GEGM Chapitre 1 Force de Coulomb - Champ Et Potentiel - Electricité - PR Mustapha EL METOUI 2019 2020
GEGM Chapitre 1 Force de Coulomb - Champ Et Potentiel - Electricité - PR Mustapha EL METOUI 2019 2020
GEGM Chapitre 1 Force de Coulomb - Champ Et Potentiel - Electricité - PR Mustapha EL METOUI 2019 2020
ma
Chapitre 1
Force Coulomb, champ et potentiel
électrostatiques
L’électrostatique est l’étude des phénomènes d’interactions (attraction ou répulsion) entre les charges
électriques immobiles.
L’ensemble des expériences d’électromagnétisme indique que la charge totale d’un système isolé
reste constante au cours du temps. Ce principe de conservation de la charge est un des fondements
de la physique au même titre que les principes de conservation de l’énergie, de la quantité de mouvement
ou du moment cinétique.
1. Le système international d’unités, basé sur le mètre, le kilogramme, la seconde et l’ampère.
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7
La distribution surfacique de charges Cette distribution est associée aux corps chargés en surface
ou lorsque l’une des trois dimensions du volume chargé est négligeable devant les deux autres 5 . Dans
pareil cas, on définit la densité surfacique de charges en tout point M de la surface chargée par
dq
σpM q “ pC{m2 q (1.5)
dS
où dS est une surface élémentaire centrée en M et portant la charge dq. Si la surface totale du système
est S, alors la charge totale portée par la surface chargée est :
ij
q“ σ dS (1.6)
S
2. A l’échelle atomique, deux noyaux d’atomes voisins sont séparés par du vide. La dimension du noyau est de l’ordre
de 10´15 m, alors que la distance entre deux atomes les plus proches est d’environs 10´10 m.
3.
m µ¨τ 8, 9 ¨ 10´3 ¨ 10´9
Ne “ natomes “ N “ N « 6, 02 ¨ 1023 “ 8, 4 ¨ 1019
M M 63, 5 ¨ 10´3
où µ “ 8, 9 ¨ 10´3 Kg{m3 , M “ 63, 5 ¨ 10´3 Kg, τ “ 10´9 m3 , N “ 6, 02 ¨ 1023 U.S.I représentent respectivement la masse
volumique du cuivre, la masse molaire du cuivre, le volume de l’échantillon et le nombre d’Avogadro.
4. Il va de soi que, plus dτ sera petit devant les dimensions du système, meilleure sera la précision. En revanche, il
faut que dτ reste grand devant les dimensions microscopiques afin de ne pas laisser transparaître l’aspect discret de la
répartition de la matière. Ce niveau d’ordre de grandeur, intermédiaire entre le microscopique et le macroscopique est
appelé mésoscopique.
5. Dans ce cas, on assimile le volume chargé à une surface. Si par exemple la hauteur h du volume chargé est une quantité
infiniment petite, on obtient dq “ ρ dτ “ ρ hdS “ σ dS, soit ρ h “ σ
La distribution linéique de charges Cette distribution est associée à une répartition de charges sur
un fil de très petite section. Elle est caractérisée par une densité linéique de charges λ définie en tout
point M du fil chargée C par :
dq
λpM q “ pC{m2q (1.7)
d`
où d` est un élément de longueur centrée en M et contenant la charge électrique dq. La charge
électrique totale q portée par le fil chargé C est :
ż
q “ λ d` (1.8)
C
M2
q2
F12
F2 1 u2 1
M1 q1 q2 < 0
q1 u12
r
La force de Coulomb qu’exerce dans le vide la charge ponctuelle q1 placée en M1 sur la charge ponctuelle
q2 placée en M2 est :
Ñ
Ý 1 q1 q2 Ñ
Ý
F 12 “ u 12 (1.9)
4π0 r2
Ñ
Ýu 12 désigne le vecteur unitaire porté par la droite joignant q1 et q2 et orienté de q1 vers q2 , r la distance
séparant les deux charges et la constante 0 désigne la permitivité diélectrique du vide. Dans le système
international d’unités : le coefficient de proportionnalité vaut :
1
“ 8, 987 ¨ 109 m3 ¨ kg ¨ A´2 ¨ s´4 (1.10)
4π0
6. Après avoir jeté les bases de la théorie de la résistance des matériaux p1773q, étudié le frottement solide p1779q, puis
décrit les lois de la torsionp1784q, Charles Augustin COULOMB p1736 ´ 1806q met au point une balance de torsion
très sensible qui lui permet de décrire l’interaction entre particules chargées statiques. La loi qu’il énonce en 1785, et qui
porte son nom, a depuis été vérifiée avec une précision croissante.
