MPSI 2

DS 5

le 15 janvier 2003

Présentation des copies :

– Utiliser des copies doubles uniquement ;

– Laisser une marge à gauche de chaque feuille et une demi-page sur la première feuille
pour les remarques du correcteur. Numéroter les feuilles doubles en indiquant le nombre
total de feuilles doubles (par exemple 1/3, 2/3, 3/3). Indiquer le nom sur chaque double
feuille.
1/3
vide
Q2
Q1
Q3

– Les questions doivent être traitées dans l’ordre de l’énoncé, correctement numérotées
et un trait horizontal doit les séparer ; si une question n’est pas traitée, laisser un
espace blanc.
– Ne pas utiliser de crayon de papier. Tirer deux traits diagonaux à l’encre pour suppri-
mer une partie de la copie.
– L’énoncé ne doit pas être recopié sur les copies.
– Passer souvent à la ligne et espacer les formules.

Rédaction mathématique :
– Annoncer avant une démonstration, le résultat à prouver et respecter les plans de
démonstration.
– Chaque variable utilisée dans une démonstration doit être définie ;
– Pour montrer une équivalence, l’écrire en numérotant les propositions (i) et (ii) ;
– Chaque résultat annoncé doit être justifié en citant précisément un théorème du cours
avec ses hypothèses exactes, ou en citant le numéro d’une question précédente du
problème.
– Les résultats de calcul doivent être simplifiés et encadrés.
– Les calculs doivent être détaillés et expliqués à l’aide de phrases en Français :
– Les notations de l’énoncé doivent être respectées ;

1
MPSI 2 2 DS 5

1 Premier problème
1.1 Partie 1
On considère un K-espace vectoriel E et deux projecteurs p, q de E vérifiant p ◦ q = 0L(E) . On
définit l’endomorphisme r = p + q − q ◦ p.

Q 1 Soient deux endomorphismes (u,v) ∈ L(E)2 . Montrer que u ◦ v = 0L(E) ⇐⇒ Im v ⊂ Ker u.

Q 2 Montrer que r est un projecteur.

Q 3 Montrer que Ker r = Ker p ∩ Ker q.

Q 4 Montrer que Im r = Im p ⊕ Im q.

1.2 Partie 2
On considère dans cette partie l’espace vectoriel E = R3 . On définit F = {(x,y,z) ∈ R3 |
x − y + z = 0}, le vecteur g = (1,1,1) et G = Vect(g).
On définit également k = (1,2,1), K = Vect(k), l1 = (1,0, − 1), l2 = (−2,1,1) et L = Vect(l1 ,l2 ).

Q 5 Déterminer une base du sous-espace F et un système d’équations du sous-espace L.

Q 6 Montrer que E = F ⊕ G et que E = K ⊕ L.

On note p le projecteur sur G parallèlement à F et q le projecteur sur K parallèlement à L.

Q 7 Déterminer les expressions analytiques de p et q.

Q 8 Vérifier que p ◦ q = 0L(E) et déterminer l’expression analytique du projecteur r.

Q 9 On note s la symétrie par rapport à F parallèlement à G. À l’aide d’un dessin, donner sans
justifications une relation entre s et p. Déterminer l’expression analytique de s.
On considère un réel λ 6∈ {−1,1} et on définit l’endomorphisme u = λid − s.

Q 10 Montrer que u est inversible et déterminer son inverse en fonction de p et de id.

Q 11 Soit un entier n ∈ N? . Déterminer l’expression de l’endomorphisme un en fonction de p et de

id.

1.3 Partie 3
On considèredans cette partie l’espace vectoriel E = F (R,R) des fonctions de R dans R.
R −→ R
On note φ : , P l’ensemble des fonctions paires et I l’ensemble des fonctions
x 7→ 1
impaires. On définit également F = {f ∈ E | f (0) = 0} et G = Vect(φ).

Q 12 Vérifier rapidement que P, I, F et G sont des sous-espaces vectoriels de E.

Q 13 Montrer que E = P ⊕ I et pour une fonction f ∈ E, déterminer la fonction q(f ) où q est le
projecteur sur I parallèlement à P.
MPSI 2 3 DS 5

Q 14 Montrer que E = F ⊕ G et pour une fonction f ∈ E, déterminer la fonction p(f ) où p est le
projecteur sur G parallèlement à F .

