Ondes EM
Ondes EM
Ondes EM
et l’onde transmise :
~ t = tE0 exp i(ωt − ~kt .~r) ~ut
E
3. Calculer les champs magnétiques correspondants et représenter tous ces champs sur le schéma. En
écrivant la condition aux limites en x = 0 pour la composante tangentielle de E ~ et pour la composante
~
tangentielle de B (on admet qu’elle sont continues toutes les deux) et en utilisant les lois de Descartes
calculer les coefficients r et t.
4. En déduire l’angle d’incidence de Brewster pour lequel r = 0. L’onde réfléchie est alors totalement
polarisée avec une polarisation perpendiculaire au plan d’incidence.
~j = − 1 A ~
µ 0 λ2
~ est le potentiel vecteur (B
où A ~ = rot ~
~ A).
2
1. Quelle est l’unité de λ ?
2. En négligeant le courant de déplacement devant le courant de conduction, trouver l’équation différen-
~ dans le supraconducteur. Un champ uniforme peut-il régner à l’intérieur d’un
tielle satisfaite par B
matériau supraconducteur ?
3. Un matériau supraconducteur occupe tout le demi-espace x>0. Le champ magnétique statique dans le
vide extérieur n’a de composante tangentielle que suivant Oz (By = 0) sur le plan x = 0. Le module
du champ sur la frontière est B0 et les composantes de B ~ dans le vide sont indépendantes de y et z.
Le problème étant traité à l’échelle microscopique, le champ est pris continu à la frontière. Donner la
~ dans le supraconducteur.
solution détaillée de l’équation vérifiée par B
4. Proposer une interprétation de λ. Pour l’aluminium (supraconducteur en dessous de 0,01K), λ =
1,6.10−8 m. Calculer le rapport B(x)/B0 pour x = 0,1 µm. Conclusion.
5. Déduire du champ magnétique, la densité de courant à l’intérieur du supraconducteur et montrer
qu’il s’exerce une force magnétique par unité de surface à caractériser par sa direction et la pression
correspondante. Ce résultat dépend-il de la forme explicite de B(x) ? Exprimer la pression en fonction
de la densité de courant surfacique.
3
haut de l’atmosphère) est donnée par la constante solaire A0 =1,36.103 W.m−2 . Evaluer la pression de
radiation ressentie au niveau de la Terre. Commenter.
1. (a) Quel est le vecteur d’onde ~k de l’onde ? L’exprimer en fonction de ω, c et ~u vecteur unitaire dans
le sens de la propagation de l’onde.
(b) Calculer le champ magnétique B ~ i associé à E ~ i (en notant ~u0 le vecteur tel que ~u0 = ~u ∧ ~uz ).
Représenter sur un schéma les trois vecteurs ~k, E ~ i et B
~ i.
(c) Exprimer la moyenne temporelle du vecteur de Poynting < R ~ >. Quelle est l’intensité I de l’onde,
définie comme la puissance surfacique moyenne à travers une surface perpendiculaire à la direction
de propagation ?
L’onde se propage dans la région des x négatifs. En x = 0 est placé un miroir métallique parfait (M )
~ r et B
(c’est-à-dire de conductivité quasi-infinie). E ~ r sont les champs réfléchis. L’onde se réfléchit suivant
les lois de Descartes.
2. Quelles sont les relations vérifiées par les champs dans le plan x = 0 ?Déterminer et représenter sur un
même schéma les vecteurs ~kr , E ~ r ainsi que ~k, E
~ r et B ~ i et B
~ i.
3. Déterminer la densité superficielle de charge σ(y, t) et de courant ~js (y, t) dans le plan x = 0.
4. On considère un élément dS de la surface du miroir.
(a) Calculer les forces électrique df~e et magnétique df~m agissant sur dS. Quel est leur sens ?
(b) Donner la pression électromagnétique Pem puis sa moyenne temporelle < Pem >.
B. Le champ magnétique est parallèle au plan du conducteur
L’onde incidente est déterminée cette fois par son champ magnétique
4
3. Quel est le nombre de photons d2 N qui pendant l’intervalle de temps dt se réfléchissent avec l’incidence
α sur une surface dS du miroir sachant que la puissance surfacique incidente ou intensité est I.
