Espaces Mesurés: 1. Tribus
Espaces Mesurés: 1. Tribus
Espaces Mesurés: 1. Tribus
Espaces Mesurés
1. Tribus.
• Dans toute la suite, E est un ensemble non vide.
• A ⊂ E et A ∈ P (E )
• x ∈ E , {x} ⊂ E , {x} ∈ P (E )
• A un ensemble de parties de E : A ⊂ P (E )
1.1. Définitions.
Définition (Tribu). Soit A une classe de parties de E . On dit que A est une tribu sur E si
1. ; ∈ A ;
Si A est une tribu sur E , on dit que (E , A ) est un espace mesurable et les ensembles de A
sont appelés ensembles mesurables.
• Une tribu est stable par union finie, par intersection finie, par différence, par différence
symétrique, par intersection dénombrable, etc.
[ c c
µ ¶
\
An = An .
n≥0 n≥0
• Attention, une tribu est stable par union dénombrable : c’est plus fort que la stabilité par
union finie mais cela ne signifie pas que A est stable par union quelconque
• L’ensemble
est une tribu sur E mais n’est pas stable par union quelconque si E n’est pas dénom-
brable
• La définition fait sens car une intersection quelconque de tribus sur E est une tribu sur E .
• σ(C ) est l’intersection de toutes les tribus sur E contenant C , l’intersection étant non
vide puisque P (E ) est une tribu qui contient C .
• σ({A}) = {;, E , A, A c }
Proposition (Image réciproque d’une tribu). Soient f : E −→ F une application et B une tribu
sur F . Alors,
f −1 (B) = f −1 (B ) : B ∈ B
© ª
• Rappelons que si A ⊂ E et B ⊂ F ,
not .
f (A) = { f (x) : x ∈ A }, f −1 (B ) = {x ∈ E : f (x) ∈ B } = { f ∈ B }
f (A ) = { f (A) ; A ∈ A }, et, f ∗ (A ) = {B ⊂ F ; f −1 (B ) ∈ A }.
Montrer que f ∗ (A ) est une tribu sur F mais qu’en général f (A ) n’est pas une tribu sur E
f −1 (σ(D)) = σ f −1 (D) .
¡ ¢
• L’image réciproque de la tribu engendrée par D est la tribu engendrée par l’image réci-
proque de D.
Démonstration. f −1 (σ(D))
¡• −1 est une tribu qui contient f −1 (D) ; par conséquent, elle contient
σ f (D) : σ f (D) ⊂ f −1 (σ(D)).
¡ −1 ¢ ¢
2
• On considère
f ∗ σ f −1 (D) = B ⊂ F : f −1 (B ) ∈ σ f −1 (D) .
¡ ¡ ¢¢ © ¡ ¢ª
∀B ∈ σ(D), f −1 (B ) ∈ σ f −1 (D) .
¡ ¢
Définition (Tribu trace). Soient A une tribu sur E et B ⊂ E . On appelle tribu trace (ou tribu
induite) par A sur B la tribu sur B
AB = {A ∩ B : A ∈ A }.
Définition (Tribu produit). Soient (E , A ) et (F, B) deux espaces mesurables. On appelle tribu
produit la tribu sur E × F engendrée par les pavés mesurables, R
R = {A × B : A ∈ A , B ∈ B}.
]ρ − r, ρ + r [, I = (q, r ) ∈ Q × Q∗+ , ]q − r, q + r [⊂ O
[ © ª
O=
(ρ,r )∈I
Définition. La tribu σ(O ) engendrée par O est appelée la tribu borélienne de R. On la note
B(R). Ses éléments sont appelés les boréliens.
• On peut montrer qu’il existe des ensembles de R qui ne sont pas boréliens.
Proposition. Sur R, muni de sa topologie usuelle, la tribu borélienne est engendrée par
3
4. la classe des intervalles de la forme ] − ∞, a] avec a ∈ R,
• Le point 1 est évident puisque tout ouvert est une union dénombrable d’intervalles ouverts
• Rappelons que sa topologie est définie par la base d’ouverts formés des intervalles ouverts
de la forme ]a, b[, ]a, +∞] et [−∞, b[ avec a, b ∈ R.