Q 15 Vérifier que p ◦ q = 0L(E) et pour une fonction f ∈ E, déterminer la fonction r(f ).

Q 16 Pour un entier n ≥ 2 et f ∈ E, déterminer la fonction (p − q)n (f ).

1.4 Partie 4
On considère dans cette partie le R-espace vectoriel E = C et un nombre complexe w ∈ C. On
définit l’application 
C −→ C
p:
z 7→ z + wz

Q 17 Vérifier que p est un endomorphisme.

Q 18 Montrer que p est un projecteur si et seulement si w ∈ {−j, − j 2 }.

Q 19 Montrer que si w 6∈ {−j, − j 2 }, alors p est inversible.

On suppose désormais que p est un projecteur.

Q 20 Déterminer Ker p. On exprimera le résultat à l’aide de w.

Q 21 Déterminer Im p.
On considère maintenant une forme linéaire φ sur E non-nulle et l’on définit l’application :

C −→ C
q:
z → 7 φ(z).w

Q 22 Trouver une condition nécessaire et suffisante sur φ pour que q soit un projecteur. Montrer
qu’alors p ◦ q = 0L(E) .

Q 23 Si cette condition est vérifiée, montrer que r = id.

Q 24 Dans le cas où w = −j, déterminer l’ensemble S des formes linéaires φ vérifiant la condition
précédente. Quelle structure cet ensemble possède-t-il?

2 Exercice
On considère le C-espace vectoriel E = S(C) des suites complexes. On définit trois suites x, y,
z de E par :
nπ

∀n ∈ N, xn = 1, yn = in , zn = sin
s
où s ∈ N, s ≥ 2.
On dit qu’une suite u = (un ) ∈ E est périodique si et seulement s’il existe un entier p > 0 tel
que ∀n ∈ N, un+p = un . Un tel entier p est appelé une période de la suite u. On note T (u)
l’ensemble des périodes de la suite u.
On désignera par P l’ensemble des suites périodiques.
MPSI 2 4 DS 5

Q 25 Soit une suite u ∈ P. Montrer que T (u) possède un plus petit élément p0 > 0, puis que
T (u) = {kp0 ; k ∈ N? }.

Q 26 Montrer que P est un sous-espace vectoriel de E.

Pour deux entiers n ≥ 0, p > 0 et une suite u ∈ E, on note
p−1
1X
An,p (u) = un+k
p
k=0

Q 27 Montrer que pour une suite périodique u ∈ P, tous les nombres An,p (u) où n ∈ N et p ∈ T (u)
sont égaux. On notera L(u) leur valeur commune.

Q 28 Calculer L(x), L(y) et L(z) pour les trois suites définies dans l’introduction.

Q 29 Montrer que l’application


P −→ C
L:
u 7→ L(u)
est une forme linéaire sur l’espace P.

Q 30 Déterminer un supplémentaire de Ker L dans l’espace P.

Q 31 On note P2 l’ensemble des suites de E 2-périodiques. Vérifier que P2 est un sous-espace vectoriel
de P et déterminer une base de P2 .
MPSI 2 5 DS 5

Corrigé.

Q 1 Exercice fait en cours.

Q 2 Calculons r2 (attention, p et q ne commutent pas forcément) :

r2 = p2 +p◦q−p◦q◦p+q◦p+q 2−q 2 ◦p−q◦p2 −q◦p◦q+q◦p◦q◦p = p+q◦p+q−q◦p−q◦p = p+q−q◦p

On a utilisé dans ce calcul les relations p2 = p, q 2 = q (p et q sont des projecteurs), et p ◦ q = 0.

Puisque r2 = r, r est un projecteur.
Q 3 Montrons que Ker r ⊂ Ker p ∩ Ker q. Soit x ∈ Ker r. On a p(x) + q(x) − q ◦ p(x) = 0E . En
appliquant p, on trouve que p2 (x) + p ◦ q(x) − p ◦ q ◦ p(x) = 0E d’où p(x) = 0E (p2 = p et
p ◦ q = 0L(E) ). Par conséquent, x ∈ Ker p. On montre de la même façon que x ∈ Ker q. L’autre
inclusion est claire.
Q4
– Montrons que la somme est directe, c’est à dire que Im p∩Im q = {0E }. Soit x ∈ Im p∩Im q.
Comme p et q sont des projecteurs, d’après

la caractérisation de l’image d’un projecteur,
p(x) = x = q(x). On a donc p q(x) = p(x) = x et comme p ◦ q = 0L(E) , il vient que
x = 0E .
– Im r ⊂ Im p + Im q : soit x ∈ Im r. Puisque r est un projecteur, r(x) = x. Alors

x = p(x) + q(x) − q ◦ p(x) = p(x) + q(x − p(x))

Comme p(x) ∈ Im p et que q(x − p(x)) ∈ Im q, on a bien x ∈ Im p + Im q.

