CENTRALE MP 2015 - MATHS 2

Autour des sommes d’Euler

n
X 1 1 1
Dans tout le problème, on note pour tout entier n ≥ 1, Hn = =1+ + ··· + ·
k=1
k 2 n
+∞
X 1
On note ζ la fonction définie pour x > 1 par ζ(x) = ·
n=1
nx
Le but du problème est d’étudier des séries faisant intervenir la suite (Hn ) et notamment d’obtenir
+∞
X Hn
une relation due à Euler qui exprime, pour r entier naturel supérieur ou égal à 2, à
n=1
(n + 1)r
l’aide de la valeur de la fonction ζ en certains points entiers.

I. Représentation intégrale de sommes de séries

I.A.
1
Z n dt
I.A.1) Justifier que la série de terme général an = − converge.
n n−1 t
I.A.2) Montrer qu’il existe une constante réelle A telle que Hn = ln n + A + o(1). En déduire
+∞
que Hn ∼ ln n .
+∞

I.B. Soit r un entier naturel.

X Hn
Pour quelles valeurs de r la série est-elle convergente ?
n≥1
(n + 1)r
+∞
X Hn
Dans toute la suite on notera Sr = lorsque la série converge.
n=1
(n + 1)r

I.C.
I.C.1) Donner sans démonstration les développements en série entière des fonctions t 7→ ln(1 − t)
1
et t 7→ ainsi que leur rayon de convergence.
1−t
I.C.2) En déduire que la fonction
ln(1 − t)
t 7−→ −
1−t
est développable en série entière sur ]−1 ; 1[ et préciser son développement en série entière
à l’aide des réels Hn .

I.D. Pour tout couple d’entiers naturels (p, q) et pour tout ε ∈ ]0 ; 1[ , on note :
Z 1 Z 1
Ip,q = tp (ln t)q dt et ε
Ip,q = tp (ln t)q dt .
0 ε

I.D.1) Montrer que l’intégrale Ip,q existe pour tout couple d’entiers naturels (p, q).

I.D.2) Montrer que :

ε q ε εp+1 (ln ε)q

∀p ∈ N, ∀q ∈ N∗ , ∀ε ∈ ]0 ; 1[ , Ip,q =− Ip,q−1 − ·
p+1 p+1
I.D.3) En déduire que l’on a :
q
∀p ∈ N, ∀q ∈ N∗ , Ip,q = − Ip,q−1 .
p+1

I.D.4) En déduire une expression de Ip,q en fonction des entiers p et q .

1
I.E.
Soit r un entier naturel non nul et f une fonction développable en série entière sur ]−1 ; 1[ .
+∞
X X an
On suppose que pour tout x ∈ ]−1 ; 1[ , f (x) = an xn et que converge
n=0 n≥0
(n + 1)r
absolument.
Montrer que :
1 +∞
an
Z X
(ln t)r−1 f (t) dt = (−1)r−1 (r − 1)! ·
0 n=0
(n + 1)r

I.F.
I.F.1) Déduire des questions précédentes que pour tout entier r ≥ 2 :
+∞
Hn (−1)r 1 ln(1 − t)
X Z
Sr = = (ln t)r−1 dt .
n=1
(n + 1)r (r − 1)! 0 1−t

(−1)r 1 (ln t)r−2 (ln(1 − t))2

Z
I.F.2) Établir que l’on a alors Sr = dt .
2(r − 2)! 0 t

1 1 (ln t)2
Z
I.F.3) En déduire que S2 = dt , puis trouver la valeur de S2 en fonction de ζ(3).
2 0 1−t

II. La fonction β
II.A. La fonction Γ

II.A.1) Soit x > 0. Montrer que t 7→ tx−1 e−t est intégrable sur ]0 ; +∞[ .
Z +∞
Dans toute la suite, on notera Γ la fonction définie sur R∗+ par Γ(x) = tx−1 e−t dt .
0
On admettra que Γ est de classe C ∞ sur son ensemble de définition, à valeurs strictement
positives et qu’elle vérifie, pour tout réel x > 0, la relation Γ(x + 1) = xΓ(x).
Z +∞
II.A.2) Soient x et α deux réels strictement positifs. Justifier l’existence de tx−1 e−αt dt et
0
donner sa valeur en fonction de Γ(x) et αx .

II.B. La fonction β et son équation fonctionnelle

Z 1
Pour (x, y) ∈ (R∗+ )2 , on définit β(x, y) = tx−1 (1 − t)y−1 dt .
0

II.B.1) Justifier l’existence de β(x, y) pour x > 0 et y > 0.

II.B.2) Montrer que pour tous réels x > 0 et y > 0, β(x, y) = β(y, x).
x
II.B.3) Soient x > 0 et y > 0. Établir que β(x + 1, y) = β(x, y).
x+y
xy
II.B.4) En déduire que pour x > 0 et y > 0, β(x + 1, y + 1) = β(x, y).
(x + y)(x + y + 1)

II.C. Relation entre la fonction β et la fonction Γ

Γ(x)Γ(y)
On veut montrer que pour x > 0 et y > 0, β(x, y) = , relation qui sera notée (R).
Γ(x + y)
II.C.1) Expliquer pourquoi il suffit de montrer la relation (R) pour x > 1 et y > 1.
Dans toute la suite de cette question, on supposera que x > 1 et y > 1.

