Mathematics">
Nothing Special   »   [go: up one dir, main page]

Espaces Mesurés: 1. Tribus

Télécharger au format pdf ou txt
Télécharger au format pdf ou txt
Vous êtes sur la page 1sur 16

Licence de Mathématiques 3e année, MATH602

Espaces Mesurés

1. Tribus.
• Dans toute la suite, E est un ensemble non vide.

• P (E ) désigne l’ensemble des parties de E

• A ⊂ E et A ∈ P (E )
• x ∈ E , {x} ⊂ E , {x} ∈ P (E )

• A un ensemble de parties de E : A ⊂ P (E )

1.1. Définitions.
Définition (Tribu). Soit A une classe de parties de E . On dit que A est une tribu sur E si

1. ; ∈ A ;

2. A est stable par passage au complémentaire : si A ∈ A alors A c = E \A ∈ A ;

3. A est stable par union dénombrable : si (A n )n≥0 ⊂ A alors n∈N A n ∈ A .


S

Si A est une tribu sur E , on dit que (E , A ) est un espace mesurable et les ensembles de A
sont appelés ensembles mesurables.

• Une tribu est stable par union finie, par intersection finie, par différence, par différence
symétrique, par intersection dénombrable, etc.
[ c c
µ ¶
\
An = An .
n≥0 n≥0

• Si A est une tribu, alors E ∈ A

• Attention, une tribu est stable par union dénombrable : c’est plus fort que la stabilité par
union finie mais cela ne signifie pas que A est stable par union quelconque

• L’ensemble

A = {A ⊂ E : A est au plus dénombrable ou A c est au plus dénombrable}

est une tribu sur E mais n’est pas stable par union quelconque si E n’est pas dénom-
brable

1 Ph. Briand, 2017/2018


• Attention,
A = {A ⊂ E : A est fini ou A c est fini}
est stable par union finie mais pas par union dénombrable. Ce n’est pas une tribu.

Définition (Tribu engendrée). Soit C ⊂ P (E ) une classe de parties de E . On appelle tribu


engendrée par C , notée σ(C ), la plus petite tribu sur E (au sens de l’inclusion) contenant C .

• La définition fait sens car une intersection quelconque de tribus sur E est une tribu sur E .

• σ(C ) est l’intersection de toutes les tribus sur E contenant C , l’intersection étant non
vide puisque P (E ) est une tribu qui contient C .

• Si A est une tribu sur E qui contient C alors σ(C ) ⊂ A .

• σ({A}) = {;, E , A, A c }

• Si A est une tribu, σ(A ) = A .

Proposition (Image réciproque d’une tribu). Soient f : E −→ F une application et B une tribu
sur F . Alors,
f −1 (B) = f −1 (B ) : B ∈ B
© ª

est une tribu sur E .

• Rappelons que si A ⊂ E et B ⊂ F ,
not .
f (A) = { f (x) : x ∈ A }, f −1 (B ) = {x ∈ E : f (x) ∈ B } = { f ∈ B }

• x ∈ f −1 (B ) est équivalent à f (x) ∈ B .

• Cette proposition résulte du fait que


µ ¶
−1
¡ c ¢ ¡ −1 ¢c −1
f −1 (B n ).
[ [
f B = f (B ) , f Bn =
n≥0 n≥0

Exercice. Soient f : E −→ F une application et A une tribu sur E . On note

f (A ) = { f (A) ; A ∈ A }, et, f ∗ (A ) = {B ⊂ F ; f −1 (B ) ∈ A }.

Montrer que f ∗ (A ) est une tribu sur F mais qu’en général f (A ) n’est pas une tribu sur E

Proposition. Soient f : E −→ F une application et D une classe de parties de F . Alors,

f −1 (σ(D)) = σ f −1 (D) .
¡ ¢

• L’image réciproque de la tribu engendrée par D est la tribu engendrée par l’image réci-
proque de D.

Démonstration. f −1 (σ(D))
¡• −1 est une tribu qui contient f −1 (D) ; par conséquent, elle contient
σ f (D) : σ f (D) ⊂ f −1 (σ(D)).
¡ −1 ¢ ¢

2
• On considère
f ∗ σ f −1 (D) = B ⊂ F : f −1 (B ) ∈ σ f −1 (D) .
¡ ¡ ¢¢ © ¡ ¢ª

• C’est une tribu qui contient D : elle contient σ(D) i.e.

∀B ∈ σ(D), f −1 (B ) ∈ σ f −1 (D) .
¡ ¢

• D’où f −1 (σ(D)) ⊂ σ f −1 (D) .


¡ ¢

2017/2018 : fin du cours 1

Définition (Tribu trace). Soient A une tribu sur E et B ⊂ E . On appelle tribu trace (ou tribu
induite) par A sur B la tribu sur B

AB = {A ∩ B : A ∈ A }.

