangles ABC et A′ B′ C ′ sont semblables car leurs angles sont deux à deux égaux :
[ = A\
ABC ′ B′ C ′ , [ = B\
BCA ′ C ′ A′ et [ = C\
CAB ′ A′ B′ .
L’ordre des sommets est important.

❏ Si deux triangles sont isométriques, alors ils sont semblables. Par contre, deux triangles
semblables ne sont pas forcément isométriques.
C′
B′
B
A
A′
❏ Pour montrer que deux triangles sont semblables, il suffit de montrer qu’ils ont deux paires
d’angles deux à deux de même mesure.
❏ Triangles semblables (configuration de Thalès : les droites (BC) et (B′ C ′ ) sont parallèles)
C′
C
B′
A = A′
Proposition
1 Si ABC et A′ B′ C ′ sont deux triangles semblables alors :
AB BC CA
= ′ ′ = ′ ′ = k.
A′ B′ BC CA
a Si k < 1, alors ABC est une réduction de A′ B′ C ′ de rapport k.
b Si k > 1, alors ABC est un agrandissement de A′ B′ C ′ de rapport k.
AB BC CA
2 Si ABC et A′ B′ C ′ sont deux triangles tels que ′ ′ = ′ ′ = ′ ′ , alors ils sont
AB BC CA
semblables.
Proposition
[ = B\ AC BC
Si ABC et A′ B′ C ′ sont deux triangles tels que ACB ′ C ′ A′ et = , alors ils sont
A′ C ′ B′ C ′
semblables.
C′
B′
B
A′
1.9 Théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore (−580 - −495)
Le triangle ABC est rectangle en A si, et seulement si : BC 2 = AB2 + AC 2 .
a
a
B
a c
a
c c
c
C b A
b b
Exemple 9
Soient ABC
√ un triangle rectangle en C , et D le milieu de [AB]. On suppose que AB + BC +
CA = (2 + 6)cm et CD = 1cm, déterminer l’aire du triangle ABC .
Puisque ABC est un triangle rectangle en C, alors on sait que√ AD = BD = CD = 1, d’où AB = 2cm.
Posons AC = b et BC = a, alors : a2 + b 2 = 22 = 4 et a + b = 6. Par suite 6 = (a + b)2 = a2 + b 2 + 2ab,
6−4 1
d’où ab = = 1, ce qui montre que l’aire du triangle ABC est égale à .
2 2
Exemple 10
[ =
Soit ABC un triangle rectangle en C . On désigne par D ∈ [CB] le point tel que DAC
1.9. THÉORÈME DE PYTHAGORE 19
[ CD = 1, 5 et DB = 2, 5. Déterminer AC .
BAD,
C
D
A E B
Soit E ∈ [AB] le projeté orthogonal de D sur (AB), alors AC = AE et DE = CD = 1, 5. D’après le

théorème de Pythagore appliqué dans le triangle BED on a :
√ √
BE = BD 2 − DE 2 = 6, 25 − 2, 25 = 2.
Posons AC = AE = x, et appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle ABC alors : (x+2)2 =
x2 + 42 , ce qui donne 4x = 12, par conséquent x = 3. En conclusion, AC = 3cm.
Exemple 11
PB PC .
Soit P un point à l’intérieur d’un carré ABCD tel que : PA = = . Déterminer APB
2 3
C
D
A
B
On suppose, sans perte de généralité, que PA = 1, PB = 2 et PC = 3. On fait une rotation, du tri-

angle APB, de centre B et d’angle 90° dans le sens des aiguilles d’une montre, alors P −→ Q, A −→
C, par suite BPQ est un triangle rectangle isocèle. Par conséquent, PQ 2 = 2 PB2 = 8, CQ 2 = PA2 =
1, et d’après la réciproque du théorème de Pythagore :
PC 2 = 9 = CQ 2 + PQ 2 d’où [ = 90°.
CQP
[ = 90° + 45° = 135°.
= CQB
En conclusion, APB
Exemple 12 : (Formule de la médiane)
Soient ABC un triangle, et AM la médiane du côté [BC] (avec M le milieu de [BC]). Montrer
la formule de la médiane :

AB2 + AC 2 = 2 AM 2 + BM 2 .
Soit D ∈ [BC] tel que (AD)⊥(BC). D’après le théorème de Pythagore on a :

AB2 = BD 2 + AD 2 = (BM + MD)2 + AD 2 = BM 2 + AM 2 + 2BM · MD.
De même, on a : AC 2 = CM 2 + AM 2 − 2MC · MD. En additionnant les deux dernières expressions
on conclut que :
AB2 + AC 2 = 2 AM 2 + BM 2 .
Remarque : Si ABEC est un parallélogramme (voir figure ci-dessous), alors la formule de la mé-
diane devient l’identité du parallélogramme :
AB2 + BE 2 + EC 2 + CA2 = AE 2 + BC 2 .
b
A
B M C
b b b b
E b
Exemple 13
Soit O un point à l’intérieur d’un triangle ABC . On désigne par E ∈ [AC], F ∈ [AB] et
D ∈ [BC] les pieds des perpendiculaires issues de O aux côtés [AC], [AB] et [BC] respecti-
vement. Montrer que :
AF 2 + BD 2 + CE 2 = BF 2 + DC 2 + AE 2 .
En appliquant le théorème de Pythagore dans les triangles OAF, OBF, OBD, OCD, OCE et OAE
on déduit que :

AF 2 + BD 2 + CE 2 = AO 2 − OF 2 + BO 2 − OD 2 + CO 2 − OE 2

= BO 2 − OF 2 + CO 2 − OD 2 + AO 2 − OE 2 = BF 2 + DC 2 + AE 2 .
Exemple 14
Dans le diagramme ci-contre, P est un point A

à l’intérieur du triangle ABC . On suppose
b b b
P1 P3
que (PP1 )⊥(AB), (PP2 )⊥(BC), (PP3 )⊥(AC), et b
BP1 = BP2 , CP2 = CP3 . F b
P
Montrer que AP1 = AP3 .
B C
b b
P2 b
Puisque dans le quadrilatère AP1 BP les diagonales sont perpendiculaires entre elles, alors :

AP12 + BP 2 = AF 2 + P1 F 2 + BF 2 + PF 2 = AF 2 + PF 2 + P1 F 2 + BF 2 = AP 2 + BP12 .
En considérant, de même, les quadrilatères AP3 CP et PCP2 B on obtient :
AP 2 + CP32 = AP32 + PC 2 et BP22 + PC 2 = PB2 + CP22 .
En additionnant ces trois dernières identités on arrive à : AP12 = AP32 , c’est-à-dire AP1 = AP3 .
1.10 Quadrilatères
Définition (Parallélogramme)
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont deux à deux paral-
lèles.
1.10. QUADRILATÈRES 21
Proposition
Soit ABCD un parallélogramme.

