PSI1&2 DS3 vendredi 8 novembre 2024

L’usage des calculatrices est interdit

Le sujet se compose de deux problèmes totalement indépendants.
Les deux problèmes auront le même poids dans la notation finale, il est donc vivement conseillé de consacrer à peu près
2 heures à chacun.

Séries de Dirichlet
(d’après Centrale PSI 1997 maths 1)

Notations :
R désigne le corps des nombres réels.
On considère une suite (an )n>1 complexe et (λn )n>1 , une suite strictement croissante de réels strictement positifs telle
que :
lim λn = +∞
n→+∞

Pour tout entier naturel non nul n, on définit sur R la fonction un par :

∀x ∈ R, un (x) = an e−λn x
X
On note IC l’ensemble des réels x pour lesquels la série un (x) est convergente et IA l’ensemble des réels x pour lesquels
n>1
X
la série un (x) est absolument convergente :
n>1
   
 X   X 
IC = x∈R un (x) converge et IA = x∈R |un (x)| converge
   
n>1 n>1

Si ces deux ensembles sont non vides et minorés, on pose, dans tout le problème :

γ = inf(IC ) et δ = inf(IA )

Partie I : Exemples dans un cas particulier

Dans toute cette partie, on choisit λn = ln(n) pour tout entier n > 1, de sorte que
an
∀x ∈ R, ∀n > 1, un (x) = .
nx
1. Déterminer les ensembles IC et IA puis les valeurs de γ et δ dans les deux cas suivants :
a) an = 1 pour tout entier n > 1.
ln(n)
b) an = (−1)n 2 pour tout entier n > 1.
n
2. On suppose dans cette question que IA et IC sont non vides et minorés (donc que γ et δ existent).
a) Justifier que γ 6 δ.
X X
b) Soit x un réel tel que un (x) converge et ε > 0. Montrer que un (x + 1 + ε) est absolument convergente.
n>1 n>1
En déduire δ 6 γ + 1.
c) Donner un exemple de suite (an )n>1 pour laquelle γ = δ.
d) Donner un exemple de suite (an )n>1 pour laquelle γ + 1 = δ.
3. En choisissant, pour n > 2,
(−1)n
Å ã
an = ln 1 + √
n
montrer qu’il est possible d’obtenir γÅ < δ <ã γ + 1. On pourra commencer par chercher un développement asymp-
1
totique de un (x) avec la précision o .
nx+1

Partie II : Exemples dans le cas général À partir de maintenant, et jusqu’à la fin du problème, on se place dans le
cas général : (λn )n>1 est une suite strictement croissante de réels strictement positifs telle que :

lim λn = +∞
n→+∞
 1. On suppose, uniquement dans cette question, que

(−1)n
an = √ et λn = ln[ln(n + 1)]
n

Établir IA = ∅ et IC = R.
2. Donner un exemple de couple de suites ((an )n>1 , (λn )n>1 ) pour lequel IA = IC = ∅.
3. Donner un exemple de couple de suites ((an )n>1 , (λn )n>1 ) pour lequel IA = IC = R.

Partie III : Étude de IA et IC dans le cas général

1. Prouver que IA est un intervalle.
On suppose à partir de maintenant que IC est non vide et minoré.
X
2. Si (an )n>1 est une suite de réels positifs, montrer que pour tout réel x tel que x > γ, la série un (x) converge.
n>1

3. Soit f une application continue de [0, +∞[ dans C. On suppose qu’il existe un réel α tel que la fonction F définie
par Z t
∀t ∈ [0, +∞[, F (t) = f (u)e−αu du
0
admette une limite finie ` en +∞.
Soit x ∈ R tel que x > α.
a) Montrer que t 7→ F (t)e(α−x)t est une fonction intégrable sur [0, +∞[.
ÇZ λ å
n
−xu
b) En déduire, à l’aide d’une intégration par parties, que la suite f (u)e du est convergente.
0 n>1

4. Soit ϕ la fonction définie sur R par :

∀t ∈ R, ϕ(t) = max{1 − |t − 1|, 0}

a) Déterminer la valeur de ϕ(t) selon que t < 0, t ∈ [0, 2] ou t > 2.

Z
b) En déduire que ϕ est continue, intégrable sur R et calculer ϕ(t) dt.
R

5. On suppose que (rn )n>1 est une suite de réels tels que

λn+1 − λn
∀n > 1, 0 < rn <
2
et, pour tout réel t, on pose
+∞
t − λn
Å ã
X an
g(t) = ϕ
r
n=1 n
rn

t − λn
Å ã
a) Pour t ∈ R, justifier qu’il existe au plus un entier n > 1 pour lequel ϕ 6= 0.
rn
b) En déduire que g est définie et continue sur R.
c) Vérifier que, pour tout entier p > 1,
Z λp+1
g(t) dt = ap
λp

6. On pose, pour x ∈ R,
Z λn+1
vn (x) = g(u)e−xu du
λn
X
et on suppose que la suite (rn )n>1 a été choisie de sorte que la série (vn (x) − un (x)) soit convergente.
n>1
X
Déduire des questions précédentes que la série un (x) converge pour tout réel x tel que x > γ.
n>1
En déduire que IC est un intervalle.