• Attention, si B 6∈ A , alors AB n’est pas incluse dans A .

Définition (Tribu produit). Soient (E , A ) et (F, B) deux espaces mesurables. On appelle tribu
produit la tribu sur E × F engendrée par les pavés mesurables, R

R = {A × B : A ∈ A , B ∈ B}.

1.2. Tribu borélienne.


• Rappelons que pour la topologie usuelle de R, un ensemble O de R est ouvert si

∀x ∈ O, ∃a, b ∈ O, x ∈]a, b[⊂ O.

• On note O l’ensemble des ouverts de R.

• Tout ouvert O de R est une union dénombrable d’ouvert :

]ρ − r, ρ + r [, I = (q, r ) ∈ Q × Q∗+ , ]q − r, q + r [⊂ O
[ © ª
O=
(ρ,r )∈I

Définition. La tribu σ(O ) engendrée par O est appelée la tribu borélienne de R. On la note
B(R). Ses éléments sont appelés les boréliens.

• On peut montrer qu’il existe des ensembles de R qui ne sont pas boréliens.

Proposition. Sur R, muni de sa topologie usuelle, la tribu borélienne est engendrée par

1. la classe des intervalles ouverts bornés,

2. la classe des segments

3. la classe des intervalles de la forme ] − ∞, a[ avec a ∈ R,

3
4. la classe des intervalles de la forme ] − ∞, a] avec a ∈ R,

Démonstration. Démontrons les points 1 et 3. Les autres sont laissés en exercice.

• Le point 1 est évident puisque tout ouvert est une union dénombrable d’intervalles ouverts

• Notons C = {] − ∞, a[, a ∈ R}. Si a < b, [a, b[=] − ∞, b[\] − ∞, a[∈ σ(C ) et

[a − 1/n, b[∈ σ(C ).


[
]a, b[=
n≥1

Par conséquent B(R) ⊂ σ(O ). L’autre inclusion est évidente.

• Nous aurons aussi à considérer la droite achevée R = R ∪ {+∞} ∪ {−∞}.

• Rappelons que sa topologie est définie par la base d’ouverts formés des intervalles ouverts
de la forme ]a, b[, ]a, +∞] et [−∞, b[ avec a, b ∈ R.

• On démontre de façon analogue que la tribu borélienne de R est engendrée par les classes
{[−∞, a[, a ∈ R} ou {[−∞, a], a ∈ R} par exemple.

Proposition. La tribu borélienne de Rd est égale à la tribu engendrée par la classe des ouverts
de la forme
Yd
]a i , b i [ avec ∞ < a i < b i < +∞.
i =1

• Rappelons que O ⊂ P (E ) est une topologie (l’ensemble des ouverts) sur E si

1. ; et E appartiennent à O ,
2. O est stable par intersection finie,
3. O est stable par réunion quelconque.

• La tribu borélienne sur E , B(E ) est la tribu engendrée par la classe des ouverts O

2. Fonctions mesurables.

2.1. Définitions, critères de mesurabilité.

• Rappel : f : E −→ F est continue si, pour tout ouvert V ⊂ F , f −1 (V ) est un ouvert de E .

• La définition d’une fonction mesurable est analogue.

Définition (Fonction mesurable). Soient (E , A ) et (F, B) deux espaces mesurables et f une


application de E dans F . On dit que f est mesurable par rapport à A et B si f −1 (B) ⊂ A
c’est à dire
∀B ∈ B, f −1 (B ) ∈ A .

4
• L’image réciproque de tout ensemble mesurable est un ensemble mesurable.

• Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté, on ne précise pas les tribus de départ et d’arrivée

Exemple(s). La fonction f (x) = 1 A (x) est mesurable si et seulement si A ∈ A

Lemme. Soient (E , A ) et (F, B) deux espaces mesurables et f : E −→ F une application. On


suppose que B = σ(D). Alors f est mesurable si et seulement si

∀B ∈ D, f −1 (B ) ∈ A .

Démonstration. • La condition est nécessaire.

• Si la tribu A contient f −1 (D), alors

f −1 (B) = f −1 (σ(D)) = σ f −1 (D) ⊂ A .


¡ ¢

Corollaire. Soient E et F deux espaces topologiques, f : E −→ F une application continue. Alors


f est mesurable par rapport aux tribus boréliennes B(E ) et B(F ).

• On dit plus simplement que f est borélienne.

Démonstration. L’image réciproque d’un ouvert de F est un ouvert de E . Il suffit d’appliquer


le lemme avec B(F ) = σ(O F ).

Corollaire. Soient (E , A ) un espace mesurable et f : E −→ R une application. f est borélienne


si et seulement si l’une des conditions suivantes est vérifiée :

1. pour tout réel t , {x ∈ E : f (x) ≤ t } ∈ A ;

2. pour tout réel t , {x ∈ E : f (x) < t } ∈ A .