1 Les droites (AB) et (DC) sont parallèles. Les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
2 Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu.
3 Le point d’intersection O des diagonales est le centre de symétrie de ABCD.
4 Les côtés opposés de ABCD sont de même longueur : AB = CD et AD = BC.
[ = BCD
5 Les angles opposés de ABCD ont même mesure : DAB [ et ABC
[ = ADC.
[
A B
D
C
Proposition
1 Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors c’est un parallé-
logramme.
2 Si les côtés opposés d’un quadrilatère non croisé sont deux à deux de même lon-
gueur, alors c’est un parallélogramme.
3 Si deux côtés opposés d’un quadrilatère non croisé sont parallèles et de même lon-
gueur, alors c’est un parallélogramme.
Définition (Quadrilatères particuliers)
1 Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.

2 Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur.
3 Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même
longueur.
K
D C b G H
b b b b
J
M
b b
B F E
b b L b b
A b
Proposition
Si ABCD est un rectangle, alors :

1 ABCD est un parallélogramme,
2 les diagonales [AC] et [BD] ont même longeur.
Si ABCD est un parallélogramme et que ses diagonales ont même longueur, alors c’est un
rectangle.
Proposition
Si JKML est un losange, alors :

1 JKML est un parallélogramme,
2 les diagonales [JM] et [KL] sont perpendiculaires.
Si JKML est un parallélogramme et que ses diagonales sont perpendiculaires, alors c’est
un losange.
Proposition
Si EFGH est un carré, alors :

1 EFGH est un parallélogramme,
2 les diagonales [EG] et [FH] ont même longueur,
3 les diagonales [EG] et [FH] sont perpendiculaires.
Si EFGH est un parallélogramme et que ses diagonales ont même longueur et sont perpen-
diculaires, alors c’est un carré.
Quadrilatère
est un
Parallélogramme
Rectangle Losange
Carré
1.11 Aires. Périmètres
Définition (Périmètre)
1 Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour. Il s’exprime à l’aide d’une
unité de longueur.
2 Le périmètre d’un polygone est égal à la somme des longueurs de ses côtés.
❏ Le périmètre d’un carré de côté c est égal à : 4 × c.

❏ Le périmètre d’un rectangle de longueur L et de largeur l est égal à : 2 × L + 2 × l.
❏ Le périmètre d’un cercle de rayon r est égal à : 2 × π × r.
Définition (Aire)
L’aire d’une figure est la mesure de sa surface intérieure, dans une unité donnée.
❏ L’aire d’un rectangle de longueur L et de largeur l est égale à : L × l.

1.12. SYMÉTRIE. TRANSFORMATIONS GÉOMÉTRIQUES 23
❏ L’aire d’un parallélogramme de base b et

de hauteur h est égale à : b × h.
h
b×h
❏ L’aire d’un triangle est égale à : ,
2
où b est la base et h la hauteur. h
❏ L’aire d’un disque de rayon r est égale à : π × r × r.
1.12 Symétrie. Transformations géométriques
Définition (Symétrie axiale)
Soit (d) une droite.

1 Si un point A n’appartient pas à la droite (d), alors son symétrique par rapport à
la droite (d) est le point A′ tel que la droite (d) est la médiatrice du segment [AA′ ].
2 Si un point B appartient à la droite (d), alors son symétrique par rapport à la
droite (d) est lui-même.
❏ Le symétrique de C par rapport à la droite (AB) est le point D.
C b b
B
b
D
A b
Proposition
Deux figures sont symétriques par rapport à une droite (d) si elles se superposent quand
on « plie » le long de cette droite. La droite (d) est appelée l’axe de symétrie.
Proposition
1 Le symétrique d’une droite par rapport à une droite est une droite : on dit que la
symétrie axiale conserve les alignements.
2 Le symétrique d’un segment par rapport à une droite est un segment de même
longueur : on dit que la symétrie axiale conserve les longueurs.
3 Deux figures symétriques par rapport à une droite ont la même forme : on dit que
la symétrie axiale conserve les angles, les périmètres et les aires.
Définition (Axe de symétrie)
On dit qu’une droite (d) est un axe de symétrie d’une figure si le symétrique de cette
figure par rapport à la droite (d) est la figure elle-même.
Proposition
1 Un segment a deux axes de symétrie : sa médiatrice et la droite portée par le seg-

ment.
2 Un angle a un axe de symétrie, qui partage cet angle en deux angles de même me-
sure, c’est la bissectrice de l’angle.
Proposition
1 Un triangle isocèle a un axe de symétrie : la médiatrice de sa base.

2 Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie : les médiatrices de chacun de ses
côtés.
3 Un rectangle a deux axes de symétrie : les médiatrices de chacun de ses côtés.
4 Un losange a deux axes de symétrie : les droites portées par ses diagonales.
5 Un carré a quatre axes de symétrie : les droites portées par ses diagonales et les
médiatrices de ses côtés.
Définition (Symétrie centrale)
Deux figures sont symétriques par rapport à un point O si elles se superposent lorsqu’on
effectue un demi-tour autour du point O . Le point O s’appelle le centre de symétrie.
❏ Le symétrique d’un point A distinct de O est le point A′ tel que O est le milieu du segment
[AA′ ].
b
A′
B′ b
O
b
b B
A
Proposition
1 Le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite : on dit que la
symétrie centrale conserve les alignements.
2 Si deux droites sont symétriques par rapport à un point, alors elles sont parallèles.
3 Le symétrique d’un segment par rapport à un point est un segment de même lon-
gueur : on dit que la symétrie conserve les longueurs.
4 Deux figures symétriques par rapport à un point ont la même forme : on dit que la
symétrie centrale conserve les angles, les périmètres et les aires.
1.12. SYMÉTRIE. TRANSFORMATIONS GÉOMÉTRIQUES 25
Définition (Translation)
Transformer une figure par translation, c’est la faire glisser sans la tourner. Ce glissement
est défini par :
• une direction ; • un sens ; • une longueur.
Sur une figure, on peut schématiser ce glissement par des flèches.
B b
b
C′
b
b
C
A
Proposition
1 Une figure et son image par une translation sont superposables.