4. En déduire la pression électromagnétique moyenne définie de façon corpusculaire.
1. Montrer que la compatibilité de cette solution avec les équations de Maxwell et les conditions aux
limites imposent une quantification et une relation de dispersion à déterminer.
2. Tracer les graphes donnant ω en fonction de k, la vitesse de groupe et la vitesse de phase en fonction
de ω.
3. En considérant le flux moyen d’énergie transporté par l’onde dans sa direction de propagation, définir
et calculer la vitesse de propagation de l’énergie associée.
4. Les modes étudiés ici sont dits transverses magnétiques (modes TM) : le champ magnétique est per-
pendiculaire à la direction de propagation. Parmi ceux-ci, est-il possible de trouver une solution cor-
respondant à un mode transverse électrique et magnétique (mode TEM). Caractériser la propagation
d’une telle onde dans le guide constitué par les deux plans conducteurs.
Le conducteur métallique occupe le demi-espace z > 0. On considère une onde plane progressive monochro-
matique de pulsation ω arrivant depuis l’air en incidence normale sur le métal, son champ électrique étant ,
en notation complexe :
E~ i (z, t) = E0 exp i(ωt − k0 z)~ex
5
1. Que vaut k0 ? Comment s’écrit le champ magnétique associé ?
L’onde incidente donne naissance à une onde réfléchie dans l’air et à une onde transmise dans le métal,
dont les champs électriques en notations complexe ont pour expressions respectives :
~ r (z, t) = rE0 exp i(ωt + k0 z)~ex
E
~ t (z, t) = tE0 exp i(ωt − kz)~ex
E
2. On rappele la relation
p de dispersion dans le métal : k 2 = −jωµ0 γ0 . En déduire k. On l’exprimera en
fonction de δ = 2/(µ0 γ0 ω).
On admet que les champs électriques et magnétiques sont continus à la traversée de l’interface air-métal.
3. Déterminer les coefficients de réflexion r et de transmission t.
4. Définir puis exprimer le coefficient de réflexion en puissance R en fonction des seuls paramètres ω, c et
δ. On rappelle que la valeur moyenne du vecteur de Poynting peut s’obtenir simplement à partir des
amplitudes complexes des champs :
~ >= 1 ~ ∗)
~ ∧B
<Π Re(E
2µ0
et
→
− →
−
B = B 0 exp(i(ωt − kz))
1. Montrer à partir des équations de Maxwell que de telles solutions supposent que la densité de courant
→
−
j soit elle-même une OPPM du type :
→
− →
−
j = j 0 exp(i(ωt − kz))
→
− →
− → −
Exprimer j 0 en fonction de E 0 , B 0 , ~k et ω .
→
−
2. Quelle hypothèse permet d’en déduire que j 0 est orthogonal à ~k ?
→
−
3. Exprimer le champ magnétique B en fonction du champ électrique, de ω et de ~k . Quelle est la structure
de cette onde ?
6
→
− →
−
4. Montrer que les vecteurs j et E sont colinéaires et déterminer la conductivité γ du plasma.
5. Ecrire l’équation du mouvement de l’électron et montrer que l’effet du champ magnétique y est négli-
geable. En déduire une nouvelle expression de γ. Commentaire.
p
6. Donner la relation de dispersion en introduisant la constante K = µ0 ne2 /m.
7. Calculer en fonction de k et K les vitesses de phase et de groupe des ondes électromagnétiques dans le
plasma. Quelle relation vérifient-elles ?
8. Deux trains d’onde de longueurs d’onde respectives λ1 et λ2 sont émis au même instant par un objet
stellaire situé à une distance L. En supposant K 2 λ21 1 et K 2 λ22 1, montrer que le terme principal
dans la différence dt = t2 − t1 des temps de réception des deux trains d’onde est donné par :
LK 2 2
δt = (λ − λ21 )
8π 2 c 2
9. Des mesures de dispersion à partir des signaux émis par le pulsar du crabe conduisent à une limite
supérieure égale à 2,8.104 m−3 pour la densité volumique d’électrons n dans le plasma interstellaire.
Quelle serait dans ces conditions la limite supérieure dt pour des longueurs d’onde λ1 = 0,4 µm et λ2
= 0,8 µm de signaux émis par une étoiles située à L = 103 années lumière ?