• Cela résulte du lemme et du fait que B R = σ ({[−∞, t ], t ∈ R}).


¡ ¢

2017/2018 : fin du cours 2

2.2. Propriétés de stabilité.


Proposition (Stabilité par composition). Soient f mesurable de (E , A ) dans (F, B) et g mesu-
rable de (F, B) dans (G, C ). Alors g ◦ f est mesurable de (E , A ) dans (F, C ).

• Si C ∈ C , ¡(g ◦ f )−1¢ = f −1 g −1 (C ) ; g −1 (C ) ∈ B car g est mesurable et, comme f est mesu-


¡ ¢

rable f −1 g −1 (C ) ∈ A .

Proposition. Soient (F 1 , B1 ) et (F 2 , B2 ) deux espaces mesurables et p 1 et p 2 les projections de


F 1 × F 2 sur F 1 et F 2 respectivement. On munit F 1 × F 2 de la tribu produit B1 ⊗ B2 .

5
1. Les projections p 1 et p 2 sont mesurables ;

2. Soit (E , A ) un espace mesurable et f une application de E dans F 1 ×F 2 . Alors f est mesu-


rable si et seulement si les composées p 1 ◦ f : E → F 1 et p 2 ◦ f : E → F 2 sont mesurables.

• Généralisation immédiate au cas d’un produit de n termes


Démonstration. • Pour tout B 1 ∈ B1 , p 1−1 (B 1 ) = B 1 × F 2 ∈ B1 ⊗ B2 .

• Si f est mesurable alors p 1 ◦ f et p 2 ◦ f sont mesurables. Réciproquement, si B = B 1 × B 2


avec B 1 ∈ B1 et B 2 ∈ B2
f −1 (B 1 × B 2 ) = f −1 (B 1 × F 2 ∩ F 1 × B 2 ) = (p 1 ◦ f )−1 (B 1 ) ∩ (p 2 ◦ f )−1 (B 2 ) ∈ A .
f est donc mesurable puisque B1 ⊗ B2 est engendré par les pavés mesurables.

Corollaire. Une fonction à valeurs complexes est mesurable si et seulement si ses parties réelle
et imaginaire le sont.
Si f et g sont des fonctions mesurables de (E , A ) dans C, alors f + g , f g , | f |, etc. sont mesu-
rables.

• Soit (x n )n≥0 une suite de R


lim sup x n = inf sup x k , lim inf x n = sup inf x k .
n≥0 k≥n n≥0 k≥n

• (x n )n≥0 converge dans R si et seulement si lim sup x n = lim inf x n .

• Soit ( f n )n≥0 une suite de fonctions de E dans R. On note lim sup f n la fonction
lim sup f n (x), x ∈ E.
Proposition. Soit ( f n )n≥0 une suite de fonctions mesurables de (E , A ) dans R, B R . Alors
¡ ¡ ¢¢

supn≥0 f n , infn≥0 f n , lim inf f n , lim sup f n sont boréliennes.

Démonstration. Pour t ∈ R, on a
\
{x ∈ E : sup f n (x) ≤ t } = {x ∈ E : f n (x) ≤ t },
n≥0 n≥0
\
{x ∈ E : inf f n (x) ≥ t } = {x ∈ E : f n (x) ≥ t }.
n≥0 n≥0

Corollaire. Soit ( f n )n≥0 une suite de fonctions mesurables de (E , A ) dans (C, B(C)). On suppose
que ( f n )n≥0 converge simplement vers f . Alors f est mesurable.
Exemple(s). Soit f : R −→ R borélienne et dérivable. Alors f 0 est borélienne.
Proposition. Soient f et g deux fonctions mesurables de (E , A ) dans R. Alors les ensembles
{x ∈ E : f (x) < g (x)} et {x ∈ E : f (x) ≤ g (x)} sont dans A .

• Attention on ne peut pas écrire f − g dans R

• On écrit
[
{x ∈ E : f (x) < g (x)} = {x ∈ E : f (x) < q < g (x)}
q∈Q
[¡ ¢
= {x ∈ E : f (x) < q} ∩ {x ∈ E : q < g (x)} .
q∈Q

6
2.3. Fonctions étagées et approximation.
• Soit (E , A ) un espace mesurable

• On note M (E , A ), ou plus
¡ simplement M , l’ensemble des fonctions f : E −→ R mesurables
par rapport à (E , A ) et R, B R .
¡ ¢¢

• M+ est l’ensemble des fonctions mesurables à valeurs dans R+ .

Définition (Fonction étagée). Une fonction mesurable sur (E , A ) à valeurs dans C est étagée
lorsqu’elle ne prend qu’un nombre fini de valeurs.

• On note E + (resp. E ) l’ensemble des fonctions étagées à valeurs dans R+ (resp. C).

