Forcee

Hichem.Benaich@edunet.
tn
Benaich Hichem
SERIE DE PHYSIQUE N 5
Propose par
RAPPEL DU COURS
I / Cas dun oscillateur mcanique :
1) Etude exprimentale :
T0
moteur ( excitateur)
liquide
T
rgle gradue
x
2) Etude thorique :
a) Equation diffrentielle :
Systme = S

P
Bilan des forces extrieures : , T0

T
Condition dquilibre : P + 0 = 0
Projectionsur (xx) : m g - k = 0
0
Systme = S

Bilan des forces extrieures : P , T , f , F

R.F.D. : P + T + f + F = m a
d2x
dt 2
Projection sur (xx) : m g - k ( 0 + x ) - hv + F = m
d2x
dx
dt 2
Do : kx + h dt + m
= Fmsin( t )
(*)
Cette quation diffrentielle admet comme solution : x = xmsin ( t + )

pulsation du moteur ( excitateur )
kx = k xmsin ( t + )
dx
dt
h
= h xmsin ( t + + 2 )
2
d x
m
dt 2
= m 2 xmsin ( t + + )
V1 ( k x , )
m
V2 ( h x , + 2 )
m
V3 ( m 2 x , + )
m

V ( Fm , 0 )
Fmsin( t )
Benaich Hichem
(*)
Propose par
Hichem.Benaich@edunet.tn
V = V1 + V2 + V3
1er cas : m 2 k
ax. ph.
2me cas : m 2 k 0
3me cas : m 2 = k = 0
ax. ph.
ax. ph.
m 2xm
Fm
m 2xm
hxm
Fm
m 02xm
hxm
Fm
h 0xm
k.xm
k.xm
- 2 0
k.xm
-
2
=-2
x(t) est toujours en retard de phase par rapport F(t)
Calcul de xm :
1er cas : 0 (0 ou 0 )
Fm2 = ( hxm )2 + ( kxm - m2xm )2
2me
Fm
2
h + (k - m2 )2
xm =
cas : = 0
Fm = h0xm
Fm
xm =
Calcul de :
1er cas : 0
h 0
( rsultat quon peut retrouver en utilisant lexpression

prcdente pour =0 )
h x m
2
m x m - kx m
- 2 0 tg 0 Do tg =
soit
2me cas : 0
- - 2 ; posons = + 2 avec - 2 0 tg 0
k - m 2
Donc tg =
soit
et
tg=
m 2 - k
sin('+ )
2
cos '
1
cos('+ )
2 = sin ' = - tg'
tg = tg( + 2 ) =
h
tg =
m 2 - k
Rsonance damplitude :
2 R
xm est max. h22 + ( k - m2)2 est min

d
d h22 + ( k - m)2 = 0
h2
h2
- 2m.( k - m R ) = 0
2
- 2m k + 2m2 R = 0
h2
h2
2R
2h
+ 2( k - m
2
).( - 2.m.
)=0
2R
k
2m 2
= msoit
2
2m 2
= 0 -
Propose par
Benaich Hichem
2R
Remarque :
R
=2
NR
N
et 0 = 2 0
h2
h2
2m 2
N
N
Donc , la relation prcdente devient : (2 R )2 = (2 0 )2 -
Pour h = 0 ,
NR
Pour h 0 ,
NR
N0
( cas idal )
N0
et si h alors
NR
et
NR
2
Dautre part , pour avoir rsonance , il faut que R
sloigne de plus en plus de
N0
h2
h2
k
k
2m 2
2m 2
m
m
0
0
hl
soit
2
2
N 2R = N 02 - 8 m
2km = h l
tant la valeur limite quil ne faut pas dpasser sinon , on ne peut plus parler de rsonance .
Rsonance de vitesse :
Lquation diffrentielle prcdente peut aussi scrire :
dv
hv + m dt +
vdt = Fm sin t
(*)
Cette quation diffrentielle admet comme solution v = vmsin ( t + v )
V1 ( hv , v )
hv = hvmsin ( t + v )
m
dv
2 ( m vm ,
v+ 2 )
m dt = m vm sin ( t + v + 2 )
k
k
vdt
V
3 ( vm ,
v - 2 )
=
vm sin ( t + v - 2 )
Fm sin t
V ( Fm , 0 )
(*) V = V1 + V2 + V3
er
cas : m 0
me
cas : m
k
vm
mvm
hvm
Fm
k
vm
Fm
v
hvm
ax.ph.
me
cas : m
m 0vm
=
= 0
k
0 v
m
mvm
Fm = hvm
ax.ph.
ax.ph.
v 0
v 0
v(t) est en avance de phase par

rapport F(t)
v = 0
v(t) est en retard de phase par rapport

F(t)
v(t) et F(t) sont en phase
Contrairement x(t) ,v(t) peut tre soit en avance , soit en retard soit en phase avec F(t) .
Propose par
Benaich Hichem
Calcul de vm :
1er cas : 0 ( 0 ou 0 )
Fm
k
Fm2 = ( hvm )2 + ( m - )vm 2
2
cas : = 0
hvm = Fm
k
h 2 + (m - ) 2
vm =
me
Fm
vm = h
( rsultat quon peut retrouver en utilisant

lexpression prcdente pour = 0 )
Calcul de v :
1er cas :
2me cas :
v 0 tg v 0
m tgv =
3me cas :
v 0 tg v 0
m tgv =
v = 0
h
On peut retrouver ce rsultat en
utilisant lexpression prcdente pour
= 0 (tgv = 0)
Rsonance de vitesse :
k
vm est max h2 + ( m
k

m R - R =0
Do les courbes suivantes :
R R 2

) est min ( m R - R )2 est min ( h = cste )
Etude du cas idal : ( h = 0 )

Fm
Fm
2 2
xm =
(k - m )
k - m 2
NR
N0
( quelque soit lamortissement )
R = 0 et N = N ( h =0 )
R
0
Si R 0 ( NR N0 ) alors xm +
2
( Fm = cste 0 et k - m 0+ )
donc risque de rupture du ressort .
Fm
Fm G.B.F.
vm =
voie 1
voie 2
k
k
m (m R0
- )2
R = 0 et N = N ( h =0 )
R
0
0 ( NR
Si R
N0 ) alors vm
+ ( Fm = cste A
0 et m - 0+ )
L; r
C
Propose par
Benaich Hichem
II/-Cas dun oscillateur lectrique

1) Equation diffrentielle rgissant les variations de q(t) :
UC + UL + UR0 = Umsin( t )
q
di
C + L dt + ri + R0i = Umsin( t )
posons R = R0 + r
Do
d 2q
q
dq
2
C +R dt + L dt = Umsin( t )
Cette quation diffrentielle admet comme solution :

q = qmsin( t + )
pulsation du gnrateur ( excitateur )
1
1
er
me
2
2
C
1 cas : L 0
2
cas : L 0
ax.ph.
ax.ph.
Rqm
1
2
C
cas : L = = 0
ax.ph.
L 2qm
um
me
L 2qm
L 02qm
Rqm
um
R 0qm
qm
C
- 2 q 0
qm
C
qm
C
- q 2
q(t) est toujours en retard de phase par rapport u(t)
q =- 2
Calcul de qm :
: 0 ( 0 ou 0 )
1er cas
Um
1
2 q 2m
2 C q 2m
u =R
+(L
- )
2
m
2me cas
um = R
qm =
: = 0
0
1 2
)
C
um
qm
qm =
( rsultat quon peut retrouver en utilisant
R 0
lexpression prcdente pour = 0 )
Calcul de q :
1er cas
R 2 2 + (L 2 -
: 0 ( 0 ou 0 )
2me cas
: = 0
q = - 2
1
C
tgq =
L 2 -
Benaich Hichem
Propose par
Rsonance de charge :
d
1
1
2
2
2
qm est max d R2
+(L
- C )2 = 0 2R2 R + 2( L R - C ).2L R = 0
1
L
2
2
2
2
C
C
2 R R + 2L( L R - ) = 0 2L R = 2 - R2
R2
soit
R2
ou encore
2 2
N 2R = N 02 - 8 L
2
2R = 02 - 2L
2) Equation diffrentielle rgissant les variations de i(t) :