Afin de mieux prendre en compte l’effet de l’ionosphère sur les ondes radio, le projet SPECTRE,
développé par le ministère français de la recherche, l’Agence Spatiale Européenne et le Centre National
d’Etudes Spatiales, mis en service depuis 2004, propose une cartographie en temps réel du TEC (Total
Electron Content) au dessus de l’Europe. Le TEC est par définition le nombre total d’électrons libres
présents dans une colonne verticale d’ionosphère de 1 m2 de section.
7
8
8. En prenant en compte la dépendance de n suivant l’altitude, adapter la formule de la question 4 et
montrer que dans le cas où le satellite est à la verticale de l’appareil GPS, le retard ionosphérique
dépend directement du TEC.
→
− ne2 →
−
j = E
imω
Ecrire l’équation de conservation de la charge en régime sinusoïdal forcé et en déduire que à ω = ωP
la densité de charge peut ne pas être nulle.
2. Ecrire les équations de Maxwell dans le plasma. A l’aide de l’équation de Maxwell-Ampère et de celle
de Maxwell-flux, montrer que le champ magnétique est nul.
→
−
3. En déduire que E est longitudinal.
(ω 2 − ωP2 )2 − ωC
2 ω2
k 2 c2 =
ω 2 − ωP2 − ωC2
eB0
où ωC = m est la pulsation cyclotron et ωP la pulsation de plasma.
2. Tracer l’allure de la fonction k 2 c2 = f (ω 2 ). En déduire pour quelles pulsations des ondes peuvent
réellement se propager dans le milieu.
3. On envoie verticalement selon (Ox) une onde sur l’ionosphère dont la densité électronique n est sup-
posée uniforme. Lorsque l’émission de l’onde est telle que la direction du champ électrique est parallèle
→
−
à celle du champ magnétique terrestre B 0 , il y a écho (réflexion) pour une longueur d’onde supérieure
à λ0 =42,70 m. Lorsque les directions du champ électrique et du champ magnétique terrestre sont per-
pendiculaires, l’écho se produit pour une longueur d’onde supérieure à λ00 =38,90m.
Déduire de ces mesures le nombre n d’électrons par unité de volume du plasma ainsi que la valeur du
champ magnétique B0 qui y règne.
Le champ magnétique terrsetre décroît en fonction de l’altitude suivant la loi :
−3/2
x2
B0 (x) = B0 (0) 1 + 2
R
Justifier cette loi. Au sol B0 (0)=47000nT et R=6360 km. Calculer l’altitude de la couche réfléchissante.
Quel peut être l’intérêt de cette propriété ?
9
Exercice 14 Propagation d’une onde électromagnétique dans un milieu isolant dilué
On se propose d’étudier le modèle simplifié suivant de propagation d’une onde dans un milieu neutre dilué.
On note n0 le nombre d’électrons par unité de volume et on suppose que seul le mouvement des électrons
→
−
est à prendre en compte. Sous l’action du champ électrique E = E → −u x d’une onde électromagnétique, les
électrons ont un mouvement qui lui est colinéaire et que l’on peut caractériser par l’équation différentielle :
d2 x dx
me 2
= −kx − f − eE
dt dt
où x est le déplacement de l’électron, k et f des constantes du modèle. On posera :
k me n0 e 2
ω02 = ; τ= ; ωP2 =
m f 0 me
1. Comparer l’équation différentielle à celle du modèle du plasma vu en cours. Quels sont les termes
supplémentaires ? A quelles propriétés physiques correspondent-ils ?
2. On cherche une solution sous la forme :
10
métal que l’on considérera comme parfait. L’étude de l’équilibre de ce rayonnement avec les parois de la
cavité permet ensuite de retrouver la loi de Planck du rayonnement d’équilibre thermique.
On considère l’espace vide entre les parois de conducteur parfait situées en x = 0, x = a, y = 0, y = b, z = 0
et z = d. On recherche les modes possibles du champ électromagnétique dans cette cavité.
1. Retrouver, à l’aide des équations de Maxwell, l’équation que doit satisfaire le champ électrique dans le
vide ainsi que celle vérifiée par le champ magnétique.
