Communications numériques Chapitre 3 : Récepteur optimal

CANAL A BRUIT BLANC ADDITIF GAUSSIEN

Le canal à bruit blanc additif gaussien (BBAG) est un canal de transmission qui ajoute uniquement un
bruit blanc gaussien au signal émis. la réponse en fréquence Gc(f) est égale à 1 sur toute la bande
passante.

Le canal à BBAG permet de modéliser les canaux dont le bruit prédominant est un bruit thermique

r(t) = x(t) + b(t)

Le bruit blanc b(t) est un processus aléatoire stationnaire d’ordre 2 dont la densité spectrale de
puissance est indépendante de la fréquence et égale à: W/Hz
Ses propriétés sont les suivantes:
- Il est centré :
- ses échantillons sont indépendants: en conséquences, sa fonction d’autocorrélation est nulle, sauf en 0
- sa densité de probabilité est gaussienne.

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CANAL A BRUIT BLANC ADDITIF GAUSSIEN

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Récepteur optimal
Structure :
Le récepteur identifie les symboles émis les plus probables dans le canal en effectuant deux étapes;
- La démodulation: permet d’extraire les échantillons tout en maximisant le rapport signal à bruit.
- La detection: de décider en faveur des symboles les plus probablement émis.
Le récepteur est dit cohérent lorsque il a acquis la fréquence, la phase et le rythme symbole de
l’émetteur, et est parfaitement synchrone avec celui-ci. (paramètres correctement estimés)

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Structure du modulateur
-Avant de s'intéresser au récepteur , nous détaillant la structure du modulateur , car le démodulateur
effectue les étapes inverses de celui-ci
- On suppose que le codeur de canal délivre des bits groupés par bloc de n bits. On a donc M = 2n
messages différents possibles c ∈ {c1, c2, ……, cM}.
- le modulateur associe à chaque message c = ci un signal xi(t), défini sur l’intervalle fini 0 ≤ t ≤ T et
choisi parmi un jeu de M = 2n signaux d’énergie égale à

Schémas du modulateur

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Pour transmettre le signal xi(t) associé au message c =ci , il suffit d’avoir xi=1 et xj=0 pout tout j≠i

exemple : cas du code en ligne non retour à zéro (NRZ) composé de M = 2 signaux élémentaires
x1(t) et x2(t)

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cas de M signaux
Il est également possible de représenter les M signaux possibles xi(t) par des combinaisons linéaires
de N ≤ M fonctions de base orthonormées fi(t) et d’énergie unitaire. Les signaux xi(t) peuvent
s’exprimer par :

- L’énergie des fonctions de base entre 0 et T est égale à 1.

- L’énergie de chaque signal xi(t) entre 0 et T est égale à Es

Es=

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exemple: cas du code en ligne NRZ M = 2 signaux Une seule fonction f1(t) suffit pour générer les deux
signaux x1(t) et x2(t)

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La structure du démodulateur NRZ est donnée par:

La fonction de base f1(t) correspond à la réponse impulsionnelle du filtre d’émission. Le schéma du

modulateur correspondant est représenté comme suit:

Pour les signaux bi-orthogonaux avec M=4, les deux fonctions f1(t) et f2(t)présentées dans la figure
suivante:

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Permet de générer les quatre signaux de la façon suivante:

On a dans ce cas: N = 2

Récepteur optimal pour un canal à BBAG

Supposant que l’un des M signaux possibles xi(t) a été transmit sur un canal à BBAG pendant la durée T
Le signal d’entrée du récepteur est:
Ou b(t) est le bruit blanc gaussien de densité spectrale de puissance égale à N0/2
L’objectif d’un récepteur optimal est de retrouver la séquence émise en minimisant le taux d’erreurs.
Deux structures équivalentes de récepteur optimal :
- le corrélateur
- le filtre adapté

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CORRÉLATEUR:
La première structure du corrélateur permet de projetter le signal reçu r(t) sur chacun des M signaux
xi(t) possibles.

Une autre solution consiste à projetter le signal reçu sur les N fonctions de base fi(t)

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CORRÉLATEUR:
trois étapes sont réalisées en parallèle sur les N branches . tout d’abord, le signal reçu est multiplié par
la fonction de base fj(t), (j=1……….N ). Puis la résultante est intégrée sur le temps symbole T, et
finalement, le signal est échantillonné au temps symbole T.
Comme les fonctions de base fj(t) sont d’énergie unitaire entre 0 et T on a relation suivante :

avec yj la sortie du ième échantillonneur à l’instant T.

• Le signal reçu r(t) est maintenant représenté par un vecteur à N composantes yj
• Les échantillons de bruit nj sont des variables aléatoires relatives au bruit additif du canal de
transmission. ils sont centrés et de variance
• Il nous restera à décider en faveur du signal le plus probablement émis.

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exemple:
Soit le schéma d’un démodulateur NRZ par corrélateur réduit à une seule branche

- La sortie de l’échantillonneur est:

- Le bruit n en sortie de l’échantillonneur est gaussien de moyenne nulle E(n) = 0 et de variance

-Le rapport signal à bruit SNR après échantillonnage est égale à:
- comme on a:

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Les signaux en sortie du modulateur, du canal et du corrélateur sont représentés dans la figure suivante:

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FILTRE ADAPTÉ:
Au lieu d’utiliser des corrélateurs à la réception pour obtenir les échantillons yi , il est possible
d’utiliser un ensemble des filtres de réponse impulsionnelle hj(t):
Le signal de sortie de chaque filtre est le produit de convolution de r(t) et hj(t)

-Si on échantillonne la sortie des filtres à l’instant T, on retrouve la relation précédente

- la sortie des filtres adaptés hj(t) à l’instant t = T est identique à celle de la structure avec corrélateur.
- l’utilisation de filtres adaptés permet de maximiser le rapport signal à bruit et par conséquence de
minimiser le taux d’erreurs.
- Le rapport signal à bruit en sortie d’un filtre adapté ne dépend pas de la forme du signal mais de son
énergie

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FILTRE ADAPTÉ:

exemple :
Pour le cas du code en ligne NRZ, la réponse impulsionnelle h1(t) du filtre adapté est la suivante :

où g(t) est la réponse impulsionnelle du filtre d’émission.

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DETECTEUR OPTIMAL:
- L’objectif du détecteur optimal est de déterminer le symbole qui a été le plus vraisemblablement émis.
Il est noté
-Soit le message x envoyé dans un canal discret stationnaire sans mémoire de densité de probabilité
conditionnelle p(y/x) et y le vecteur reçu après filtrage adapté.
- D’une manière générale, un détecteur maximum a posteriori (MAP) cherche parmi tous les
messages possibles x, le message estimé xˆ pour lequel la probabilité conditionnelle Pr(x|y) est la plus
grande

-En utilisant la loi de Bayes, on peut écrire :

-Si tous les messages sont équiprobables, et comme le dénominateur Pr(y) est commun à toutes les
messages, le message estimé xˆ est le message pour lequel la probabilité conditionnelle Pr(y|x) est la
plus grande.

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-Un détecteur utilisant ce critère est appelé un détecteur à maximum de vraisemblance (maximum
likelihood en anglais ou ML)
- un détecteur ML calcule les distances euclidiennes entre l’échantillon reçu et les échantillons
correspondant à toutes les séquences possibles.
- Messages équiprobables ⇛ détecteur MAP = détecteur ML.

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