– Im p+ Im q ⊂ Im r : soit x ∈ Im p+ Im q. Il existe (x1 ,x2 ) ∈ Im p× Im q tels que x = x1 + x2 .
Alors

r(x) = p(x1 ) = p(x2 )+q(x1 )+q(x2 )−q◦p(x1 )−q◦p(x2 ) = x1 +x2 +p(x2 )+q(x1 )−q◦p(x1 )−q◦p(x2 )

Mais puisque Im q ⊂ Ker p, on a p(x2 ) = 0E et comme x1 ∈ Im p et que p est un projecteur,

p(x1 ) = x1 . On a donc r(x) = x et donc x ∈ Im r.
Q 5 Par exemple f = (f1 ,f2 ) est une base de F avec f1 = (0,1,1) et f2 = (1,1,0). On trouve que
L = {(x,y,z) ∈ R3 | x + y + z = 0}.
Q 6 Considérons la forme linéaire non-nulle

R3 −→ R
φ:
(x,y,z) 7→ x−y+z

On a F = Ker φ et donc F est un hyperplan. Puisque g 6∈ F , on sait d’après le cours que la droite
vectorielle G = Vect(g) et l’hyperplan F sont supplémentaires. De la même façon, l’hyperplan
K et la droite vectorielle L sont supplémentaires.
Q 7 Soit X = (x,y,z) ∈ R3 . Décomposons X sur F ⊕ G : ∃!(XF ,λ) ∈ F × R tels que X = XF + λ.g.
Comme XF = X − λ.g = (x − λ,y − λ,z − λ) ∈ F , on doit avoir (x − λ) − (y − λ) + (z − λ) = 0
ce qui donne λ = x − y + z et ensuite XF = (y − z, − x + 2y − z, − x + y). Alors p(X) = λ.g et
donc 
R3 −→ R3
p:
(x,y,z) 7→ (x − y + z,x − y + z,x − y + z)
De même, on trouve que
(
R3 −→ R3
q: x + y + z x + y + z x + y + z

(x,y,z) 7→ , ,
4 2 4
MPSI 2 6 DS 5

Q 8 Comme k ∈ F , on a Im g = K ⊂ F = Ker p. D’après la question 1, on a bien p ◦ q = 0L(E) .

Après calculs, on trouve que
(
R3 −→ R3
r: x + z x + z

(x,y,z) 7→ ,y,
2 2

Q 9 On a s = id −2p (faire un dessin) et


R3 −→ R3
s:
(x,y,z) 7→ (−x + 2y − 2z, − 2x + 3y − 2z, − 2x + 2y − z)

Q 10 Comme s2 = id (symétrie vectorielle) et que u = λ id −s, on a u2 − 2λu + (λ2 − 1) id = 0L(E) .

Par conséquent, puisque λ2 6= 1, on peut écrire
 1   1 
u◦ (u − 2λ id) = 2 (u − 2λ id) ◦ u = id
λ2 − 1 λ −1
ce qui montre que u ∈ GL(E) et que

 1 
u−1 = (u − 2λ id)
1 − λ2

comme u = 2p + (λ − 1) id, en remplaçant, on trouve finalement que

1

u−1 = 2p − (λ + 1) id
λ2 − 1

Q 11 Puisque u = 2p + (λ − 1) id et que p et id commutent, à l’aide de la formule du binôme, on

trouve :
 n
un = 2p + (λ − 1) id
X n  
n k
= 2 (λ − 1)n−k pk
k
k=0
hX n   i
n k
= (λ − 1)n id + 2 (λ − 1)n−k p (pk = p si k ≥ 1)
k
k=1
 
= (λ − 1)n id + (λ + 1)n − (λ − 1)n .p

Q 12 Exercice traité en cours.

