TD de Vibrations Des Systemes Discrets Solution PDF
TD de Vibrations Des Systemes Discrets Solution PDF
TD de Vibrations Des Systemes Discrets Solution PDF
2007-2008
Systèmes réductibles à 1 degré de liberté
Exercice 1
Les liaisons sont parfaites, le bras de suspension est indéformable et son moment d’inertie relatif à
l’axe z passant par O est noté IO. Les cotes utiles sont indiquées sur le dessin. On ne considère que
les petits mouvements représentés par θ autour de la position d’équilibre statique θ = O.
1ère étude. Mouvements libres du bras de suspension (F = O )
1- écrire les équations du mouvement du bras OA, en supposant θ <<1.
2- Exprimer la solution générale du mouvement libre du bras.
3- Déterminer la valeur de C pour qu’on soit en régime d’amortissement critique.
4- Ecrire la solution si l’amortissement est nul.
5- AN : Io = 0,065 MKSA K = 3 . 104 MKSA l = 0,4 m . Exprimer les solutions correspondant à
ces données, dans les cas d’amortissement critique et sans amortissement.
2ème étude. Mouvement avec charge additionnelle.
On ajoute une masse ponctuelle M à l’extrémité libre A du bras de suspension (schématisant une
roue).
1- écrire les équations du mouvement du bras OA, pour θ <<1.
2- exprimer la solution des mouvements libres quand on choisit un amortissement correspondant
à la valeur d’amortissement critique de la 1ère étude.
1
3- écrire la solution si l’amortissement est annulé.
4- AN : en reprenant les valeurs précédentes augmentées de M = 0,5 MKSA,
L = 0,5 m, déterminer les solutions de 2 et 3.
3ème étude. Comparaison.
On se donne les conditions initiales suivantes : t = 0 : θ = 0,1 rad , vitesse nulle
Présenter les 4 solutions, dans un tableau de synthèse, des mouvements libres, avec et sans masse
additionnelle, avec amortissement critique calculé dans la première étude et sans amortissement,
pour les données numériques précédemment définies. Tracer l’allure des réponses dans les 4 cas
pendant les 50 premières millisecondes.
4ème étude. Mouvement forcé.
Dire comment on peut exploiter les études précédentes quand le système est excité par une force
quelconque F agissant sur la roue en A.
Exercice 2
On cherche à déterminer la valeur optimale du coefficient d’amortissement visqueux C du système
de fermeture automatique d’une porte battante d’auditorium représentée sur la figure ci-dessous.
K, C
Ressort
c
Masse sismique m
Cristal piezo électrique
k
Base
G
G x (t )
γ (t )
Figure 1 Figure 2
4
15
A(Ω)
A(Ω) (dB) = 20log10
10 A(0)
5
-5
-10
-15
-20
1 10 100 1000 10000 100000
5
Exercice 5 : Etude dynamique d’une passerelle piétonnière
On cherche à évaluer les caractéristiques vibratoires fondamentales de la passerelle piétonnière de
la figure 1 en utilisant un modèle à un degré de liberté (figure 2)
L
k c
Figure 1 Figure 2
Dans cette étude, on considère deux étapes. La première intervient à l’origine du projet de
construction, en phase de conception. La deuxième qui intervient après la construction, consiste à
vérifier expérimentalement les caractéristiques dynamiques de la structure.
6
En déduire l’expression de la raideur k.
3 – Donner ensuite l’expression de la pulsation propre ω0 en fonction du rapport :
EI
R= .
ρL4
48 x 35
4 – Application numérique : On donne R = 2.53 et = 9.94
17
En déduire une valeur approchée de la fréquence propre f0 de vibration de la passerelle.
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5
Temps (s)
7
Excitateur Dynamique
Pour étudier les caractéristiques dynamiques d’une structure, on utilise excitateur constitué d’un
moteur électrique dont l’axe porte un disque percé d’un trou à une distance r de son axe de rotation
(figure 1).
Moteur
G r
x
θ
Support rigide
8
10. Mesurer l’amortissement ξ et en déduire la valeur de c.
9
Etude vibratoire d’un ascenseur
Un ascenseur est constitué d’une cabine de masse M suspendue à un
treuil par l’intermédiaire d’un câble. La raideur k du câble dépend de sa
longueur variable L.
On donne M = 1000 kg
Pour le câble, la section droite est S = 3.14 cm2, la masse est négligeable
et le module d’Young est E = 1,03 x 1011 Pa.