2 La translation conserve les alignements, les angles, les longueurs et les aires.
Définition (Rotation)
Transformer une figure par rotation, c’est la faire tourner autour d’un point. Une rotation
est définie par :
• un centre ; • un angle de rotation ; • un sens de rotation (horaire ou anti-horaire).
b
A
120°
b
A′ b
Proposition
1 Une figure et son image par une rotation sont superposables.

2 La rotation conserve les alignements, les angles, les longueurs et les aires.
Définition (Homothétie)
Soit un point O . Transformer une figure par une homothétie de centre O , c’est l’agrandir
ou la réduire en faisant glisser ses points le long de droites passant par O . Une homothétie
est définie par : • un centre ; • un rapport k non nul.
b
A′
b
A
b O
Proposition
1 Une figure et son image par une homothétie ont la même forme. L’homothétie
conserve les alignements et les angles.
2 Par une homothétie de rapport k > 0, les longueurs sont multipliées par k et les aires
par k 2 .
1.13 Exercices
Exercice 1
Soit ABCD un quadrilatère donné. On note par E et F les milieux respectifs de [AD] et
1
[BC]. Montrer que si (AB) et (CD) ne sont pas parallèles, alors EF < (AB + CD).
2
Solution. Soit P le milieu de la diagonale [BD], alors d’après le théorème des milieux on a :
1 1
PE = AB et PF = CD.
2 2
1
En appliquant l’inégalité triangulaire dans le triangle PEF on obtient : EF < (AB + CD).
2
Exercice 2
Soit ABCD un trapèze tel que (AB) (CD) et AB = 2 CD. On désigne par M et N les milieux
respectifs des diagonales [AC] et [BD]. Déterminer une relation entre les périmètres de
ABCD et CDMN .
Solution. Soient F le milieu de [AB], et E le point d’intersection des droites (BC) et (AD).
1
D’après le théorème des milieux, (DC) (AB) et DC = AB implique que D, C sont les milieux
2
respectifs de [EA] et [EB]. Donc, d’après le théorème des milieux, les points D, M, F sont ali-
1 1 1 1
gnés, les points F, N , C sont alignés, et DM = EC = BC = MF, FN = AD = DE = N C.
2 2 2 2
1 1
D’où, MN = AF = CD. En conclusion :
2 2
P (ABCD) = AB + BC + CD + DA = 2(CD + DM + MN + N C) = 2 P (CDMN ).
Exercice 3
[ coupe (BD)
Soit ABCD un carré de centre O. On suppose que la bissectrice de l’angle CAB
en E et coupe (BC) en F. Montrer que 2 OE = CF.
Solution.
b b
A D
O
b
E b
B F C
b b b
G
b
1.13. EXERCICES 27
Soit (CG) la droite parallèle à (BD) et passant par C (voir figure). Alors CG = 2 OE. Puisque :
[ = AFB
CFG = 90° − 22.5° = 67.5°, [ = 180° − 45° − 67.5° = 67.5°,
CGF
alors CF = CG = 2 OE.
Exercice 4
Soient ABC un triangle, E le milieu de [BC], et D ∈ [BC] le pied de la hauteur issue de A.

[ = 2 BCA.
Montrer que si AB = 2 DE alors ABC [
1
Solution. Soit F le milieu de [AC], alors d’après le théorème des milieux EF =
AB = ED, d’où
2
[ = EDF.
DFE [ Puisque AF = FC et ADC [ = 90°, alors DF = AF = FC, par suite BCA
[ = EDF
[ =
1[ 1[
CEF = ABC, ce qui termine la preuve.
2 2
Exercice 5
Soit ABCD un trapèze avec (AB) (DC) et AD = BC. Les droites (AC) et (BD) se coupent
en O. On désigne par P, Q et R les milieux respectifs de [AO], [DO] et [BC]. On suppose
[ = 60°, montrer que PQR est un triangle équilatéral.
que AOB
Solution. Il suffit de montrer que PQ = PR = QR. Puisque les triangles ABO et CDO sont tous
les deux équilatéraux, alors BP⊥AO et CQ⊥DO. Donc, d’après les propriétés d’un triangle
rectangle inscrit dans son cercle circonscrit, on déduit que PR = BR = CR = QR. En utilisant
1 1
le théorème des milieux on a : PQ = AD = BC = PR = QR. Donc PQR est un triangle
2 2
équilatéral.
Exercice 6
[ (AD) est la médiane passant par A et

Dans le triangle ABC, (BE) est la bissectrice de ABC,
coupant (BC) en D, et les droites (AD) et (BE) se coupent en O en formant un angle droit.
On suppose que BE = AD = 4, déterminer les valeurs des longueurs AB, BC et CA.
Solution.
b
B
O D
b b b
A
b
E
b
F
b
C
1 [ = DBO
[ et
Soit D tel que (DF) (BE) (voir figure), alors EF = FC, DF = BE = 2. Puisque ABO
2
BO = BO alors les triangles rectangles ABO et DBO sont isométriques. Par suite AO = OD =
1
2, OE = DF = 1, d’où BO = 3. D’après le théorème des milieux et le théorème de Pythagore
2 √ √
on a : FC = EF = AE = AO 2 + OE 2 = 5, ainsi :
√ √ √ √
AC = 3AE = 3 5, AB = BO 2 + AO 2 = 13, BC = 2BD = 2AB = 2 13.
Exercice 7 : (Chine, 1999)
Dans le quadrilatère ABCD, AD > BC, E et F sont les milieux respectifs de [AB] et [CD].
On suppose que les droites (AD) et (BC) coupent (FE) aux points H et G respectivement.
[ < BGE.
Montrer que AHE [
Solution. Soit P le milieu de [AC]. On utilise le théorème des milieux pour résoudre l’exercice.
Comme (PE) (BG), (PF) (AH), alors PFE = AHE, [ PEF [ Ainsi, pour comparer AHE
= BGE. [
[ il suffit de comparer PFE et PEF. 1 1
Comme PE = BC < AD = PF, alors PFE < PEF.

