Introduction (Récupération Automatique)

Introduction
Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-

Lorentz, du nom du physicien écossais James Clerk Maxwell, sont des
lois fondamentales de la physique. Elles constituent, avec l'expression
de la force électromagnétique de Hendrik Lorentz, les postulats de
base de l'électromagnétisme.
Ces équations traduisent sous forme locale

différents théorèmes (Gauss, Ampère, Faraday) qui régissaient
l'électromagnétisme avant que Maxwell ne les réunisse sous forme
d'équations intégrales. Elles donnent ainsi un
cadre mathématique précis au concept fondamental
de champ introduit en physique par Michael Faraday dans les
années 1830.
Ces équations montrent notamment qu'en régime stationnaire, les

champs électrique et magnétique sont indépendants l'un de l'autre,
alors qu'ils ne le sont pas en régime variable. Dans le cas le plus
général, il faut donc parler du champ électromagnétique, la
dichotomie électrique-magnétique étant une vue de l'esprit. Elles
mettent aussi en évidence les équations d'ondes qui gèrent la
propagation des ondes électromagnétiques.
Dans sa forme moderne, le champ électromagnétique est représenté

par un objet mathématique unique, le tenseur électromagnétique, dont
certaines composantes s'identifient à celles du champ électrique et
d'autres à celles du champ magnétique
Illustrer par la figure ci-dessous le statut de plaque qui montre les 4

équations de maxwell
1.1 : L’image ci-dessous illustre les quatre équations de maxwell
Figure 1.1 les quatre équations de maxwell
2. LES EQUATIONS DE MAXWELL
Les quatre équations de Maxwell constituent le fondement de la théorie

électromagnétique. Elles furent publiées en 1864. En 1885, Hertz fut le
premier à produire et à détecter des ondes électromagnétiques, autres
que des ondes lumineuses, prédites par la théorie de Maxwell et à
mesurer leur vitesse de propagation.
Les grandeurs rencontrées en électromagnétisme Les équations de
Maxwell ´ font intervenir les grandeurs suivantes :
 Le champ électrique
 L’induction magnétique
 Le champ magnétique
 La densité de flux électrique ´
 La densité de courant électrique
 La densité de charge électrique

Du point de vue des praticiens de la Physique qui considèrent les
symboles et opérateurs mentionner ci-haut comme des champs
de vecteurs de l’espace, pouvant varier au cours du temps t, et ρ
comme une grandeur scalaire dont la valeur peut varier en
fonction du point de l’espace considérée et du temps.
2.1 EQUATIONS DE MAXWELL SOUS FORME LOCAL OU

DIFFERENTIELLE
Ces équations s’énoncent comme suite il n'existe pas de
monopôle magnétique. Un monopôle magnétique serait une
source ponctuelle de champ magnétique, analogue de la charge
électrique ponctuelle pour le champ électrique.
(Équations de maxwell- faraday)
(Équations de maxwell- Thomson)
(Équations de maxwell-ampère)
(Équations de maxwell – gauss)
Figure :2.1 montre les équations locales de maxwell

3.LES EQUATION DE MAXWELL SOUS FORME GLOBAL OU
INTEGRALLE
La Forme intégrale des équations de Maxwell est une surface
régulière bornée, immobile dans le référentiel galiléen considéré, dont
le bord est une courbe régulière fermée C ;
Σ est une surface régulière fermée, formant le bord d’un ´ volume
borne´(V) lui aussi immobile dans le référentiel galiléen considéré.
Les deux premières équations de Maxwell, dites de´ Maxwell-Faraday
et de Maxwell-Thomson, font intervenir les champs de vecteurs ,
tandis que les deux dernières, dites de Maxwell-Ampère et de