On donne ES/M = 180² SI L
∆L st =
ES
M
10
Systèmes réductibles à 2 ou 3 degrés de liberté
Exercice 1 – Oscillations forcées du système à 2ddl asymétrique
F1 F2
c1 c2
M1 M2
k1 k2 G
x
F1 = f.sinωt et F2 = 0.
y
Exercice 3 – Roue à rayons
G
Ω Une roue à 4 rayons équipée de son moyeu est modélisée par le
système ci-contre. Celui-ci est constitué d’une couronne de moment
d’inertie I par rapport à son centre, à l’intérieur de laquelle est attachée
c1 M une masse ponctuelle M par l’intermédiaire d’un ressort de raideur k1
x
et d’un amortissement visqueux de coefficient C1 dans la direction Ox
k1 et d’un ressort de raideur k2 dans la direction Oy. La couronne est
k2 animée d’une vitesse de rotation constante. Les coordonnées
généralisées sont les coordonnées x et y de la masse M dans le
repère tournant lié à la couronne.
11
Exercice 4 - Couplage gyroscopique.
z1
Le système est constitué de deux armatures S1 et S2 et
z d’un gyroscope S. Le solide S2 peut tourner librement
autour de l’axe Oz1 du repère Ox1y1z1 lié au bâti. Le solide
θ
S1 est articulé autour de S2 et peut tourner librement
autour de l’axe Oy lié à S2. Le gyroscope S peut tourner à
une vitesse constante Ω autour de son axe Ox solidaire
de S1 et orthogonal à Oy.
y
(S)
φ Les deux armatures et le gyroscope ont le même centre
y1 d’inertie O.
G
Ω (S 1 ) La position du système est repérée par les angles :
(S 2 ) Φ = (y1, y) et Θ = (z1, z).
On note J et C les moments d’inertie respectifs de S par
x1 x rapport à son axe de révolution et à un axe
perpendiculaire, C1 et A1 les moments d’inertie respectifs
de S1 par rapport à Oz et aux deux axes perpendiculaires
Ox et Oy, C2 le moment d’inertie de S2 par rapport à Oz1.
(y )
2
2
−1
4 - Montrer que les fréquences propres du système vérifient l’équation : x 2
= 2
− β2
y
5 - En déduire l’effet du couplage gyroscopique sur le système.
m1
On considère un portique simple constitué d’un solide
indéformable de masse m1 et de deux lames L, b, h
identiques, de masse négligeable devant m1.
Tous les encastrements sont supposés parfaits et les
G
sollicitations extérieures sont représentées par un x
effort e1(t) dirigé suivant l’axe x.
Dans ces conditions et pour la bande de fréquence c1
étudiée, le système se comporte comme un système à
un degré de liberté schématisé sur la figure ci-contre m1
e 1 (t )
(x1(t) déplacement de m1).
Les caractéristiques du portique sont les suivantes : k1 G
x
x 1 (t )
12
Dimensions : Mobile m1 : 50.8 x 50.4 x 135 mm3
Lames : Longueur L = 150.4 mm
Largeur b = 50.4 mm
Epaisseur h = 4.5 mm
A – Etude théorique
FL3 bh3
d= avec I= .
24EI 12
0 - En déduire la raideur k1 du portique G
x
m1
k2
k1 m1 m2
G k1
x G
x x 2 (t )
x 1 (t )
Afin de limiter les déplacements de m1 à la résonance, on rajoute un absorbeur dynamique que l’on
modélisera par un système masse-ressort (m2,k2).
2.1 Ecrire les équations du mouvement.
2.2 Déterminer l’équation g(Ω2) = 0 dont les solutions sont les carrés des deux pulsations propres
Ω1 et Ω2 (Ω1 < Ω2) du système. Expliciter g(Ω2) en fonction de m1, m2, α = m1/m2 et de ω1 et ω2,
pulsations propres respectives des systèmes (m1, k1) et (m2,k2) seuls. On suppose ω1 < ω2
Tracer l’allure de la courbe g(ω2).
En considérant les signes de g(ω12) et g(ω22), en déduire que :
Ω1 < ω1 < ω2 < Ω2.
2.3 Expliciter les fonctions de réponse en fréquence (déplacement/effort) H11(ω) et H21(ω). Calculer
la valeur ωa de ω qui annule H11(ω).
fa = ωa/2π est la fréquence d’anti-résonance du système.
Tracer l’allure des modules de H11(ω) et H21(ω)
2.4 Quelle relation doivent vérifier ω1 et ω2 pour que l’absorbeur dynamique donne un déplacement
de la masse m1 nul pour la fréquence f = f1 = ω1/2π ?
La valeur de k2 étant fixée, quelle valeur donner à m2 pour obtenir le même résultat ?
13
2.5 L’absorbeur est dimensionné de façon à ce que les relations du 2.4 soient vérifiées. Expliciter
alors Ω1 et Ω2. Sachant que k2 = 150000 N/m, calculer numériquement les deux fréquences
propres F1 = Ω1/2π et F2 = Ω2/2π .
