SYSTEMES DU SECOND ORDRE

I. GENERALITE.

Un système linéaire du second ordre d’entrée e et de sortie s est régit par une équation différentielle du
deuxième ordre du type :

système
2
d Vs dVs ve du vs
a2 + a1 + a 0 Vs = Ve
dt 2
dt second
ordre

où les coefficients a2, a1, a0 sont des constantes.

II. REPONSE HARMONIQUE DE SYSTEME DU SECOND ORDRE.

2.1. EXEMPLE : CIRCUIT R-L-C.

Considérons le quadripôle R-L-C suivant, de tensions d’entrée ve et de sortie vS.

R L
i
C
ve vS

di dv S
La loi des mailles appliquée au circuit fournit : ve - vS = R.i + L or i = C
dt dt

d 2 vS d vS
d’où l’équation différentielle : LC 2
+ RC + vS = v e
dt dt

a) Fonction de Transfert.
ω
Si l’entrée est une tension alternative sinusoïdale de fréquence f = , on peut utiliser la notation
2π
complexe : LC.(j.ω)2.VS + RC.(j.ω).VS + VS = Ve

Car : dériver dans le domaine temporel revient à multiplier par j.ω dans le domaine fréquentielle.

d
→ × j.ω
dt

En factorisant par VS on a : VS (1 + j.ω.RC - LC.ω2) = Ve

D’où la fonction de transfert complexe du système :

DUMENIL G 1
 VS 1
T (j.ω) = =
Ve 1 + jRCω − LCω2

En général, on pose :
1 R C ω
ω 02 = : pulsation propre du circuit ; m = : facteur d’amortissement ;x = .
LC 2 L ω0

1
D’où : T (j.ω) = 2
Fonction de transfert générale de systèmes du second ordre
1 - x + 2.m.x.j

b) Diagrammes de BODE.
Diagramme asymptotique de gain :
x → 0 (ω → 0) ⇒ T → 1 ⇒ T → 1 ⇒ G → 0 dB ⇒ asymptote horizontale.
1 1 1
x → ∞ (ω → ∞) ⇒ T → - 2 ⇒ T → 2 ⇒ G → 20 log 2 = - 40 log x
x x x
x = 1 ⇒ G = 0 dB ;
x = 10 ⇒ G = - 40 dB ; ⇒ pente asymptotique de - 40 dB/décade.
x = 100 ⇒ G = - 80 dB ; .....
1 -j 1 1
x=1⇒T= = ⇒T = ⇒ G = 20 log ( ) = - 20 log (2.m) .
2. m. j 2. m 2.m 2.m
Diagramme asymptotique de phase :
x → 0 (ω → 0) ⇒ T → 1 ⇒ ϕ = Arg (T) → tan -1 (1) ⇒ ϕ → 0
1
x → ∞ (ω → ∞) ⇒ T → - 2 ⇒ ϕ = Arg (T) → - π
x
1 -j π
x=1⇒T= = ⇒ϕ→-
2. m. j 2. m 2

20

m = 0,1
0
1 10 100 1000 10000 100000

-20

m = 0,707
m=3
-40

-60

-80
1
T= 2
 ω 
 + 2m j ω
Gain =f( fréquence )
1+ j
 ω  ω0
-100  0 

-120

DUMENIL G 2
 Remarques :
Il peut exister un maximum selon la valeur de m. Le module de la fonction de transfert du quadri pôle
est :
1
T=
(1 − x 2 )2 + 4.m 2 .x 2

T est maxi si son dénominateur est mini. Il faut dériver (1 − x 2 ) 2 + 4m 2 x 2 par rapport à x pour dé
terminer le minimum :

d  (1 − x 2 )2 + 4m 2 x 2 
= 2(1 − x 2 ) × ( − 2x) + 8m 2 x
dx

T passe par un extremum si 2(1 − x 2 ) × ( − 2x) + 8m 2 x = 0

soit : − 4x + 4x 3 + 8m 2 x = 0 ⇒ − 1 + x 2 + 2m 2 = 0

Donc pour : x 2 = 1 − 2m 2

ω
Or, puisque x = est un réel pur positif, T est maxi si : 1 − 2m 2 > 0
ω0

1
C’est-à-dire si : m < ≈ 0,707
2

Conclusions :
ω
La position du maximum (pic) dépend de m et il vaut : x p = = 1 − 2m 2 (m < 0,707) ;
ω0
1 1
Le module de la fonction de transfert vaut : TP = =
(1 − x 2p )2 + 4m 2 x 2p 2m 1 − m 2

DUMENIL G 3
 si m > 1,

1 1 1
on peut montrer que : T (j.ω) = = ×
(1 + jm1x) × (1 + jm 2 x) (1 + jm1x) (1 + jm 2 x)

- la réponse la plus plate possible (filtre passe-bas) se trouve pour m = 0,707 (pas de dépassement).

2.2. Filtre Passe Haut.

a) Fonction de Transfert.