Lquation diffrentielle prcdente peut encore scrire sous la forme :
di
1
Ri + L dt + C
idt = u
sin( t )
Cette quation diffrentielle admet comme solution i = Im sin( t + i )
1er cas : L
1
C
2me cas : L
i
um
LIm
1
C Im
LIm
RIm
1
C
ax.ph.
1
C Im
3me cas :
1
L = C
= 0
1
C 0 I
m
L 0Im
um
i
RIm
um = RIm
ax.ph.
ax.ph.
i 0
i 0
circuit capacitif
u(t) est en retard de phase par

rapport i(t)
i = 0
circuit inductif
circuit rsistif
u(t) est en avance de phase par

rapport i(t)
u(t) et i(t) sont en phase
u(t) (voie 2)
uR0(t) (voie 1) u(t) (voie 2)
u(t) (voie 2)
uR0(t) (voie 1)
uR0(t) (voie 1)
Rsonance dintensit
Benaich Hichem
Calcul de Im :
1er cas
u 2m
1
2
C
+ ( L - )2 I m
um
Par dfinition , le rapport not Z = I m =

circuit ( R,L,C ) et sexprime en Ohms ( )
2me cas
: = 0
Calcul de i :
1er cas
tg
1er cas
Im =
(R 0 + r ) 2 + (L -
Im =
1 2
)
C
1 2
)
C est appel impdance lectrique du
R0 +r
: 0 ( 0 ou 0 )
1
- L
C
R0 +r
ou encore
cos
R0 + r
Z
=
: = 0
i = 0
(R 0 + r ) 2 + ( L -
um
um = ( R0 + r )Im
um
: 0 ( 0 ou 0 )
2
= ( R0 + r )2 I m
Propose par
Rsonance dintensit :
Im est max ( R0 + r )2 + ( L -
1
C
)2 et min
( cos
est appel facteur de puissance )
L -
1
C
=0
N = N0
= 0
1,2
N(Hz)
xmax(cm)
vmax(10-2m.s-1)
3,25
1,4
1,6
1,8
1,9
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,8
4,5
6,35
9,5
11,35
12,8
13,6
13
11,3
9,9
8,4
5,9
soit
Facteur de qualit ou facteur de surtension :

Par dfinition , le facteur de surtension ou facteur de qualit not Q est donn par la formule :
UC
Q=
L 0
max
Um
soit
Q=
( R 0 + r ) 0
R0 + r
( sans unit )
Puissance moyenne :
U m I m cos(u - i )
2
P = UIcos =
2
( R 0 + r )I m
2
= ( R0 +r )I2 =
U : tension efficace dlivre par le gnrateur ( V )

Um : tension maximale dlivre par le gnrateur ( V )
I : intensit efficace du courant ( A )
Im : intensit maximale du courant ( A )
cos : facteur de puissance
Benaich Hichem
P est alors exprime en watts ( W )
Propose par
EXERCICE 1
Un oscillateur est form dun solide de masse m , attach lextrmit dun ressort ( R ) de raideur k .
Lautre extrmit est fixe un support . Le solide est soumis une force de frottement f = -h v et
une force excitatrice F colinaire v . Au cours dune sance de travaux pratiques , on a relev les
valeurs des amplitudes xmax des longations et vmax des vitesses en fonction de la frquence N de
lexcitateur .
1) Proposer un schma exprimental et dcrire avec prcision le mode opratoire permettant la

dtermination de xmax et vmax .
2) Complter le tableau en calculant les valeurs de vmax .
x
v
3) Donner les valeurs des couples ( N1 ; max 1 ) la rsonance dlongation et ( N2 ; max 2 ) la
rsonance de vitesse .
4) Donner les expressions de xmax et de vmax en fonction de N , N0 , h , m et Fm .
( N0 tant la frquence propre de loscillateur ) .
5) Etablir la relation entre N1 et N2 .
6) Sachant que la masse du solide est gale 0,1kg , dterminer h et F m .

7) On remplace le ressort ( R ) par un ressort ( R ) de raideur k . En augmentant la frquence de
lexcitateur partir de 2,2Hz , on constate que lamplitude des oscillations commence par
augmenter , atteint un maximum puis diminue . La valeur de k est-elle plus grande ou plus petite
que celle de k ? justifier .
8) Donner le schma du circuit lectrique permettant de faire une tude exprimentale analogue
ltude prcdente .
A
Rp. Num.: 1) voir T..P. ; 3) (N1=2,1Hz ;
max 1
=13,6.10-2m) ; (N2=2,2Hz ;
Fm
4) xm=
4 2 h 2 N 2 + 16 4 m 2 ( N 2 - N 02 ) 2
max 2
=179,7.10-2m.s-1) ;
Fm
N 02 2
h 2 + 4 2 m 2 ( N )
N
; vm=
h2
5)
N12
2 2
N 22 8 m
;
v
N 22 - N12
6) h=2 2 m
=0,58kg.s-1 ; Fm=h max 2 =1,04N; 7) N0 N0 0 0 k k ; 8) ( R,L,C)
EXERCICE 2 ( Olympiade de physique )
On donne
=10N.kg-1 .
Un ressort tant suspendu en A un support fixe , on attache lextrmit libre un
solide (S) de masse m = 2kg . Ce ressort de masse ngligeable , spires non jointives
de raideur k = 200 N.m-1.
Lorsque le systme est en quilibre , le centre dinertie G de (S) est en O origine de
laxe (xx ) vertical orient vers le bas .
A-Les frottements sont ngligeables :
1) Donner lexpression de lallongement x0 du ressort lquilibre en fonction de m ,

et k .
Calculer la valeur numrique de x0 .
2) On abaisse (S) verticalement de a = 3cm puis on le lche sans vitesse initiale .
a) A un instant t o labscisse de G est x et sa vitesse est v , donner pour le systme
terre , (S) , ressort lexpression de lnergie potentielle et celle de lnergie
mcanique en fonction de k , x , m et v . ( on prendra pour origine des nergies
potentielles la position dquilibre de (S) ) .
Propose par
Benaich Hichem
b) Etablir la nature du mouvement de (S) . Ecrire son quation horaire en prenant pour origine des
temps linstant du premier passage de (S) par sa position dquilibre .
B-Les frottements ne sont plus ngligeables :
La rsultante de ces forces de frottement est une force f porte par laxe (xx) et telle que f = -h v ;
h tant une constante positive et v le vecteur vitesse de G . Un dispositif non reprsent sur la figure
permet dexercer sur (S) une force excitatrice F dirige suivant laxe (xx) et telle que sa mesure
algbrique sur cet axe soit F = Fm sint ; Fm et reprsentent respectivement lamplitude et la pulsation
de F .
dv
vdt
1) Etablir lquation diffrentielle du mouvement de (S) en fonction de v , dt ,
et F .
2) En rgime de fonctionnement normal , lexpression de la valeur algbrique de la vitesse est :
v = vmsin( t + ) .
En utilisant la construction de Fresnel , donner les expressions de v m et de tg en fonction de Fm ,
h , m , k et .
Calculer numriquement vm et lorsque h = 4kg.s-1 , Fm = 3,9N et = 12rad.s-1 .
3) Dduire lexpression de labscisse x de G en fonction du temps .

4) Exprimer la puissance de la force F en fonction de Fm , h , et k . La calculer numriquement .
5) Pour quelle valeur 1 de , la puissance moyenne est-elle maximale ?
Donner pour = 1 , lexpression de v en fonction du temps .
2
d x
mg
1
1
dE
k
dt 2
2
2
2
2
dt
m
k
Rp.Num.:A/1) x0=
=0,1m ; 2) a) E= kx + mv ; b)E=cste
=0
+ x=0 ;x=3.10-2sin(10t+)(m)
Fm
k
- m
dv
k
h 2 + ( m - ) 2
vdt
h
B/1) hv+m dt +k
=Fm sint ; 2) vm=
; tg=
; vm=0,47m.s-1 ; =-1,07rad ;
hFm2
hv 2m
2( h 2 + ( m - k ) 2 )
3) x(t)=3,92.10-2sin(12t-2,64) (m) ; 4) Pmoy= 2 =

=0,43W ;
Fm
5) Pmoy est max vmax est max rsonance de vitesse 1= 0=10rad.s ; vm= h =0,975m.s-1 ;
v(t)=0,975sin(10t) (m.s-1)
-1
EXERCICE 3
(S)
Un oscillateur est form dun ressort de constante de raideur k = 20 N.m -1 et dun solide (S) de masse
m = 0,2kg (fig-1) . Il est soumis une force excitatrice F = Fm sin( t + F ). i et une force de frottement
f = -h v . Labscisse x du centre dinertie G de (S) dans le repre (O , i ) a pour expression

x = xm sin( t + x )
avecx O : la position de G lquilibre .
O
1) On reprsente dans un mme systme daxes
les courbes x(t) et F(t) pour une pulsation
= 1 ( fig-2 ) .
Donner les expressions de x(t) et de F(t) .
En dduire le dphasage de F(t) par rapport x(t) .
Que peut-on conclure ?
2) a) Etablir lquation diffrentielle reliant x ses drives
premire et seconde .
b) Faire la construction de Fresnel correspondante .
En dduire les valeurs de 1 et de h .
Comparer 1 avec la pulsation propre 0 . Conclure .
Benaich Hichem
Figure-1
Figure-2
Propose par
c) Montrer que lnergie de loscillateur est constante .