B – Etude expérimentale
A1 A2 G
Fx
G G
O1 O2 x x
Figure 1
Les éléments A1A2 et B1B2 sont des planchers indéformables, de masse M, les éléments O1A1, O2A2,
A1B1, A2B2 sont des poteaux élastiques, de longueur l, de section circulaire constante caractérisée
par un moment quadratique I, et élaborés dans un matériau de module d’Young E, dont on néglige la
masse devant celle des planchers.
14
Les conditions aux limites sont supposées correspondre à des encastrements parfaits en O1, A1, B1,
O2, A2, B2. Dans ces conditions, le déplacement d du plancher A1A2 sous l’effet d’une force F
appliquée en A1 est décrit par :
Fl3
d=
24 EI
1.2 - Préciser la valeur des masses en fonction de M, la raideur des ressorts en relation avec l, E, I
et les conditions aux limites de ce modèle.
m m
k k
G
x
Figure 2
2.4 - Représenter par un schéma des conditions initiales correspondant à l’excitation du seul mode
propre à la plus basse fréquence.
3 - Application au bâtiment : On se donne les valeurs suivantes :
M = 893 kg l = 2,8 m I = 36.10-6 m4 E = 2.1011 MKSA
Calculer la raideur k utilisée en 2 ; calculer les fréquences des deux modes propres. Les comparer
à la fréquence propre d’un bâtiment similaire qui n’aurait qu’un seul étage. Commenter.
15
7 - Etude d’une poutre suspendue
Elle est suspendue en ses extrémités A et B à un bâti fixe par des supports élastiques identiques, de
masse négligeable et de raideur k. Une masse m, considérée comme ponctuelle, est fixée sur le
plateau à une distance a du centre d’inertie.
1 - Oscillations libres.
La masse m est repérée par GP = a; on suppose les déplacements verticaux de faible amplitude et
les déplacements horizontaux négligeables.
1.1 - Calculer l'énergie potentielle du système en fonction de yG et θ, respectivement déplacement
vertical du centre d'inertie et rotation de la tige autour de l'axe z. En déduire la position
d'équilibre statique.
1.2 - On note yG et θ' les écarts par rapport à cette position d'équilibre statique. Calculer les
énergies cinétique et potentielle du système (tige AB + masse m) en fonction des variables
yG' et θ'. En déduire les matrices d’inertie et de raideur.
1.3 - Dans le cas où la masse m est au centre de la poutre, préciser les fréquences propres, les
modes propres et la configuration du système hors équilibre.
2 - Excitation harmonique.
G G
On impose en P une force sinusoïdale : F = F0 sin(ωF t)y
2.1 - Ecrire les équations du mouvement.
2.2 - Quand la masse est au centre du plateau, calculer les déplacements des extrémités A et B.
16
Les mouvements sont repérés par trois paramètres :
• le pompage z (déplacement vertical du centre d'inertie de la plaque),
• le tangage θ et
• le roulis ϕ
G G G G
et composent la rotation de la plaque : Q : Q = ϕx + θy .
G G G
On suppose que les mouvements de translation suivant x et y ainsi que les rotations d'axe Oz sont
bloqués par la nature de la suspension.
1 - Déterminer (z0 , ϕ0 , θ0 ) la position d'équilibre statique du système.
2 - Exprimer les déplacements verticaux des sommets de la plaque.
En déduire l'énergie potentielle du système plaque/ressorts pour une position quelconque
( z, ϕ , θ ) .
Montrer qu'elle peut se mettre sous la forme :
U = cz + dz2 + eϕ2 + fθ2 .
Retrouver à partir de cette expression la position d'équilibre statique.
3 - On introduit les écarts par rapport à la position d'équilibre statique :
z ' = z − z0 , ϕ ' = ϕ − ϕ0 , θ ' = θ − θ0 .
Montrer que l'énergie potentielle peut s'écrire sous la forme :
U = U0 + dz '2 + eϕ '2 + fθ '2 .
Montrer qu'il s'agit en fait une propriété générale des systèmes pesants suspendus
élastiquement et non d'une conséquence de la géométrie particulière de la suspension.
4 - Déterminer les matrices de raideur et d'inertie.
Montrer que les mouvements de pompage, roulis et tangage sont les modes propres du système.
Déterminer les pulsations propres associées.
5 - On place en A et B une surcharge m.
Déterminer la nouvelle position d'équilibre statique.
Est-ce que l'énergie potentielle exprimée en termes d'écarts a changé ?
Que peut-on dire des nouveaux modes propres du système ainsi perturbé ?