7. Contrairement au champ gravitationnel, où seule une force d’attraction a été mise en évidence.
Ñ
Ý
Le principe de l’action et de la réaction impose que la force F 2Ñ1 exercée par la charge q2 sur la
Ñ
Ý
charge q1 soit égale et opposée à F 1Ñ2 :
Ñ
Ý Ñ
Ý 1 q2 q1 Ñ
Ý
F 21 “ ´ F 12 “ u 21 (1.11)
4π0 r2
De l’expression (1.9), on constate que les forces électriques sont analogues aux forces de gravitation 8 ,
toutefois leur intensité est beaucoup plus importante. En effet, comparons par exemple les modules des
deux forces, électrostatique et gravitationnelle, entre l’électron et le proton d’un atome d’hydrogène
éloignés d’une distance r0 :
1 e2 me mp Fe e2
Fe “ Fg “ G “ » 1042
4π0 r02 r02 Fg 4π0 Gme mp
où G est la constante de gravitation : G “ 6, 67¨10´11 m3 kg ´1 s´2 me “ 9.1110´31 kg mp “ 1.6710´27 kg
Un autre exemple : la force électrique exercée entre deux charges de 1 C espacées de 1 m est égale à
environ 1010 N , soit le poids sur la Terre d’une masse d’un million de tonnes. Cette différence d’intensité
nous permettra très souvent de négliger les forces gravitationnelles entre charges devant les
forces électriques. En revanche ces forces électriques sont beaucoup moins importantes que les forces
nucléaires (interaction forte) existant à l’intérieur du noyau, ce qui explique la cohésion nucléaire en dépit
de la répulsion coulombienne entre protons.
q
Fn
F1
qqi < 0 F2
rn
r1 un
r2
u1 qn
u2 Pn
P1 q1
P2 q 2
Figure 1.2 – La force électrostatique dans le cas d’une distribution discrète de charges
D’après le principe de superposition, la résultante des forces appliquées sur la charge q est alors :
n
Ñ
Ý ÿ Ñ
Ý
F “ Fi (1.14)
i“1
n
q ÿ qi Ñ Ý
“ ui
4π0 i“1 ri2
9. Cette propriété de superposition des effets électrostatiques est un fait d’expérience. Comme tout principe, il n ’est pas
démontré.
Ce rapport, à valeur vectorielle, reste constant et ne dépend que de la charge test q et de la distance r
séparant cette charge du point M , c’est le champ électrostatique. Ce champ caractérise l’influence de la
charge q sur l’espace qui l’entoure.
On définit le champ électrostatique créé par une charge q en tout point M de l’espace situé à une
distance r de q par :
Ñ
Ý 1 qÑ Ý
E q pM q “ ur (1.16)
4π0 r2
L’unité du champ électrostatique est le Volt/mètre (symbole : V {m).
Ñ
Ýu r désigne le vecteur unitaire porté par la droite joignant la charge q et le point M et orienté de q
vers M .
Ñ
Ý
Si q ą 0, E pM q et Ñ
Ýu r sont de même sens, on dit que le champ électrostatique fuit la charge positive.