Calculer sa valeur .
2
Rp. Num.:1) F(t)=0,5sin(1t) (N) ; x(t)=0,125sin(1t- ) (m) ; F-x= 2 (rsonance de vitesse)
d 2x
2) a) m
dt 2
dx
1
x2
-1
-1
dt
+ h + kx=F ; b) 1=10rad.s ; h=0,4kg.s ; 1= 0 c) E= 2 k m =0,165J.
EXERCICE 4
Un oscillateur , form dun aimant de masse m = 50g suspendu un ressort de raideur k = 500N.m -1,
est excit par un lectroaimant parcouru par un courant alternatif sinusodal de frquence N e rglable
et comprise entre 5 Hz et 25 Hz . On admet que cet lectroaimant exerce sur loscillateur une force
sinusodale de la forme
F = 40sin(2Net). i ( i tant un vecteur unitaire vertical ) .
1) Soit x labscisse du centre dinertie G de laimant dans le repre (O, i ) ;
(O tant la position de G lquilibre) .

a) Etablir lquation diffrentielle reliant x et sa drive seconde par rapport au temps .
b) On admet dans cette question que x a pour expression : x = xm sin( 2Net + x) .
Montrer que la force excitatrice et labscisse x de G sont en phase si N e N0 et en opposition de
phase si Ne N0 . ( N0 est la frquence propre de loscillateur ) ; donner la valeur de x dans les
deux cas .
c) Calculer les amplitudes des oscillations pour des frquences gales 10Hz et 20Hz .
d) Donner lallure de la courbe reprsentant la variation de lamplitude x m du mouvement de
laimant en fonction de la frquence excitatrice .

2) Un dispositif damortissement exerce maintenant sur lexcitateur une force f = -h v ; v tant le
vecteur vitesse de laimant et h = kg.s-1 .
a) Etablir lquation diffrentielle reliant x ses drives premire et seconde par rapport au temps .
b) Pour Ne = 20 Hz , dduire partir de la construction de Fresnel :
- la phase initiale de labscisse x de G ;
- la valeur de lamplitude xm .
Donner lexpression de x en fonction du temps .
d2x
Rp. Num.: 1) a) m
dt 2
+ kx = F ; b) Pour Ne N0 , x=0 ; Pour Ne N0 , x= ; c) Pour Ne=10Hz , xm=13,2cm ;

Pour Ne=20Hz , xm=13,8cm ; d) Pour N=N0 , il ya rupture de loscillateur ;
d2x
2) a) m
dt 2
dx
+ h dt + kx = F ; b) x=-2,2rad ; xm=8,2cm ; x(t)=8,2.10-2sin(40t-2,2) (m)
EXERCICE 5
I/-Un solide (S) de masse m = 100g est suspendu un ressort (R) de raideur k = 500N.m -1 .
1) Calculer la pulsation et la frquence propres de loscillateur libre .
f
2) Le solide (S) est soumis , de plus des frottements visqueux = -h v .
Quelle est lallure de variation de x abscisse du centre dinertie du solide (S) compt partir de
sa position dquilibre en fonction du temps ? ( envisager les 3 cas possibles ) .
II/-Pour entretenir les oscillations de (S) , on lexcite laide dune force verticale et sinusodale
F telle que F=Fm sint .

Labscisse x de (S) varie alors suivant lquation horaire x = x m sin( t + ) .
d2x
dx
dt 2
1) Etablir lquation diffrentielle du mouvement de ( S ) en fonction de x , dt et
.
2) En dduire :
a) lamplitude maximale xm de x ;
b) la phase initiale de x .
Propose par
Benaich Hichem
c) Pour quelle valeur 1 de , xm est-elle maximale ? la calculer .

d) Quelle doit-tre la valeur du coefficient h pour obtenir la rsonance damplitude pour la
pulsation = 0 ? Conclusion .
2
On donne : Fm = 10
N ; h = 2 kg.s-1 ; = 20 rad.s-1 ; 2 = 10 .
3) a) Exprimer la vitesse v de ( S ) en fonction du temps .
b) Rcrire lquation diffrentielle du mouvement de (S) en fonction de v .
c) Construire le diagramme de Fresnel correspondant .
d) Dterminer limpdance mcanique de loscillateur et la puissance moyenne absorbe .
4) Montrer que pour obtenir la rsonance de vitesse , on peut procder de deux faons
diffrentes et indpendantes :
10
a) Accrocher une surcharge (S) de masse m au solide (S) .

b) Remplacer le ressort (R) par un deuxime ressort (R) de constante de raideur k. Calculer m
et k .
5) Calculer dans le cas de la rsonance de vitesse du pendule :
a)La valeur maximale de vm .
b) Le facteur de qualit de loscillateur .
c) Lnergie dissipe par loscillateur pendant 100 oscillations .
Rp. Num.:I/1) 0=70,71rad.s-1 ; N0=11,25Hz ; 2) Voir cours

d2x
dx
dt
II/1) m
+h
+ kx = Fm sint ; 2)a) xm=0,1m ; b) =- 4 rad ; c) 1=69,82rad.s-1 ; d) h=0 et xm+ ;
dv
vdt
-1
4
3) a) v(t)=6,28sin(20t+ ) (m.s ) ; b) hv + m dt + k
=Fm sint ; d) Z=2,3 ; P=31W ;
dt 2
-1
-1
4) a) m=0,025kg ; b) k=400N.m ; 5) a) vm=9m.s ; b) Q=4,5 ; c) E=565J .
EXERCICE 6 ( Bac 93 )
A/ Une tude exprimentale des oscillations libres dun pendule lastique horizontal ( fig. 1 ) fournit les
courbes de la figure 2 reprsentant respectivement lnergie E p ( courbe I ) et lnergie mcanique E
( courbe II ) du systme S = corps (C) de masse m , ressort en fonction de llongation x de
loscillateur .
Ep , E ( 10-3 J )
II
(C)
20
xO
i
Fig. 1
10
I
Fig. 2
x (cm)
-5
1) a) Dterminer graphiquement la valeur de lnergie E du systme (S) .

b) Le systme est-il soumis des forces de frottement ? Justifier la rponse .
2) a) Dterminer graphiquement llongation du corps (C) qui correspond lnergie potentielle
maximale du systme (S) . En dduire la valeur de lnergie cintique correspondante E C .
Propose par
Benaich Hichem
b) Prciser lamplitude des oscillations libres de (C) . Justifier la rponse .

c) Calculer la valeur de k du ressort utilis .
3) Dterminer graphiquement Ep et EC lorsque x = 3 cm .
B/ Le systme (S) de la figure 1 est excit maintenant par une force F = F i qui sexerce sur le corps
(C) avec F = Fm sin(2Nt) .
Fm dsigne la valeur maximale de F ; N la frquence des excitations et t le temps .
Lorsquil oscille , le corps (C) est soumis des frottements quivalents une force f = -h v o
h est une constante positive et v la vitesse instantane du corps (C) .

1) a) Etablir lquation diffrentielle du mouvement du corps (C) .
11
b) En admettant que llongation du corps (C) en rgime forc est de la forme :

x = xm sin(2Nt + ) , dterminer :
- lamplitude xm en fonction de N , Fm , k , h et m .
- le dphasage entre x et F en fonction de N , k , h et m .
2) a) Montrer que la rsonance dlongation sobtient la frquence N R telle que :
h2
2 8 2 m 2
= N0 avec N0 : frquence propre du rsonateur (S) .
Calculer N0 et NR .
b) Expliquer qualitativement comment volue lamplitude x m en fonction de N dans les deux cas
suivants :
- frottement ngligeable ;
- frottement important .
On donne m = 0,5 kg ; h = 1,79 kg.s-1 .
N 2R
2E
Rp.Num.:A/ 1) a) E=22,5.10-3J; b) E=cstepas de frottement ; 2) a) x=5cm ; EC=0 ; b) xm=5cm ; c) k=
x 2m
=18N.m-1
3) Ep=8.10-3J ; EC=14,5.10-3J .
d2x
B/ 1) a) m
dt
Fm
2 Nh
dx
2 2 2
2 2
2
4 N h + (k - 4 N m)
k - 4 2 N 2m
+h dt +kx=F ; b) xm=
; tg=
;
1 k
2
2) a) N0= m =0,96Hz ; NR=0,87Hz ; b) frottement ngligeable : NR=N0 et xm+ ;
frottement important : rsonance floue .
Un solide (S) de masse m est attach l'une des extrmits d'un
ressort vertical parfaitement lastique , de constante de raideur k et de
masse ngligeable devant celle du solide (S) . L'extrmit suprieure
du ressort est fixe . A l'quilibre , l'allongement du ressort est a 0 .
On carte le solide (S) de sa position d'quilibre vers le bas de y 0 un
instant qu'on prend comme origine des dates , puis on labandonne
sans vitesse . On nglige les frottements et on tudie le mouvement du
solide (S) relativement un repre galilen (O , j ) d'origine O , la

position du centre d'inertie de (S) l'quilibre et d'axe Oy , un axe vertical dirig vers le bas (fig.1) .
Figure 1
1) a) A une date t quelconque , le centre d'inertie G de (S) a une
longation y et sa vitesse instantane est v .
Etablir l'expression de l'nergie mcanique E du systme { solide (S) , ressort, terre } en fonction
de y , v , a0 , k et m .
On prendra comme rfrence de l'nergie potentielle de pesanteur celle correspondant la
position du solide dans un plan horizontal passant par O , position du centre d'inertie du solide
(S) l'quilibre . On considre nulle l'nergie potentielle lastique du ressort non charg .
b) Montrer que cette nergie 'mcanique E est constante . Exprimer sa valeur en fonction de k , y 0
et a0 .
Propose par
Benaich Hichem
c) En dduire que le mouvement de (S) es rectiligne sinusodal .