2. Retrouver de même à partir des équations de Maxwell les conditions aux limites que doivent satisfaire
les champs au voisinage du conducteur parfait.
→
−
E = E1 (x, y, z) cos(ωt)→
−ux
→
−
E2 (x, y, z) cos(ωt) u y
E3 (x, y, z) cos(ωt)→
−uz
3. Trouver à l’aide d’une équation de Maxwell une relation entre les fonctions E1 , E2 et E3 .
4. Quelle équation est satisfaite par chacune de ces trois fonctions ?
5. En cherchant une solution à variables séparables sous la forme Ei (x, y, z) = fi (x)gi (y)hi (z) montrer
que :
m π n π
1 1
E1 (x, y, z) = f1 (x) sin y sin z
b d
avec n1 et m1 des entiers naturels.
Donner de même les expressions de E2 et de E3 .
6. En reprenant le résultat du 3. justifier qu’on a :
lπ
f1 (x) = E0x cos
a
8. Quelles sont les fréquences ν possibles des modes dans cette cavité ? Pour la suite on pourra admettre
que r
c l2 m2 n2
ν= + + 2
2 a2 b2 d
9. On note
→
− lπ − mπ → nπ →
k = → ux+ −
uy + −
uz
a b d
Montrer que pour chaque (n, l, m) on a deux modes orthogonaux possibles.
11
10. Pour des longueurs d’onde très petites devant les dimensions de la cavité, de très nombreux modes ont
des fréquences très voisines. On définit alors la densité de modes N (ν) de telle sorte que le nombre de
modes de fréquence comprise entre ν et ν + dν est :
dN = N (ν)dν
Montrer que
8πν 2
N (ν) = V
c3
où V est le volume de la cavité.
11. Montrer que ces modes sont orthogonaux, c’est à dire que pour deux modes 1 et 2 différents on a :
aZ bZ d
→
− → −
Z
E 1 . E 2 dxdydz = 0
0 0 0
Chacun de ces modes est un degré de liberté du champ électromagnétique de la cavité. On supposera
que le champ peut être en équilibre thermodynamique avec un thermostat de température T (les parois
de la cavité) et que l’on peut alors lui appliquer le principe d’équipartition de l’énergie. On attribue
l’énergie kB T à chaque mode ( 12 kB T pour la composante électrique de l’énergie électromagnétique et
1
2 kB T pour la composante magnétique).
12. Calculer dans cette hypothèse la densité spectrale d’énergie électromagnétique contenue dans la cavité
U (ν, T ). La densité spectrale d’énergie est définie de telle sorte que l’énergie du champ contenue dans
les modes de fréquence comprise entre ν et ν + dν soit U (ν, T )dν.
13. En déduire que dans cette approche classique la densité spectrale d’énergie électromagnétique diverge
à haute fréquence. Comment a-t-on nommé historiquement ce problème ?
15. Calculer la densité spectrale d’énergie U (ν, T ). On définit la densité spectrale volumique d’énergie
électromagnétique par uν (ν, T ) = U (ν, T )/V .
Comment s’appelle la loi ainsi obtenue ?
12
R∞
16. On définit la densité volumique d’énegie électromagnétique par u(T ) = 0 uν (ν, T )dν. Pourquoi est-ce
raisonnable ? Calculer cette densité d’énegie électromagnétique.
On donne : Z ∞
x3 π4
dx =
0 ex − 1 15
13
4. Quelle est la valeur de βp associée à αp ?
5. Expliciter Er (x, y) sous sa forme la plus générale.
qd Ei y
A 6
A
ki A
U
A
q
d -
z - x
a
Deux ondes planes progressives monochromatiques de pulsation ω se propagent dans le vide. Leurs champs
électriques, de même amplitudes, sont polarisés dans la direction (Oz) et leurs vecteurs d’onde ~k1 et ~k2 ont
14
des directions symétriques par rapport à l’axe Ox.
L’angle entre les directions des vecteurs d’onde est noté θ. Les ondes sont en phase au point O.
1. Déterminer le champ électrique de l’onde résultante. Montrer qu’il s’agit d’une onde progressive. Donner
son vecteur d’onde. Est-ce une onde plane ?
