Loi discrète uniforme

Définition Un site internet vend en ligne un produit périssable et dont la durée de

La v.a. X à valeurs dans A = {x1 , ..., xn } ⇢ IR suit la loi uniforme sur A stockage est exactement d’un mois. Les clients commandent une
(on note X U (A)) si X prend les valeurs de A de façon quantité allant de 1 à 100 de façon équiprobable. Le commerçant
équiprobables : stocke n = 100 produits pour un mois. Le prix d’achat du produit est de
1 1 100e et le prix de vente est de 150e.
P(X = xi ) = =
|A| n
Calculer l’espérance du bénéfice du commerçant.
Cas particulier : X U (A) avec A = {1, 2, ..., n}
P(X = i) = n1 Réponse. On note X la loi uniforme sur 1, ..., 100 et S le bénéfice du
Espérance et variance de X commerçant.
Alors, S = 150 ⇤ X 100 ⇤ 100, d’où
n+1 E(X ) = 150E(X )) 100 ⇤ 100 = 150 ⇤ 101 1002 = 2425e.
E(X ) = 2
2

n2 1
V (X ) =
12

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Loi de Bernoulli de paramètre p

Définition Exemple “Jeu de cartes".

X suit la loi de Bernoulli de paramètre p si elle prend deux valeurs Un jeu de 32 cartes est composé équitablement de cartes de 4
possibles 1 avec probabilité p et 0 avec probabilité 1 p. La valeur 0 couleurs : trèfle, coeur, carreau et pique. On propose le jeu suivant :
symbolise l’échec et 1 le succès.
Les cartes sont mélangées puis un joueur tire une carte. La carte est
L’espérance de X : E(X ) = (1 p) ⇤ 0 + p ⇤ 1 = p gagnante si c’est un trèfle, perdante sinon. La carte est remise au lot
et les cartes sont mélangées à nouveau.
E(X ) = p
Quelle est la probabilité de gagner à ce jeu ?
La variance de X :

V (X ) = E(X 2 ) E(X )2 = p(1 p)

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Loi Binomiale Espérance et variance
n
P
Définition L’espérance de X : De l’indépendance E(X ) = E(Xi ) = np
X suit la loi Binomiale de paramètres n et p ssi X représente le i=1

nombre de succès dans n répétitions indépendantes de l’épreuve de E(X ) = np

Pn
Bernoulli de paramètre p. Autrement X = Xi , où chaque Xi suis la
i=1
loi de Bernoulli de paramètre p et les Xi sont indépendantes. On note La variance de X : De l’indépendance
X B(n; p). n
P
V (X ) = V (Xi ) = np(1 p)
i=1
Soit k 2 {0, ..., n}
Dans la liste x1 ; x2 ; ...; xn de réalisations des Xi , la probabilité V (X ) = np(1 p)
d’avoir k succès est, par l’indépendance des Xi , :
Propriété : La somme de deux v.a. binomiales indépendantes de
pk (1 p)n k
même paramètre p est une v.a. binomiale :
9
X1 B(n1 ; p) =
Il y a Cnk façons de choisir les k valeurs xi = 1. Donc, X2 B(n2 ; p) =) X1 + X2 B(n1 + n2 ; p)
;
P(X = k ) = Cnk pk (1 p)n k
, 8k = 0, .., n X1 et X2 indépendantes

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Loi hypergéométrique
Définition
Exemple “Tirage au sort". Considérons une population de N individus, dont une proportion p,
Pour distribuer un lot de 10 cadeaux sur un groupe de 10 hommes et donc N0 = pN individus, possèdent un caractère donné, disant C. On
10 femmes, on tire au sort 10 fois une personne dans ce groupe. La prélève n individus (sans remise ou d’un coup). La v.a. X qui compte le
personne tirée au sort est remise à chaque fois dans le groupe. (une nombre d’individus ayant le caractère C suit une loi hypergéométrique
même personne peut recevoir plusieurs cadeaux) de paramètre N, n, p, on note X H(N; n; p).

Pour k = 0, ..., n
Choisir k individus ayant le caractère C parmi les n revient à
a) Quelle est la probabilité que les femmes gagnent 4 cadeaux sur les
choisir
10 tirages ? I k individus parmi les N0 possédant C. Le nombre de possibilités est
b) Quelle est l’espérance et la variance du nombre de cadeaux CNk 0 .
obtenus par les femmes sur les 10 tirages ? I n k individus parmi les N N0 individus ne possédant pas C. Le
nombre de possibilités est CNn kN0 .
Donc,
CNk 0 CNn k
N0
P(X = k ) =
CNn
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Espérance et variance

E(X ) = np
Exemple “Tirage au sort".
On tire au sort (d’un coup) deux personnes dans un groupe de 10
N n
V (X ) = np(1 p) hommes et 10 femmes pour constituer des représentants de parents
N 1 d’élèves.

Remarque
Si N est très grand devant n, on peut approcher V (X ) ⇡ np(1 p) qui a) Quelle est la probabilité d’obtenir 2 femmes comme
est la variance de B(n, p). De façon générale représentantes ?
b) Quelle est l’espérance et la variance du nombre de femmes
H(N; n; p) tend vers B(n; p) quand N tend vers + 1 obtenues ?