2) A l'aide d'un dispositif appropri , on mesure la
vitesse instantane v du solide (S) pour diffrentes
longations y du centre d'inertie G de (S) .
Les rsultats des mesures ont permis de tracer la
courbe v2 = f (y2) ( fig. 2 ) .
a) Justifier thoriquement l'allure de la courbe en
12
tablissant l'expression de v2 .
b) En dduire les valeurs de :
- la pulsation 0 et l'amplitude y0 du mouvement
de (S) ,
- l'allongement a
du ressort l'quilibre .
0
On prendra g = 10 m.s-2 .
c) Etablir lquation horaire du mouvement .
d) Sachant que lnergie mcanique E du systme est
gale 0,625 J , calculer les valeurs de la constante de raideur k du ressort et la masse m du
solide (S) .
F
3) On exerce maintenant sur le solide (S) une force =Fm sin t. j dont la pulsation est rglable .
Le solide (S) prend alors un mouvement sinusodal forc d'quation : y = y m sin(t + ) .

a) Etablir l'quation diffrentielle du mouvement de (S) .
b) Pour quelles valeurs de la pulsation les grandeurs y et F sont-elles :
- en phase ?
- en opposition de phase ?
c) Etablir lexpression de ym en fonction de . Que se passe-t-il si = 0 ?
Rp.
d2x
1
1
1
1
dE
=0
dt 2
Num.:1) a) E= 2 ky2+ 2 mv2+ 2 ka02 ; b) E=0E=cste ; E= 2 k(y02+a02) ; dt
m
+kx=0 ;
2) a) v2=-02y2+02 y02 ; b) 0=10rad.s-1 ; y0=5.10-2m ; a0=0,1m ; c) y(t)=5.10-2sin(10t+
2E
k
d) k=
a 02 + y 02
=100N.m-1 ; m=
02
)(m) ;
=1kg ;
d y
3) a) m
dt 2
+ky=F ; b) Pour 0 , y et F sont en phase ; pour 0 y et F sont en oppo. de phase ;

Fm
c) ym=
k - m2
; pour = 0 ; ym+ .
Partie A :
Dans tout le problme , on prendra g = 10 m.s-2 .

Dans cette partie. on ngligera tous les types de frottement .
Une tige rigide (Q) est maintenue incline d'un angle
= 30 par rapport l'horizontale . Un ressort (R) spires
non jointives , de masse ngligeable , de longueur vide
0 et de raideur k = 80 N.m-1 est enfil le long de cette tige .
Il est fix celle-ci par l'une de ses extrmits en un point
not I , son autre extrmit tant relie un solide (S) de
masse M = 50 g et de centre d'inertie G pouvant coulisser
le long de la tige (figure 1-a) .
Lorsque (S) est dans sa position d'quilibre , son centre d'inertie G occupe la position O , origine du
repre (O, i ) , et la longueur de (R) est ; le vecteur unitaire i est orient suivant le ct ascendant de
la ligne de plus grande pente du plan inclin (figure 1-b) .
Propose par
Benaich Hichem
g
1) Etablir la relation entre M , , k , et 0 lorsque G est la position dquilibre O .
M
2) Un solide (C) de masse m = 2 pouvant coulisser aussi le long de (Q) et dispos comme lindique
13
figure 1-a est lanc vers (S) qu'il atteint avec une vitesse VC . On notera V0 et V ' C les vitesses
respectives de (S) et (C) tout juste aprs le choc suppos lastique et de dure ngligeable .
En appliquant les lois de conservation au systme { (S) + (C) , trouver lexpression de VC en
V
fonction de V0 , M et m . Calculer sa valeur sachant que 0 = 1,6 m.s-1 .
dx
3) Suite ce choc , (S) se met en mouvement oscillatoire . On notera x labscisse de G , v = dt sa
d2x
dt 2
vitesse instantane et a =
son acclration un instant t quelconque au cours du mouvement .
a) En appliquant la relation fondamentale de la dynamique , au solide ( S ) en mouvement , montrer
que loscillateur mcanique constitu par ( R ) et ( S ) est harmonique .
b) Donner lexpression de lnergie mcanique totale E du systme (R) , (S) , terre en fonction de
g
M , v , x , k , ( 0 ) , et . Montrer quelle peut scrire sous la forme :
1
1
1
2
2
E = 2 Mv + 2 kx + 2 k ( 0 )2
On supposera nulle lnergie potentielle de pesanteur de ce systme en O .
c) Trouver les valeurs des longations xA et xB ( xA xB ) des positions limites A et B entre lesquelles
(S) oscille .
Partie B : Le ressort (R) est maintenant remplac par un autre ressort (R) de raideur k k , et on
suppose que le solide (S) est soumis une force de frottement visqueux de la forme f = -h v o h est
une constante positive . Les oscillations de (S) sont entretenues laide dune force supplmentaire
F = F(t). i = Fm sin( et ). i exerce laide dun dispositif appropri jouant le rle dexcitateur . Dans ce
dx
cas , tout instant t au cours du mouvement , llongation x de G , sa vitesse instantane v = dt et son
d2x
acclration a =
d2x
dt 2
vrifient la relation :
dx
M
+ h dt + kx = Fm sin( et ) dont la solution est x(t) = xm sin( et + x )
Les fonctions x(t) et F(t) sont reprsentes sur le diagramme de la figurer-2
dt 2
Fig. 2
1) Au cours de ces oscillations forces , il ya change dnergie entre le rsonateur (R) + (S)
et lexcitateur .
Prciser dans quel sens seffectue-t-il et pourquoi ?
Propose par
Benaich Hichem
14
2) A partir des diagrammes de la figure-2 :

a) Dterminer les expressions x(t) et F(t) . Prciser en le justifiant sil existe des valeurs de la
pulsation e de la force excitatrice pour lesquelles le dphasage de x(t) par rapport F(t) change
de signe .
b) Faire la construction de Fresnel , et en dduire les valeurs de h et de k .
3) a) Donner lexpression de lamplitude xm en fonction de Fm , h , e , k et M . En dduire lexpression
de lamplitude vm de la vitesse instantane en fonction des mmes donnes .
Fm
v
b) Dterminer le rapport m en fonction de h , e , k et M . Dduire , laide de lanalogie
mcanique - lectrique , lexpression correspondant ce rapport en lectricit et en donner la
signification physique .
Rp. Num.:A/ 1) M g sin=k(-0) ; 2)
VC
d 2x
M+m
k
dt 2
V0
-1
2
m
M
=
soit VC=2,4m.s ; 3) a)
+
x=0 ; c) x=4.10-2m ;
B/ 1) excitateur rsonateur ; 2) a) x(t)=3.10 sin(70t- 6 ) (m) ; F(t)=3sin(70t) (N) ; b) h=0,71kg.s-1 ;

-2
Fm
Fm
k=331,6N.m-1 ; 3) a) xm=
Fm
vm
h 2 + (M e =
k'
e
Um
)2
Im
R 2 + ( Le =
h 2 e2 + (k '-M e2 ) 2
1
Ce
h 2 + ( M e ; Fm=exm=
k'
e
)2
;
)2
= Z (impdance lectrique) .
Figure -1-
I/-On dispose d'un ressort (R) spires non jointives , de masse

ngligeable et de raideur k inconnue .
Un pendule lastique dispos verticalement comme l'indique la
figure -1 - , est constitu du ressort (R) , dont l'une des
extrmits est fixe , et d'un corps (S) de masse m = 200 g
attach l'autre extrmit .
Lorsque (S) est au repos , son centre d'inertie G occupe la
position O origine d'un axe y'Oy vertical orient vers le bas et (R)
est allong de a0 .
Le plan horizontal passant par O est pris comme rfrence pour
l'nergie potentielle de pesanteur pour le systme {(S), (R) et terre} .
On ngligera tout type de frottement .
Un carton rectangulaire rigide , de masse ngligeable et de largeur
e = 1 cm est fix au niveau du centre d'inertie G comme l'indique la
figure -2 - .
Quatre chronomtres affichage digital sont munis chacun d'un
capteur nots (C1) , (C2) , (C3) et (C4) et placs respectivement aux
positions d'abscisses : (y1 = -5 cm) , (y2 = -3 cm) , (y3 = 0 cm)
et (y4 = 4 cm) .
Ce dispositif permet de mesurer la dure t du passage du carton
devant l'un des capteurs.
On carte (S) vers le bas de y0 = 6 cm et on le lche sans vitesse
initiale un instant pris comme origine des temps .
Benaich Hichem
Figure- -2-
Propose par
15
Capteur
(C3)
(C2)
(C4)
y (m)
0
-0,03
+0,04
y2 (m2)
0
9.10-4
16.10-4
t (s)
0,017
0,019
0,022
v (m.s-1)
v2 (m2.s-2)
1) Le tableau suivant regroupe les rsultats de mesure de l'exprience effectue :
(C1)
-0,05
25.10-4
0,030
v = v(t) est la vitesse instantane de G son passage par la position d'abscisse y = y(t) .
e
a ) La vitesse moyenne du carton son passage devant l'un des capteurs est donne par t .
Montrer que ce rapport peut tre considr comme la vitesse instantane de G .

b) Complter le tableau de mesures . Tracer la courbe v 2 = f(y2) en utilisant les quatre couples de
valeurs (v2;y2) du tableau et le couple de valeurs correspondant la position initiale .
On prendra comme chelle :
abscisse : 1cm 2.10-4 m2 .
ordonne : 1cm 2.10-2 m2s-2 .
2) a) Exprimer l'nergie mcanique Em du systme en fonction de k, y, m, v et a0 .
b) En exploitant le caractre conservatif du systme , montrer qu' tout instant v(t) et y(t) vrifient la
k
k
2
2
y
relation suivante : v = - m
+ m y0 .
2
c) A partir de la courbe trace , dterminer la valeur de la raideur k .