• On démontre de façon analogue que la tribu borélienne de R est engendrée par les classes
{[−∞, a[, a ∈ R} ou {[−∞, a], a ∈ R} par exemple.
Proposition. La tribu borélienne de Rd est égale à la tribu engendrée par la classe des ouverts
de la forme
Yd
]a i , b i [ avec ∞ < a i < b i < +∞.
i =1
1. ; et E appartiennent à O ,
2. O est stable par intersection finie,
3. O est stable par réunion quelconque.
• La tribu borélienne sur E , B(E ) est la tribu engendrée par la classe des ouverts O
2. Fonctions mesurables.
4
• L’image réciproque de tout ensemble mesurable est un ensemble mesurable.
• Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté, on ne précise pas les tribus de départ et d’arrivée
∀B ∈ D, f −1 (B ) ∈ A .
rable f −1 g −1 (C ) ∈ A .
5
1. Les projections p 1 et p 2 sont mesurables ;
Corollaire. Une fonction à valeurs complexes est mesurable si et seulement si ses parties réelle
et imaginaire le sont.
Si f et g sont des fonctions mesurables de (E , A ) dans C, alors f + g , f g , | f |, etc. sont mesu-
rables.
• Soit ( f n )n≥0 une suite de fonctions de E dans R. On note lim sup f n la fonction
lim sup f n (x), x ∈ E.
Proposition. Soit ( f n )n≥0 une suite de fonctions mesurables de (E , A ) dans R, B R . Alors
¡ ¡ ¢¢
Démonstration. Pour t ∈ R, on a
\
{x ∈ E : sup f n (x) ≤ t } = {x ∈ E : f n (x) ≤ t },
n≥0 n≥0
\
{x ∈ E : inf f n (x) ≥ t } = {x ∈ E : f n (x) ≥ t }.
n≥0 n≥0
Corollaire. Soit ( f n )n≥0 une suite de fonctions mesurables de (E , A ) dans (C, B(C)). On suppose
que ( f n )n≥0 converge simplement vers f . Alors f est mesurable.
Exemple(s). Soit f : R −→ R borélienne et dérivable. Alors f 0 est borélienne.
Proposition. Soient f et g deux fonctions mesurables de (E , A ) dans R. Alors les ensembles
{x ∈ E : f (x) < g (x)} et {x ∈ E : f (x) ≤ g (x)} sont dans A .
• On écrit
[
{x ∈ E : f (x) < g (x)} = {x ∈ E : f (x) < q < g (x)}
q∈Q
[¡ ¢
= {x ∈ E : f (x) < q} ∩ {x ∈ E : q < g (x)} .
q∈Q
6
2.3. Fonctions étagées et approximation.
• Soit (E , A ) un espace mesurable
• On note M (E , A ), ou plus
¡ simplement M , l’ensemble des fonctions f : E −→ R mesurables
par rapport à (E , A ) et R, B R .
¡ ¢¢
Définition (Fonction étagée). Une fonction mesurable sur (E , A ) à valeurs dans C est étagée
lorsqu’elle ne prend qu’un nombre fini de valeurs.
• On note E + (resp. E ) l’ensemble des fonctions étagées à valeurs dans R+ (resp. C).
• Une fonction étagée ne prend qu’un nombre fini de valeurs finies : f (E ) est un ensemble
fini de C et X X
f (x) = y 1 f −1 ({y}) (x) = y 1{y} ( f (x)).
y∈ f (E ) y∈ f (E )
Théorème. Soit f : E −→ R+ une fonction mesurable. Alors, il existe une suite croissante ( f n )n≥0
de fonctions étagées positives qui converge simplement vers f .
De plus, la convergence est uniforme sur toute partie sur laquelle f est bornée.