Que se passe-t-il si l'on place les deux masses en B et C ou une seule masse en A ?
6 - Expliciter les fréquences propres dans le cas où les deux masses sont en A et C.
7 - Outre les deux masses placées en A et C, on exerce en A une force de la forme :
G G
F = F0 c o s ωt z .
Calculer la puissance fournie au système et en déduire les efforts généralisés associés aux
variables z', ϕ' et θ' . Ecrire la solution d'oscillations forcées correspondante.
17
Excitation périodique
Exercice 1 :
Une structure à un degré de liberté (k,c,m) est excitée par un chargement périodique f(t) à partir de
sa position au repos.
I. Analyse de l’excitation
2πt T T
f(t) = f0 sin pour 0 ≤ t ≤ f(t) = 0 pour ≤t≤T
T 2 2
1. Donner sa représentation en fonction du temps.
2. Représenter f(t) en séries de Fourier sous la forme :
∞
2πnt ∞
2πnt
f(t) = a0 + ∑ an cos + ∑b n sin
n =1 T n =1 T
Calculer an et bn pour tout n>0 et expliciter les termes de la série jusqu’à n=7 ; (on pourra poser
2π
Ω= ). Tracer pour Ω = 1 rad/s et f0 = π l’expression de f(t) en série de Fourier jusqu’à n=3, n=5,
T
n=7.
2π 3 3 k
(On pose Ω = = ω0 = ).
T 4 4 m
Déterminer la réponse de la structure aux quatre premiers termes non nuls de l’excitation en régime
établi. Tracer x(t) avec k=1N/m pour f(t) représentée par Fourier jusqu’à n=1, n=3, et n=5.
2m
(On pose c = ω0 ). Déterminer la réponse de la structure aux quatre premiers termes non nuls de
3
l’excitation en régime établi. Tracer x(t) avec k=1N/m pour f(t) représentée par Fourier jusqu’à n=1,
n=3, et n=5.
Exercice 2 : Vibrations périodiques d’un moteur monocylindre
On considère le moteur monocylindre représenté sur la figure 1. Lorsqu’un tel moteur est mal
équilibré, son fonctionnement engendre une force périodique qui provoque la vibration du bloc
moteur. Pour l’étude de ces vibrations forcées, il faut connaître la nature exacte de la force
perturbatrice ; en particulier, il est important de connaître sa période relativement à la période
naturelle du système.
Partie 1 : Etude des forces excitatrices
Dans l’analyse de la force perturbatrice, on peut avec une précision suffisante représenter la bielle
par deux masses élémentaires, l’une (M1) située au niveau du vilebrequin, l’autre (M2) au niveau du
piston. Toutes les autres masses non équilibrées et en mouvement peuvent aisément être réduites à
ces deux mêmes points, seuls finalement à être pris en considération.
18
Dans ce modèle à un degré de liberté, la
composante horizontale des forces
perturbatrices est négligée. Donc seule Piston
r2
u(t) = r (1 − cos Ωt ) + sin2 Ωt
2l
5 – Montrer alors que la force d’inertie verticale due à la masse M2 s’écrit :
⎛ r ⎞
F2 = −M2 Ω2 r ⎜ cos Ωt + cos 2Ωt ⎟
⎝ l ⎠
6 – Ecrire la force d’inertie globale (F1+ F2) subie par le bloc moteur comme la somme de deux
termes de fréquences différentes.
Partie 2 : Etude de la vibration permanente
On note M la masse totale du moteur, k la raideur de ses supports élastiques (" silent blocks ").
L’amortissement est négligé.
7 – Exprimer la fréquence naturelle de vibration ω0 du moteur.
8 - En utilisant le résultat de la partie 1 en déduire l’expression de deux vitesses critiques de rotation
du moteur (Ω1, Ω2).
9 – Ecrire l’équation différentielle du mouvement vibratoire du bloc moteur lorsque le vilebrequin est
animé de la vitesse angulaire Ω. On notera x la position du bloc par rapport à sa position à l’arrêt.
10 – Donner sans démonstration l’expression de la vibration permanente du bloc moteur. Elle est
composée de deux termes correspondants à ceux obtenus à la question 6.
Application numérique :
On donne :
M = 20 kg, M1 = 0.2 kg, M2 = 0.7 kg
Ω = 5000 tours/min
19
r = 5 cm, l = 15 cm
11 – Calculer la raideur k des supports pour que Ω soit égale à 5 fois la fréquence naturelle ω0.
12 - Quelle est alors l’amplitude maximum du mouvement vibratoire du bloc moteur.
Exercice 2 :
De nombreux systèmes et structures mécaniques sont sujets à des excitations par l'intermédiaire de
leur support.