• Une fonction étagée ne prend qu’un nombre fini de valeurs finies : f (E ) est un ensemble
fini de C et X X
f (x) = y 1 f −1 ({y}) (x) = y 1{y} ( f (x)).
y∈ f (E ) y∈ f (E )

• Si f prend les n valeurs distinctes α1 , . . . , αn , on a


n
αi 1 A i (x), A i = {x ∈ E : f (x) = αi }.
X
∀x ∈ E , f (x) = où
i =1

Théorème. Soit f : E −→ R+ une fonction mesurable. Alors, il existe une suite croissante ( f n )n≥0
de fonctions étagées positives qui converge simplement vers f .
De plus, la convergence est uniforme sur toute partie sur laquelle f est bornée.

2017/2018 : fin du cours 3

Démonstration. • Pour n ≥ 0, on pose


n
¤ n2X−1 k
f n (x) = 2−n 2n min( f (x), n) =
£
1
n A n,k
(x) + n 1 A n (x),
k=0 2
k k +1
½ ¾
A n = {x ∈ E : f (x) ≥ n}, A n,k = x ∈ E : n ≤ f (x) < n , k = 0, . . . , n2n − 1.
2 2

• f n est une fonction étagée positive et f n ≤ f .

• ( f n )n≥0 converge simplement vers f

• Si f (x) = +∞, f n (x) = n −→ +∞ = f (x).


• Si 0 ≤ f (x) < +∞, il existe n 0 tel que f n (x) = 2−n 2n f (x) pour tout n ≥ n 0 et
£ ¤

£ n
2 f (x) ≤ 2n f (x) < 2n f (x) + 1, f n (x) ≤ f (x) < f n (x) + 2−n .
¤ £ ¤

• La suite ( f n (x))n≥0 est croissante pour tout x ∈ E .

• Si f (x) = +∞, f n (x) = n pour tout n.

7
• Soient x ∈ E tel que 0 ≤ f (x) < +∞ et n ∈ N.
Si f (x) ≥ n, f n (x) = n

f n+1 (x) = 2−(n+1) 2n+1 min( f (x), n + 1) ≥ 2−(n+1) 2n+1 min(n, n + 1) = n = f n (x).
£ ¤ £ ¤

Si f (x) < n, il existe un unique k ∈ {0, . . . , n2n − 1} tel que 2−n k ≤ f (x) < 2−n (k + 1). On a
alors f n (x) = 2−n k et

k k 2k 2k + 1
f n+1 (x) == f n (x), si = n+1 ≤ f (x) < n+1 ,
2n 2 n 2 2
k 1 2k + 1 2k + 2 k + 1
f n+1(x) = n + n+1 > f n (x), si ≤ f (x) < n+1 = n .
2 2 2n+1 2 2

• Si f est bornée sur X , il existe n 0 tel que f (x) ≤ n 0 ; pour tout x ∈ X et tout n ≥ n 0
£ n
2 f (x) ≤ 2n f (x) < 2n f (x) + 1, 0 ≤ f (x) − f n (x) < 2−n .
¤ £ ¤

• Il faut bien comprendre que cette méthode d’approximation porte sur les valeurs de f (x)
pas celle de x

• On discrétise l’axe des ordonnées

Corollaire. Toute fonction mesurable à valeurs dans R (ou C) est limite simple d’une suite de
fonctions étagées à valeurs dans R (ou C)

• On applique le théorème à f + = max( f , 0) et à f − = max(− f , 0) si f est à valeurs R. Si f est


à valeurs dans C, on applique le résultat aux parties réelle et imaginaire de f .

3. Mesures positives.
• Dans toute la suite, (E , A ) est un espace mesurable.

3.1. Définitions.

Définition. Une mesure positive sur (E , A ) est une application µ de A dans R+ vérifiant :

1. µ(;) = 0 ;

2. Si (A n )n∈N ⊂ A avec A n ∩ A m = ; si n 6= m alors


µ ¶
µ µ(A n ).
[ X
An =
n∈N n≥0

• Vocabulaire :

• Si µ(E ) < +∞, µ est dite finie ou bornée ;

8
• Si µ(E ) = 1, µ est une (mesure de) probabilité ;
• S’il existe (A n )n≥0 ⊂ A telle que ∪A n = E et µ(A n ) < +∞, µ est σ-finie ;
• Si µ est une mesure positive sur (E , A ), le triplet (E , A , µ) s’appelle un espace mesuré.

Proposition. Soit (E , A , µ) un espace mesuré.

1. Si A 1 , . . . , A n sont des éléments de A deux à deux disjoints, alors

µ(A 1 ∪ . . . ∪ A n ) = µ(A 1 ) + . . . + µ(A n ).