et BGE,
2 2
Par conséquent AHE[ < BGE.
[
b
H
G
b
A
b
E
b
b B
P
b
D C
b
Fb b
Exercice 8
Soient ABC un triangle donné, et M ∈ [BC) situé au delà de C. On désigne par D, E et N les
milieux respectifs de [AB], [AC] et [BM]. Le milieu de [EN ] est noté H. Les droites (DH) et
(BM) se coupent au point F. Montrer que CF = FM.
1 1
Solution. Soit G le milieu de [BC], aors GN = BN − BG = (BM − BC) = CM, par suite il
2 2
suffit de montrer que GN = CF. Soit K le point d’intersection de (CD) avec (EG), alors comme
1
EK = KG et EH = HN , on a : (KH) (BM), KH = GN , d’où DH = HF. Par conséquent
2
1
KH = CF, ce qui donne GN = CF.
2
Exercice 9
[ = 90° et AB = BC. Soient D ∈ [AB] et E ∈ [BC]

Soit ABC un triangle rectangle isocèle, ABC
tels que AD = CE. M et N sont des points de (AC) tels que (DM)⊥(AE) et (BN )⊥(AE).
Montrer que N est le milieu de [MC].
Solution.
A
b
M
b
D b
N
P b
b
C
B
b b b
[ Puisque (BN )⊥(AC), alors

= BCD.
Les triangles ABE et CBD sont isométriques, donc BAE
1.13. EXERCICES 29
= CBN
BAE [ , ainsi CBN[ = BCD,
[ N [ [ Soit P le point d’intersection de (BN ) et (CD),
BD = CDB.
alors P est le milieu de [CD]. Puisque (DM) (PN ), alors d’après le théorème des milieux on
conclut que MN = N C.
Exercice 10 : (Chine, 1997)
[ coupe
Soit ABCD un quadrilatère avec (AD) (BC). Montrer que si la bissectrice de DAB
[
(CD) en E, et que (BE) est la bissectrice de ABC, alors AB = AD + BC.
Solution.
b
b
B
b
F
A
C E D
b b b
[ BAD
Soit F le milieu de [AB]. Puisque (AD) (BC) et CBA+ [ = 180°, alors AEB
= 180°−90° = 90°.
1 = EAF
= EAD,[ c’est-à-dire (EF) (AD), le point E est
D’où EF = AB = BF = AF, donc AEF
2
donc le milieu de [CD]. D’après le théorème des milieux pour un trapèze on conclut que :
1 1
(AD + BC) = EF = AB donc AB = AD + BC.
2 2
Exercice 11
Soient ABCD un carré de côté a ; M le milieu de [AD] et N le milieu de [MD].

[
Montrer que N \
BC = 2 ABM.
Solution. Soit E le milieu de [CD], et supposons que les droites (AD) et (BE) se coupent en F.
Par symétrie on a : DF = CB = a. Puisque les triangles rectangles ABM et CBE sont symétriques
par rapport à la droite (BD), alors \ [ Il suffit de montrer que N
ABM = CBE. [ [ et pour
BE = EBC,
cela on a juste besoin r [ [ [ [
de prouver que N BF = BFN puisque DFE = EBC. Par hypothèse on a :
2
3 3 5 1 5
AN = a, d’où N B = a + a2 = a. D’autre part, N F = a + a = a, d’où N F = BF, par
4 4 4 4 4
conséquent N [ [.
BF = BFN
M N D F
b b b b b
E
b
B C
b b
Exercice 12
[ = 90° et AB = AC. On désigne par D un point quelconque