On modélise une suspension de voiture par un système à 1ddl sous-amorti (m, k, c)
L'excitation est fournie par le passage d'une butte et résulte en une impulsion rectangulaire de
vitesse de durée t0.
2.1 - Écrire l'équation du mouvement vertical de la voiture résultant de cette excitation.
2.2 – En utilisant les propriétés de la TL, en déduire le mouvement vertical du châssis.
20
1 – Déterminer les matrices d'inertie, B
z
A
v
de raideur et de dissipation du
G θ
système. zr
2L
2 – En déduire les pulsations propres h
G
ωz et ωθ 0 x
Préciser les expressions de ξz, ξθ, βz, et βθ en fonction des paramètres du système.
On suppose que les efforts FA(t) et FB(t) transmis au châssis sont directement proportionnels à la
hauteur zr(t) de la route, c'est à dire qu'on pose : F(t) = γzr(t).
Le ralentisseur de hauteur h franchi par l'automobile est modélisé par une distribution de Dirac de
hauteur h : zr(x) = h × δ(x)
On prend comme origine des temps l'instant où la première roue rencontre le ralentisseur. On note
t0 = 2L/v. On suppose toutes les conditions initiales nulles
7 – Exprimer les fonctions d'excitation des deux extrémités du châssis FA(t) et FB(t).
8 – En déduire les efforts généralisés résultants : Qz(t) et Qθ(t) et représenter leur allure. Calculer
leur transformée de Laplace : Qz(s) et Qθ(s)
9 – A partir des équation établies 6), expliciter les transformées de Laplace z(s) et θ(s) des
fonctions z(t) et θ(t) qui décrivent le mouvement du châssis sous l'effet du franchissement du
ralentisseur.
10 – Calculer les fonctions z(t) et θ(t) et comparer leur allure. Discuter en fonction de v.
Formulaire :
Les racines de s 2 + 2ξωs + ω2 = 0 sont : s1 = -ξ + i ωd et s2 = -ξ - i ωd
où ωd = ω 1 − ξ 2
1 1 ⎛ 1 1 ⎞
= ⎜⎜ − ⎟⎟
( s − s1 )( s − s 2 ) 2iωd ⎝ s − s1 s − s 2 ⎠
δ( t − a ) ↔ e − as
1
Transformées de Laplace : e at ↔
s−a
f ( t − a ) u( t − a ) ↔ e − as f ( s)
21
Analyse Modale d'un système à 3 degrés de liberté
1 - Déterminer les pulsations et modes propres du système à 3 ddl de la figure suivante.
x1 x2 x3
k 2k k 2k
m m m/ 2
f(t )
4000
1.2 t (s)
5 - Ecrire la matrice modale et les équations découplées du mouvement en fonction des
coordonnées principales.
6 - En utilisant la transformée de Laplace ou l'intégrale de convolution, résoudre ces équations
pour obtenir les expressions des coordonnées principales en fonction du temps
7 - En déduire les expressions des coordonnées généralisées en fonction du temps.
8 - On rajoute un amortissement proportionnel tel que C = (c/k) M. Déterminer les nouvelles
équations découplées en coordonnées principales. Calculer les coordonnées généralisées en
fonction du temps.
22
Annales
Annale : Décembre 2002
Question préliminaire O
y
Pour le pendule simple (P), OA, de la figure 1, dans le référentiel galiléen plan G
g
orthonormé direct (o, x, y), de masse m, de longueur l, placé dans le champ de
G G l
la pesanteur d’accélération g = gx , (g>0), avec liaison parfaite en O, montrer
que le potentiel de la pesanteur V peut s’écrire, lorsque |θ(t)| << 1, θ
x
θ2
V(θ) = m g l
2 Figure 1
A
θ2
NB : On utilise le développement limité de cosinus : cos θ = 1 − + ε(θ)
2
Problème
On étudie les petits mouvements autour de la position d’équilibre stable du système (S) de la figure
2 : trois pendules simples (P) couplés par deux ressorts de type R’ et reliés à un bâti fixe par deux
ressorts de type R∗.