II/-Au dispositif de la figure -2 -on procde aux changements suivants (figure-4-) :
(R) est remplac par un autre ressort (R) de raideur
k = 20N.m-1 .
Le corps (S) baigne dans un liquide de telle sorte quau
cours des oscillations , il est soumis une force de
frottement visqueux de type h. v o h est le coefficient
de frottement .
Un excitateur impose au corps (S) des oscillations
mcaniques forces de frquence N rglable laide du
potentiomtre (B) telles que la valeur algbrique de la
force excitatrice est F(t) = Fm sin(2Nt) .
1) Donner les expressions :
a) de lamplitude Vm r de la vitesse instantane de (S)
la rsonance damplitude en fonction de la
frquence de rsonance damplitude N r et de
lamplitude Ym des oscillations de (S) cette frquence .
b) de Fm en fonction de Ym r , h , Nr , m et k .
2) On repre les deux positions P1 et P2 entre lesquelles oscille G lorsquon se place la
rsonance damplitude correspondant la frquence N r = 1,5Hz .
Complter le tableau de mesures suivant :
Nr
y(P1) : abscisse de la position P1
y(P2) : abscisse de la position P2
y( P1 ) - y( P2 )
2
Ym r =
Vm r : amplitude de la vitesse instantane la rsonance damplitude
Fm
1,5Hz
+ 4 cm
- 6 cm
1
2
4 2
On rappelle que N r =
h2
k'
2 2
m - 8 m .
Benaich Hichem
Propose par
3) On se propose maintenant de dterminer V m r en faisant appel un chronomtre . Pour cela ,

le carton rectangulaire est fix 11 cm de G . Prciser en le justifiant , labscisse de la position
o lon doit placer un capteur pour effectuer la mesure ncessaire la dtermination de V m r .
Rp. Num.:I/ 1) a) t faible Vinst.Vmoy. b) Courbe ne passant par lorigine ;

1
1
1
a2
2
2
2) a) Em= 2 mv + 2 ky + 2 k 0 ; c) k20N.m-1 .
II/ 1) a) Vm r=2NrYm r ; b) Fm=
4 2 N 2r h 2 + ( k '-4 2 N 2rm) 2
2
2) Vm r=0,47m.s-1 ; h=
2mk '-8 m
N 2r
=0,95U.S.I. Fm=0,46N ; 3) y=-12.10-2m .

Un oscillateur mcanique en rgime forc est reprsent dans la figure -1- .
Il comporte un solide (S) , de masse m et de centre d'inertie G , attach
l'extrmit libre d'un ressort (R) de raideur k , par l'intermdiaire d'une
tige rigide (T) .
L'autre extrmit du ressort est fixe . Les masses de (R) et (T) sont
ngligeables .
Le solide (S) est soumis une force de frottement de type visqueux
f = -h v o v est le vecteur vitesse instantane de G et h une constante

positive . A l'aide d'un dispositif appropri , on applique sur (S) une force
excitatrice F (t) = Fmax sin( 2Nt +F) i . On dsigne par x(t) llongation
du centre dinertie G en fonction du temps par rapport au repre (O, i ) ;

O tant la position dquilibre de G .
Figure -1-
d2x
dx
dt 2
1) Etablir que l'longation x, sa drive premire dt et sa drive seconde
vrifient la relation :
2
d x
dx
dt 2
m
+h dt + kx= F(t) .
2) Le dispositif d'enregistrement des oscillations
de (S) est constitu d'un cylindre enregistreur
sur lequel est enroul un papier millimtr
et d'un stylet marqueur , solidaire de la
tige (T) , et affleurant le papier millimtr .
Dans le cas de l'exprience tudie , ce
dispositif permet d'obtenir le diagramme de
Figure-2Figure-2la figure -2- qui correspond aux variations de
l'longation x(t) .
a) Sachant que les deux oscillations prsentes
sur le diagramme de la figure -2- correspondent un tour complet du cylindre enregistreur ,
en dduire le nombre de tours par minute effectus par ce cylindre .
Dterminer , partir du diagramme de la figure -2- , x max , N et x .
b) Sachant que m = 98g et k = 20 N.m-1 , montrer que (S) effectue des oscillations mcaniques
forces correspondant une rsonance de vitesse en accord avec l'quation :
x(t) = xmax sin( 2Nt + x ) .
16
d2x
dt 2
c) En dduire qu' tout instant t , x(t) vrifie la relation suivante : m
+ kx = 0 .
d) Dterminer les valeurs de Fmax , F et la puissance mcanique moyenne absorbe par
l'oscillateur .
On donne h = 1,8 kg.s-1.
Benaich Hichem
Propose par
3) Le point de soudure A , assurant la liaison entre la tige (T) et le ressort (R) , ne peut pas supporter
une tension de valeur suprieure 2,1 N .
a) Indiquer , en le justifiant , si le risque de rupture de la soudure en A a lieu en augmentant ou en
diminuant la frquence de la force excitatrice.
b) Prouver , en faisant appel aux calculs ncessaires , qu'il peut y avoir rupture de la soudure en A .
On donne g = 9,8 m.s-2 .
Rp.
Num.:2) a) n=68,2tours/min. ; xmax=0,05m ; N=2,27Hz ; x= 2 rad ; b) N=N0 rs. de vitesse ;
d2x
c) m
dt 2
+kx=(-m
02
+k)x=0 ; d) Fmax=h xmax =1,29N ; F=x+ 2 =rad ;
2 2
1
Fm2 Fm v m h x m
Tmax
2
2
2
h
2
2
P= hvm =
=
=
=0,46watt ; 3) a)
=k(0+xmax) ; si N , xmax risque de
Fmax
2
h2
2 2
(2N r h ) - m(2N r ) - k
N 2 N 2 8 m
rupture ; b) xmax.rs.=
avec r = 0 =0,89674S.I. ;
mg
Tmax .rs.
0= k =4,8cm ;
= k(l0+xmax.rs.)=2,28N2,1N il peut y avoir rupture de la soudure .
Gnrateur
B.F.
C
Figure -1L
,
r
On ralise un circuit lectrique schmatis sur la figure -1- et comprenant un gnrateur B.F. dlivrant
une tension sinusodale u(t) = Um sin( 2ft ) damplitude Um constante de frquence f variable , aux
bornes duquel sont disposs en srie le condensateur de capacit C = 1F , une bobine de rsistance r
R
et dinductance L = 0,01H et un rsistor de rsistance R .
On se propose de visualiser sur lcran dun oscilloscope deux voies :

la tension u(t)
voie (1) .
la tension uR(t)
voie (2) .
1) Etablir laide dun trac clair les connexions ncessaires entre le circuit lectrique de la figure-1et loscilloscope .
17
di
dt
2) Etablir lquation reliant i , sa drive premire
et sa primitive
Soit i(t) = Im sin( 2ft + i ) la solution de cette quation .
3) a) Exprience n1
On ajuste la frquence f la valeur f 0 correspondant
la frquence propre du diple ( L,C ) . On obtient
les diagrammes de la figure-2- .
- Montrer que , parmi les deux signaux qui
constituent cette figure , celui
ayant
lamplitude la plus leve correspond la
tension u(t) .
idt .
Fig. -2-
Benaich Hichem
Propose par
2
R
-Etablir que R + r = 3
b) Exprience n2
A partir de cette valeur f0 , on fait varier la frquence f de la tension excitatrice u(t) jusqu rendre
cette dernire dphase de 6 par rapport au courant i(t) .

