Afst 1985 5 7 2 151 0
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P HILIPPE B ÉNILAN
S AMIR I SMAIL
Générateur des semi-groupes non linéaires et la formule de Lie-Trotter
Annales de la faculté des sciences de Toulouse 5e série, tome 7, no 2 (1985), p. 151-160
<http://www.numdam.org/item?id=AFST_1985_5_7_2_151_0>
Résumé : Etant donné S(t) un semi-groupe continu de contractions non linéaire défini sur un espace
de Banach X, on montre que S(t) admet un générateur infinitésimal au sens des graphes, i.e. un
if and only if for any B : X ~ X continuous accretive, the Lie Trotter formula
noo
lim
is the
B (-)
S
n
S
n
semi-group generated by
/
(2014) j x converges for any
B.
x E X uniformly for t > 0 bounded, where S (t)
152
continu de contractions SA(t) sur D(A) défini par la «formule exponentielle» grâce au théorème
de Crandall-Liggett [6] ,
pour tout x E X
uniformément pour t > 0 borné.
Nous allons voir que la formule de Lie-Trotter (2) n’est pas vérifiée
général, même pour une en
perturbation B constante sur X. Plus précisément, nous montrerons qu’étant donné A E avec
D(A) X, la formule de Lie-Trotter (2) est valable pour toute application continue accrétive B
=
de X dans X ssi elle l’est pour les applications B constantes sur X et surtout ssi
(i) A = lim -
existe dans et D(A) =
C
~
démontrerons l’ensemble du théorème, seule l’implication (ii) (i) est vraiment nouvelle. Ce ~
théorème a évidemment à être rapproché du résultat remarquable de S. Reich [9] lorsque l’on
suppose que X est réflexif à norme uniformément dérivable (au sens de Gâteaux) et C est un ré-
tract contractant de X : considérant F(Q) (C), S. Reich montre que si l’on a (5) avec y 0 =
(pour tout x E C), alors on a (i) ; de plus, pour toute contraction P projetant X sur C,
En fait, comme il a été prouvé dans [2] (voir Corollaire 1.8), l’application A -~ EA est une bijec-
tion deA E ~~f ; D(A) =
C} sur l’ensemble des applications E de [0, oo[ X C X X dans C véri-
fiant :
(iii) il existe w E IR tel que pour tout (x,y), (x,y) EC x X, les applications u(t) =
E(t,x,y)
et u(t) E(t,x,y) vérifient
=
Nous utiliserons ici le fait que cette bijection est un homéomorphisme que l’on peut énoncer :
PROPOSITION 1 ([2] , Proposition 1.24) (1 ). Etant donnée une suite généralisée de .,~ ,
(1) Dans [2] on suppose 0, mais l’extension au cas général ne pose pas de problèmes
(voir [3~, [4] ) ; on vérifie aussi facilement l’équivalence entre cet énoncé et celui de [2~ .
Compte tenu de la Proposition 1, le théorème 1 se déduit alors facilement de.la
(ii) tim ! c ) xl =
0 et tim F(2014)x uniformément pour t > 0
n
,
n ~ ~
borné.
De plus, alors
Donnons d’abord la
Par définition
de telle sorte qu’en appliquant (9) à JQ x à la place de x, on obtient par inégalité triangulaire :
L’implication (i) =~
(ii) et (8) sont alors immédiates : posant u(t) =
lim SQ(t)x, on
T t
a pour t E 10,T] et n > - , en appliquant (11 ) avec Q =-,
Qo n
t n
Faisant l~ ~ 0, on voit donc que lim F(-) x =
u(t) uniformément pour t E ]0,T] . Aussi
n
d’après (10),
p T
lim 5 (t)x =
u(t) uniformément pour t E [o,T] . Fixons no > - ; étant donné tE [O,T] et
Q -~ 0 Qo
nON,
Etant donné C ~
]0,~[ et n G !N avec nC t, on a, d ’après (10), en supposant Àcj 1
t
Appliquant avec n =
[-] , on obtient donc
Q
En effet, supposons e =
lim sup a(t) > 0 ; alors il existe C. ~ ~ lN tels que
tk
=
0 et x-x !>~.
2
S! im n~ =
+ - alors x =
F(-~ ) ~ x - u(0) =
x ;
nk
si lim inf nk ~, peut extraire suite
on une
stationnaire nk, ~ n, ’ alors °
C.Q.F.D. °
Donnons maintenant la
Preuve du théorème 1.
Considérons d’abord F(~) e (C) vérifiant (i), c’est-à-dire A =
lim 2014201420142014 existe
__
dans ~ et D(A) =
C et soit G(C) C ~(C) ; on a e ~(X). Montrons d’abord que
A - G’(0) G
e .,é et -
~ A - G’(0) dans -é lorsque ~£ ~- 0. D’abord, étant
£tant donné
Ceci montre que A - G’(0) + oel est accrétif pour ce suffisamment grand ; aussi pour tout À> 0
’
avec Àw 1,
Il reste à prouver que A - G’(o) C ; d’après [8] , il suffit de montrer que pour tout
(x,y) E C X X et
Ao > 0 suffisamment petit,
1
lim - dist y) )) =
o.
A -~ 0 ~
Prenant x =
G on a, en utilisant J’°‘ i x E D(A),
~+~
1+~
lim
~ _ _ ~G(-)F(n ~)
n
x =
pour tout x E C uniformément
pour t > 0 borné.
REFERENCES
[3] BENI LAN Ph. «Evolution equations and accretive operators». Lecture notes, Spring
1981, University of Kentucky, Lexington.