O1 O2 O3
Figure 2
y
G
g
B1 B2 B3
R’ R’
θ1 θ2 θ3
x
R A1 A2 A3 R
mgl ⎡ 2 2 2
⎤
W(θ1, θ2 , θ3 ) = θ + θ + θ
2 ⎣ ⎦
1 2 3
k 2 ⎡ 2 ( θ2 − θ1 ) ( θ3 − θ2 ) ⎤
2 2
2
E(θ1, θ2 , θ3 ) = l ⎢ θ1 + + + θ3 ⎥
2 ⎢ 4 4
⎣ ⎦⎥
3 – Calculer l’énergie cinétique T du système (S) sous la forme :
∗
Caractéristique des ressorts de type R : de raideur k, sans masse, de longueur naturelle l0
Caractéristique des ressorts de type R’ : de raideur 2k, sans masse, de longueur naturelle l0
23
2T = m l2 ⎡⎣ θ 1 + θ 2 + θ 3 ⎤⎦
2 2 2
+ K Θ = 0
MΘ (1)
en identifiant la matrice de raideur K, lorsque la matrice des masses M s’écrit :
⎛ 1 0 0⎞
2
M = m l 13 où 13 = ⎜⎜ 0 1 0 ⎟⎟
⎜ 0 0 1⎟
⎝ ⎠
k g
5 – On pose ω2 ≡ , ω > 0 et α ≡ 2 . écrire le système différentiel (1) sous la forme :
m lω
+ ω2 X Θ = 0
Θ (2)
et on pose : Ω = ωs
3
Montrer que l’équation aux pulsations propres de (2) admet la solution s2 = + α , et qu’alors
2
X = [1, 0, − 1] est une colonne propre possible.
T
Montrer qu’alors deux autres valeurs de s sont s2 = 2 et s2 = 1/2. Quels sont les colonnes propres
possibles associées ?
⎛ 12 1
3
1
6
⎞
⎜ ⎟
L=⎜ 0 − 1
3 3 ⎟
2
⎜ 1 ⎟
⎜− 1 1 ⎟
⎝ 2 3 6 ⎠
De quelles équations différentielles découplées sont solutions les Qi(t) (1 ≤ i≤ 3) définis par le
changement de variables :
Q = [Q1, Q2 , Q3 ]
T
Θ = LQ (3)
9 – Aux forces extérieures de pesanteur, on ajoute les forces extérieures à (S) définies par les forces
d’excitation :
G
F1(t) y appliquée en A1,
G
F2 (t) y appliquée en A2,
G
F3 (t) y appliquée en A3 .
24
Ecrire les équations du système (S) sous la forme :
+ ω2 X Θ = Φ(t)
Θ (4)
on identifiera Φ
+ ω2 D Q = Ψ(t)
Q (5)
lorsque β = ω 2 ?
12 – Que devient Q
(t) lorsque β = ω 2 .
Etudier la limite quand t → ∞ , de Q
Interprétation physique.
Septembre 2003
O
y
G
g
6 1
G1
θ x
G2 2
4
G3
3
Données :
1 : Tube indéformable, M1 = Masse, I1 = Mt d’inertie /Oz, G1 = Centre de masse
2 : Piston + Tige, M2 = Masse, I2 = Mt d’inertie /G2z, G2 = Centre de masse
3 : Charge inertielle, pouvant se déplacer parallèlement à x exclusivement, par une liaison glissière
sans frottement ; G3 = Centre de masse
4 : Ressort linéaire de raideur k2
25
5 : Ressort linéaire de raideur k3
6 : Liaison 1/0, pivot tournant élastique,sans frottement, de raideur à la torsion k1.
Une suspension est représentée sur la figure ci-contre. On se propose de déterminer l’influence de
l’angle θ0, réglable par un mécanisme non représenté, sur les fréquences propres du système non
amorti, oscillant autour d’une valeur préréglée de θ0.Les variables associées aux petits déplacements
sont notées :
q : variation angulaire de l’ensemble 1+2+4 autour de la valeur θ0, position d’équilibre statique,
u : déplacement du centre de masse G2 de 2, selon la direction u, compté à partir de sa position
statique
x : déplacement du centre de masse G3 de 3, à partir de sa position statique.
Novembre 2003
Soit l’amortisseur [A] décrit dans la figure 1 ; il est constitué par un ressort de raideur k, de longueur
naturelle l , immergé dans un liquide visqueux, de viscosité « apparente » η .
F
x
O a
u u
l
Figure 1
G
En désignant par u le déplacement du point a et par Fx la force extérieure appliquée en a, le point O
étant fixe (rotule parfaite), la relation caractéristique de [A] est :
du
F=ku+η = k u + η u
dt
Il s’agit d’étudier les vibrations du système mécanique [S] de la figure 2 dans le repère galiléen
G G G
orthonormé direct {O, x, y, z} .
26
y
C α
O’
[A]
Figure 2
2l
B β
A
G
[A] Y [A]
h h
A0 B0 x
O G0
2a
[S] est constitué de trois amortisseurs de type [A] décrit ci-dessus et de deux barres AB et O’C . Les
paramètres du système sont :
G JJJJG
(
α ≡ x, O'C ) G
compté autour de z ,
G JJJG
(
β ≡ x, GB ) G
compté autour de z ,
G
Y ≡ G0 G compté selon y .
