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    Série 2 Analyse 31

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    sur 2

    Série 2

    Analyse 3
    Pr. H. ELBAZ & Pr. M. ZAGOUR

    Exercice 1 :
    On définit pour n ∈ N une fonction fn sur[0, π]
    (
    1 si x = 0
    fn (x) = sin(x)
    x(1+nx) sinon.

    1. Étudier la convergence simple sur [0, π] de la suite de fonction (fn )


    2. En déduire que la converge de (fn ) n’est pas uniforme sur [0, π]
    3. soit a ∈]0, π[. Étudier la convergence uniforme sur [a, π] de cette suite (fn ).

    Exercice 2 :
    . Etudier la nature (Convergence Simple et Uniforme) des suites de fonctions suivantes :
    1. fn : R+ → R, x 7→ fn (x) = log(x + n1 ), ∀n ∈ N∗
    2. fn : [1; +∞[→ R, x 7→ fn (x) = x
    n(1+xn ) , ∀n ∈ N∗
    1−n2 x2
    3. fn : [0; 1] → R, x 7→ fn (x) = (1+n2 x2 )2
    , ∀n ∈ N
    4. fn : [−1; 1] → R, x 7→ fn (x) = 1+nx2 x2 , ∀n ∈ N.

    Exercice 3 :
    On définit sur [0, 1] la suite de fonctions (fn ) par :

    fn (x) = n2 xn (1 − xn ), ∀n ∈ N∗
    1. Etudier la convergence simple de la suite (fn ) sur [0, 1]
    R1 R1
    2. Comparer lim 0 fn (x)dx et 0 lim fn (x)dx, que peut-on conclure ?
    n→+∞ n→+∞
    3. Y-a-t-il une parie de [0, 1] sur laquelle il y’a convergence uniforme ?
    Exercice 4 :
    1. Montrer que ∀x ∈ R, on a :
    +∞ n
    X x
    = ex
    n!
    n=0

    2. Soit (un )n⩾0 la suite de fonctions définies sur ]0; +∞[ par

    (−1)n
    un (x) = √
    n!(n + x)
    P
    (a) Montrer que Un converge simplement sur ]0; +∞[. Soit S sa somme

    1
    (b) Calculer S(1) et S(4)
    (c) Montrer que S est continue sur ]0; +∞[.

    Exercice 5 :
    Soit (fn )n une suite de fonctions tel que
    2
    fn (x) = nxe−nx , ∀x ∈ R
    P
    1. Etudier la convergence de la série de fonctions fn
    P+∞ k
    2. Soit y ∈]0, 1[. Calculer k=0 ky
    3. En déduire la somme S(x) = +∞
    P
    n=0 fn (x).

    Exercice 6 :
    Pour tout n ∈ N∗ , on considère la suite de fonctions (Un ) définie par :
     n
    x2
    exp(− nx ) si x > 0
    Un (x) =
    0 si x = 0
    1. Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (Un )n
    P
    2. On considère maintenant la série de fonctions Un
    (a) Etudier la convergence simple de la série
    (b) La convergence est-elle normale ?

    Exercice 7 :
    Justifier la définition et la continuté de la fonction :
    +∞
    X (−1)n
    f (x) = √
    n=1
    2 n + cos(x)
    Exercice 8 :
    Calculer
    2
    n2 e−x
    Z
    lim dx.
    n→+∞ 0 n2 + x3

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