Formulaire Opérateurs Vectoriels

FORMULAIRE RELATIF AUX OPERATEURS VECTORIELS
POUR UN VECTEUR 𝑮 ⃗⃗ ET UN SCALAIRE 𝝓 quelconques

Coordonnées cartésiennes (𝒙, 𝒚, 𝒛) dans la base (𝒆
⃗ 𝒙, 𝒆
⃗ 𝒚, 𝒆
⃗ 𝒛)
𝜕𝜙 𝜕𝜙 𝜕𝜙
Gradient ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝜙) = ∇
𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗ 𝜙 = 𝑒𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑒𝑧
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
𝜕𝐺𝑥 𝜕𝐺𝑦 𝜕𝐺𝑧
Divergence 𝑑𝑖𝑣 (𝐺 ) = 𝛻⃗ ∙ 𝐺 = + +
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
𝜕𝐺𝑧 𝜕𝐺𝑦 𝜕𝐺𝑥 𝜕𝐺𝑧 𝜕𝐺𝑦 𝜕𝐺𝑥
Rotationnel ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝐺 ) = 𝛻⃗ ∧ 𝐺 = (
𝑟𝑜𝑡 − ) 𝑒𝑥 + ( − ) 𝑒𝑦 + ( − )𝑒
𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑧
Laplacien 𝜕2𝜙 𝜕2𝜙 𝜕2𝜙
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝜙)) = ∆𝜙 =
𝑑𝑖𝑣 (𝑔𝑟𝑎𝑑 + +
Scalaire 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2
Laplacien 𝜕 2 𝐺𝑥 𝜕 2 𝐺𝑥 𝜕 2 𝐺𝑥
∆𝐺 = 𝛻⃗ 2 𝐺 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑟𝑜𝑡
𝑔𝑟𝑎𝑑 (𝑑𝑖𝑣 𝐺 ) − 𝑟𝑜𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝐺 )) = (∆𝐺𝑥 )𝑒𝑥 + (∆𝐺𝑦 )𝑒𝑦 + (∆𝐺𝑧 )𝑒𝑧 𝑎𝑣𝑒𝑐 ∆𝐺𝑥 = + +
vectoriel 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2
Coordonnées cylindriques (𝝆, 𝝋, 𝒛) dans la base (𝒆

⃗ 𝝆, 𝒆
⃗ 𝝋, 𝒆
⃗ 𝒛)
𝜕𝜙 1 𝜕𝜙 𝜕𝜙
Gradient ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝜙) = ∇
𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗ 𝜙 = 𝑒𝜌 + 𝑒𝜑 + 𝑒𝑧 Formules de passage
𝜕𝜌 𝜌 𝜕𝜑 𝜕𝑧 𝑥 = 𝜌 cos 𝜑 𝑒 = cos 𝜑 𝑒 + sin 𝜑 𝑒
𝜌 𝑥 𝑦
1 𝜕 1 𝜕𝐺𝜑 𝜕𝐺𝑧 { 𝑦 = 𝜌 sin 𝜑 {
Divergence 𝑑𝑖𝑣 (𝐺 ) = 𝛻⃗ ∙ 𝐺 = (𝜌𝐺𝜌 ) + + 𝑒𝜑 = − sin 𝜑 𝑒𝑥 + cos 𝜑 𝑒𝑦
𝜌 𝜕𝜌 𝜌 𝜕𝜑 𝜕𝑧 𝑧=𝑧
1 𝜕𝐺𝑧 𝜕𝐺𝜑 𝜕𝐺𝜌 𝜕𝐺𝑧 1 𝜕(𝜌𝐺𝜑 ) 1 𝜕𝐺𝜌
Rotationnel 𝑟𝑜𝑡(𝐺 ) = 𝛻⃗ ∧ 𝐺 = (
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ) 𝑒𝜌 + ( − ) 𝑒𝜑 + ( − )𝑒
𝜌 𝜕𝜑 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝜌 𝜌 𝜕𝜌 𝜌 𝜕𝜑 𝑧
Laplacien 1 𝜕 𝜕𝜙 1 𝜕2𝜙 𝜕2𝜙
∆𝜙 = (𝜌 ) + 2 2 + 2
Scalaire 𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝜌 𝜕𝜑 𝜕𝑧
∆𝐺 = 𝛻⃗ 2 𝐺 = ∇ ⃗ ∙ 𝐺 ) − 𝛻⃗ ∧ (𝛻⃗ ∧ 𝐺 )
⃗ (∇
Laplacien
1 𝜕𝐺𝜑 1 𝜕𝐺𝜌
vectoriel = [∆𝐺𝜌 − 2 (𝐺𝜌 + 2 )] 𝑒𝜌 + [∆𝐺𝜑 − 2 (𝐺𝜑 − 2 )] 𝑒𝜑 + (∆𝐺𝑧 )𝑒𝑧
𝜌 𝜕𝜑 𝜌 𝜕𝜑
Coordonnées sphériques (𝒓, 𝜽, 𝝋) dans la base (𝒆