Soit ABC un triangle tel que BAC
du segment [BC]. Montrer que :
BD 2 + CD 2 = 2 AD 2 .
b = 45°, BAE
b= C
Solution. Soit E ∈ [BC] tel que (AE)⊥(BC). Puisque B [ = 45°, alors AE =
= CAE
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been in the habit of seeing this particular window, and I am not in the
habit of buying jewellery.
I record this trifle here, as one of our common experiences, and I
am satisfied similar experiences are common to all.
Another experience is the anticipation of letters and their contents.
This is most frequent in the morning, just before rising. I frequently
see the letters and the shape of the envelope and style of address
before I actually see the letters on my consulting table.
The most common experience of all is recognised by the adage,
“Think of the Devil, and he will appear.” I have noted this in
particular. Sitting at the table, there is “popped” into my mind a
thought of someone. I will remark, “I think Mr. or Mrs. —— will be
here to-day,” and they come. Certainly, all who have come in this
way have been relatives or friends; and although they appear
subsequent to the thought of them, the evidence in favour of
thought-transference may not be esteemed conclusive. I say it is a
common experience. I don’t think we should despise any experience,
because it is common. To be common, indicates there is a basis,
amounting to a psychic law, to account for its existence.
Another common experience is the crossing of letters. One person
suddenly recollects “So-and-so;” and writes them a letter excusing
delay in writing, retailing news, and in all probability writing on some
subject more particularly than on others. Strange to say, the person
you have written to, has also been engaged writing to you about the
same time and on similar subjects. Both have possibly posted their
letters at such a time that the delivery has been crossed. I do not say
this proves anything; yet I cannot help thinking the experience is too
frequent to be accounted for by the usual explanation of accident or
coincidence.
Mark Twain’s article on “Mental Telegraphy” is fresh in the minds
of most magazine readers. Whether that article had a basis in the
writer’s actual experience or not, it is a pretty common experience
with most literary men.
“Distance,” says Mr. Tuttle, “has inappreciable influence on the
transference of thought. It may take place in the same room, or
where the two persons are thousands of miles apart. As a personal
experience, I will relate one of many similar incidents which have
awakened my attention to this wonderful phenomenon. Sitting by my
desk one evening, suddenly as a flash of light, the thought came to
write an article for the Harbinger of Light, published at Melbourne,
Australia. I had, by correspondence, become acquainted with the
editor, W. H. Terry, but there had been no letters passed for many a
year. I had not thought of him or his journal for I do not know how
long a time, and I was amused at first with the idea of writing on the
subject suggested. But the impression was so strong that I prepared
and forwarded an article. Nearly two months passed before I
received a letter from Mr. Terry, requesting me to write an article on
the subject on which I have written; and, making due allowance for
time, the date of our letters were the same. In our experience, this
crossing of letters answering each other has twice occurred—the
second by Mr. Terry answering a request of mine.”
Dr. Charles W. Hidden, of Newburyport, Mass., U.S.A., reports a
somewhat similar experience to that of Mark Twain and the above,
which was reported in a recent number of the Religio-Philosophical
Journal: A very peculiar plot impressed itself upon his mind, and he
immediately based a story upon the plot. He read the story to his
family, and was about to send it to a publication to which his wife had
recently become a subscriber. When the next number arrived he
opened it to learn how to forward his manuscript, and great was his
surprise to find on the first page a story bearing the title of his own,
and a plot almost identical with that which he had written. Parts of
the published article appeared word for word. It is needless to add
that Dr. Hidden tossed his manuscript into his desk, and it is there
yet. His explanation is, that he caught the title and the plot from
another, just as Mark Twain caught the plot of the “Big Bonanza”
from his friend Simmons.
It would be nigh impossible to illustrate the various phases of
thought-transference, ranging, as they do, from the association of
ideas which may be aroused by a hint, a half-uttered word, or a
gesture, to the unmistakable facts of pure mental transference, and,
higher still, to the region of pure psychism, where spirit influences
inspire and direct spirit, and thought-bodies are no longer recognised
as mere subjective spirits but living and tangible objective
personalities, albeit discarnate.
We can say truly with Voltaire, “There is a power that acts within
us, without consulting us.”
CHAPTER VI.
Thought-Reading Experiments.
Having satisfactory evidence of the reality of thought-transference, it
would be interesting to know if this power or faculty can be
cultivated, and if so, how? I propose in this chapter to show how this
can be done, and how to give thought-reading entertainments.
Experimental mind-reading may be distinguished, for the sake of
study, as the abnormal, the normal, and the spurious.
The abnormal, that which takes place in trance, dream, vision, or
which may be the product of artificial somnambulism or of some
super-sensitive condition of the nervous system, through disease.
We observe thought-transference in these conditions, rather than
attempt to cultivate it.
The normal, where the phenomena takes place in the ordinary
waking state, without muscular contact.
The spurious mind-reading, so-called, as the result of musculation
or contact, but which is, in fact, only muscle-reading.
In both the abnormal and normal, direct transference of thought
from mind to mind can only take place when there is the necessary
development of psychic activity in the agent or operator, and the
equally necessary sensitiveness in the sensitive or percipient.
Classed under muscle-reading are those performances and
games in which the sensitive reads not the mind, but some special
desire (of those with whom he or she may be placed in contact), by a
“careful study of the indications unconsciously given by the agent or
operator to the percipient or reader.”
In both abnormal and normal thought-reading, then, are presented
innumerable instances of the possession of psychic faculties; in the
muscle-reading phase there may be, and it is possible all successful
“readers” have, more or less sensitiveness, to take impressions.
To cultivate mind-reading in a sensitive, the operator should first
cultivate in himself the habit of projecting mental pictures, and think
of things as seen by the eye, rather than as described by words. This
is best done by calling to mind a landscape or domestic scene, by
conceiving and mentally building up the same, and, by degrees,
getting each feature or detail well stamped in his mind.
It is well in the beginning of these experiments to make the scene
as simple, and yet as natural and as complete in detail, as possible.
For instance, let the operator think of such a picture as this:—A
bright little landscape, having a well-defined cottage on the left, just
on the margin of a small lake; boat with two figures in the
foreground; rising bank upon the right; and a little higher up a
defined windmill, well thrown out by the perspective of blue-ridged
and undulating mountains, and sky in the background.
The agent, having satisfied himself of his sensitive’s whole or
partial powers of psychic perception, might ask:—“Do you see
anything now?” and quickly and deliberately go to work, meanwhile
formulating definitely such a picture as the above; even allowing
himself to get into ecstacies over the scene—peopling the cottage
and the mill, and introducing imaginary conversation between the
individual dwellers therein, and so on. The sensitive will describe the
whole as the same is felt or perceived. This experiment may appear
to some to be impossible, but the word impossible belongs to the
limitations of sense, and not to the range of the things possible to the
human spirit.
Some sensitives and mediums take impressions from their
surroundings—their clairvoyant revelations are often nothing more
than so much Mind-reading. Nothing more; but this nothing more is a
great deal. Certainly, it may not prove the existence of spirit, apart
from the sensitive’s own powers; but it does prove that man has
other avenues of knowledge than those with which he is usually
credited.
The development of mind-reading in the psychic states may be
encouraged by a little judicious assistance or direction. Invite the
sensitive to pay attention to So-and-so; to visit places, to examine
rooms, or describe people whom the sensitive has never seen. But
the places, the rooms, and the persons must be distinctly in the
minds of those persons, or agents, with whom he or she is placed in
rapport.
During these experiments the sensitive will say, “I see this,” or
describe that other, as if he actually saw. Hence the infinitely close
relationship of mind-reading to clairvoyance. Thought-reading in
spiritualism will be referred to in the next chapter.
Once possessing a good sensitive, the development of the power,
as a matter of fact, lies particularly in the operator’s ability to
concentrate and focus his thoughts—to think clearly, calmly, vividly,
and distinctly himself—and to deliberately and conscientiously
project the same.
THE NORMAL EXPERIMENTS WITHOUT CONTACT.
A pleasant hour or so can be profitably filled up on a long winter’s