Maxwell-Gauss, font intervenir : , , et p
Pour une divergence, on calcule le flux sortant d’une surface fermée

et on le transforme à l’aide du théorème de Green-Ostrogradski. •
Pour un rotationnel, on calcule la circulation sur un contour fermé et
on la transforme à l’aide du théorème de Stokes-Ampère.
3.1 : L’EQUATION DE MAXWELL-FARADAY
Cette équation exprime l’égalité de la circulation du champ de

vecteurs le long de la courbe C et de l’opposé de la dérivée par rapport
au temps du flux du champ de vecteurs , a` travers la surface A :
3.1cette figure montre la forme intégrale de M-F
Figure 3.1 forme intégrale de l’équation de maxwell-faraday

Dans cette équation est, en chaque point de C, le vecteur élément de
longueur d’arc ´ tangent en ce point a la courbe ` C, et est, en
chaque point de A, le vecteur élément ´ d’aire normal en ce point à la

surface ` A.
3.2 EQUATION DE MAXWELL-GAUSS
La forme intégrale de cette équation exprime l’égalité de de la charge

électrique contenue dans le volume V et du flux du champ de vecteurs
à travers
3.2 cette figure représente la forme intégrale de M-G
Figure 3.2 : forme intégrale de maxwell gauss
3.3 EQUATION DE MAXWELL -AMPÈRE
La forme intégrale de l’équation de Maxwell- Ampère exprime l’égalité

de la circulation du champ de vecteurs le long de la courbe C et du
flux à travers A du champ de vecteurs
3.3 : cette image présente la forme intégrale de M-A

Image 3.3 la forme intégrale de l’équation de de maxwell-ampère
3.4 : EQUATION DE MAXWELL-THOMSON
La forme intégrale de l’équation de Maxwell- ´ Thomson exprime la

nullité du flux du champ de vecteurs ´ à travers la surface fermée
3.4 cette équation est représenté par la figure ci-dessous
Figure 3.4 représentations de la forme intégrale de l’équation de

M-T
Comme ci-dessus, est, en chaque point de , le vecteur élément
d’aire normal en ce point à la surface
3.5 LA FORCE DE LORENZ

Le champ électromagnétique et est défini dans un référentiel R
donné, par la force qui s’exerce sur une particule chargée q, dite
« force de Lorentz »
3.5 figures ci-dessous illustre la formule de la force de Lorenz
Figure 3.5 la force de Lorenz
3.6 LA FORCE DE LA PLACE

Tout conducteur parcouru un courant électrique et placer dans un
champ magnétique est soumise à une force dite « la place »
3.6 la formule ci-dessous illustre la force de la place
F=B*I*L
La figure 3.6 : force de la place
4.GENERALISATION DES EQUATIONS DE MAXWELL
D’après l’analyse de Fourier, toute OEMPP se propageant dans la

direction peut s’écrire comme une superposition d’OEMPPH se
propageant suivant la même direction avec des pulsations
différentes. Or la structure d’une OEMPPH est indépendante de .
On peut donc étendre les propriétés établies pour les OEMPPH aux
OEMPP.
Une OEMPP dans le vide se propageant dans la direction a une
structure transverse :
. =0
. =0
Figure 4.1 structure transverse
( , , ) forme un trièdre direct avec :

=
Figure 4.2 trièdre direct
IL peut également s’écrire pour une OEMPP harmonique :
Figure 4.3 OEMPP harmonique
4 .1 APPLICATIONS
Les équations de maxwell modélisent mathématiquement les
interactions entre charges électriques, courants électriques, champs
électriques et champs magnétiques.
4.2 RESUME
La première équation, dite de Maxwell-Faraday, donne la relation entre

la circulation du champ électrique sur un contour fermé et la variation
temporelle du flux du champ magnétique à travers une surface qui
s’appuie sur ce contour. C’est le phénomène d’induction
magnétique
La deuxième équation, dite équation de Maxwell-Gauss exprime le fait