Ñ
Ý
Si q < 0, E pM q et ÑÝu r sont de sens contraires, on dit que le champ électrostatique est dirigé vers la
charge négative.
M
M
E(M) E(M)
O q<0 O q>0
q ur q ur
r r
Comme pour l’attraction gravitationnelle 10 , on peut donc mettre la loi de Coulomb sous une forme
plus intéressante :
Ñ
Ý Ñ
Ý
F qqM “ qM E q pM q (1.17)
Cette équation permet de définir clairement ce qui dépend uniquement de la particule qui subit la
force 11 (la charge qM ), de ce qui ne dépend que d’une source extérieure 12 (le vecteur champ électrostatique
Ñ
Ý
E q q.
Le champ électrostatique créé par une charge n’est pas défini en son point source car p1{r2 Ñ 8q.
Cette difficulté doit être attribuée à la limite du concept de charge ponctuelle qu’il faut reconsidérer
lorsqu’on veut étudier les interactions à très faible distance.
Ý
Ñ Ý
Ñ
10. F M Ñm “ ´G Mr2m Ý Ñ
u “ ´G ¨m
11. pour l’attraction gravitationnelle c’est la masse m
Ý
Ñ
12. pour l’attraction gravitationnelle c’est le champ gravitationnel G
M
En
E1
E2
qi < 0 rn
r1 un
r2
u1 qn P n
u2
q1 P q2 P 2
1
Ñ
Ý
Le champ électrostatique E pM q créé en un point M par une distribution discrète de n charges
Ý
Ñ
statiques pqi , Pi q est la somme des champs électrostatiques Ei créés par chacune des charges qi au point
M . C’est encore le principe de superposition qui s’applique :
n
Ñ
Ý ÿ Ñ
Ý
E pM q “ Ei (1.18)
i“1
n n
ÿ 1 qi Ñ Ý 1 ÿ qi Ñ Ý
“ 2 ui “ ui
i“1
4π0 ri 4π0 i“1 ri2
(τ )
ρ>0 M
r dE(M)
dq u
dτ
P
Pour une distribution surfacique de charges répartie sur une surface S et de densité σ :
ij ij ij
Ñ
Ý ÝÑ 1 dq ÑÝ 1 σ dS Ñ
Ý
E pM q “ dEpM q “ 2
u “ u (1.20)
4π0 r 4π0 r2
S S S
Pour une distribution linéique de charges répartie sur une courbe C et de densité λ :
dq 1 Ñ
ż ż ż
Ñ
Ý ÝÑ q Ý 1 λ dl Ñ
Ý
E pM q “ dEpM q “ 2
u “ 2
u (1.21)
C 4π 0 C r 4π0 C r
Les expressions analytiques des équations différentielles des lignes de champ électrostatique dans les
trois systèmes de coordonnées (cartésiennes, cylindriques et sphériques) sont alors :
— En coordonnées cartésiennes
dx dy dz
“ “ (1.23)
Ex px, y, zq Ey px, y, zq Ez px, y, zq
— En coordonnées cylindriques
dr rdθ dz
“ “ (1.24)
Er pr, θ, zq Eθ pr, θ, zq Ez pr, θ, zq
— En coordonnées sphériques
dr rdθ r sin θ dϕ
“ “ (1.25)
Er pr, θ, ϕq Eθ pr, θ, ϕq Eϕ pr, θ, ϕq
Les lignes de champ électrostatique ne se coupent nulle parts 13 . Elles partent des charges positives
(ou de l’infini) et aboutissent aux charges négatives (ou à l’infini).
Principe de Curie
Le principe de symétrie de Pierre Curie 14 affirme que lorsque certaines causes produisent cer-
tains effets, les éléments de symétries et les invariances des causes doivent se retrouver
dans les effets produits.
Ici, les causes sont représentées par la distribution de charges et les effets par le champ électrosta-
tique et aussi le potentiel électrostatique.