Les amortisseurs placés en A0A et B0B sont encastrés en A0 et B0, les liaisons en A, B, G, C et O’
sont des rotules parfaites.
Barre AB : homogène, de masse µ, de longueur 2h de centre d’inertie G, milieu de AB
Barre O’C : homogène, de masse m, de longueur 2a.
La masse des amortisseurs [A] est négligeable devant m et µ et la pesanteur est négligée.
Dans toute la suite du problème, α, β, y, sont supposés « petits » avec :
Y=l+y (α, β << 1 ; y << a ).
1 – Montrer que l’énergie cinétique T du système [S] s’écrit :
4 µ
2T = m a 2 α 2 + µ y 2 + h2 β 2
3 3
27
6k
4 – Montrer que ω = , est une pulsation propre de (1)
µ
et donner le mode propre associé.
5 – Etablir les équations de Lagrange sur α et y/a ≡ γ sous la forme :
⎡α ⎤ ⎡α ⎤
M' ⎢ ⎥ + K ' ⎢ ⎥ = 0 (2)
⎣ γ ⎦ ⎣γ⎦
k 2m
6 – On pose Ω 2 = et on suppose dans cette question µ = .
µ 3
Calculer les modes propres de (2). On cherchera les pulsations propres sous la forme : ω = m Ω. ;
m réel.
Préciser Γ1.
12 – Calculer β1(t) lorsque ξ = ω .
Que se passe-t-il lorsque Q → 0 ?
28
Avril 2005
On étudie le comportement en oscillation d’un train de trois voitures de chemin de fer identiques (c,
d et e) de masse m = 1500 kg et accouplées par deux systèmes de liaison identiques modélisés
par une raideur k = 4.2 x 107 N/m.
k k
m m m
(
λ λ 2 − 4φλ + 3φ2 = 0)
(On ne passera pas plus de 10 minutes à répondre à cette question qui n’est pas indispensable à la suite du
problème)
4 – En déduire les expressions et valeurs numériques des 3 fréquences propres du système (ω1, ω2,
ω3).
5 – Calculer les modes propres associés (V1, V2, V3). Représenter et discuter leur forme
On considère les conditions initiales suivantes :
vo k k
m m m
La voiture c est en mouvement rectiligne uniforme à la vitesse vo = 1 m/s roule vers les autres
voitures immobiles. A l’instant t = 0, le contact se produit et les trois voitures restent accouplées.
6 – Montrer que le mouvement du système est alors décrit par la relation :
⎡ x1(t) ⎤
⎢ ⎥
⎢ x 2 (t)⎥ = (At + B) V1 + C V2 sin(ω2 t + ϕ2 ) + D V3 sin(ω3 t + ϕ3 )
⎢⎣ x 3 (t)⎥⎦
7 – Donner les 6 équations qui permettent d’obtenir les valeurs numériques de A, B, C, D, ϕ2, et ϕ3.
29
10 – En déduire 2 vitesses de roulement caractéristiques du mouvement de d
On donne la courbe de la fonction de transfert H2 avec β = Ω/ω0
Avril 2006
On étudie le modèle conservatif décrit par la figure ci-dessous.
x1 x2 x3
k 2k k
2m m 3m
Dans ce problème et les déplacements sont seulement horizontaux et la pesanteur n’est pas prise en
compte.
Partie 1 : Oscillations libres
On note x1, x2, x3 les positions respectives des 3 mobiles par rapport à leur position d’équilibre
statique.
1 - Ecrire les énergies cinétique et potentielle, T et U.
2 – Identifier les matrices de raideur K et d’inertie M
On adoptera les notations :
ω : pulsation des mouvements libres harmoniques,
ωo = k m et β = ω/ω0
30
5 – En déduire les 3 pulsations propres du système (ω1, ω2, ω3) en fonction de ω0.
6 – Quelles équations faut-il écrire pour obtenir les modes propres (V1, V2, V3)
En résolvant ces équations, on obtient en valeurs approchées :
⎡ 1⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤
V1 ⎢⎢1.4 ⎥⎥ V2 ⎢⎢ 0.7 ⎥⎥ et V3 ⎢⎢ −2.4 ⎥⎥
⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ −0.5 ⎥⎦ ⎢⎣ 0.2 ⎥⎦
7 – Rappeler les relations entre les modes propres Vi, Vj et les matrices d’inertie M et de raideur K.
8 – A l’aide des valeurs approchées, vérifier numériquement l’orthogonalité des modes V1 et V2.
Partie 2 : Cas du déplacement imposé
On impose au mobile de masse 3m un déplacement de la forme : x3(t) = X3 sin(Ωt). Le système se
réduit donc à 2 degrés de liberté x1 et x2.