2. Exprimer les champs magnétiques de chacune des deux OPPM. En déduire le champ magnétique
résultant.
3. Calculer la densité volumique d’énergie électromagnétique w en tout point et sa valeur moyenne au
cours du temps. Calculer de même le vecteur de Poynting et sa valeur moyenne. En déduire la vitesse
de propagation de l’énergie.
SPECIFICATIONS :
1. Sachant qu’un talkie walkie fonctionne avec trois piles LR03, estimer son autonomie maximale en fonc-
tionnement en utilisant des piles rechargeables (de tension 1,2 V) de 800 mA.h. Quels sont les principes
de l’émission de signaux par modulation de fréquence ?
On rappelle la règle de Carlson : le spectre d’un signal modulé en fréquence a une largeur de l’ordre
de ∆f + 2fm , où ∆f désigne la largeur de l’intervalle de fréquence prise par la valeur instantanée du
15
signal modulé et fm la fréquence maximale du signal modulant.
2. Indiquer en le justifiant l’inégalité que doit vérifier l’écart fréquentiel entre les canaux et la largeur
spectrale de la voix. Est-ce vérifié dans le cas présent ?
3. D’après les données fournies, dans ce document et en supposant que le talkie walkie émet de façon
isotrope, estimer la valeur de l’amplitude minimale du champ électrique d’un signal détectable par un
talkie walkie.
Un four à microondes est une cavité parallélépipédique de dimensions a selon x, b selon y et c selon
z, avec a > b > c est taillée dans un métal supposé parfait. Le champ électromagnétique est créé par un
magnétron qui génère des ondes de fréquence f = 2,45 GHz (cette fréquence est un bon compromis entre la
pénétration du champ dans les aliments et sa dissipation sous forme thermique). On cherche des solutions
aux équations de Maxwell sous la forme :
16
1. Que peut-on en déduire sur les paramètres n et m ? Déterminer la distance entre deux ventres consécutifs
de champ électrique selon x et selon y.
2. Etablir l’équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ électrique dans la cavité.
3. En déduire une condition sur la fréquence pour que le champ soit effectivement solution du problème.
17
La puissance moyenne d’émission d’un téléphone portable dépend de son mode de fonctionnement. Les télé-
phones de type GSM émettent des signaux par impulsions alors que les téléphones de type UMTS émettent
de façon continue. La puissance moyenne d’un téléphone GSM est estimée à un huitième de sa puissance
maximale affichée.
Le tableau suivant regroupe les caractéristiques de quelques types de téléphones.
Des normes européennes limitent en fait la valeur maximale du champ électrique autorisé dans les lieux
de vie. Celles-ci sont regroupées dans le tableau suivant en fonction de la fréquence.
18
Table 4 – impact sur l’organisme
Un électron de vitesse au loin v0 et de paramètre d’impact d est dévié par un proton supposé fixe en O. Les
lois de la mécanique permettent de déterminer le paramètre q et l’excentrité ε de la trajectoire hyperbolique :
q v 2 d2 v 4 d2 e2
0 0
ρ= avec q = et ε2 = 1 + où δ = .
1 + ε cos θ c δ c δ2 4πε0 mc2
δ est la distance de l’électron au proton pour laquelle son énergie électrostatique est égale à son énergie de
masse mc2 . Le cas v0 /c = 10−2 (soit v0 = 3 × 106√m s−1 ) et d/δ = 104 (soit d = 2.8 × 10−11 m) donne lieu
à une déviation importante ; l’excentrité vaut ε = 2, et les asymptotes (r = ∞) sont données par les angles
polaires θM = ±3π/4 (cos θM = −1/ε).
19
Au cours de la diffusion, l’ensemble électron/proton constitue un dipôle rayonnant, mais qui en première
approximation ne modifie pas le mouvement de l’électron.