2. Soient A et B deux parties de A . Si A ⊂ B , alors µ(A) ≤ µ(B ). De plus, si µ(A) < +∞,
µ(B \A) = µ(B ) − µ(A).

3. Si A et B sont dans A , µ(A ∪ B ) + µ(A ∩ B ) = µ(A) + µ(B ).

• Attention, si A ⊂ B sont deux éléments de A , on peut toujours écrire µ(B ) = µ(A) + µ(B \A)
mais µ(B ) − µ(A) n’a de sens que si µ(A) < +∞.

Démonstration. • C’est la définition avec A 0 = ; et A i = ; pour i > n.

• On a B = A ∪ (B \A) avec A et (B \A) disjoints. D’où,

µ(B ) = µ(A) + µ(B \A) ≥ µ(A) puisque µ(B \A) ≥ 0.

Si µ(A) < +∞, µ(B \A) = µ(B ) − µ(A).

• Si µ(A ∩ B ) = +∞, alors la formule est vraie : les quatre termes valent +∞.
Si µ(A ∩ B ) < +∞, on considère la partition suivante de A ∪ B
[ [
A ∪ B = A\(A ∩ B ) B \(A ∩ B ) (A ∩ B ),

et d’après le point précédent

µ(A ∪ B ) = µ(A\(A ∩ B )) + µ(B \(A ∩ B )) + µ(A ∩ B )


= µ(A) − µ(A ∩ B ) + µ(B ) − µ(A ∩ B ) + µ(A ∩ B )
= µ(A) + µ(B ) − µ(A ∩ B ).

Exemple(s). 1. Masse de Dirac sur (E , P (E )) : δx (A) = 1 A (x) .

2. Mesure de comptage sur (E , P (E )) : γ(A) = |A| si A est fini, γ(A) = +∞ sinon.

Définition. Un ensemble N ⊂ E est négligeable pour µ si il existe A ∈ A tel que N ⊂ A et


µ(A) = 0.

• Attention, un ensemble peut être négligeable et ne pas être vide. Par exemple, [2, +∞[ est
négligeable pour δ0 .

• Attention, un ensemble peut être négligeable et ne pas appartenir à A .

9
3.2. Propriétés des mesures positives.
Proposition. Soient (E , A , µ) un espace mesuré et (B n )N ⊂ A . Alors,

1. µ µ(B n ).
¡[ ¢ X
n≥0 B n ≤ n≥0

2. Si B n ⊂ B n+1 pour tout n,

µ = lim µ(B n ) = sup µ(B n ).


¡[ ¢
n≥0 B n
n→∞ n≥0

3. Si B n+1 ⊂ B n pour tout n et s’il existe n 0 ∈ N tel que µ(B n0 ) < +∞,

µ = lim µ(B n ) = inf µ(B n ).


¡\ ¢
n≥0 B n
n→∞ n≥0

• Attention, la propriété 3 est fausse sans l’hypothèse µ(B n0 ) < +∞. Par exemple, si γ est la
mesure de comptage sur N et si B n est l’ensemble des entiers supérieurs à n, µ (B n ) = +∞
et ∩B n = ;.

• Le point 2 permet de donner une définition équivalente de mesure positive.

2017/2018 : fin du cours 4

Démonstration. • La proposition résulte de la construction suivante. On pose A 0 = B 0 et pour


n ≥ 1, A n = B n \ ∪k<n B k . Alors, les ensembles (A n )n≥0 sont deux à deux disjoints avec
[ [ [ [
An ⊂ Bn , 0≤i ≤n Ai = 0≤i ≤n B i , n≥0 An = n≥0 B n , n ≥ 0.

• Pour le point 1,
µ µ µ(A µ(B n ).
¡[ ¢ ¡[ ¢ X X
n≥0 B n = n≥0 A n = n ) ≤
n≥0 n≥0

• Pour le point 2,
n
µ µ µ(A µ(A k ) = lim µ
¡[ ¢ ¡[ ¢ X X ¡[ ¢
B
n≥0 n = A
n≥0 n = k ) = lim 0≤k≤n A k
n→∞ n→∞
k≥0 k=0
= lim µ = lim µ (B n )
¡[ ¢
n→∞ 0≤k≤n B k n→∞

• Pour le point 3, on considère, pour n ≥ n 0 , A n = B n0 \B n et on applique le point 2.