evening with experiments in mind reading, without resorting to
mesmerism. It will be found that there are mind-readers in every
family—some boy, girl, or young woman more sensitive than the rest
to impressions.
Sometimes it has been found, when two or more persons think of
the same object, as in the “willing game,” the impression becomes
more vivid, and the sensitive finds, or describes, the article, or thing,
more easily. It has been left to the versatility of Professor Lodge, of
the University College, Liverpool, to project two distinct images at the
same time to a sensitive. He requested two friends to look at a paper
that he had given to each. On one paper a square was drawn, and
on the other an oblique cross. Neither person knew what the other
was looking at, and after they had looked intently at these diagrams
for a short time, the sensitive, who was in a normal condition, but
blindfold, said:—“I see two figures—first I see one, and then, below
that, another. I do not know which I am to draw. I cannot see either
plainly.” Having been requested to draw what she saw, she drew a
square, with an oblique cross inside of it. On being questioned, she
replied that she did not know why she placed the cross in the
square. The two images projected by distinct minds, intermingled,
and were produced, as narrated by Professor Lodge. We can readily
see that confusion will arise where a number of persons are thinking
of different subjects, or when some positive-minded individual
declares mind-reading to be an impossibility.
Something after the above experiments of Professor Lodge are
those which were conducted by Mr. Guthrie, a London barrister, and
reported by him to the Society of Psychical Research.
A number of diagrams, roughly drawn off-hand at the time, were
shown to the agent or precipitant, Mr. G., the subject, or percipient, a
lady, being blind-fold. During the process of transference, the agent
looked steadily and in silence at the drawing, the subject meanwhile
sitting opposite to him, and behind the stand on which the drawing
lay, so that it was entirely out of her range of vision had her eyes not
been blind-folded.
The agent stopped looking at the drawing when the subject
professed herself ready to make the attempt to reproduce it. The
time occupied thus was from half a minute to two or three minutes.
Then the handkerchief was removed, and she drew with a pencil
what had occurred to her mind.
RESULTS OF EXPERIMENTS IN THOUGHT-TRANSFERENCE.
RESULTS OF EXPERIMENTS IN THOUGHT-TRANSFERENCE.
The reproductions were made generally without the agent
following or watching the process. We reproduce several of the
attempts here, giving both the successes and the failures. Even the
failures show the effect Mr. G. produced upon the reader’s mind.
The experiments conducted so successfully in the family of the
Rev. Mr. Creery, of Boston, and made public by Professor Barrett in
The Journal of Psychical Research, show to what extent thought-
reading may be successfully carried on in the quietude and
confidence of a well-regulated family.
The mode of procedure adopted by Professor Barrett to test the
faculty as possessed by the children was as follows:—“One of the
children,” says Professor Barrett, “was sent into an adjoining room,
the door of which I saw was closed. On returning to the sitting-room,
and closing the door also, I thought upon some object in the house,
fixed upon at random. Writing the name down, I showed it to the
family present, the strictest silence being preserved throughout. We
then all silently thought of the name of the thing selected. In a few
seconds the door of the adjoining room was heard to open, and after
a short interval the child would enter the sitting-room, generally
speaking, with the object selected. No one was allowed to leave the
sitting-room after the object had been fixed upon, and no
communication with the child was conceivable, as her place was
often changed. Further, the only instructions given to the child were
to fetch some objects in the house that I would think upon and,
together with the family, silently keep in mind, to the exclusion as far
as possible of all other ideas.”
Now, if Professor Barrett had told the children to select a word,
and upon coming into the room were to spell or state what the word
was, I question if the experiments would have been so successful.
The articles thought of, whether a hair brush, an orange, wine glass,
apple, or a playing card, were of such a nature that a definite picture
or image of the thing thought of could be formed in the mind. The
father, mother, and even Professor Barrett, seem to have been
especially in rapport with the little sensitives, and thus all the more
readily were they able to transmit the mental picture of the articles
selected. Trick or collusion in this case is absolutely out of the
question. It would be interesting to know if these young sensitives,
who were so bright in 1881, still retain, or have increased or lost,
their powers.
There were 312 trials made during Professor Barrett’s stay of six
days, who adds—“One most striking piece of success, when the
things selected were divulged to none of the family, was five cards
running named correctly on the first trial—the odds against this
happening once in our series, being considerably over one million to
one. We had altogether a good many similar batches, the two
longest runs being eight consecutive successes, once with cards
and once with names, when the adverse odds in the former case
were over one hundred and forty-two millions to one, and on the
latter, something incalculably greater. Walls and closed doors made
no difference.” [The italics are mine.—J.C.]
Something after the foregoing style are drawing-room
entertainments given. If failure result, no one is blamed, and
ridiculous mistakes only lend pleasure to the company, where all are
known one to the other.
The usual method is to select someone for thought-reader. Lady or
gentleman, matters little. He or she is sent out of the room. Some
one in the room generally takes the lead, who may suggest the
article to be selected and hidden, which the thought-reader is to find.
The article selected is thought of by the entire company. The reader
is to go to the place where it is, lift it, put it down, or give it to some
one else; or to find a certain book and remove it from its place on
table or elsewhere, and put it somewhere else; to come in and sit on
a certain chair or to lead someone else to it, or perform whatever
other test that is decided upon. The reader is admitted into the room,
and, if at all receptive, will do or say something like what is desired—
often going direct to the spot, lifting the article, or doing the things
which the company have decided upon.
A good plan is to get the assistance of one or two friends, use a
bag of counters, upon which numbers 10 to 100 are placed; also a
smaller bag with numbers 1 to 9. Let the sensitive sit at a table in
such a position, so as, if not blindfolded, he or she could not see
what the agent has in his hand. Use the small bag to begin with. Let
one friend hold the bag, another select a number. When both have
carefully looked at it, let it be handed to the agent, who shall fix his
eyes steadily upon the figure, and picture the said figure on his mind.
The sensitive will in one or two minutes either say or write down
what the figure is. If these experiments become satisfactory, the
larger bag can be used. The experiments with numbers must not be
continued too long, and so weary the faculty. In the same way a
number of simple outline designs can be used—these presented one
by one to the agent or operator—a fish, a boy and barrow, a fireman
with escape, a negro and banjo, a lecturer on platform, an orange, a
book, etc., such as are found in children’s school books; repeating
the same processes as above. No one must speak but the agent and
the percipient, nor is the agent to know what the numbers or designs
are before the experiments are commenced.
Should failure occur, select another medium. In a company of
twenty to thirty persons it will be very strange if a good thought-
reading sensitive is not found. In which case, more serious
experiments may be attempted subsequently, and attain scientific
value.
The thought-reader should be blindfolded, and resign himself to
the influence of the agent or operator. Although he understands that
something is expected of him, he is not to be anxious about what,
but simply act as he feels himself prompted.
In proportion as the sensitive is able to give up anxiety and desire,
so will he be able to become a good reader.
The operator, or agent, must concentrate his mind upon what is
required, and will the sensitive to do it. When two or more persons,
or all in the room, are concentrating their minds upon the thing,
object, or word, the sensitive may all the sooner be influenced; but I
prefer that one person should be chosen as the operator, and all
intended experiments be submitted to him.
The process is analogous to that of mesmerism. We see traces
here of the influence of mind over mind. We see the operator
determines and the subject performs, although it may not be very
clear how thought is actually projected, or in what way it is received,
other than already suggested.
Practice makes perfect in this as in other things. Success is
proportionate to success. A reader showing a degree of susceptibility
at first attempts will generally improve by subsequent efforts. In a
similar way, operators will make headway with practice. Some
operators and sensitives will be successful at first trial; others again
have failed after repeated attempts.
Plenty of time should be taken for all first attempts. Let the
operator, for instance, keep his mind thoroughly fixed on the object.
Should the reader be going away from it, let the agent strongly wish
him to go back, touch it, lift it, etc., as previously decided upon by the
company.
All sensitive persons are likely to make good thought-readers; the
less sensitive, muscle-readers.
MUSCLE-READING ENTERTAINMENTS.
Thought-transference, like clairvoyance, is unequal in power and

