TD2 21 22

Université de Carthage 2021-2022
École Polytechnique de Tunisie PHYP S1-01
PHYSIQUE QUANTIQUE ET STATISTIQUE

TD n◦ 2
(DS de 2020-2021)
adel.trabelsi@cern.ch
Exercice 1 : Fonctions d’onde et opérateurs
Considérons un système physique dont l’espace des états est noté E. Supposons qu’il existe un
sous-espace V de E engendré par les trois fonctions d’onde
φn (x) = An einkx , 0 ≤ kx ≤ 2π, k > 0, n = 0, 1, 2 . (1)
1. Rappeler l’expression de la condition de normalisation pour les fonctions d’onde, puis
déterminer An pour que φn (x) soit normalisée.
2. Montrer par le calcul que ces fonctions d’onde sont orthogonales.
3. Calculer l’élément de matrice hφn |X̂|φm i de l’opérateur position X̂.
4. Établir la matrice de l’opérateur position X̂ dans la base {|φn i}.
5. Vérifier que les {|φn i} sont des fonctions d’onde propres de l’opérateur impulsion P̂x .
Établir la présentation matricielle de P̂x .
6. Calculer le commutateur [X̂, P̂x ] et vérifier si X̂ et P̂x satisfont la relation de commutation
canonique.
∗∗∗
7. Montrer qu’en générale, si les opérateurs X̂ et P̂ sont représentés par des matrices finies
alors ils ne vérifient pas la relation de commutation canonique.
On rappelle que dans la représentation position :
- Les opérateurs X̂ et P̂ agissent sur les fonctions d’onde comme :
~ dψ(x)
X̂ ψ(x) = x ψ(x) ; P̂ ψ(x) = (2)
i dx
- L’élément de matrice d’un opérateur Ô est donné par
Z
hφ|Ô|ψi = φ∗ (x)Ôψ(x) dx (3)
Exercice 2 : Particule dans un puits de potentiel infini
Une particule de masse m est confinée dans un puits infini unidimensionnel, entre x = 0 et
x = L. Les états propres |φn i de la particule correspondent aux énergies
n2 π 2 ~2
En = , n = 1, 2, 3, . . . (4)
2mL2
1/3
et les fonctions d’onde correspondantes sont :
r
2 nπ
ψn (x) = sin x ;0 ≤ x ≤ L (5)
L L
Considérons le cas où, à l’instant t = 0 la particule est dans

l’état
r
1 2
|Ψ(0)i = √ |ψ1 i − i |ψ2 i (6)
3 3
1. Trouver tous les résultats possibles de mesure de l’énergie et les probabilités correspon-
dantes quand la particule est dans l’état |Ψ(0)i.
2. Trouver l’état dépendant du temps |Ψ(t)i et donner la fonction d’onde correspondante
Ψ(x, t).
On considère maintenant que la particule possède la fonction d’onde
ϕ(x, 0) = Ax(L − x) ; 0 ≤ x ≤ L (7)
3. Normaliser ϕ(x, 0).

4. Faire un graphique de ϕ(x, 0). Quel est l’état propre qui s’en rapproche le plus.
5. Donner sans calcul la valeur attendue de l’énergie dans l’état ϕ(x, 0).
∗∗∗
6. Calculer, dans l’état ϕ(x, 0), les valeurs moyennes, hX̂i de l’observable de position, hP̂ i de
P2
l’observable d’impulsion et hHi du Hamiltonien H = .
2m
Problème : Théorème de Stone pour les opérateurs unitaires à un paramètre
A- Transformations unitaires
En théorie quantique, les transformations sont généralement représentées par un groupe d’opéra-
teurs unitaires, qui agissent à la fois sur les états et les opérateurs quantiques. Soit U un
opérateur unitaire (U + U = U U + = 1) et A un opérateur linaire quelconque. Si U représente
une transformation, alors un état |ψi et l’opérateur A se transforment sous l’action de U comme
A 7−→ Ã = U AU + (8)
U
|ψi 7−→ |ψ̃i = U |ψi (9)

U
(10)
1. Montrer que si A est hermétique (A+ = A) alors Ã est hermétique.

2. Montrer que si A est unitaire (A+ = A−1 ) alors Ã est unitaire.
+
eU AU = U eA U + . (11)
2/3
B- Symétries et Invariants
Si maintenant la transformation représentée par U est une symétrie, alors on dit qu’une obser-
vable A est invariant sous cette symétrie si A 7−→ A c.à.d.
U
U AU + = A . (12)
3. Vérifier que U et A commutent.
Pour les transformations continues à un paramètre, on admet qu’il existe un opérateur K tel
que Uα = e−iαK où α est paramètre réel.
4. Montrer que l’opérateur K est hermétique.
5. Montrer qu’inversement si on a un opérateur hermétique K, alors l’opérateur Uα = e−iαK
est unitaire.
6. Montrer que K commute avec tout observable invariant A.
Indication : développer le commutateur [U, A] en puissance de α.
C- Théorème de Stone
Dans la suite on se propose de montrer que l’opérateur K existe sous certaines conditions : c’est
l’objet du Théorème de Stone pour les opérateurs unitaires à un paramètre. Soit Uα un groupe
d’opérateurs unitaires à un paramètre réel continu α tel que :
∀α, β ∈ R : Uα+β = Uα Uβ . (13)
et U0 = 1 (l’identité).
7. Vérifier que Uα et Uβ commutent.
8. Montrer que Uα+ = U−α .
9. En effectuant un développement limité en α, montrer que
dU +

+ dU
Uα Uα = 1 + α + + O(α2 ) (14)
dα dα α=0
et en déduire que la condition d’unitarité exige que
+
dU dU
=− (15)
dα α=0 dα α=0
10. On note
dU
K=i (16)
dα α=0
Montrer qu’on peut écrire Uα sous forme exponentielle :
Uα = e−iαK (17)
X Bon travail
A. Trabelsi
3/3

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PHYSIQUE QUANTIQUE ET STATISTIQUE

Exercice 1 : Fonctions d’onde et opérateurs

Exercice 2 : Particule dans un puits de potentiel infini

Considérons le cas où, à l’instant t = 0 la particule est dans

On considère maintenant que la particule possède la fonction d’onde

ϕ(x, 0) = Ax(L − x) ; 0 ≤ x ≤ L (7)

3. Normaliser ϕ(x, 0).

Problème : Théorème de Stone pour les opérateurs unitaires à un paramètre

|ψi 7−→ |ψ̃i = U |ψi (9)

1. Montrer que si A est hermétique (A+ = A) alors Ã est hermétique.

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