Notons que les éléments de symétrie agissent sur les directions des grandeurs vectorielles, tandis que
les invariances agissent sur les variables dont dépendent ces grandeurs.
Le système étant géométriquement symétrique par rapport à pΠq, le raisonnement précédent permet
par superposition de prévoir que le champ électrostatique total en un point M de pΠq est contenu dans
ce plan, donc :
Le champ électrostatique en un point d’un plan de symétrie électrostatique de la distri-
bution de charges est contenu dans ce plan
dτ1 dτ2
+ +
M
dE2 dE1
dE1 + dE2
Π∗
dτ1 dτ2
+ dE2
M dE1 + dE2
dE1
Invariance par rotation Si une distribution de charges est invariante dans toute rotation θ par rapport
à un axe Oz, alors le champ électrostatique créé par cette distribution ne dépendra pas de θ.
Ñ
Ý 1 qÑ Ý
E pM q “ ur (1.26)
4π0 r2
Ñ
Ý ÝÝÑ
La circulation élémentaire dΓ du champ électrostatique E sur un parcours élémentaire dOM est définie
par :
Ñ
Ý ÝÝÑ
dΓ “ E ¨ dOM (1.27)
1 q Ý Ñr ¨ dÝÝÑ
“ u OM
4π0 r2
q dr
“
4π0 r2
ˆ ˙
1 q
“ ´d ` cte (1.28)
4π0 r
Ñ
Ý
La circulation élémentaire du champ électrostatique E est donc une différentielle totale d’un champ sca-
A (C)
E(M)
M dr
B
dOM
r
O
ur
q >0
laire que nous désignons par V . Ce champ ne dépend que de la charge q (qui crée le champ électrostatique)
et de la distance r séparant celle-ci du point M . L’expression (1.28) s’écrit alors :
Ñ
Ý ÝÝÑ
E ¨ dOM “ ´dV (1.29)
Ce résultat suggère qu’en présence d’une charge q, nous pouvons caractériser chaque points M de l’espace
par une grandeur scalaire V pM q, c’est le potentiel électrostatique.
On défini le potentiel électrostatique créé par une charge q en un point M situé à une distance r de
q par :
1 q
V pM q “ ` Cte (1.30)
4π0 r
V(M)
E(M)
M
r
O
ur
q<0
On note que le potentiel électrostatique n’est défini qu’à une constante additive près 16 . Pour fixer
cette constante, il suffit de se donner, de façon arbitraire, la valeur du potentiel en un point. Ainsi, si
l’on pose que le potentiel créé par la charge ponctuelle q est nul à l’infini , l’expression (1.30) du
potentiel devient :
1 q
V pM q “ (1.31)
4π0 r
La circulation du champ électrostatique entre les deux points A et B du parcours pCq est égale à la
différence de potentiel entre ces deux points :
żB żB
Ñ
Ý Ñ
Ý
Γp E q “ dΓp E q “ ´dV “ V pAq ´ V pBq (1.32)
A A
On constate que la circulation du champ électrostatique sur un parcours quelconque est indépendante
du chemin suivi, elle ne dépend que des positions initiale et finale du parcours 17 . On dit que le champ
électrostatique est à circulation conservative. Le champ électrostatique est donc un champ de
gradient (cf. Propriétés de l’opérateur gradient : paragraphe ??).
18. żB żB żB
Ý
Ñ ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ
E pM q dOM “ ´ grad V pM q dOM “ ´ dV pM q “ V pAq ´ V pBq
A A A
Pour une distribution linéique de charges avec la densité linéique λ, le potentiel est :
ż ż ż
1 dq 1 λ dl
V pM q “ dV pM q “ “ (1.39)
C 4π 0 C r 4π 0 C r
Figure 1.6 – Courbes équipotentielles : deux charges opposées (gauche) et deux charges identiques
(droite)
— Les lignes de champ électrostatique sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles en leurs points d’intersections.
— Le signe (-) implique que les lignes de champ sont orientées dans le sens des potentiels décroissants.