• En fait, la 2e propriété est caractéristique des mesures :

Proposition. Soient (E , A ) un espace mesurable et µ une application de A dans R+ . Alors µ est


une mesure positive si et seulement si

1. µ(;) = 0 ;

10
2. Pour A et B dans A disjoints, µ(A ∪ B ) = µ(A) + µ(B ) ;

3. Pour (B n )n≥0 ⊂ A croissante, µ ( n≥0 B n ) = limn≥0 µ(B n ).


S

Démonstration. Nous avons déjà vu que la condition était nécessaire. Montrons qu’elle est
suffisante. Soit (A n )n≥0 une suite de parties de A deux à deux disjointes. On obtient, posant
B n = ∪0≤k≤n A k , via les points 3 puis 2,
n
µ Ak = µ B k = lim µ(B n ) = lim µ(A k ) = µ(A n ).
¡[ ¢ ¡[ ¢ X X
n→∞ n→∞
k=1 n≥0

de Borel-Cantelli). Soit (A n )n≥0 ⊂ A telle que n≥n0 µ(A n ) < +∞. Alors
P
Corollaire (Lemme
µ lim sup A n = 0 i.e. lim sup A n = n≥0 k≥n A k est un ensemble négligeable.
¡ ¢ T S

Démonstration. On a, pour tout n,

µ k≥n A k ≤ µ µ(A k ) ;
¡\ [ ¢ ¡[ ¢ X
n≥0 k≥n A k ≤
k≥n

C’est le reste d’une série convergente.

• Dans R+ , on fait la convention 0 × +∞ = 0.

• On rappelle que si (a k,n )k≥0,n≥0 ⊂ R+ ,


X X X X
a k,n = a k,n .
k≥0 n≥0 n≥0 k≥0

Proposition. Soient (µk )k≥0 une suite de mesures positives sur (E , A ) et (αk )k≥0 ⊂ R+ . Pour
A ∈ A , on pose
µ(A) = αk µk (A).
X
k≥0
Alors µ est une mesure positives sur (E , A ).

Démonstration. C’est un très bon exercice.


Proposition. Soient (E , A , µ) un espace mesurable, (F, B) un espace mesuré et f : E −→ F une
application mesurable. Pour tout B ∈ B, on pose

f ∗ (µ)(B ) = µ f −1 (B ) .
¡ ¢

Alors f ∗ (µ) est une mesure positive sur (F, B) appelée mesure image de µ par f .

• f ∗ (µ) est notée suivant les auteurs f # (µ), µ f ou encore µ ◦ f −1 .

• En fait, on peut définir f ∗ (µ) sur la tribu

f ∗ (A ) = B ⊂ F : f −1 (B ) ∈ A .
© ª

Démonstration. Si (B n )n≥0 ⊂ B sont 2 à 2 disjoints, il en va de même de f −1 (B n ) n≥0 ⊂ A .


¡ ¢

Par suite,

B n = µ f −1
¡[ −1
Bn = µ f (B n ) = µ f −1 (B n ) =
¡[ ¢ ¡ ¡[ ¢¢ ¢ X ¡ ¢ X
f ∗ (µ) f ∗ (µ)(B n ).

11
3.3. Exemples de mesure positives.

3.3.1. Mesures discrètes.

• Sur (E , P (E )), δx est une mesure de probabilité.

• Généralisation : mesure de Bernoulli sur (R, B(R)) : µ = (1 − p) δ0 + p δ1 , avec 0 ≤ p ≤ 1.

Définition (Mesures discrètes). Soient (E , A , µ) un espace mesuré. La mesure µ est discrète si


il existe un ensemble (au plus) dénombrable P = {x n : n ∈ N} ⊂ E tel que :

∀A ∈ A , µ(A) = µ(A ∩ P ).

• Si µ est discrète, notant p n = µ({x n }), on a, pour A ∈ A ,

µ(A) = µ(A ∩ P ) = µ(A ∩ {x n }) = µ({x n }) 1 A (x n ) = p n δxn (A).


X X X
n≥0 n≥0 n≥0

• Tout point x n tel que p n > 0 est appelé atome de µ.

• Lorsque µ est discrète, N ∈ A est µ-négligeable si et seulement si N ne contient aucun


atome.

p n < +∞, µ finie ; si p n = 1, µ est une probabilité.


P P
Exemple(s). • Si

• Si λ > 0,
λn
µ= e −λ δn
X
n≥0 n!
est une mesure de probabilité appelée loi de Poisson de paramètre λ.

• Si µ = p n δxn et f une application mesurable, alors f ∗ (µ) est discrète et


P

p n δ f (xn ) .
X
f ∗ (µ) =
n≥0

3.3.2. Mesure de Lebesgue.

• La mesure de Lebesque généralise la notion de longueur en dimension un, de volume en


dimension supérieure

• La construction est assez délicate ; nous l’admettrons.

Théorème (Mesure de Lebesgue sur R). Il existe une unique mesure positive, λ, sur (R, B (R))
telle que, pour tous réels a et b avec a < b,

λ(]a, b]) = b − a.

Cette mesure est appelée mesure de Lebesgue sur R.

• On voit facilement que, pour tout réel x, λ({x}) = 0. En effet, pour tout n ≥ 1,

{x} ⊂]x − 1/n, x], et λ({x}) ≤ λ(]x − 1/n, x]) = 1/n.

