05 Dualite
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Exercice 1. Soit E un espace vectoriel de dimension Exercice 7 (vecteurs isotropes). Soient E un es-
finie sur un corps K. Dans la suite S désigne une partie pace vectoriel réel, q une forme quadratique sur E et ϕ sa
quelconque de E et T une partie quelconque de son dual forme polaire. Un vecteur isotrope de q est un vecteur u
E v , Vect(S) est le sous-espace de E engendré par S, (et tel que q(u) = 0. L’ensemble des vecteurs isotropes de q,
Vect(T ) le sous-espace de E v engendré par T ). On rap- C(q) = {x ∈ E / q(x) = 0}, est appelé cône isotrope de q
pelle que l’orthogonal S ⊥ de S de E et l’orthogonal T ⊥ (remarquez que si x ∈ C(q) et λ ∈ R, alors λ · x ∈ C(q)).
de T sont définis par : Un sous-espace vectoriel de E inclus dans C(q) est dit
totalement isotrope pour q.
S ⊥ = {ϕ ∈ E v / ∀u ∈ S, ϕ(u) = 0} ;
1. Caractériser géométriquement, suivant la signature
T ⊥ = {u ∈ E / ∀ϕ ∈ T, ϕ(u) = 0} . de q, son cône isotrope en dimension 2 puis 3. Com-
parer le cône isotrope et le noyau de q. Dans quel
Montrer que
cas le cône isotrope est-il un espace vectoriel ? Iden-
⊥⊥ ⊥⊥
S = Vect(S) , T = Vect(T ) . tifier dans chacun des cas les sous-espaces totale-
ment isotropes, et donner la dimension des sous-
Exercice 2. Soient E un espace vectoriel réel de di- espaces totalement isotropes maximaux pour l’in-
mension finie , p un entier naturel et L, l1 , l2 , . . . , lp des clusion (qui ne sont inclus dans aucun autre sous-
formes linéaires sur E . Montrer que l’on a espace totalement isotrope).
Ker lk ⊂ Ker L si et seulement si L ∈ Vect(lk )1≤k≤p 2. On suppose que la forme q est de signe constant :
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