Probabilités Conditionnelles

Si l’on sait que B s’est réalisé. Comment adapter la probabilité initiale

à la nouvelle situation ?
Définir une nouvelle loi, où :
les événements incompatibles avec B auront une probabilité nulle,
la probabilité des événements rencontrant B sera mise à
jour,...etc. (l’univers restera toujours ⌦).
On peut imaginer intuitivement le produit en croix :
P(A \ B) ! P(B)
x !1

Définition
Soit B un événement avec P(B) 6= 0. On appelle probabilité
conditionnelle de A sachant (ou si) B, la quantité :

P(A \ B)
P(A/B) =
P(B)
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Exercice. Vérifier que l’application A 7 ! P(·/B) définie est une loi de
probabilités sur (⌦, C )

Propriété (Formule des probabilités totales) : Soient Bi , i 2 IN, un

système complet d’événements, alors,
X
P(A) = P(A/Bj )P(Bj )
j2IN

Exemple. Dans une promotion de diplômés composée de 45% de

filles, 80% aiment la lecture. On sait également 78% des garçons
aiment la lecture. Quelle est la proportion de filles aimant la lecture ?

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Exercice : Formule de l’intersection

Soient A1 , ..., An des événement d’une espace probabilisé (⌦, C , P).

Montrer que,

P(A1 \A2 ...\An ) = P(A1 ).P(A2 |A1 ).P(A3 |A1 \A2 )....P(An |A1 \...\An 1)

Application. Une personne dispose d’un trousseau de n clés

identiques. Elle essaye d’ouvrir sa porte en excluant à chaque fois les
clés échouées. Donner la probabilité que la porte s’ouvre au k ième
essai.
ind. considérer “Ai = échec au i-ième essai."

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Événements indépendants
A et B sont indépendants ssi la connaissance de B ne modifie pas la
chance de réalisation de A et vice-versa.
Définition
A et B sont indépendants ssi P(A/B) = P(A) ssi P(B/A) = P(B) ssi

P(A \ B) = P(A)P(B)

Exemple
Dans un pays la proportion de fumeurs est de 30% et celle des
personnes parlant une langue étrangère est de 40%.
a) Dans quels cas suivants fumer est-il indépendant de parler une
langue étrangère ?
1) La proportion de fumeur parlant une langue étrangère est de 12%.
2) Parmi les fumeurs 40% parlent une langue étrangère.
3) Parmi ceux parlant une langue étrangère 20% sont fumeurs.
b) “Fumer" est-il incompatible avec “parler une langue étrangère" en
1), 2) et 3) ?
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Furmule De Bayes

Première formule de Bayes :

P(A/B)P(B)
P(B/A) =
P(A)
P(A\B)
P(A/B)P(B) P(B)
P(B) P(A\B)
En effet, P(A) = P(A) = P(A) = P(B/A)
Deuxième formule de Bayes : Soient Bi , i 2 IN un système
complet d’événements, alors,

P(A/Bi )P(Bi )
P(Bi /A) = P
P(A/Bj )P(Bj )
j2IN

Il suffit d’écrire,
P en utilisant la formule des probabilités totales :
P(A) = P(A/Bj )P(Bj ) dans la première formule de Bayes.
j2IN

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Remarque
Pratiquement, la formule de Bayes s’applique pour calculer des
probabilités d’événements ayant causé d’autres (probabilités de
cause). Aussi couramment, on nomme les P(Bi ) par probabilités a
priori et les P(Bi /A) probabilités a posteriori

Exercice. Un test pour une maladie A mis en avant par un laboratoire

pharmaceutique fonctionne suivant les paramètres suivants : il est
positif sur un sujet malade avec une probabilité de 0,98, et il est négatif
sur un sujet sain avec une probabilité de 0,96. Dans une population
donnée, on estime qu’il y a une probabilité de 1/500 d’être porteur de
la maladie A. On pratique le test sur une personne choisie au hasard.
1) Donner la probabilité que la personne soit saine alors que son test
est positif.
2) En déduire la probabilité qu’elle soit réellement malade quand son
test est positif.

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