£ n
2 f (x) ≤ 2n f (x) < 2n f (x) + 1, f n (x) ≤ f (x) < f n (x) + 2−n .
¤ £ ¤
7
• Soient x ∈ E tel que 0 ≤ f (x) < +∞ et n ∈ N.
Si f (x) ≥ n, f n (x) = n
f n+1 (x) = 2−(n+1) 2n+1 min( f (x), n + 1) ≥ 2−(n+1) 2n+1 min(n, n + 1) = n = f n (x).
£ ¤ £ ¤
Si f (x) < n, il existe un unique k ∈ {0, . . . , n2n − 1} tel que 2−n k ≤ f (x) < 2−n (k + 1). On a
alors f n (x) = 2−n k et
k k 2k 2k + 1
f n+1 (x) == f n (x), si = n+1 ≤ f (x) < n+1 ,
2n 2 n 2 2
k 1 2k + 1 2k + 2 k + 1
f n+1(x) = n + n+1 > f n (x), si ≤ f (x) < n+1 = n .
2 2 2n+1 2 2
• Si f est bornée sur X , il existe n 0 tel que f (x) ≤ n 0 ; pour tout x ∈ X et tout n ≥ n 0
£ n
2 f (x) ≤ 2n f (x) < 2n f (x) + 1, 0 ≤ f (x) − f n (x) < 2−n .
¤ £ ¤
• Il faut bien comprendre que cette méthode d’approximation porte sur les valeurs de f (x)
pas celle de x
Corollaire. Toute fonction mesurable à valeurs dans R (ou C) est limite simple d’une suite de
fonctions étagées à valeurs dans R (ou C)
3. Mesures positives.
• Dans toute la suite, (E , A ) est un espace mesurable.
3.1. Définitions.
Définition. Une mesure positive sur (E , A ) est une application µ de A dans R+ vérifiant :
1. µ(;) = 0 ;
• Vocabulaire :
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• Si µ(E ) = 1, µ est une (mesure de) probabilité ;
• S’il existe (A n )n≥0 ⊂ A telle que ∪A n = E et µ(A n ) < +∞, µ est σ-finie ;
• Si µ est une mesure positive sur (E , A ), le triplet (E , A , µ) s’appelle un espace mesuré.
2. Soient A et B deux parties de A . Si A ⊂ B , alors µ(A) ≤ µ(B ). De plus, si µ(A) < +∞,
µ(B \A) = µ(B ) − µ(A).
• Attention, si A ⊂ B sont deux éléments de A , on peut toujours écrire µ(B ) = µ(A) + µ(B \A)
mais µ(B ) − µ(A) n’a de sens que si µ(A) < +∞.
• Si µ(A ∩ B ) = +∞, alors la formule est vraie : les quatre termes valent +∞.
Si µ(A ∩ B ) < +∞, on considère la partition suivante de A ∪ B
[ [
A ∪ B = A\(A ∩ B ) B \(A ∩ B ) (A ∩ B ),
• Attention, un ensemble peut être négligeable et ne pas être vide. Par exemple, [2, +∞[ est
négligeable pour δ0 .
9
3.2. Propriétés des mesures positives.
Proposition. Soient (E , A , µ) un espace mesuré et (B n )N ⊂ A . Alors,
1. µ µ(B n ).
¡[ ¢ X
n≥0 B n ≤ n≥0
3. Si B n+1 ⊂ B n pour tout n et s’il existe n 0 ∈ N tel que µ(B n0 ) < +∞,
• Attention, la propriété 3 est fausse sans l’hypothèse µ(B n0 ) < +∞. Par exemple, si γ est la
mesure de comptage sur N et si B n est l’ensemble des entiers supérieurs à n, µ (B n ) = +∞
et ∩B n = ;.
• Pour le point 1,
µ µ µ(A µ(B n ).