manifestation, even with good percipients, and cannot be turned on
like, and with, the evening gas, to enlighten and entertain. Hence
those enterprising entertainers, like Bishop and Cumberland,
depended on “muscle-reading,” and “backed-up their show” with
tricks, some of them so puerile and barefaced that a third-rate
conjuror would be ashamed of them.
The general public, however, enjoyed these entertainments. They
were something new, and, like “angel’s visits,” were few and far
between. Not only so, but that wonderful combination, the general
public, saw that these entertainments were patronised by men of
science, such as Carpenter, Beard, Hammond, Baron Kelvin, and
others deeply in love with strictly materialistic hypothesis. They were
also patronised by “society.” These entertainers undertook to read
thoughts and expose spiritualism; and as the dear public loves
mystery, it went. But the dear public don’t like to be “taken in,” hence
these performances are generally repeated—in the next town.
The following, reported from St. John’s, N.B., January 17, 1887, in
the Herald, is a good illustration of the psychic and muscular
indications involved in an experiment of this kind:—“In a ‘mind-
reading’ performance on Saturday night, after several examples
indoors, the ‘reader,’ a young man who belongs to this city, asked for
an outdoor test. The party separated, one remaining with the reader,
and hid a pin in the side of a little house used by the switchman of
the New Brunswick Railway at Mill Street. In their travels they went
over the new railway trestle, a most difficult journey. The reader was
blindfolded, and one took his wrist, but at the trestle hesitated,
fearing to venture, and was told by the reader to let go his wrist and
place his hand on his head. The subject did so, and the reader went
upon the trestle. Some of the party suggested that the bandage
should be removed, but he told them not to mind, and, the subject
again taking the wrist, he went over the ice and snow-covered
sleepers. With a firm step he crossed to the long wharf, went over as
far as the mill gates, then quickly turned, retraced his steps, and
went back to the corner of Mill Street. Here he rested a minute, then
again took the subject’s hand, and in less than five minutes
afterwards found the pin. At the conclusion of the test, the reader
inquired what the matter had been when they first reached the
trestle. It was easily explained. The storm had covered the sleepers
with snow, and it was thought dangerous, even for a man not
blindfolded to cross them. The subject felt anxious for the reader’s
safety, and hesitated about going across. The tests were most
satisfactory.” Thought or mind-reading applied to these experiments
is a misnomer. If this young gentleman could “read thoughts” by
musculation, or contact, he would have known what the matter had
been when they first reached the trestle. Muscle-reading is not
thought-reading. Hence it is classified as spurious.
Any number of illustrations could be given of such entertainments.
The foregoing is sufficiently adequate to give an idea of how these
muscle (not thought) reading entertainments are given.
For drawing-room entertainments, first blindfold the reader, who is
conducted out of the room while the experiments are decided upon.
The blindfolding helps to mystify friends, who think the work is
rendered more difficult. As a matter of fact, the reader’s work is
rendered much more easy. It helps to isolate him, and leaves his
mind much less entrammelled by sights and impressions which
would otherwise prevent him receiving the impressions which it is
desirable he should receive.
Suppose the reader is to locate the seat of an imaginary pain, the
assistant or operator pro tem. will grasp[F] with his left hand the
sensitive’s right wrist and hold it firmly. While the reader is
endeavouring to locate the pain, the operator must give up his will,
and think intently on the situation of the pain. The reader will then
locate it.
There is less secret in this than appears at first sight. The
sensitive, or reader, is simply guided or led by the operator, and the
reader’s hand either stops partially over or is pressed upon the seat
of the pain. He then declares he has found the seat of the pain, and
points it out accordingly.
A somewhat similar method is adopted in finding the pin, or the
hole in which a pin had been. The racing and flying about of public
thought-readers are only so much “theatrical side,” thrown in to give
dramatic effect to their performances.
In reading the numbers on bank-notes, or spelling out certain
words, a board with the numerals and the alphabet (see front cover)
is placed in sight of the audience. The reader takes the wrist of the
operator, and, commencing at the left side of the board, proceeds
from figure to figure till he detects the right one. The operator thinks
only of one figure or letter at a time. This is the whole secret of
“musculation.” Even when the operators are sincere, and are careful
to give no conscious indications to the reader, yet it is almost certain,
if they keep their mind fixed on the desired figure or letter, object or
place, they will unconsciously indicate to the reader the right number
or letter.
To find an article, number, or do a certain act, it is necessary for
the reader to give prompt obedience to the indications given him.
The concentration of attention necessary can only come with
practice. No end of surprises and amusement will follow if the
operator honestly concentrates his mind upon the things to be done,
and a good muscle-reader is found to take up the indications.
Apparently, the most difficult feats are sometimes accomplished.
During the experiments, the reader will have curious sensations,
such as heaviness of feeling, dread and uncertainty, and then
blankness of mind, followed by an impulse to do something. If the
reader can keep his mind passive enough, he may receive
impressions, as in thought-transference; anyway, it is advisable to
wait for the impulse to move and to do. The highest percentages of
success always follow.
General directions for the cultivation of experimental thought-
transference and mind-reading given in these pages are sufficiently
specific, to be found thoroughly practical by those who have put
them into practice; and certainly no harm, either mental or physical,
can come to those who are willing to give them a fair trial.
CHAPTER VII.
Spiritualism.
Any reference to Spiritualism here must be very brief, and, I am
afraid, very incomplete. I will deal with the subject in the light of the
preceding chapters.
It has been established on the clearest evidence that thought-
transference and reception between two nearly harmonised or
sympathetic human beings, or embodied human spirits, are possible,
and this without intermediate sense or physical agencies. If, then,
between mind and mind on earth, distance or space being no
obstacle, matter no hindrance, why not between mind disincarnate—
if we can conceive of mind apart from the human brain and organism
—and mind incarnate? If not, why not?
It seems to me very difficult, if we accept the first, to reject the
latter conclusion. If we accept the latter, we are committed in the
main to belief in Spiritualism, ancient and modern. If we admit that it
is possible for a disembodied spirit to communicate with us in dream,
vision, or, as in the case of Miss Howett, have our hands influenced
to write, or that we see and converse with spirits, as in the case of
Mary Reynolds, we then admit, and accept in the main, the essential
features of what is known as Spiritualism. The subject is not only
interesting, but of vital importance; therefore, I think, the fear of being
called a “Spiritualist,” or any other name, should not prevent us
sounding to the depths, the psychic possibilities of our human
nature.
THE SPIRIT WITHIN US.
There is Spiritualism and Spiritualism. That which I am most