Fin du Problème 1
 Exponentielle de matrices
(d’après Centrale PSI 2013 maths 2)

Notations et objectifs
Le but du sujet est d’étudier l’exponentielle de matrices, réelles ou complexes.
Dans tout le sujet, p désigne un entier naturel non nul.
Si K désigne un corps, R ou C, on adopte les notations suivantes :
- K[X] est l’ensemble des polynômes à coefficients dans K.
- Kp [X] est l’ensemble des polynômes à coefficients dans K de degré au plus p.
- Mp (K) est l’ensemble des matrices carrées d’ordre p à coefficients dans K.
- Ip est la matrice identité de Mp (K).
- GLp (K) est l’ensemble des matrices inversibles de Mp (K).
- On note Tr l’application trace et det l’application déterminant.
- Si A ∈ Mp (K) on définit, lorsque cette limite existe,
Å ãn
1
E(A) = lim Ip + A
n→+∞ n

Question préliminaire.
Soit z ∈ C. On pose z = a + ib où a, b ∈ R.
z
1. Soit n ∈ N∗ . Déterminer, pour n suffisamment grand, le module et un argument de 1 + en fonction de a, b et n
n
(on pourra utiliser la fonction arctan).
2. En déduire que  z n
lim 1+ = ez
n→+∞ n

Partie I : Étude d’un exemple Ñ é

0 1 1
Dans cette partie, on considère la matrice A = 1 0 1 .
1 1 0
1. Calculer (A + I3 )(A − 2I3 ).
X n
Å ã
∗
2. Déterminer, pour n ∈ N , le reste de la division euclidienne du polynôme 1 + par (X + 1)(X − 2).
n
3. En déduire que E(A) existe et qu’il existe Q ∈ R2 [X] tel que E(A) = Q(A).

Partie II : Exponentielle de matrices diagonalisables.

Cas des matrices diagonales.

Soit D ∈ Mp (K) une matrice diagonale.
1. Montrer que E(D) existe et que E(D) ∈ GLp (K).
2. Montrer qu’il existe un polynôme Q ∈ K[X] tel que Q(D) = E(D).
3. Soient D et D0 deux matrices diagonales de Mp (K). Montrer que

E(D + D0 ) = E(D) × E(D0 )

Existence et propriétés de E(A) lorsque A est diagonalisable.

Soit A ∈ Mp (K) diagonalisable, c’est-à-dire pour laquelle il existe P ∈ GLp (K) telle que

A = P DP −1 , avec D diagonale.

4. Soit k k une norme sur Mp (K) ; on pose, pour M ∈ Mp (K), NP (M ) = P M P −1 .

a) Montrer que NP est une norme sur Mp (K).
b) Soit (Dk )k∈N une suite de matrices de Mp (K) et ∆ ∈ Mp (K).
Déduire de la question précédente que la suite
(Dk )k∈N converge vers ∆ si et seulement si la suite P Dk P −1 k∈N converge vers P ∆P −1 .
5. Montrer que E(A) existe.
6. Montrer que det(E(A)) = eTr(A) .
7. Soit x ∈ K. Montrer que E(xIp + A) existe et que

E(xIp + A) = ex E(A)
Partie III : Exponentielle de matrices nilpotentes.
Soit A ∈ Mp (C) et k ∈ N∗ tel que Ak = 0 et Ak−1 6= 0 (on dit que A est nilpotente d’indice k).
1. Montrer que, pour tout entier j tel que 1 6 j 6 k, ker(Aj−1 ) est inclus strictement dans ker(Aj ).
2. En déduire que k 6 p.
3. Montrer que E(A) existe.
4. Montrer qu’il existe un polynôme Q ∈ C[X] tel que Q(A) = E(A).
5. Soit B ∈ Mp (C). On suppose que A et B commutent et que E(B) existe. On admet que, pour tout entier i compris
entre 1 et p,
Å ãn Å ãn−i
1 1
lim Ip + B = lim Ip + B
n→+∞ n n→+∞ n
Montrer que E(A + B) existe et que E(A + B) = E(A)E(B).
6. Soit x ∈ C. Montrer que E(xIp + A) existe et que E(xIp + A) = ex E(A).
7. Montrer que E(A) − Ip est nilpotente.

Partie IV : Cas général.

Soit A ∈ Mp (C) et n ∈ N∗ . On admet qu’il existe un polynôme P annulateur de A, unitaire et de degré p, que l’on
k
Y
factorise dans C[X] sous la forme P = (X − λi )ni , les λi étant 2 à 2 distincts et ni ∈ N∗ .
i=1
On note
X n
Å ã
Pn (X) = 1 + ∈ C[X]
n
et (Qn , Rn ) ∈ C[X] × Cp−1 [X] tel que
Pn = Qn × P + Rn
1. Montrer que E(A) existe si et seulement si lim Rn (A) existe.
n→+∞

Pour tout entier q compris entre 1 et p, on note Jq la matrice de Mq (C) dont tous les coefficients son nuls sauf ceux situés
juste au-dessus de la diagonale qui valent 1.
Soit B = diag(λ1 In1 + Jn1 , . . . , λk Ink + Jnk ) la matrice diagonale par blocs définie par
à í
λ1 In1 + Jn1 0 ... 0
.. ..
0 λ2 In2 + Jn2 . .
B= .. .. ..
. . . 0
0 ... 0 λk Ink + Jnk

On admet que P est aussi un polynôme annulateur de B.

2. Montrer que, pour tout x ∈ C, pour tout entier q compris entre 1 et p, la famille {(xIq + Jq )i , 0 6 i 6 q − 1} est
libre.
3. En déduire que la famille {B i , 0 6 i 6 p − 1} est libre.
4. Montrer que lim Pn (B) existe et en déduire que la suite de polynômes (Rn )n>1 converge.
n→+∞
5. En déduire que E(A) existe.

Fin du Problème 2