Q 13 Traité en cours.
(
R −→ R
q(f ) : f (x) − f (−x)
x 7→
2

Q 14 Remarquons que F = Ker ψ est un hyperplan, noyau de la forme linéaire non-nulle


E −→ R
ψ:
f 7→ f (0)

et que G est la droite vectorielle engendrée par le vecteur φ 6∈ F . D’après le cours, on sait que F
et G sont supplémentaires. Soit alors f ∈ E, ∃!(fF ,λ) ∈ F × R tels que f = fF + λ.φ. Puisque
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fF = f − λ.φ ∈ F , on doit avoir fF (0), c’est à dire λ = f (0) d’où l’on tire fF = f − f (0).φ. On
a alors 
R −→ R
p(f ) :
x 7→ f (0)

Q 15 On a I ⊂ F . En effet, une fonction f impaire vérifie f (0) = 0. Par conséquent, Im q ⊂ Ker p et

d’après la question 1, on a bien p ◦ q = 0L(E) . Après calculs, on trouve que q ◦ p = 0L(E) et
(
R −→ R
q(f ) : f (x) − f (−x)
x 7→ f (0) +
2

Q 16 Puisque p ◦ q = q ◦ p = 0L(E) , on peut appliquer la formule du binôme :

X n
n n n n
(p − q) = p + (−1) q + (−1)n−k pk q n−k = pn + (−1)n q n
k
k=1

puisque lorsque 1 ≤ k ≤ n − 1, pk ◦ q n−k = 0. D’autre part, puisque n ≥ 1, pn = p et q n = q

(ce sont des projecteurs vérifiant p2 = p et q 2 = q). En conclusion, (p − q)n = p + (−1)n q . On
calcule alors (
R −→ R
n
(p − q) (f ) : f (x) − f (−x)
x 7→ f (0) + (−1)n
2

Q 17 Facile. On utilise que le conjugué d’un scalaire (ici un réel) est lui-même.
Q 18 Supposons que p soit un projecteur. On a alors p2 = p et donc pour tout complexe z ∈ C :
p2 (z) = p(z) ce qui donne

∀z ∈ C, (w + w − 1)z + (w 2 − w + 1)z = 0

En particulier pour z = 1 et pour z = i, on trouve que

(
(L1 ) : (w + w − 1) + (w2 − w + 1) =0
(L2 ) : −(w + w − 1)i + (w2 − w + 1)i = 0

En formant i(L1 ) + L2 , on obtient que w2 − w + 1 = 0 puis que w + w = 1. Comme 1 + j + j 2 = 0,

on trouve les deux racines évidentes de l’équation du second degré w2 − w + 1 = 0 : w = −j ou
alors w = −j 2 . Par conséquent, w ∈ {−j, − j 2 } . Réciproquement, lorsque w = −j ou w = −j 2 ,
on a w + w = 2 Re w = 1 et donc p est un projecteur.
Q 19 En reprenant le calcul précédent, on trouve que

p2 − 2 Re(w)p − (w2 − w + 1) id = 0L(E)

Lorsque w 6∈ {−j, − j 2 }, w2 − w + 1 6= 0 et donc

h 1
i h 1
i
p◦ p − 2 Re(w) id = p − 2 Re(w) id = id
w2 − w + 1 w2 − w + 1
ce qui montre que p est inversible et que
1

p−1 = p − 2 Re(w) id
w2 −w+1

Q 20 Supposons que w = −j. Soit z ∈ Ker p. On a z = jz. Si z 6= 0, mettons-le sous forme polaire :
2iπ
z = ρeiθ . On a alors puisque ρ 6= 0, e−iθ = e 3 +iθ ce qui donne θ = kπ − π3 , (k ∈ Z), c’est à
MPSI 2 8 DS 5

dire z ∈ Vect(j) = Vect(w) (faire un dessin). Comme réciproquement, p(j) = j 2 − j 2 = 0, on

a bien Ker p = Vect(j). Si w = −j 2 , montrons que Ker p = Vect(j 2 ) = Vect(w) par une autre
méthode. Soit z ∈ Ker p. Posons u = jz et calculons