2
 +∞ ux−1
Z
II.C.2) Montrer que β(x, y) = du .
0 (1 + u)x+y
u
On pourra utiliser le changement de variable t = ·
1+u
II.C.3) On note Fx,y la primitive sur R+ de t 7→ e−t tx+y−1 qui s’annule en 0. Montrer que :

∀ t ∈ R+ , Fx,y (t) ≤ Γ(x + y) .

+∞ ux−1
Z


II.C.4) Soit G(a) = x+y
Fx,y (1 + u)a du .
0 (1 + u)
Montrer que G est définie et continue sur R+ .

II.C.5) Montrer que lim G(a) = Γ(x + y)β(x, y).

a→+∞

II.C.6) Montrer que G est de classe C 1 sur tout segment [c ; d] inclus dans R∗+ , puis que G est
de classe C 1 sur R∗+ .

II.C.7) Exprimer pour a > 0, G′ (a) en fonction de Γ(x), e−a et ay−1 .

II.C.8) Déduire de ce qui précède la relation (R).

III. La fonction digamma

On définit la fonction ψ (appelée fonction digamma) sur R∗+ comme étant la dérivée de
x 7→ ln(Γ(x)).
Γ′ (x)
Pour tout réel x > 0, ψ(x) = ·
Γ(x)
1
III.A. Montrer que pour tout réel x > 0, ψ(x + 1) − ψ(x) = ·
x
III.B. Sens de variation de ψ
∂β
III.B.1) À partir de la relation (R), justifier que est définie sur (R∗+ )2 .
∂y
∂β

Établir que pour tous réels x > 0 et y > 0, (x, y) = β(x, y) ψ(y) − ψ(x + y) .
∂y
III.B.2) Soit x > 0 fixé. Quel est le sens de variations sur R∗+ de la fonction y 7→ β(x, y) ?

III.B.3) Montrer que la fonction ψ est croissante sur R∗+ .

III.C. Une expression de ψ comme somme d’une série de fonctions

III.C.1) Montrer que pour tout réel x > −1 et pour tout entier n ≥ 1 :
n 
1 1
X 
ψ(1 + x) − ψ(1) = ψ(n + x + 1) − ψ(n + 1) + − ·
k=1
k k+x

III.C.2) Soit n un entier ≥ 2 et x un réel > −1. On pose p = E(x) + 1, où E(x) désigne la partie
entière de x.
Prouver que :
p+1
0 ≤ ψ(n + x + 1) − ψ(n) ≤ Hn+p − Hn−1 ≤ ·
n
III.C.3) En déduire que, pour tout réel x > −1,
+∞
X 1 1

ψ(1 + x) = ψ(1) + − ·
n=1
n n+x

3
III.D. Un développement en série entière
On note g la fonction définie sur [−1 ; +∞[ par :
+∞
X 1 1

g(x) = − ·
n=2
n n+x

III.D.1) Montrer que g est de classe C ∞ sur [−1 ; +∞[ .

Préciser notamment la valeur de g(k) (0) en fonction de ζ(k + 1) pour tout entier k ≥ 1.

III.D.2) Montrer que pour tout entier n et pour tout x ∈ ]−1 ; 1[

n
 
 g(k) (0) k 
x  ≤ ζ(2) |x|n+1 .
X
g(x) −


k=0
k! 

Montrer que g est développable en série entière sur [−1 ; 1] .

III.D.3) Prouver que pour tout x dans ]−1 ; 1[ ,

+∞
X
ψ(1 + x) = ψ(1) + (−1)n+1 ζ(n + 1)xn .
n=1

IV. Une expression de Sr en fonction de valeurs entières de ζ

∂2β
Dans cette partie, on note B la fonction définie sur R∗+ par B(x) = (x, 1).
∂y 2
IV.A. Une relation entre B et ψ
Justifier que B est définie sur R∗+ .
À l’aide de la relation trouvée au III.B., établir que pour tout réel x > 0 :

2
+ ψ ′ (1) − ψ ′ (1 + x) .


xB(x) = ψ(1 + x) − ψ(1)

En déduire que B est C ∞ sur R∗+ .

IV.B. Expression de Sr à l’aide de la fonction B

Z 1
2
IV.B.1) Montrer que pour tout réel x > 0, B(x) = ln(1 − t) tx−1 dt .
0

IV.B.2) Donner sans justification une expression, à l’aide d’une intégrale, de B (p) (x), pour tout
entier naturel p et tout réel x > 0.
(−1)r
IV.B.3) En déduire que pour tout entier r ≥ 2, Sr = lim B (r−2) (x) .
2(r − 2)! x→0+
IV.B.4) Retrouver alors la valeur de S2 déjà calculée au I.F.3.

2
+ ψ ′ (1) − ψ ′ (1 + x) .


IV.C. Soit ϕ la fonction définie sur ]−1 ; +∞[ par ϕ(x) = ψ(1 + x) − ψ(1)
IV.C.1) Monter que ϕ est C ∞ sur son ensemble de définition et donner pour tout entier naturel
n ≥ 2 la valeur de ϕ(n) (0) en fonction des dérivées successives de ψ au point 1.

IV.C.2) Conclure que, pour tout entier r ≥ 3,

r−2
X
2Sr = rζ(r + 1) − ζ(k + 1)ζ(r − k) .
k=1

• • • FIN • • •