¡[ ¢ ¡[ ¢ X X
n≥0 B n = n≥0 A n = n ) ≤
n≥0 n≥0
• Pour le point 2,
n
µ µ µ(A µ(A k ) = lim µ
¡[ ¢ ¡[ ¢ X X ¡[ ¢
B
n≥0 n = A
n≥0 n = k ) = lim 0≤k≤n A k
n→∞ n→∞
k≥0 k=0
= lim µ = lim µ (B n )
¡[ ¢
n→∞ 0≤k≤n B k n→∞
1. µ(;) = 0 ;
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2. Pour A et B dans A disjoints, µ(A ∪ B ) = µ(A) + µ(B ) ;
Démonstration. Nous avons déjà vu que la condition était nécessaire. Montrons qu’elle est
suffisante. Soit (A n )n≥0 une suite de parties de A deux à deux disjointes. On obtient, posant
B n = ∪0≤k≤n A k , via les points 3 puis 2,
n
µ Ak = µ B k = lim µ(B n ) = lim µ(A k ) = µ(A n ).
¡[ ¢ ¡[ ¢ X X
n→∞ n→∞
k=1 n≥0
de Borel-Cantelli). Soit (A n )n≥0 ⊂ A telle que n≥n0 µ(A n ) < +∞. Alors
P
Corollaire (Lemme
µ lim sup A n = 0 i.e. lim sup A n = n≥0 k≥n A k est un ensemble négligeable.
¡ ¢ T S
µ k≥n A k ≤ µ µ(A k ) ;
¡\ [ ¢ ¡[ ¢ X
n≥0 k≥n A k ≤
k≥n
Proposition. Soient (µk )k≥0 une suite de mesures positives sur (E , A ) et (αk )k≥0 ⊂ R+ . Pour
A ∈ A , on pose
µ(A) = αk µk (A).
X
k≥0
Alors µ est une mesure positives sur (E , A ).
f ∗ (µ)(B ) = µ f −1 (B ) .
¡ ¢
Alors f ∗ (µ) est une mesure positive sur (F, B) appelée mesure image de µ par f .
f ∗ (A ) = B ⊂ F : f −1 (B ) ∈ A .
© ª
Par suite,
B n = µ f −1
¡[ −1
Bn = µ f (B n ) = µ f −1 (B n ) =
¡[ ¢ ¡ ¡[ ¢¢ ¢ X ¡ ¢ X
f ∗ (µ) f ∗ (µ)(B n ).
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3.3. Exemples de mesure positives.
∀A ∈ A , µ(A) = µ(A ∩ P ).
• Si λ > 0,
λn
µ= e −λ δn
X
n≥0 n!
est une mesure de probabilité appelée loi de Poisson de paramètre λ.
p n δ f (xn ) .
X
f ∗ (µ) =
n≥0
Théorème (Mesure de Lebesgue sur R). Il existe une unique mesure positive, λ, sur (R, B (R))
telle que, pour tous réels a et b avec a < b,
λ(]a, b]) = b − a.
• On voit facilement que, pour tout réel x, λ({x}) = 0. En effet, pour tout n ≥ 1,
12
• Par conséquent, pour tous réels a et b avec a < b,
Théorème. Soit µ une mesure positive sur (R, B (R)) vérifiant µ([0, 1]) = 1 et invariante par
translation : pour tout x ∈ R et tout B ∈ B(R), µ(x + B ) = µ(B ).
Alors µ est la mesure de Lebesgue sur R.
Démonstration. • On montre d’abord que µ({0}) = 0. En effet, pour tout n ≥ 1, par invariance
par translation,
n
1 = µ([0, 1]) ≥ µ({k/n, 1 ≤ k ≤ n}) = µ({k/n}) = nµ({0}).
X
k=1
• Pour tous rationnels q < r , µ(]q, r ]) = µ(]0, r − q]) = r − q. En effet, q − r = m/n avec m et n
S
deux entiers strictement positifs et, comme ]0, m/n] = 1≤k≤m ](k − 1)/n, k/n],
m
µ(]0, m/n]) = µ (](k − 1)/n, k/n]) = mµ(]0, 1/n]) = m/n = q − r.