⃗ 𝒓, 𝒆
⃗ 𝜽, 𝒆
⃗ 𝝋)
𝜕𝜙 1 𝜕𝜙 1 𝜕𝜙 Formules de passage
Gradient ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑟𝑎𝑑(𝜙) = ⃗∇𝜙 = 𝑒𝑟 + 𝑒𝜃 + 𝑒𝜑
𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜑 𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜑
1 𝜕 2 1 𝜕 1 𝜕𝐺𝜑 { 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜑
Divergence 𝑑𝑖𝑣 (𝐺 ) = 𝛻⃗ ∙ 𝐺 = (𝑟 𝐺𝑟 ) + (𝐺𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃) +
2
𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜕𝜃 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜕𝜑 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃
1 𝜕(𝐺𝜑 𝑠𝑖𝑛 𝜃) 𝜕𝐺𝜃
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝐺 ) = 𝛻⃗ ∧ 𝐺 =
𝑟𝑜𝑡 [ − ]𝑒 + 𝑒𝑟 = 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑒𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝑒𝑦 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑒𝑧
𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜑 𝑟
Rotationnel { 𝑒𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑒𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝑒𝑦 − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑒𝑧
1 1 𝜕𝐺𝑟 𝜕(𝑟𝐺𝜑 ) 1 𝜕(𝑟𝐺𝜃 ) 𝜕𝐺𝑟
[ − ] 𝑒𝜃 + [ − ]𝑒 𝑒𝜑 = − 𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝑒𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑒𝑦
𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜕𝜑 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝜃 𝜑
Laplacien 1 𝜕 2 𝜕𝜙 1 𝜕 𝜕𝜙 1 𝜕2𝜙
∆𝜙 = (𝑟 ) + (𝑠𝑖𝑛 𝜃 ) +
Scalaire 𝑟 2 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝜕𝜑2
RELATIONS UTILES (𝝓 𝒆𝒕 𝒇 𝒔𝒐𝒏𝒕 𝒅𝒆𝒔 𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂𝒊𝒓𝒆𝒔, ⃗𝑮

⃗ 𝒆𝒕 ⃗𝑾
⃗⃗⃗ 𝒅𝒆𝒔 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒆𝒖𝒓𝒔)
• 𝑑𝑖𝑣 (𝑟𝑜𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝐺 )) = 0 • ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝜙)) = 0
𝑟𝑜𝑡 (𝑔𝑟𝑎𝑑 • ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝐺 )) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑟𝑜𝑡 (𝑟𝑜𝑡 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑑𝑖𝑣 𝐺 ) − ∆𝐺
• 𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑓𝜙) = 𝑓𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝜙) + 𝜙𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑓) • ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑓)) ∧ 𝐺 + 𝑓 (𝑟𝑜𝑡
𝑟𝑜𝑡(𝑓𝐺 ) = (𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝐺 ))
• 𝑑𝑖𝑣(𝑓𝐺 ) = 𝑓(𝑑𝑖𝑣 𝐺 ) + 𝐺 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑓) • 𝑑𝑖𝑣(𝐺 ∧ 𝑊
⃗⃗⃗ ) = 𝑊
⃗⃗⃗ ∧ (𝑟𝑜𝑡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝐺 )) − 𝐺 ∧ (𝑟𝑜𝑡 ⃗⃗⃗ ))
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑊
• 𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝐺 ∙ 𝑊
⃗⃗⃗ ) = 𝐺 ∧ (𝑟𝑜𝑡 ⃗⃗⃗ )) + 𝑊
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑊 ⃗⃗⃗ ∧ (𝑟𝑜𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝐺 + (𝐺 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗ ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝐺 )) + (