Formule Des Trois Niveaux Fiche

Formule des trois niveaux
1) Des formes linéaires sur R[X].

Soit a un réel . On note ϕa l’application de R[X] dans R qui à un polynôme P associe P(a). L’application ϕa s’appelle
l’évaluation en a.
Pour tout réel a, ϕa est une forme linéaire sur R[X]. En effet , si P et Q sont deux polynômes et λ et µ deux réels, on a
ϕa (λP + µQ) = (λP + µQ)(a) = λP(a) + µQ(a) = λϕa (P) + µϕa (Q).
Soit a un réel et ϕa : R[X] → R . ϕa est une forme linéaire sur R[X].

P 7→ P(a)
D’autre part, soient a et b deux réels. On note encore ψ l’application de R[X] dans R qui à un polynôme P associe
Zb
P(t) dt. On sait que ψ est une forme linéaire sur R[X].
a
2) Liberté de la famille (ϕa , ϕb , ϕc ) dans L (R3 [X], R).

On se place dorénavant sur R3 [X]. On se donne trois réels deux à deux distincts a, b et c. Montrons que la famille
(ϕa , ϕb , ϕc ) est une famille libre de l’espace vectoriel L (R3 [X], R).
Soit (λ, µ, ν) ∈ R3 .
λϕa + µϕb + νϕc = 0 ⇒ ∀P ∈ R3 [X], (λϕa + µϕb + νϕc )(P) = 0 ⇒ ∀P ∈ R3 [X], λP(a) + µP(b) + νP(c) = 0.
On applique alors l’égalité précédente, valable pour tout polynôme de degré au plus 3, successivement aux trois polynômes
(X − b)(X − c) (X − a)(X − c) (X − a)(X − b)
Pa = , Pb = et Pc = . Puisque Pa (a) = Pb (b) = Pc (c) = 1 et que
(a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b)
Pa (b) = Pa (c) = Pb (a) = Pb (c) = Pc (a) = Pc (b) = 0, on obtient λ = µ = ν = 0. On a montré que
Si a, b, c sont trois réels deux à deux distincts, la famille (ϕa , ϕb , ϕc ) est une famille libre du dual de R3 [X].
3) Indépendance des formes linéaires ϕa , ϕb , ϕc et ψ dans L (R3 [X], R).

a, b et c désignent trois réels deux à deux distincts. Tout d’abord, dim (L (R3 [X], R)) = dim (R3 [X]) × dim(R) =
dim (R3 [X]) = 4 < +∞. D’après 2), la famille (ϕa , ϕb , ϕc ) est libre et donc deux cas se présentent pour la famille
(ϕa , ϕb , ϕc , ψ) à savoir :
• 1er cas. la famille (ϕa , ϕb , ϕc , ψ) est libre et donc une base de L (R3 [X], R),
• 2ème cas. la famille (ϕa , ϕb , ϕc , ψ) est liée ce qui équivaut, puisque la famille (ϕa , ϕb , ϕc ) est libre, au fait que
ψ est combinaison linéaire de ϕa , ϕb et ϕc .
On va montrer que ψ ∈ Vect (ϕa , ϕb , ϕc ) ⇔ ψ (Q) = 0 où Q = (X − a)(X − b)(X − c). On note que, puisque Q ∈ /
Vect (Pa , Pb , Pc ) pour des raisons de degré, la famille (Pa , Pb , Pc , Q) est une famille libre de R3 [X] et donc la famille
(Pa , Pb , Pc , Q) est une base de R3 [X].
Puisque ϕa (Q) = ϕb (Q) = ϕc (Q) = 0, si ψ ∈ Vect (ϕa , ϕb , ϕc ), alors ψ (Q) = 0.
Inversement, supposons que ψ (Q) = 0. Soit ϕ = ψ (Pa ) ϕa + ψ (Pa ) ϕa + ψ (Pa ) ϕa . Alors, ϕ (Pa ) = 1 × ψ (Pa ) + 0 ×
ψ (Pb ) + 0 × ψ (Pc ) = ψ (Pa ) et de même, ϕ (Pb ) = ψ (Pb ) et ϕ (Pc ) = ψ (Pc ). Enfin, ϕ(Q) = 0 = ψ(Q).
Les deux formes linéaires ϕ et ψ coïncident sur une base de R[X] et donc ψ = ϕ = ψ (Pa ) ϕa + ψ (Pa ) ϕa + ψ (Pa ) ϕa .
Zb
On a montré que ψ ∈ Vect(ϕa , ϕb , ϕc ) ⇔ ψ(Q) = 0 ⇔ (t − a)(t − b)(t − c) dt = 0. Or,
a
Zb Zb
(t − a)(t − b)(t − c) dt = (t3 − (a + b + c)t2 + (ab + ac + bc)t − abc) dt
a a
1 1 1
= (b4 − a4 ) − (a + b + c)(b3 − a3 ) + (ab + ac + bc)(b2 − a2 ) − abc(b − a)
4 3 2
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et donc
Zb
b−a
(t − a)(t − b)(t − c) dt = (3(a3 + a2 b + ab2 + b3 ) − 4(a + b + c)(a2 + ab + b2 ) + 6(ab + ac + bc)(a + b) − 12abc)
a 12
b−a b−a
= (−a3 − b3 + a2 b + ab2 + c(2a2 + 2b2 − 4ab)) = ((a2 − b2 )(b − a) + 2c(b − a)2 )
12 12
(b − a)3
= (2c − (a + b)).
12
Finalement, puisque a et b sont distincts
a+b
ψ ∈ Vect(ϕa , ϕb , ϕc ) ⇔ c = .
2
a+b
Dans le cas où c = , ψ est une combinaison linéaire de ϕa , ϕb et ϕc . Donc, il existe trois réels λ, µ et ν, uniquement
2
définis puisque (ϕa , ϕb , ϕc ) est libre, tels que ψ = λϕa + µϕb + νϕc . Cette dernière égalité s’écrit encore
Zb
3 a+b
∃(λ, µ, ν) ∈ R / ∀P ∈ R3 [X], P(t) dt = λP(a) + µP + νP(b).
a 2
4) La formule des trois niveaux.