La nouvelle de la frquence est alors f 1 = 1524 Hz .
-Dire , en le justifiant , si le circuit est inductif ou capacitif .
-Faire la construction de Fresnel en tenant compte des donnes de cette exprience n2
1 2f .L
1
2f .C
1
.
3
et montrer que R + r =
-Calculer R et r .
c) Dterminer le facteur de qualit Q de cet oscillateur .

di 1
Rp. Num.:2) (R+r)i+L dt + C
uR
-
um
idt =0 ; 3) a) -Z=
(R + r ) 2 + (L -
1 2
)
C R um u R m ;
3 2
1
R
4
,
5
= R+r =
= 3 ; b) - U-i=- 6 0 circuit capacitif ; -tg(- 6 )=- 3 =
L0
R
- R=10 ; r=5 ; c) Q= + r =6,66
Le circuit lectrique de la figure-1 comporte :
- Un condensateur de capacit C ,
- Une bobine dinductance L et de rsistance propre r ,
- Un rsistor de rsistance R .
Ce circuit est aliment par une tension sinusodale de
frquence f variable et de valeur efficace UAD .
Les entres (EB) et (ED) de loscillographe bicourbe et sa
masse sont connectes respectivement aux points B , D
et A .
1) Pour une valeur f0 de la frquence f , on obtient les
oscillogrammes de la figure-2 .
a) Prciser , en le justifiant ltat doscillation du circuit .
b) Donner la valeur de f0 .
Fig. 1
Fig. 2
+ L1
C 1
R +r
;
18
c) Indiquer , en le justifiant , celui des deux

oscillogrammes (1) ou (2) qui correspond la tension
UAB(t) ; dduire la valeur de r sachant que R = 2 .
d) Calculer la valeur I0 de lintensit efficace du courant .
2) Le facteur de surtension (ou de qualit) du circuit est
Q = 50 .
a) Dterminer les valeurs de L et C .
b) Calculer la puissance P0 consomme dans le circuit .
U
DAm
UBA
Rp. Num.:1) a) Rsonance dintensit ; b) f0=200Hz ; c) UDA(t)(2) ; UBA(t)(1) ; r=R

d) I0=0,8A ; 2) a) L=0,1H ; C=6,4.10-6F ; b) P0=(R+r)
Benaich Hichem
I 02 =1,6W
=0,5 ;
Propose par
EXERCICE 13 ( Contrle 95 )
Une bobine dinductance L et de rsistance r , est place en srie avec un condensateur de capacit C
et un rsistor de rsistance R . On alimente ce circuit par une tension sinusodale de frquence N
variable et de valeur instantane en volt : u = 10 2 sin2Nt .
1) Lintensit efficace passe par un maximum I0 = 741mA une frquence N0 =149Hz . On mesure
alors aux bornes de R une tension efficace UR = 6,7V .
a) Etablir la relation entre L , C et N0 .
b) Calculer R et r .
2) Lintensit efficace du courant prend la valeur I1 = 523mA lorsque la frquence est N1 = 180Hz .
a) Faire la construction de Fresnel . Choisir alors parmi les mots suivants celui qui convient pour
qualifier le circuit tudi : rsistif , inductif , capacitif . Justifier .
b) Dterminer les valeurs de L et C .
3) a) Parmi les 3 schmas possibles du circuit tudi et prsents ci-dessous ( figures 1,2,3 ) , choisir
celui ( ou ceux ) qui convient ( ou conviennent ) pour tudier simultanment les variations
instantanes du courant et de la tension u sur un oscilloscope 2 voies Y 1 et Y2 ( Fig. 4 )
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 4
b) Aprs avoir choisi lun des schmas rpondant aux besoins de cette tude , prciser les points
du circuit o il faut brancher respectivement les entres Y 1 , Y2 et la masse de loscilloscope
pour obtenir les oscillogrammes de la figure-5 .
Fig. 5
19
c) Aprs avoir prcis les grandeurs visualises sur chaque voie , valuer graphiquement le
dphasage de lintensit i par rapport la tension u . Comparer cette valeur avec celle que lon
peut dterminer en utilisant la construction de Fresnel sachant que la frquence est N 1 = 180Hz .
1
4
N 02
UR
I0
I 0 -R=4,5 ; 2) a) N N circuit inductif ; b) C=30F ;

1
0
1
- L1
C 1
R +r
L=0,038H ; 3) a) Schmas (1) ou (3) ; c) =- 4 rad ; tg=
=-1 =- 4 rad .
Rp. Num.:1) a) LC=
; b) R=
Benaich Hichem
=9 ; r=
Propose par
On monte , en srie , un rsistor de rsistance R 1 = 10 , une bobine d'inductance L = 0,6 H et de
rsistance R et un condensateur de capacit C . On applique entre les bornes A et M du diple ainsi
obtenu une tension alternative sinusodale u(t) = U m sin ( 2Nt ) de frquence N rglable . On relie
la voie I , la voie II et la masse d'un oscilloscope bicourbe respectivement aux points A , B et M du
circuit ( figure 1) .
Figure 1
Pour une frquence N1 de la tension dalimentation , on obtient sur lcran de loscilloscope les courbes
(I) et (II) de la figure 2
Figure 2
Echelle : 1 div. sur laxe des abscisses reprsente 10-3 s

1 div. sur laxe des ordonnes reprsente 2V pour la courbe I
1 div. sur laxe des ordonnes reprsente 1V pour la courbe II
1) Dduire partir des courbes de la figure 2 :
a) La frquence N1 de la tension d'alimentation .
b) Les valeurs maximales Um et
aux bornes du rsistor .
U BM
respectivement de la tension d'alimentation et de la tension
c) Le dphasage de la tension instantane U BM ( t ) par rapport la tension d'alimentation .

2) Dterminer l'intensit instantane i(t) du courant qui circule dans le circuit , en prcisant sa valeur
maximale , sa frquence et sa phase .
20
3) Dterminer la valeur de la rsistance R et celle de la capacit C .

4) On ajuste la frquence N une nouvelle valeur N 2 et on relve les tensions maximales suivantes :
entre A et B :
entre B et M :
U AB
U BM
= 2V.
= 2V.
Um
entre A et M :
= 4V.
a) Montrer que le circuit est , dans ces conditions , en rsonance d'intensit . Calculer alors l'intensit
efficace I0 du courant .
b) Dterminer la frquence N2 de la tension excitatrice .
c) Calculer le coefficient de surtension du circuit .
3
Rp.Num.:1) a) T1=6.10-3s N1=166,7Hz ; b) U m =4V ;

U m cos
3) R=
Im
BM m
10
3
3
=1V ; c) = rad ; 2) i(t)=0,1sin(
t+ 3 ) (A) ;
[
]
-R =10 ; C= 2 N1 2 N1 L + (R + R1 ) tgi
1
Um
4) a) I0= 2 ( R + R1 ) =0,141A ;
2 N 2 L
b) N2= 2 LC =171,3Hz ; c) Q= R + R1 =32,3 .
Benaich Hichem
Propose par
Le circuit lectrique de la figure-1 comporte en srie :
- un rsistor ( R ) de rsistance R = 80 .
- une bobine (B) d'inductance L et de rsistance propre r .
- un condensateur (C) de capacit C = 11,5F .
Un gnrateur (G) impose aux bornes D et M de l'ensemble {(R) , (B) , (C)} une tension alternative
sinusodale u(t) = UDM 2 sin( 2ft +u ) de frquence f rglable et de valeur efficace UDM constante .
Un voltmtre (V1) branch aux bornes D et N de l'ensemble {(B) , (C)} mesure la valeur de la tension
efficace UDN .
Un voltmtre (V2) branch aux bornes N et M de (R) mesure la valeur de la tension efficace U NM .
Figure-1
Lorsqu'on ajuste la frquence f la valeur 50 Hz , un oscillographe bicourbe deux entres Y 1 et Y2

convenablement branch sur le circuit lectrique ( figure-2 ) fournit deux oscillogrammes (S) et (S')
reprsents sur la figure-2 .
21
Figure-2
1) En utilisant les oscillogrammes de la figure-2 :