interested in is not so much a hankering after spirits, “spirit controls,”
and the phenomena, generally recognised as the right thing in
certain circles, as that other Spiritualism which leads to an honest
endeavour on our parts to ascertain if we are spirits, here and now,
albeit clothed for the time being in an organic envelope, relating us to
our present estate.
If we are embodied spirits, it will be possible for the spirit-man (the
essential self—ego, I am), in each human being to communicate at
times, and under certain fitting conditions, with other fellow-beings,
under such circumstances, and in such a way, as to make it clear:—
(a.) That the communications could not have been transmitted and
received by the ordinary channels, or physical sense organs, which
in ordinary circumstances appear essential to our exchange of
thought.
(b.) That the exchange of thought, in independence of the ordinary
sense channels, will demonstrate that man must possess other,
extraordinary or psychic, organs for the transmission and the
reception of thought.
Both positions I have endeavoured to sustain on the foregoing
pages; and, lastly, concerning spiritualism, I have arrived at the
profound conclusion that spirit-communion—that is, thought
transmission from the disembodied to the embodied—is a solemn
fact. After carefully eliminating all the possibilities of self-deception—
auto-trance, discreet degrees of consciousness, of natural and
acquired clairvoyance, of thought-transference and mind-reading,
and lastly, the puerile performances of conjurors and the simulated
phenomena of tricksters—there remains evidence of disembodied or
disincarnate spirit, and of such control influencing and directing the
actions of men, just as one man in this life influences and directs the
actions of another.
What I esteem, however, as satisfactory evidence might not be
evidence to another; and I for one do not think it necessary to open
up the life chambers of my psychic experiences to the indifferent, the
thoughtless, or the sceptic, to furnish the desired evidence. Others
must travel by the way I have come to understand something of that
way. All men cannot believe alike, hence it will not be surprising that
some will accept as sufficient evidence of spirit what others would
deem insufficient.
It is not my intention meantime to advocate spiritualism. I only
refer to it, in so far as it is related to “How to Thought-Read.”
However, phenomenal spiritualism is not a matter of belief so much
as of evidence, and many eminent thinkers have been compelled by
the force of the evidence to accept spiritualism now, who, a quarter
of a century ago, would have hesitated, principally through fear of
ridicule, to speak of the subject in language of ordinary civility.
While I am convinced that such communications between the so-
called dead and the living are possible, I do know and feel satisfied
that much which is accepted as evidence of the existence and
influence of spirits by the majority of the unthinking and excitable
crowd who rush after novelties, and perchance call themselves
“spiritualists,” is traceable to no other or higher source than our own
innate, but little understood, human or psychic powers. I have arrived
at this conclusion also, as the result of carefully investigating
spiritualism, and it is therefore not an a priori hypothesis
conveniently elaborated from my own or borrowed from the brains of
others who are opponents to spiritualism. It is probable, had I not
devoted the greater part of my life to spiritualism, as one of the
factors in human character, I should have known but little of that
sympathetic transference of thought from one mind to another, or of
the light which that fact throws upon our dual or compound
existence.
In this “sympathetic transference of thought” we find a solution to
the problem of spiritualism, whether old or new. I conclude, with
Buffon, “The true springs of our organisation are not these muscles,
these veins, these arteries, which are described with so much
exactness and care. There exist in organised bodies internal forces
which do not follow the gross mechanical laws we imagine, and to
which we would reduce everything.” Or, as Laplace puts it more
strongly—“Beyond the limits of this visible anatomy commences
another anatomy, whose phenomena we cannot perceive; beyond
the limits of this external physiology of forces, of action, and of

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Objectif Olympiades de Mathématiques: Tome 2 : Analyse

Objectif Olympiades de Mathématiques: Tome 1 : Algèbre

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REPI CACD diplomacia internacional 3a Edic a o 3rd

Cicéron. De la Divination. Tome I Livre I François

Les Arcanes de l Univers Tome I Dolores Cannon

English G Lighthouse Band 6 Lehrerfassung Frank

Em Busca Do Ser 1st Edition G I Gurdjieff

2 Volume 1 : Algèbre, 2020.

C’est ainsi que l’on devient champion olympique !

Strasbourg, 27 Février 2022

2 Résultats de base (Niveau 1) 31

3 Résultats de base (Niveau 2) 87

3.7 Droite de Simson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5 Géométrie du triangle 191

7 Quelques théorèmes. Applications 355

7.6.1 Généralisation du théorème du papillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

1.1 Droites. Cercles

1 La distance entre deux points A et B est la longueur du segment d’extrémités A et

Définition (Cercle. Disque)

O désigne un point, et r un nombre positif.

[BB′ ] est un diamètre.

Définition (Droites sécantes)

Définition (Droites perpendiculaires)

Définition (Droites parallèles)

1 Si un point M appartient à la médiatrice du segment [AB], alors MA = MB.

❏ Si A, B et C sont trois points alignés, alors

❏ Si n’importe quel nombre d’angles sont

❏ Angles opposés par le sommet :

Définition (Angles alternes-internes)

2 ils sont situés de part et d’autre de la droite (d) ;

Définition (Triangles particuliers)

1 Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longeur.

AB < AC + CB, AC < AB + CB et CB < AC + AB.

Proposition (égalité triangulaire)

Soient A, B et C trois points distincts.

❏ La mesure de l’angle externe d’un tri-

1.4 Droites remarquables dans le triangle

Le triangle rectangle est inscrit dans le cercle de diamètre son hypoténuse.

1.5 Triangles isométriques

☞ On respecte l’ordre des lettres : A et M, B et N , C et P.

Théorème : Critère CAC (côté-angle-côté)

Théorème : Critère ACA (angle-côté-angle)

1.6 Théorème des milieux

Théorème des milieux (Cas du triangle)

Soit ABC un triangle, D ∈ [AB] et E ∈ [AC].

Théorème des milieux (Cas du trapèze)

Soient ABC un triangle, D ∈ [AB] et E ∈ [AC] sont tels que AD = DB et AE = 2EC . On

Soit M le milieu de [AE]. En appliquant le A

et EF = DM. Par suite EF = BE. E

On conclut que BE = 4EF. B

On prolonge les côtés AB et AD jusqu’à E et F de sorte que AB = BE et AD = DF (voir figure).

Soient ABCD un quadrilatère, E et F les milieux respectifs de [AB] et [BC]. On suppose

Dans la figure ci-contre, ABC est un triangle D

[ = 30°, d’où CD = 1 AC = 1 AB. D’après le théorème des milieux pour

Exemple 7 : (Russie, 1995)

par conséquent KLM est un triangle équilatéral.