Déterminons explicitement les trois réels λ, µ et ν du 3). Pour cela, on applique l’égalité précédente, valable pour tout
a+b
polynôme P de degré au plus 3. On a vu que λ = ψ (Pa ), µ = ψ (Pb ) et ν = ψ (Pc ) avec c = . Donc,
2
Zb
λ = ψ (Pa ) = Pa (t) dt
a
Zb
(t − a)(t − b) 1 1 3 3 1 2 2
= dt = (b − a ) − (b − a )(b + c) + bc(b − a)
a (a − b)(a − c) (a − b)(a − c) 3 2
1 1
= (2(a2 + ab + b2 ) − 3(a + b)(b + c) + 6bc) = (2a2 − b2 − ab + c(−3a + 3b))
6(c − a) 6(c − a)

1 a+b 1 a+b
= 2a2 − b2 − ab + (−3a + 3b) = (b − a) 3 − (2a + b)
3(b − a) 2 3(b − a) 2
b−a
= .
6
b−a
Puis en échangeant les rôles de a et b, ν = . Enfin
6
Zb Zb
(t − a)(t − b)
µ = ψ (Pc ) = Pc (t) dt = dt
a a (c − a)(c − b)

1 1 3 3 1 2 2
= (b − a ) − (b − a )(a + b) + ab(b − a)
(c − a)(c − b) 3 2
4 4 4(b − a)
=− (b − a)(2(a2 + ab + b2 ) − 3(a + b)(a + b) + 6ab) = − (−a2 − b2 + 2ab) = .
6(b − a)2 6(b − a) 6
On a obtenu la formule des trois niveaux permettant de calculer la valeur de l’intégrale d’un polynôme de degré
inférieur ou égal à 3 sur un segment connaissant les valeurs de ce polynôme au début, au milieu et à la fin de ce segment :
Zb
b−a a+b
Soient a et b deux réels distincts. ∀P ∈ R3 [X], P(t) dt = P(a) + 4P + P(b) .
a 6 2
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1) Des formes linéaires sur R[X].

Soit a un réel et ϕa : R[X] → R . ϕa est une forme linéaire sur R[X].

2) Liberté de la famille (ϕa , ϕb , ϕc ) dans L (R3 [X], R).

3) Indépendance des formes linéaires ϕa , ϕb , ϕc et ψ dans L (R3 [X], R).

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4) La formule des trois niveaux.

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