Le champ électromagnétique rayonné en un point P éloigné par un dipôle d’origine O et de moment dipolaire
p~ variable a pour expression :
4. Exprimer le rapport K de l’énergie totale rayonnée sur l’énergie cinétique initiale de l’électron en
fonction de δ/d, c/v0 et de l’intégrale définie :
Z θM
I= (1 + ε cos θ)2 dθ
−θM
20
Exercice 29 Etude d’un faisceau gaussien
Les OPPM homogènes, de champ électrique E ~ = E0 ei(ωt−kz) ~ux polarisé rectilignement sont des solutions
classiques des équations de Maxwell. Elles sont dites homogènes car leur amplitude de champ E0 (et donc
leur intensité lumineuse) est constante dans un plan d’onde z = Cste, ce qui suppose que l’onde ait une
extension transversale infinie ; ceci n’est pas conforme aux observations courantes (d’optique géométrique
par exemple) qui font état de faisceaux de rayons.
Des OPPM inhomogènes dont la polarisation est toujours supposée rectiligne sont caractérisées par un champ
électrique
~ = E(x, y, z)ei(ωt−kz) ~ux
E
ce qui permet de faire correspondre à ces faisceaux une extension transversale limitée.
Le présent exercice décrit un profil purement gaussien correspondant à un faisceau lumineux à sa sortie
(z = 0) d’un laser et étudie l’évolution de ce profil au cours de la propagation.
La recherche de solutions particulières des équations de Maxwell sous la forme ci-dessus concerne des ondes
sinusoïdales de pulsation ω, se propageant suivant Oz + et dont l’amplitude E(x, y, z) du champ, a priori
complexe, est une fonction lentement variable de x, y, et z à l’échelle de la longueur d’onde, c’est-à-dire en
particulier
∂E ∂E ∂E ∂2E ∂E 2π ω
| |, | |, | | k|E| et | 2 | k| | avec k = =
∂x ∂y ∂z ∂z ∂z λ c
~
1. Rappeler l’équation de propagation du champ électrique E, et montrer que l’équation différentielle de
l’amplitude E(x, y, z) se met sous la forme approchée :
∂2E ∂2E ∂E
2
+ 2
− 2ik =0
∂x ∂y ∂z
2. On cherche des solutions à symétrie cylindrique de la forme :
1
exp −ir2 /2b(z) avec r2 = x2 + y 2
E(x, y, z) =
a(z)
où a(z) et b(z) sont deux fonctions complexes de z.
(a) Obtenir un système de deux équations différentielles du premier ordre portant sur les fonctions
a(z) et b(z). Montrer que le rapport a(z)/b(z) est constant.
(b) On admet qu’à la gorge du faisceau, dans le plan z = 0, l’amplitude du champ électrique a une
dépendance transversale gaussienne :
E(r, 0) = A0 exp −r2 /w02
21
3. Déterminer à l’aide des approximations du début de l’énoncé, la composante prépondérante B~ du
champ magnétique de l’onde.
~ > du vecteur de Poynting en
4. (a) Quelle est dans ces conditions la valeur moyenne temporelle < R
2
fonction de |E| ? Quelle est sa direction réelle ?
(b) En déduire la puissance électromagnétique P (r, z) qui traverse un disque de rayon r, d’axe Oz et
situé dans le plan de cote z, en l’exprimant en fonction de w(z), A(z) et r.
(c) Quelle est la limite Pt (z) de P (r, z) lorsque r tend vers l’infini. Comment la fonction Pt (z) dépend-
elle de z ? Commenter.
Tracer, pour z donné, P (r, z) en fonction de r pour deux valeurs de z.
5. (a) Exprimer en fonction de w(z), le « rayon » ra (z) du faisceau défini par :
(b) Tracer la fonction w(z). Quelle est la relation entre l’angle de divergence asymptotique du faisceau
et son diamètre minimal ? Comparer à la diffraction à l’infini d’une ouverture circulaire.
6. Application
Un laser à impulsions émet une puissance P0 = 0.5 MW constante pendant un intervalle de temps
∆t = 10 ns. La longueur d’onde est λ = 633 nm.
Déterminer le « rayon » wD du pinceau laser lorsqu’il arrive sur la Lune sachant que w0 = 1.5 cm et
que la distance Terre-Lune est D = 380 000 km.
Sur la surface de la Lune est disposé un catadioptre de surface circulaire de rayon r1 = 1 m, constitué
de petites surfaces réfléchissantes renvoyant la lumière dans la direction incidente avec un pouvoir
réflecteur égal à 1. Quelle puissance P1 reçoit-il ?