12
• Par conséquent, pour tous réels a et b avec a < b,

λ([a, b]) = λ(]a, b[) = λ(]a, b]) = λ([a, b[) = b − a.

• On peut remarquer que pour tous réels a, b, x avec a ≤ b

λ(x + [a, b]) = λ([a, b]).

• Cette propriété se généralise à tous les boréliens B : λ(x + B ) = λ(B ).


• C’est en fait une propriété caractéristique de la mesure de Lebesgue.

Théorème. Soit µ une mesure positive sur (R, B (R)) vérifiant µ([0, 1]) = 1 et invariante par
translation : pour tout x ∈ R et tout B ∈ B(R), µ(x + B ) = µ(B ).
Alors µ est la mesure de Lebesgue sur R.

2017/2018 : fin du cours 5

Démonstration. • On montre d’abord que µ({0}) = 0. En effet, pour tout n ≥ 1, par invariance
par translation,
n
1 = µ([0, 1]) ≥ µ({k/n, 1 ≤ k ≤ n}) = µ({k/n}) = nµ({0}).
X
k=1

• On montre ensuite que µ(]0, 1/n]) = 1/n pour tout n ∈ N∗ . On écrit


n
µ(]0, 1]) = µ(](k − 1)/n, k/n]),
[ X
]0, 1] = 1≤k≤n ](k − 1)/n, k/n],
k=1

et par invariance par translation

1 = µ(]0, 1]) = nµ (]0, 1/n]) .

• Pour tous rationnels q < r , µ(]q, r ]) = µ(]0, r − q]) = r − q. En effet, q − r = m/n avec m et n
S
deux entiers strictement positifs et, comme ]0, m/n] = 1≤k≤m ](k − 1)/n, k/n],
m
µ(]0, m/n]) = µ (](k − 1)/n, k/n]) = mµ(]0, 1/n]) = m/n = q − r.
X
k=1

• Pour tous réels a < b, µ(]a, b]) = µ(]0, b − a]) = b − a. En effet, comme Q est dense dans R,
on peut choisir deux suite de rationnels (q n )n≥0 et (r n )n≥0 qui convergent vers b − a telles
que q n ≤ b − a ≤ r n . Par exemple, q n = 2−n [2n (b − a)] et r n = 2−n ([2n (b − a)] + 1). On a alors
]0, q n ] ⊂]0, b − a] ⊂]0, r n ] et, pour tout n,

q n = µ(]0, q n ]) ≤ µ(]0, b − a]) ≤ µ(]0, r n ]) = r n .

Il suffit de passer à la limite quand n → ∞.

13
• L’unicité de la mesure de Lebesgue vient d’un résultat général

Théorème (Unicité de deux mesures). Soit µ et ν deux mesures sur (E , A ). On suppose qu’il
existe C ⊂ A , stable par intersection finie, telle que σ(C ) = A et

∀C ∈ C , µ(C ) = ν(C ).

Alors µ = ν sur (E , A ) c’est à dire

∀A ∈ A , µ(A) = ν(A),

dans les deux cas suivants :

1. µ(E ) = ν(E ) < +∞ ;

2. il existe (C n )n≥0 ⊂ C telle que ∪C n = E et µ(C n ) = ν(C n ) < +∞ pour tout n.

• Notons qu’on peut toujours supposer que ; ∈ C .

• Les classes C les plus utilisées sont : {] − ∞, t ] : t ∈ R}, {]a, b] : −∞ < a < b < +∞}, {]a, b[:
−∞ < a < b < +∞}, {[a, b] : −∞ < a ≤ b < +∞}, les compacts de R, ceux de Rd , sur Rd
{]a, b[×]c, d [: a < b, c < d }, etc.

• Deux mesures finies sur les compacts de R qui coïncident sur les intervalles bornés sont
égales sur B(R) ;
• Deux mesures de probabilité sont égales si et seulement si

∀t ∈ R, F µ (t ) := µ(] − ∞, t ]) = ν(] − ∞, t ]) =: F ν (t ).

• La construction de la mesure de Lebesgue s’étend en dimension quelconque

Théorème. Il existe une unique mesure positive, λd , sur Rd , B Rd , telle que :


¡ ¡ ¢¢

λd (]a 1 , b 1 ] × . . . ×]a d , b d ]) = (b 1 − a 1 ) . . . (b d − a d ), ∀a i < b i , i = 1, . . . , d .

Cette mesure s’appelle la mesure de Lebesgue sur Rd

• On montre facilement que

λd ([a 1 , b 1 ] × . . . × [a d , b d ]) = λd (]a 1 , b 1 [× . . . ×]a d , b d [) = (b 1 − a 1 ) . . . (b d − a d ).