Le déplacement x3 résulte de l’application à ce mobile d’une force extérieure inconnue notée F(t).
9 – En utilisant les matrices K et M trouvées en 2, écrire l’équation matricielle du mouvement forcé.
10 – Montrer que cette équation se réduit à :
⎡ 2m 0 ⎤ ⎡
x1 ⎤ ⎡ 3k −2k ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎢ 0 m⎥ ⎢ ⎥ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ x 2 ⎦ ⎣ −2k 3k ⎦ ⎣ x 2 ⎦ ⎣kX3 sin Ωt ⎦
11 – Quelle est alors la forme générale de x1(t) et x2(t) ?
12 – En déduire, en fonction de la fréquence d’excitation Ω, les expressions des fonctions de
transfert H1(Ω) = X1/X3 et H2(Ω) = X2/X3. Tracer leur allure.
13 – En utilisant le résultat de la question 9, donner l’expression de la force F(t).
60
20*log10(abs(H1(x)))
20*log10(abs(H2(x)))
50
40
30
20
dB
10
-10
-20
-30
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Pulsation réduite beta
31
Université P. et M. Curie Master 1ère année MIS-MFE Année 2006-2007
F(t)
A2
A1 m1 m2
x1 x2
k1
Cavité
Une partie de la table de bois de masse m1 et d’aire A1, sur laquelle sont fixées les cordes
est supposée vibrer comme un piston dont le déplacement est noté x1 . L’élasticité de la table
s’oppose au déplacement x1 par une force −k1 x1 (le ressort équivalent est représenté fixé sur
le dos de la guitare par commodité).
On considère une masse d’air m2 située au niveau de l’ouverture circulaire, d’aire A2 , qui
relie l’air ambiant à la cavité de la guitare. Le mouvement de cette masse est décrit par x2 .
La variation de pression ∆p à l’intérieur de la cavité est reliée à sa variation de volume
∆V = A1 x1 + A2 x2 par la relation
Ces variations de pression ∆p s’opposent aux mouvements des masses m1 et m2 par des
forces A1 ∆p et A2 ∆p, respectivement.
On supposera de plus que des amortissements visqueux génèrent des forces −c1 ẋ1 et
−c2 ẋ2 qui s’opposent au mouvement de m1 et m2 , respectivement.
1. Adapté de Simple model for low-frequency guitar function, O. Christensen and B.B. Vistisen, JASA
68, 1980
1
Première partie : mouvement libre du système à deux degrés de liberté
1. Faire le bilan des forces qui s’exercent sur les masses m1 et m2 et en déduire deux
équations du mouvement (on ne cherchera pas à faire un schéma équivalent).
2. On note ω1,0 la pulsation propre du mouvement non amorti de la masse m1 lorsque
qu’il n’y a pas de cavité (caisse ouverte). Donner l’expression de ω1,0 .
3. On note ω1 la pulsation propre du mouvement non amorti de la masse m1 lorsque
l’ouverture est bouchée (A2 = 0). Donner l’expression de ω1 .
4. On note ω1,1 la pulsation propre du mouvement non amorti de la masse m1 lorsque
l’ouverture est bouchée (A2 = 0) et lorsque l’on suppose négligeable l’élasticité propre
de la table (k1 = 0). Donner l’expression de ω1,1 .
5. On note ω2 la pulsation propre du mouvement non amorti de la masse m2 lorsque l’on
bloque le mouvement de la masse m1 (x1 = 0). Donner l’expression de ω2 .
6. Montrer que les équations du mouvement se mettent sous la forme
MẌ + CẊ + KX = 0,
avec Xt = (x1 ,x2 ) et
µ ¶ µ ¶ ω12 γω1,1
2
1 0 c1 /m1 0
M= ; C= ; K= 1 2 ,
0 1 0 c2 /m2 ω2 ω22
γ
où l’on a noté γ = A2 /A1 .
7. Calculer les pulsations propres ω− et ω+ du système non amorti.
8. On note X̄ = (Xi1 ,Xi2 ) les coordonnées du vecteur propre pour le mode i. Pour chacun
Xi1
des modes propres, déterminez le rapport αi = X i2
en fonction de ω− et ω+ et des autres
pulsations caractéristiques.
9. La mesure sur une guitare instrumentée fournit les valeurs suivantes pour quelques
fréquences caractéristiques du système : f1 = ω2π1 = 184 Hz ; f2 = ω2π2 = 126 Hz ;
f− = ω2π− = 103 Hz et f+ = ω2π+ = 198 Hz. Le calcul à partir de ces fréquences donne
|α1 | = 0.05 ; |α2 | = 0.2.
Déterminez les signes des αi et représentez la forme des modes propres.