En admettant que l’ouverture du pinceau réfléchi est la même que celle du pinceau incident et que la
répartition des photons y est homogène, déterminer la puissance P2 reçue par un détecteur terrestre
en forme de disque de rayon r2 = 0,5 m.
Quel est le but de cette expérience ?
Il faut également inclure le principe d’inertie et rappeler la définition d’un référentiel galiléen à savoir :
une particule isolée y possède un mouvement rectiligne uniforme (MRU), or un MRU reste un MRU dans
−−→
un changement de référentiels galiléens. Et dans un espace-temps à quatre dimensions, un MRU (OM = ~v t)
est représenté par une droite. Or les transformations conservant une droite sont les transformations affines
Si de plus les événements (0,0,0,0) coïncident dans les deux référentiels (ce qu’il est toujours possible
de réaliser par homogénéité de l’espace et synchronisation des horloges) et que le mouvement relatif des
référentiels est pris le long de leur axe commun Ox = O0 x0 (ce qu’il est toujours possible de réaliser par
isotropie de l’espace), alors la transformation est sous la forme :
22
0
x = a1 x + a2 t
0
y =y
z0 =z
0
t = a3 x + a4 t
(R0 ) est en translation de vitesse V par rapport à (R), avec t = t0 = 0 lorsque O et O0 coïncident.
Quelle relation (1) cela impose-t-il entre les constantes a1 et a2 ?
Vers la fin du siècle dernier, donc bien avant la relativité restreinte d’Einstein de 1905, Lorentz a recherché
les transformations laissant invariantes les équations de l’électromagnétisme énoncé par Maxwell vers 1864.
Dans le vide, les équations de Maxwell aboutissent à la notion de propagation d’ondes par l’opérateur d’Alem-
bertien
∂2 ∂2 ∂2 1 ∂2
q= + + −
∂x2 ∂y 2 ∂z 2 c2 ∂t2
∂ ∂ ∂ 2 ∂ 2
1. Exprimer les opérateurs de dérivation première ∂x , ... ∂t puis seconde ∂x 2 , ... ∂t2 en fonction des
0 0
opérateurs de dérivation par rapport à x ... t et des constantes ai (i de 1 à 4). En déduire l’expression
de q en fonction des opérateurs primés.
2. Traduire le postulat (I) l’électromagnétisme sur l’opérateur d’Alembertien et y adjoindre le postulat
(II).
En déduire trois relations (2), (3) et (4) entre les constantes ai .
3. Résoudre ce système de quatre équationspà quatre inconnues, donner I’expression de chacune des
constantes ai en fonction de V , c et γ = 1/ 1 − V 2 /c2 et exprimer la transformation de Lorentz (L ).
xm (t) = V t
Une OPPM incidente de fréquence fi arrive sur le plan métallique. On se propose de déterminer l’amplitude
et la fréquence de l’OPPM réfléchie dans l’approximation non relativiste (V /c 1).
23
1. E ~ sont les champs électrique et magnétique dans R, E
~ et B ~ 0 dans R 0 . Suivant un raisonnement
~ 0 et B
effectué en induction électromagnétique, avec brio par Pierre, écrire l’expression de la force subie par
une particule chargée en mouvement dans le référentiel R puis dans le référentiel R 0 et exprimer (dans
l’approximation classique) E~ 0 et B
~ 0 en fonction de E,
~ B~ et V
~.
~ 0.
Dans la suite, on ne se servira que de l’expression donnant E
2. Le champ électrique de l’onde incidente a pour expression dans R :
~ i = E0 cos 2πfi (t − x/c)~uy
E
En exprimant les conditions aux limites dans le référentiel R 0 , déterminer au premier ordre en V /c le
rapport des fréquences fr /fi ainsi que le coefficient de réflexion r.
3. Calculer, pour l’onde résultante, en un point d’abscisse fixe dans R, en fonction de E0 et au premier
ordre en V /c :
— le vecteur de Poynting R ~ puis la norme de sa valeur moyenne.
— la densité volumique d’énergie u, puis sa valeur moyenne < u >.
4. Par un bilan énergétique, déterminer le terme prépondérant de la pression de radiation Prad qu’exerce
l’onde électromagnétique sur le réflecteur. Exprimer Prad en fonction de l’intensité I de l’onde incidente.
24