• λd est l’unique mesure positive invariante par translation telle que λd [0, 1]d = 1.
¡ ¢

• Plus généralement, λd est invariante par isométrie : si f est isométrie de Rd et B un en-


semble borélien, λd ( f (B )) = λd (B ).

Exercice. Dans R2 , la mesure de Lebesgue des droites est nulle. D’après l’invariance par iso-
métrie, il suffit de montrer que λ2 (D) = 0 où D = {(x, 0) : x ∈ R}. Montrons que, pour tout k ∈ Z,
λ2 ([k, k + 1[×{0}) = 0. En effet, si k ∈ Z, pour tout ε > 0,

[k, k + 1[×{0} ⊂ [k, k + 1[×] − ε, +ε[, λ2 ([k, k + 1[×{0}) ≤ λ2 ([k, k + 1[×] − ε, +ε[) = 2ε.
S
Par conséquent, comme D = k∈Z [k, k + 1[×{0},

λ2 (D) = λ2 ([k, k + 1[×{0}) = 0.


X
k∈Z

14
3.3.3. Mesure de Lebesgue-Stieltjes.

• Il s’agit d’une généralisation de la mesure de Lebesgue sur R.

Définition. Soit µ une mesure positive sur (R, B(R)). On dit que µ est une mesure borélienne
si µ(K ) < +∞ pour tout K compact de R.

• µ est borélienne si et seulement si µ([−n, n]) est fini pour tout n.

Proposition. Soit µ une mesure borélienne. La fonction G de R dans R définie par

G(x) = −µ(]x, 0]) si x < 0, G(x) = µ(]0, x]) si x ≥ 0,

est croissante et continue à droite. De plus, pour tous réels a < b,

µ(]a, b]) = G(b) −G(a).

• G est croissante donc possède une limite à gauche en tout y ∈ R, notée G(y−).

• On a µ([a, b]) = G(b) −G(a−), µ(]a, b[) = G(b−) −G(a), µ([a, b[) = G(b−) −G(a−).

Remarque(s). Lorsque µ est finie, on utilise plutôt sa fonction de répartition F µ :

F µ (t ) = µ(] − ∞, t ]), t ∈ R.

F µ est croissante, continue à droite, limt →−∞ F µ (t ) = 0, limt →+∞ F µ (t ) = µ(E ) et, pour a < b,
µ(]a, b]) = F µ (b) − F µ (a). En fait, G(t ) = F µ (t ) − F µ (0).

Théorème (Mesure de Lebesgue-Stieltjes). Soit G : R −→ R une fonction croissante et continue


à droite. Il existe une unique mesure positive sur (R, B(R)) telle que :

∀a < b, µ(]a, b]) = G(b) −G(a).

La mesure positive ainsi définie s’appelle la mesure de Lebesgue-Stieltjes associée à G.

• La mesure de Lebesgue sur R correspond à G(x) = x.

• Si G et F diffère d’une constante, elle définisse la même mesure de Lebesgue-Stieltjes.

• Toute mesure borélienne est entièrement caractérisée par la fonction

G(x) = −µ(]x, 0]) si x < 0, G(x) = µ(]0, x]) si x ≥ 0,

• Si µ est finie, elle est aussi caractérisée par F µ (t ) = µ(] − ∞, t ]), t ∈ R.

Exercice. Soit µ la mesure de Lebesgue-Stieltjes associée à F donnée par

F (x) = 0 si x < 0, F (x) = x si 0 ≤ x < 1, F (x) = 1 si x ≥ 1.

Déterminons ν = f ∗ (µ) où f (x) = min(x, x 0 ) avec 0 < x 0 < 1.

15
Remarquons que µ est une mesure de probabilité : en effet, µ(R) = limn→∞ µ([−n, n]) et, pour
tout n ≥ 1,
µ([−n, n]) = F (n) − F (−n) = 1 = µ([0, 1]).
Il en va de même de ν. Pour tout t ∈ R,

F ν (t ) := f ∗ (µ)(] − ∞, t ]) = µ f −1 (] − ∞, t ]) = µ({x ∈ R : max(x, x 0 ) ≤ t }).


¡ ¢

Si t ≥ x 0 , {x ∈ R : max(x, x 0 ) ≤ t } = R et f ∗ (µ)(] − ∞, t ]) = 1.
Si t < x 0 , {x ∈ R : max(x, x 0 ) ≤ t } =] − ∞, t ] et

f ∗ (µ)(] − ∞, t ]) = µ(] − ∞, t ]) = lim µ(] − n, t ]) = F (t ).


n→∞

Par conséquent,

F ν (t ) = 0 si t < 0, F ν (t ) = t si 0 ≤ t < x 0 , F ν (t ) = 1 si t ≥ x 0 ,

et ν est le mesure de Lebesgue-Stieltjes associée F ν .

2017/2018 : fin du cours 6

16

Vous aimerez peut-être aussi