u − u = jz − jz = j 2 (j 2 z − z) = 0

λ
ce qui montre que u ∈ R. Donc il existe λ ∈ R tel que z = = λj 2 . On a montré que
j
Ker p ⊂ Vect(j 2 ) et la réciproque est facile.
5π
Q 21 Supposons que w = −j et montrons que Im p = Vect(ij 2 ) = Vect(ei 6 ). Soit ζ ∈ Im p, il existe
z ∈ C tel que ζ = p(z) = z − jz. Mettons z sous forme polaire : z = ρeiθ avec ρ ∈ R. On a
h 2π
i
ζ = ρ e−iθ − ei(θ+ 3 )
π
h π π
i
= ρei 3 e−i(θ+ 3 ) − ei(θ+ 3 )
π  π
= 2ρ sin(θ + ) iei 3
3
π
= −2ρ sin(θ + ) ij 2
| {z 3}
∈R
5π
∈ Vect(ij 2 ) = Vect(ei 6 )

On vérifie réciproquement que si ζ ∈ Vect(ij 2 ), alors il existe z ∈ C tel que ζ = p(z) (reprendre
le calcul précédent pour déterminer un antécédant z particulier).
Lorsque w = −j 2 , montrons par une autre méthode que Im p ⊂ Vect(ij) : Soit ζ ∈ Im p. Il existe
z ∈ C tel que ζ = z − j 2 z. Posons u = j 2 ζ et calculons

u + u = j 2 (z − j 2 z) + j(z − jz) = 0

i
u est donc un nombre imaginaire pur : il existe λ ∈ R tel que u = iλ et alors ζ = λ = λij ∈
j2
Vect(ij).
Q 22 On vérifie facilement que q est linéaire. Supposons que q est un projecteur. Comme φ 6= 0, il
existe z ∈ C tel que φ(z) 6= 0R . Calculons

 
q 2 (z) = q(φ(z).w) = φ φ(z).w .w = φ(z) × φ(w) .w

Comme q 2 = q, et que w 6= 0, on doit donc avoir φ(w) = 1. On vérifie réciproquement que si

φ(w) = 1, q 2 = q et donc que q est un projecteur.
Il est clair que Im(q) = Vect(w) = Ker(p). D’après la question 1, on a donc p ◦ q = 0.
Q 23 On sait d’après la première partie que r est un projecteur et que Im r = Im p ⊕ Im q. Comme
Im p et Im q sont deux droites vectorielles distinctes, Im r = C et donc Im r = C. Mais comme
l’image d’un projecteur est l’ensemble des vecteurs invariants, ∀z ∈ C, r(z) = z et donc r = id.
Q 24 Considérons une forme linéaire φ vérifiant la propriété. Si z = x + iy ∈ C, on a φ(z) =
xφ(1) + yφ(i). En posant a = φ(1) ∈ R et b = φ(i) ∈ R,

C −→ R
φ:
z 7→ a Re(z) + b Im z
√ √

Comme φ(−j) = 1, on doit avoir a − 3b = 2, et donc φ(z) = 2 Re(z) + b 3 Re(z) + Im(z) .
En définissant les deux formes linéaires :
 
C −→ R C −→ √ R
φ1 : et φ2 :
z 7→ 2 Re(z) z 7→ 3 Re(z) + Im(z)
MPSI 2 9 DS 5

on a montré que
S ⊂ {φ1 + bφ2 ; b ∈ R}
L’inclusion réciproque se vérifie facilement. Par conséquent, S est une droite affine de l’espace
dual C? passant par φ1 parallèle à la droite vectorielle Vect(φ2 ).
Q 25
– T (u) ⊂ N et T (u) 6= ∅ puisque u est périodique. Donc d’après une propriété de N, T (u)
possède un plus petit élément p0 .
– Montrons que {kp0 ; k ∈ N? }. Se montre par récurrence sur k.
– Montrons que T (u) ⊂ {kp0 ; k ∈ N? }. Soit p ∈ T (u) une période de la suite u. Effectuons
la division euclidienne de l’entier p par l’entier p0 : ∃!(q,r) ∈ N2 tels que p = qp0 + r avec
0 ≤ r < p0 . Montrons par l’absurde que r = 0. Si r 6= 0, montrons que r ∈ T (u). Soit
n ∈ N,
un = un+p = u(n+r)+qp0 = un+r
car qp0 ∈ T (u) d’après l’inclusion ⊃. On aurait donc r ∈ T (u) avec r < p0 : une absurdité
puisque p0 est le plus petit élément de T (u).
Q 26 La suite nulle est 1-périodique, donc 0E ∈ P. Soient (u,v) ∈ P 2 et (λ,µ) ∈ C2 . Notons p0 la plus
petite période de u et q0 la plus petite période de v. Posons k = ppcm(p0 ,q0 ). Puisque k ∈ T (u)
et k ∈ T (v), k est une période commune à u et à v. On montre alors facilement que la suite
λu + µv est k périodique et donc que λu + µv ∈ P.
Q 27 Notons p0 = min T (u). Soit n ∈ N. Effectuons la division euclidienne de n par p : ∃!(q,r) ∈ N2
tels que n = qp + r et 0 ≤ r < p. Alors
p−1
1X
An,p (u) = ur+k+qp
p
k=0
p−1
X
1
= ur+k
p
k=0