que le flux de champ électrique à travers une surface fermée est relié à
la charge électrique contenue à l’intérieur de cette surface.
La troisième équation, dite de Maxwell-Ampère, exprime la relation
entre la circulation du champ magnétique sur un contour ferme et le
flux de courant à travers une surface s’appuyant sur ce contour.
Enfin La quatrième équation exprime que le flux du champ

magnétique à travers n’importe quelle surface fermée est nul. Il
n’existe pas de monopoles magnétiques
5. CONCLUSION
Les équations de Maxwell sont invariantes par les transformations du
groupe de Lorentz, pas par celles du groupe de Galilée.
BIBLIOGRAPHIE
3. V. Guillemin et S. Sternberg, Symplectique techniques in Physiques,
Cambridge University Press, 1984.
Webographie
1.Les équations de Maxwell. Wikipédia, http ://fr.wikipedia.org/wiki/.

2. Transformations de Lorentz du champ électromagnétique.
Wikipédia, ´ http ://fr.wikipedia.org/wiki/.
3. https ://www.immae.eu/cours.com

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Introduction

Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-

Ces équations traduisent sous forme locale

Ces équations montrent notamment qu'en régime stationnaire, les

Dans sa forme moderne, le champ électromagnétique est représenté

Illustrer par la figure ci-dessous le statut de plaque qui montre les 4

Figure 1.1 les quatre équations de maxwell

2. LES EQUATIONS DE MAXWELL

Les quatre équations de Maxwell constituent le fondement de la théorie

 La densité de flux électrique ´

 La densité de courant électrique

 La densité de charge électrique

2.1 EQUATIONS DE MAXWELL SOUS FORME LOCAL OU

(Équations de maxwell- faraday)

(Équations de maxwell- Thomson)

(Équations de maxwell – gauss)

Figure :2.1 montre les équations locales de maxwell

tandis que les deux dernières, dites de Maxwell-Ampère et de

Pour une divergence, on calcule le flux sortant d’une surface fermée

3.1 : L’EQUATION DE MAXWELL-FARADAY

Cette équation exprime l’égalité de la circulation du champ de

3.1cette figure montre la forme intégrale de M-F

Figure 3.1 forme intégrale de l’équation de maxwell-faraday

longueur d’arc ´ tangent en ce point a la courbe ` C, et est, en

chaque point de A, le vecteur élément ´ d’aire normal en ce point à la

La forme intégrale de cette équation exprime l’égalité de de la charge

3.2 cette figure représente la forme intégrale de M-G

Figure 3.2 : forme intégrale de maxwell gauss

3.3 EQUATION DE MAXWELL -AMPÈRE

La forme intégrale de l’équation de Maxwell- Ampère exprime l’égalité

flux à travers A du champ de vecteurs

3.3 : cette image présente la forme intégrale de M-A

3.4 : EQUATION DE MAXWELL-THOMSON

La forme intégrale de l’équation de Maxwell- ´ Thomson exprime la

3.4 cette équation est représenté par la figure ci-dessous

Figure 3.4 représentations de la forme intégrale de l’équation de

d’aire normal en ce point à la surface

3.5 LA FORCE DE LORENZ

Figure 3.5 la force de Lorenz

3.6 LA FORCE DE LA PLACE

4.GENERALISATION DES EQUATIONS DE MAXWELL

D’après l’analyse de Fourier, toute OEMPP se propageant dans la

propageant suivant la même direction avec des pulsations

différentes. Or la structure d’une OEMPPH est indépendante de .

Une OEMPP dans le vide se propageant dans la direction a une

Figure 4.1 structure transverse

( , , ) forme un trièdre direct avec :

Figure 4.2 trièdre direct

IL peut également s’écrire pour une OEMPP harmonique :

Figure 4.3 OEMPP harmonique

La première équation, dite de Maxwell-Faraday, donne la relation entre

La deuxième équation, dite équation de Maxwell-Gauss exprime le fait

Enfin La quatrième équation exprime que le flux du champ

1.Les équations de Maxwell. Wikipédia, http ://fr.wikipedia.org/wiki/.

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