a) Montrer que l'oscillogramme (S) correspond la tension u(t) .
A quoi correspond l'oscillogramme (S ) ?
Quelle grandeur lectrique , autre que la tension , peut tre dtermine partir de
l'oscillogramme (S') ?
b) Dterminer le dphasage = ( u - i ) de la tension u(t) par rapport au courant
i(t) = Ie 2 sin( 2tft + i ) qui parcourt le circuit lectrique aliment par le gnrateur (G) .
Dduire si ce circuit lectrique est inductif, capacitif ou rsistif .
c) Prciser la valeur de l'amplitude et de la phase de u(t) et de i(t) .
Benaich Hichem
di ( t )
2) L'quation reliant i(t), sa drive premire dt et sa primitive
1
di( t )
i( t )dt
C
dt
Ri(t) + ri(t) +L
+
= u(t) .
i(t )dt
Propose par
est :
Nous avons trac deux constructions de Fresnel incompltes ( figure-3-a et figure-3-b ) .
Figure-3-a
Figure-3-b
22
Benaich Hichem
Propose par
a) Montrer , en le justifiant, laquelle parmi ces deux constructions celle qui correspond l'quation
dcrivant le circuit .
b) Complter la construction de Fresnel choisie en traant , dans l'ordre suivant et selon l'chelle
1
di( t )
i( t )dt
C
indique , les vecteurs de Fresnel reprsentant ri(t) ,
et L dt .
c) En dduire la valeur de r et L . Dterminer la tension instantane u DN(t) .
3) a) Donner l'expression de l'amplitude Imax de l'intensit instantane du courant lectrique en fonction
de UDMmax , R , r , L , C et f . En dduire l'expression de l'amplitude Q max de la charge instantane
du condensateur en fonction des mmes donnes .
b) Donner un quivalent mcanique du circuit lectrique de la figure -1 en prcisant les analogies
utilises .
c) Etablir , l'aide de l'analogie lectrique - mcanique , l'expression de l'amplitude X max( f) des
oscillations mcaniques forces . Tracer l'allure des variations de X max(f) en fonction de la
frquence f ; on notera , approximativement sur le trac , la position de la frquence f r
correspondant la rsonance d'amplitude par rapport la frquence propre f 0 de l'oscillateur .
Quel est l'effet d'une augmentation des frottements sur l'allure de cette courbe?
Rp.
1 2
)
C
Num.:1) a)
R UDMmaxUNMmax ; (S):uNM(t)i(t) ; b) =+ 6 rad circuit inductif ;
2
c) u(t)=17,32
sin(100t) (v) ; i(t)=0,125(100t+ 6 ) (A) ; 2) a) Fig-3-a (circuit inductif) ;
(R + r ) 2 + ( L -
Ie 2
b) C 34,6 2 V10,4cm ; LIe 2 =43,3 2 V13cm ; r=40 ; L=1,1H ;
u DM
max
1 2
( R + r ) 2 + (2 fL )
2fC
uDN(t)=10 2 sin(100t+ 6 ) (v) ; 3) a) Imax=
23
u DM
Qmax=
max
[ (R + r)2f ] 2 + [ L(2f )2 -
1
C
; b) Pendule lastique avec frottement en rgime sinusodal

Fmax
1
(2 fh )2 + [ m( 2 fh ) 2 - k] 2
forc ; Lm ; C k ; u(t)F(t) ; R+rh ; Xmax(f)=
;
c) Si h , le pic diminue et fr est dcale gauche par rapport f0 .
Au cours dune sance de travaux pratiques , on dispose du matriel suivant :
- Un oscilloscope bicourbe .
- Un gnrateur basse frquence (G) pouvant dlivrer une tension sinusodale
u(t) = 9.sin(2f t) de frquence f rglable ; u(t) tant exprime en volts .
(G)
- Un rsistor de rsistance R :
- Un condensateur de capacit C = 10-6 F
- Une bobine (B) d'inductance L et de rsistance propre r :
- Des fils de connexion .
1) Dans cette page , remplir par le candidat et remettre avec la copie , est schmatis un circuit
lectrique incomplet (figure -1-) . Placer convenablement la bobine (B) , le condensateur et le
rsistor ,et effectuer les connexions ncessaires avec l'oscilloscope afin :
- d'obtenir un circuit srie aliment par le gnrateur basse frquence (G) ,
- de voir simultanment sur l'cran de l'oscilloscope la tension u(t) l'entre (X) et la tension u C(t)
aux bornes du condensateur l'entre (Y) .
Propose par
Benaich Hichem
Figure-1-
2) L'oscillogramme apparu sur l'cran de l'oscilloscope et correspondant u(t) et u C(t) est donn
dans la figure -2- . Il est agrandi afin de pouvoir l'exploiter convenablement .
Remarque : Pour le balayage horizontal et le balayage vertical , la division est la mme
et correspond au cot d'un carr trac sur l'cran .
Figure-2-
24
a) En tenant compte du choix de la sensibilit horizontale et de la sensibilit verticale

lentre (Y) (voir figure-1-) , dterminer la valeur de f et celle de U Cmax .
b) Quelle est la sensibilit verticale utilise lentre (X) ? Le choix adopt sera marqu par une
flche lendroit qui convient sur la page prcdente , remplir par le candidat et remettre
avec la copie .
3) a) Montrer que le circuit est le sige dune rsonance dintensit de courant .
b) Dterminer la valeur de linductance L .
c) Montrer que la valeur efficace du courant lectrique scrit : I = 2 .f.C.UCmax .
d) Dterminer la valeur de la rsistance totale ( R + r ) du circuit lectrique .
Rp.
u u C 2

T
Num.:2) a) f= =250Hz ; UCmax=108V ; b) Umax=9Vs=3V/div. ; 3) a) = u - i =0 ;
1
U
b) L=
4 2f 02C
max
=0,405H ; c) I= 2 ..f0. UCmax=0,12A ; d) R+r=
2 I =53 .

Un oscillateur lectrique est constitu des diples suivants associs en srie :
- Un rsistor de rsistance R
- Une bobine dinductance L et de rsistance ngligeable
- Un condensateur de capacit C
Benaich Hichem
Propose par
Un gnrateur basse frquence impose aux bornes de ce circuit une tension sinusodale
u(t) = Um sin(2Nt) de frquence N variable et d'amplitude Um maintenue constante .
Soit uc(t) la tension aux bornes du condensateur . Un oscilloscope convenablement branch permet de
visualiser simultanment les tensions u(t) et uc(t) .
1) Complter le schma du montage reprsent par la figure -1- ( remplir par le candidat et remettre
avec la copie) en ajoutant les connections ncessaires avec l'oscilloscope afin de visualiser
u(t) et uc(t) .
Entre (1)
Entre (2)
(G)
2) Pour une frquence N1 , lampremtre indique un courant dintensit efficace de valeur 2 10-2A
et , sur lcran de loscilloscope , on observe les oscillogrammes de la figure -2- correspondant
aux tensions u(t) et uC(t) .
T1 = 8.10-3 s
Fig.2
25
Fig. 2
a) Dterminer , partir des oscillogrammes de la figure -2- , la frquence N 1 , lamplitude Um de la

tension u(t) , lamplitude U Cm de la tension uC(t) et le dphasage de uC(t) par rapport u(t) .
En dduire la valeur de la capacit de C .
b) Montrer que la tension u(t) est retard de 3 par rapport au courant i(t) .
Le circuit est-il inductif , capacitif ou quivalent une rsistance pure ?
3) Effectuer la construction de Fresnel relative ce circuit en prenant pour chelle :
1cm 1volt .
En dduire la valeur de R et celle de L .
Rp. Num.:1) Le condensateur et le gnrateur doivent avoir une borne commue ; 2) a) N1=125Hz ; Um=4V ; UCm=6V ;
6
uC
=-
I 2
N
U
1 Cm =4,2F ; u-i=- 3 0circuit capacitif ; 3) R=100 ; L=0,16H .
rad ; C=

Un gnrateur basse frquence ( GBF ) , dlivrant une tension sinusodale u(t) = U m sin ( 2Nt ) ,
d'amplitude Um constante et de frquence N rglable , alimente un circuit lectrique comportant les
diples suivants , monts en srie :
- un condensateur de capacit C ,
- une bobine d'inductance L et de rsistance propre ngligeable ,
- un rsistor de rsistance R ,
- un milliampremtre ( mA ) ,
- un interrupteur ( K ) .
Propose par
Benaich Hichem
1) Indiquer , sur la figure -1- remplir par le candidat et remettre avec la copie , les connexions
tablir entre le circuit lectrique et l'oscilloscope bicourbe afin de visualiser u(t) et la tension
instantane uC(t) aux bornes du condensateur .
mA
GBF
2) La frquence du ( GBF ) tant rgle la valeur N = 100 Hz , on ferme ( K ) .

L'oscillogramme donn dans la figure -2 - apparat sur l'cran de l'oscilloscope .
26
Figure -2-
a) Montrer que la tension u(t) est en avance de

par rapport la tension instantane uC(t) aux
bornes du condensateur .
b) Ecrire uC(t) en prcisant les valeurs de lamplitude et de la phase .
3) Lquation diffrentielle correspondant aux oscillations lectriques forces est :
d 2q
dq
q
dt 2
L
+ R dt + C = u(t) .
q = q(t) tant la charge instantane du condensateur.
a) Dterminer l'amplitude Qm de q(t) en fonction de l'amplitude Im de l'intensit du courant et de la
frquence N .
Calculer la valeur de Qm sachant que la valeur de l'intensit efficace indique par le
milliampremtre est 50 mA .
b) Faire la construction de Fresnel relative aux tensions maximales sur la page ci-dessous remplir
par le candidat et remettre avec la copie .
On prendra comme chelle : 1 cm 1 volt .
Benaich Hichem
Propose par
Construction de Fresnel
Axe origine des phases
27
4) Dterminer les valeurs de C , R , et L .
Rp.
I 2
U UC
12
T
6
6
2
Num.:1)
=2 =+ rad ; b) uC(t)=12sin(200t- ) (V) ; 3) a) Qm= N =1,125.10-4C ;
UR
4) R=
I 2
m
Im
=42,4 ; C=
2NUC
-6
=9,38.10 F ; cos(
U C - L I m
m
UC
)=
Um
3
2
=
L=0,153H .