X
k=1
• Pour tous réels a < b, µ(]a, b]) = µ(]0, b − a]) = b − a. En effet, comme Q est dense dans R,
on peut choisir deux suite de rationnels (q n )n≥0 et (r n )n≥0 qui convergent vers b − a telles
que q n ≤ b − a ≤ r n . Par exemple, q n = 2−n [2n (b − a)] et r n = 2−n ([2n (b − a)] + 1). On a alors
]0, q n ] ⊂]0, b − a] ⊂]0, r n ] et, pour tout n,
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• L’unicité de la mesure de Lebesgue vient d’un résultat général
Théorème (Unicité de deux mesures). Soit µ et ν deux mesures sur (E , A ). On suppose qu’il
existe C ⊂ A , stable par intersection finie, telle que σ(C ) = A et
∀C ∈ C , µ(C ) = ν(C ).
∀A ∈ A , µ(A) = ν(A),
• Les classes C les plus utilisées sont : {] − ∞, t ] : t ∈ R}, {]a, b] : −∞ < a < b < +∞}, {]a, b[:
−∞ < a < b < +∞}, {[a, b] : −∞ < a ≤ b < +∞}, les compacts de R, ceux de Rd , sur Rd
{]a, b[×]c, d [: a < b, c < d }, etc.
• Deux mesures finies sur les compacts de R qui coïncident sur les intervalles bornés sont
égales sur B(R) ;
• Deux mesures de probabilité sont égales si et seulement si
∀t ∈ R, F µ (t ) := µ(] − ∞, t ]) = ν(] − ∞, t ]) =: F ν (t ).
• λd est l’unique mesure positive invariante par translation telle que λd [0, 1]d = 1.
¡ ¢
Exercice. Dans R2 , la mesure de Lebesgue des droites est nulle. D’après l’invariance par iso-
métrie, il suffit de montrer que λ2 (D) = 0 où D = {(x, 0) : x ∈ R}. Montrons que, pour tout k ∈ Z,
λ2 ([k, k + 1[×{0}) = 0. En effet, si k ∈ Z, pour tout ε > 0,
[k, k + 1[×{0} ⊂ [k, k + 1[×] − ε, +ε[, λ2 ([k, k + 1[×{0}) ≤ λ2 ([k, k + 1[×] − ε, +ε[) = 2ε.
S
Par conséquent, comme D = k∈Z [k, k + 1[×{0},
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3.3.3. Mesure de Lebesgue-Stieltjes.
Définition. Soit µ une mesure positive sur (R, B(R)). On dit que µ est une mesure borélienne
si µ(K ) < +∞ pour tout K compact de R.
• G est croissante donc possède une limite à gauche en tout y ∈ R, notée G(y−).
• On a µ([a, b]) = G(b) −G(a−), µ(]a, b[) = G(b−) −G(a), µ([a, b[) = G(b−) −G(a−).
F µ (t ) = µ(] − ∞, t ]), t ∈ R.
F µ est croissante, continue à droite, limt →−∞ F µ (t ) = 0, limt →+∞ F µ (t ) = µ(E ) et, pour a < b,
µ(]a, b]) = F µ (b) − F µ (a). En fait, G(t ) = F µ (t ) − F µ (0).
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Remarquons que µ est une mesure de probabilité : en effet, µ(R) = limn→∞ µ([−n, n]) et, pour
tout n ≥ 1,
µ([−n, n]) = F (n) − F (−n) = 1 = µ([0, 1]).
Il en va de même de ν. Pour tout t ∈ R,
Si t ≥ x 0 , {x ∈ R : max(x, x 0 ) ≤ t } = R et f ∗ (µ)(] − ∞, t ]) = 1.
Si t < x 0 , {x ∈ R : max(x, x 0 ) ≤ t } =] − ∞, t ] et
Par conséquent,
F ν (t ) = 0 si t < 0, F ν (t ) = t si 0 ≤ t < x 0 , F ν (t ) = 1 si t ≥ x 0 ,
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