1 hX
p−1 p+r−1
X i
= ui + ui
p i=r i=p

1 hX
p−1 r−1
X i
= ui + uj+p (j = i − p)
p i=r j=0

1 hX i
p−1 r−1
X
= ui + uj (p ∈ T (u))
p i=r j=0

= A0,p (u)

Comme p ∈ T (u), on a vu qu’il existe l ∈ N tel que p = lp0 . Écrivons alors

l−1 (i+1)p0 −1
1 X X
A0,p (u) = uk
lp0 i=0
k=ip0
l−1 p0 −1
1 XX
= uj+ip0 (j = k − ip0 )
lp0 i=0 j=0
l−1 p0 −1
1 XX
= uj (ip0 ∈ T (u))
lp0 i=0 j=0
p0 −1
1 X
= uk
p0
k=0
= A0,p0 (u)
MPSI 2 10 DS 5

Tous les An,p (u) valent donc A(0,p0 )(u) et sont donc indépendants de n et de p ∈ T (u).
1
Q 28 On trouve que L(x) = 1. La plus petite période de y est 4, et L(y) = (1+ i − 1 − i) = 0. La plus
4
1 Ps−1
petite période de z est s, et L(z) = sin(kπ/s). Pour calculer cette somme, introduisons
s k=0
la somme des exponentielles complexes associée :
s−1
X kπ
U= ei s

k=0
s−1
X π
k π
= ei s ( somme géométrique de raison ei s 6= 1
k=0
iπ
e −1
= π
ei s − 1
π
ie−i 2s
= π
sin( 2s )

1 1
D’où l’on tire L(z) = Im(U ) = .
s s
Q 29 Soient (u,v) ∈ P 2 et (λ,µ) ∈ C2 . Notons w = λu + µv. Notons p0 = min T (u) et q0 = min T (v).
On a vu que l = ppcm(p0 ,q0 ) ∈ T (w). Alors puisque les Aw (n,p) sont indépendants de n et
p ∈ T (w) et que l ∈ T (u), l ∈ T (v) :
l−1
1X
L(u) = A0,l (w) = (λuk + µvk ) = λA0,l (u) + µA0,l (v) = λL(u) + µL(v)
l
k=0

Q 30 Comme L est une forme linéaire non-nulle, H = Ker L est un hyperplan de S. On a vu que x ∈ S
avec L(x) = 1. D’après un théorème du cours, la droite vectorielle Vect(x) est un supplémentaire
de H dans S.
Q 31 On montre facilement que P2 est un sev de P. Considérons les deux suites (u,v) ∈ E 2 définies
par : ( (
1 si n pair 0 si n pair
∀n ∈ N, un = , vn =
0 si n impair 1 si n impair
On vérifie facilement que u et v sont 2-périodiques. Montrons que le système (u,v) est libre dans
P2 : soient (λ,µ) ∈ R2 tels que w = λu + µv = 0. Le premier terme w0 de la suite w vaut λ et
donc λ = 0. Le deuxième terme vaut w1 = µ et donc µ = 0.
Montrons que le système (u,v) est générateur de P2 . Soit une suite w ∈ P2 . Puisque w est
2-périodique, si n ∈ N est pair, wn = w0 et si n est impair, wn = w1 . On vérifie alors que
w = w0 .u + w1 .v.
Le système (u,v) est donc une base de P2 .