Une portion de circuit est forme par une bobine dinductance L et de rsistance r , un condensateur de
capacit C et un rsistor de rsistance R = 130 monts en srie . Un gnrateur basse frquence
(GBF) impose aux bornes de cette portion de circuit une tension sinusodale : u (t) = U 2 sin ( 2N.t )
avec U = 9,8 V. Cette description correspond au schma de la figure -1 - .
Figure -1-
Benaich Hichem
Propose par
1) On fait varier la frquence N du gnrateur . A l'aide de deux voltmtres (V 1) et (V2) , branchs

respectivement aux bornes du rsistor R et du condensateur , on mesure les tensions efficaces
UR et UC . Les rsultats des mesures permettent de tracer les courbes U C(N) et UR (N)
correspondant aux diagrammes de la figure -2 - .
L'chelle choisie pour l'axe des frquences est la mme pour les deux courbes . Par contre , les
chelles choisies pour les deux tensions sont diffrentes .
Figure -2-
28
Les deux courbes mettent en vidence deux phnomnes de rsonance . Montrer que la courbe
(C2) correspond la rsonance d'intensit du courant , et la courbe (C 1) correspond la rsonance
de charge .
2) La frquence N du gnrateur est ajuste la valeur N 0 = 891 Hz correspondant la rsonance
d'intensit .
On lit 9,1 V sur (V1) et 125 V sur (V2) .
a) Calculer la valeur I0 de l'intensit efficace du courant lectrique .
U
UR
-1
b) Etablir que r =
.R . Calculer sa valeur .
Dterminer la valeur de C puis celle de L .
c) Dterminer l'expression de la charge lectrique instantane q(t) du condensateur C en prcisant
sa valeur maximale Qm et sa phase initiale q .
U
Rp.
(R + r )I0
Num.:1) (NR)i=N0 et (NR)qN0(C2)rs. dintensit ; (C1)rs. de charge . 2) a) U R =
(
r=
U
UR
-1
)
.R=10 ; C=
soit q(t)=1,25.10-5
I0
2 N 0 U C
C(2N 0 )
=0,1F ; L=
2 sin(1782t- 2 ) (C) .
I0 2
=0,32H ; q(t)=
2 N 0
RI0
R +r
= R
3
sin(2N0t+ 2 )

Le circuit de la figure -1- remplir par le candidat et remettre avec la copie comporte :
- un rsistor de rsistance R = 24 ,
- un condensateur de capacit C ,
- une bobine dinductance L = 0,8 H et de rsistance interne r .
Lensemble est aliment par un gnrateur basse frquence (G.B.F.) dlivrant une tension
sinusodale u(t) = Um.sin(2.N.t) telle que Um est constante et gale 10 V et la frquence N est
rglable .
Lintensit instantane du courant lectrique est i(t) = I 2 sin(2.N.t + i) .
1) Un oscilloscope bicourbe permet de visualiser sur la voie (Y1) la tension u(t) et sur la voie (Y2) la
tension uR(t) aux bornes du rsistor .
Indiquer , sur la figure -1- remplir par le candidat et remettre avec la copie , les connexions
ncessaires
Propose par
Benaich Hichem
figure -1-
2) Quand la frquence N est ajuste la valeur 202 Hz , sur l'cran de l'oscilloscope on observe les
29
deux courbes (1) et (2) de la figure -2 - .
figure -2-
a) Montrer que la courbe (1) correspond u(t) et en dduire si le circuit est inductif , capacitif ou
quivalent une rsistance pure .
b) Dterminer les valeurs de I et de i .
di( t )
3) L'quation diffrentielle reliant i(t) , sa drive premire dt et sa primitive
di( t )
1
i( t )dt
C
dt
Ri(t) + ri(t) + L
+
= u(t) .
i(t)dt s'crit :
La construction de Fresnel correspondant la frquence N = 202 HZ est donne par la figure -3 o l'chelle adopte est : 1 cm
2
2 Volt .
Dans cette figure :

- le vecteur ON est associ la tension u(t) .
- le vecteur OM est associ la tension uR(t) .
- le vecteur M N est associ la tension aux bornes de l'ensemble { bobine, condensateur } .
Propose par
Benaich Hichem
figure -2-
2
2
30
Dduire de cette construction de Fresnel la valeur de r et celle de C.

4) On agit sur la frquence N du (G.B.F.) tout en gardant U m constante, de manire rendre les deux
courbes correspondant aux tensions u(t) et UR(t) en phases .
a) Quel est le phnomne observ ?
b) Prciser , en le justifiant , si l'on doit augmenter la valeur de N ou la diminuer pour atteindre cet
objectif .
Rp. Num.:2) a)
(R + r ) 2 + ( L -
2
3) r=
Im
UR
1 2
m
)
C R UmURmax ; b) I= 2R =0,166A ; i=- 4 rad ;
1
1
2
N
(
2
NL - X)
=6 ; X=L- C =30 et C=
=0,8F ; 4) a) Rs. dintensit ; b) On N .
31

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Hichem.Benaich@edunet.

Cette quation diffrentielle admet comme solution : x = xmsin ( t + )

x(t) est toujours en retard de phase par rapport F(t)

Fm2 = ( hxm )2 + ( kxm - m2xm )2

( rsultat quon peut retrouver en utilisant lexpression

xm est max. h22 + ( k - m2)2 est min

sloigne de plus en plus de

Cette quation diffrentielle admet comme solution v = vmsin ( t + v )

v(t) est en avance de phase par

v(t) est en retard de phase par rapport

v(t) et F(t) sont en phase

( rsultat quon peut retrouver en utilisant

Etude du cas idal : ( h = 0 )

( quelque soit lamortissement )

II/-Cas dun oscillateur lectrique

Cette quation diffrentielle admet comme solution :

q(t) est toujours en retard de phase par rapport u(t)

( rsultat quon peut retrouver en utilisant

lexpression prcdente pour = 0 )

2) Equation diffrentielle rgissant les variations de i(t) :

Cette quation diffrentielle admet comme solution i = Im sin( t + i )

u(t) est en retard de phase par

u(t) est en avance de phase par

u(t) et i(t) sont en phase

uR0(t) (voie 1) u(t) (voie 2)

Par dfinition , le rapport not Z = I m =

est appel facteur de puissance )

Facteur de qualit ou facteur de surtension :

U : tension efficace dlivre par le gnrateur ( V )

P est alors exprime en watts ( W )

1) Proposer un schma exprimental et dcrire avec prcision le mode opratoire permettant la

6) Sachant que la masse du solide est gale 0,1kg , dterminer h et F m .

Rp. Num.: 1) voir T..P. ; 3) (N1=2,1Hz ;

EXERCICE 2 ( Olympiade de physique )

A-Les frottements sont ngligeables :

1) Donner lexpression de lallongement x0 du ressort lquilibre en fonction de m ,

B-Les frottements ne sont plus ngligeables :

3) x(t)=3,92.10-2sin(12t-2,64) (m) ; 4) Pmoy= 2 =

f = -h v . Labscisse x du centre dinertie G de (S) dans le repre (O , i ) a pour expression

c) Montrer que lnergie de loscillateur est constante .

F = 40sin(2Net). i ( i tant un vecteur unitaire vertical ) .

1) Soit x labscisse du centre dinertie G de laimant dans le repre (O, i ) ;

(O tant la position de G lquilibre) .

+ kx = F ; b) Pour Ne N0 , x=0 ; Pour Ne N0 , x= ; c) Pour Ne=10Hz , xm=13,2cm ;

F telle que F=Fm sint .

c) Pour quelle valeur 1 de , xm est-elle maximale ? la calculer .

a) Accrocher une surcharge (S) de masse m au solide (S) .

Rp. Num.:I/1) 0=70,71rad.s-1 ; N0=11,25Hz ; 2) Voir cours

4) a) m=0,025kg ; b) k=400N.m ; 5) a) vm=9m.s ; b) Q=4,5 ; c) E=565J .

1) a) Dterminer graphiquement la valeur de lnergie E du systme (S) .

b) Prciser lamplitude des oscillations libres de (C) . Justifier la rponse .

h est une constante positive et v la vitesse instantane du corps (C) .

b) En admettant que llongation du corps (C) en rgime forc est de la forme :

Rp.Num.:A/ 1) a) E=22,5.10-3J; b) E=cstepas de frottement ; 2) a) x=5cm ; EC=0 ; b) xm=5cm ; c) k=

solide (S) relativement un repre galilen (O , j ) d'origine O , la

c) En dduire que le mouvement de (S) es rectiligne sinusodal .

Le solide (S) prend alors un mouvement sinusodal forc d'quation : y = y m sin(t + ) .

+ky=F ; b) Pour 0 , y et F sont en phase ; pour 0 y et F sont en oppo. de phase ;

Dans tout le problme , on prendra g = 10 m.s-2 .