ω2
−
ω0 2 −x2
T= =
ω2 ω 1 − x 2 + 2mjx
1 − + 2mj
ω0 2
ω0
ω
ω0 : pulsation propre du circuit ; m : facteur d’amortissement ; x = .
ω0
b) Diagrammes de BODE.

Diagramme asymptotique de gain :

x → 0 (ω → 0) ⇒ T → x 2 ( → 0) ⇒ G → 20 logx 2 = 40 log x ( → −∞) ⇒ pente asymptotique
de 40 dB/décade.

x → ∞ (ω → ∞) ⇒ T → 1 ⇒ G → 0 ⇒ asymptote horizontale.

1 -j 1 1
x=1⇒T= = ⇒T = ⇒ G = 20 log ( ) = - 20 log (2.m) .
2. m. j 2. m 2.m 2.m

DUMENIL G 4
 Diagramme asymptotique de phase :
x → 0 (ω → 0) ⇒ T → 0 - ⇒ ϕ = Arg (T) → tan -1 (0− ) ⇒ ϕ → π
x → ∞ (ω → ∞) ⇒ T → 1 ⇒ ϕ = Arg (T) → 0
−1 j π
x=1⇒T= = ⇒ϕ→
2.m.j 2.m 2

20

m = 0,1
10

0
1 10 100 1000 10000 100000
-10

m = 0,707
-20
m=3
-30

-40

-50
2
 ω 
 j 
 ω 
-60  0 
Gain =f( fréquence ) T = 2
 ω 
1+ j  + 2m j ω
-70
 ω  ω0
 0 
-80

2.3. Filtre Passe Bande.

a) Fonction de Transfert.

ω
2mj
ω0 2mjx 1
T= = Ou T=
ω 2
ω 1 − x 2 + 2mjx  ω ω 
1 − + 2mj 1 + jQ  − 0
ω0 2
ω0  ω0 ω

ω
ω0 : pulsation propre du circuit ; m : facteur d’amortissement ; x = .
ω0
1 f
Q= = 0 : Facteur de qualité ; ∆f = f ch − f cb : Bande passante
2m ∆f

b) DIAGRAMME DE BODE.

Diagramme asymptotique de gain :

x → 0 (ω → 0) ⇒ T → x 2 ⇒ G → 20 logx 2 = 40 log x
⇒ pente asymptotique de 40 dB/décade.

DUMENIL G 5
 1 1
x → ∞ (ω → ∞) ⇒ T → 2 ⇒ G → 20 log 2 = - 40 log x
x x
⇒ pente asymptotique de - 40 dB/décade.

x = 1 ⇒ T = 1⇒ G = 0.

Diagramme asymptotique de phase :

π
x → 0 (ω → 0) ⇒ ϕ = Arg (T) →
2
π
x → ∞ (ω → ∞) ⇒ ϕ = Arg (T) → −
2
x=1⇒ ϕ→0

0 m=3
1 10 100 1000 10000 100000

-10
m = 0,707

-20

m = 0,1
-30

-40

-50
ω
2m j
ω0
-60
Gain =f( fréquence ) T = 2
 ω 
1+ j  + 2m j ω
 ω  ω0
-70
 0 

-80

III GABARIT DES FILTRES

3.1) Gabarit d'un filtre passe-bas

L'utilisateur définit le plus souvent ses besoins en terme d'amplitude (gain). Une infinité de fonctions de
transfert T(jω) peuvent satisfaire aux conditions imposées. Il suffit que la courbe |T(jω)| passe par des
tracés limites que l'on appelle le gabarit du filtre, qui en est en quelque sorte le «cahier des char ges».
Le gabarit d'un filtre passe-bas est tel que :

- pour f < f0 , atténuation comprise entre 0 et – ε dB (en général, –1ou –3 dB). Cette gamme de
fréquence est appelée bande passante du filtre.

- pour f > f1 , atténuation ou réjection > ∆ dB

Ces conditions sont satisfaites si la courbe passe dans la région non hachurée du plan :

DUMENIL G 6
 On peut calculer une valeur approchée de l'ordre du filtre à partir des données du gabarit d'après
f
l'asymptote qui passe par – ∆ dB en f = f1 et qui a pour équation : G = – 20 n log ( ) où n est
f0
∆
l'ordre du filtre. Il vient, pour G = – ∆ en f = f1 : n =
 f 
20 log  1 
 f 
 0
L'ordre du filtre étant nécessairement entier, il faut arrondir ce résultat par valeur supérieure .
(bien entendu, n peut être supérieur à 2)

3.2)Gabarit de filtres passe-haut, passe-bande et réjecteur

ε est l'atténuation maximale dans la bande passante.

∆ est la réjection minimale exigée dans une certaine gamme de fréquence.

f0 est la fréquence de coupure (passe-bas, passe-haut) ou la fréquence centrale (passe-bande,

réjecteur). Dans le cas des filtres passe-bande et réjecteur, on a : f 0 = f 1 f 2 = f 3 f 4 si le gabarit
est symétrique par rapport à f0 .

DUMENIL G 7