Ce qui signifie PH (X = k ) ! PB (X = k ) où PH désigne H(N; n; p) et

PB désigne B(n, p). En pratique cette approximation s’applique dès
que Nn < 0.1, soit 10%.

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Loi géométrique ou de Pascal

Définition
On reproduit de façon indépendante des expériences de Bernoulli de Exemple “Serveur".
paramètre p. La loi géométrique est la loi de la v.a. X qui représente le On estime que les connexions à un serveur central échouent dans 2%
nombre d’expériences nécessaire pour obtenir le succès. des cas. La réalisation d’une opération par un ordinateur nécessite
une connexion à ce serveur. On note par Y le nombre de tentatives
Pour tout k 2 IN⇤ , (indépendantes) nécessaire pour obtenir une connexion.
P(X = k ) = p(1 p)k 1

L’espérance et la variance de X . Posons q = 1 p.

a) Donner P(Y = 2)
1 b) Donner E(Y ) et V (Y ).
E(X ) =
p
q
V (X ) = avec q = 1 p
p2

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 Solution
On note Y la v.a. qui compte le nombre de boules blanches obtenues
Exemple (2) dans l’expérience reproduite (tirer un échantillon de 10 boules). Il y a
une proportion de 10 5
12 = 6 boules blanches dans l’urne.
Considérons l’expérience suivante : on tire un échantillon de 10 boules
d’un coup d’une urne contenant 10 boules blanches et 2 boules Donc, Y suit la loi H(12, 10, 56 )
rouges. On compte le nombre de boules blanches obtenues dans
l’échantillon et on le remet dans l’urne. La probabilité d’obtenir 10 boules toutes blanches est de
On reproduit cette expérience jusqu’à l’obtention de 10 boules toutes
10 C 0
C10
blanches. 2 1⇥1 1
P(Y = 10) = = =
On note X la variable aléatoire qui compte le nombre d’expériences 10
C12 12! 66
10!(12 10)!
nécessaire.
Donner P(X = 20). 1
Donc, X suit la loi géométrique de paramètre p = 66 .
Donner E(X ) et V (X ).
D’où
1 1 19
P(X = 20) = 66 (1 66 ) ⇡ 0.011
1
1 1
E(X ) = 1/66 = 66 et V (X ) = 1
66
= 65 ⇤ 66 = 4290
662
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Loi binomiale négative Espérance et Variance

Définition Nous remarquons que la loi binomiale négative est la loi d’une somme
On reproduit de façon indépendante des expériences de Bernoulli de de n v.a. indépendantes suivant chacune la loi géométriques,
paramètre p. La loi binomiale négative d’ordre n est la loi de la v.a. X correspondant aux n succès successifs :
qui représente le nombre d’expériences nécessaire pour obtenir n Donc
Xn
succès (l’attente du nième succès). X = Xi
i=1
Remarquons que l’expérience se termine automatiquement par
où Xi suit une loi géométrique de paramètre p et les Xi sont
un succès.
indépendantes.
Pour n = 1 on retrouve la loi géométrique (de Pascal), qui est Posons q = 1 p.
donc un cas particulier. Certains auteurs appellent loi de Pascal,
la loi binomiale négative n
X n
Pour tout k n, E(X ) = E(Xi ) =
p
i=1
P(X = k ) = Ckn 1
1 pp
n 1
(1 p)k 1 (n 1)
= Ckn 1 n
1 p (1 p)k n
n
X nq
V (X ) = V (Xi ) =
Ckn 11 est le nombre de listes de longueur k 1 avec n 1 fois 1 et p2
i=1
k 1 (n 1) fois 0.
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 Loi de Poisson
Notons T une période de temps dans laquelle on sait qu’il arrive en
moyenne événements. On fait les hypothèses suivantes :
Exemple “Connexion échouée". Pour un petit intervalle de temps t, la probabilité de réalisation
On estime que les connexions à un serveur central échouent dans 2% de l’événement est proportionnelle à t (=↵ t)
des cas. La réalisation d’une opération par un ordinateur nécessite 10 La probabilité de deux réalisations sur t est négligeable quand
connexions à ce serveur. On note par Z le nombre de tentatives t devient très petit.
nécessaire pour réaliser cette opération. Les réalisations des événements sont indépendantes.
Exemple : Nb appels téléphoniques pendant une période T , Nb
pièces défectueuses dans une livraison importante de bonne
a) Donner P(Z = 11)
qualité,...,etc.
b) Donner E(Z ) et V (Z ).
On démontre que la v.a. X qui compte le nombre de réalisations de
l’événement dans T suit la loi de Poisson de paramètre , notée P( ),
donnée par
ke
P(X = k ) =
k!
Espérance et variance E(X ) = et V (X ) =
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Propriété
• X1 P( ), X2 P(µ), X1 et X2 indépendantes
) X1 + X2 P( + µ)

Exemple
Une petite ville enregistre approximativement 3 accidents par an.
Calculer la probabilité qu’il survienne au plus 2 accidents au cours
d’une année donnée.
X =le nombre d’accidents, suit P(3).

30 3 31 3 32 3
P(X  2) = P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2) = e + e + e .
0! 1! 2!

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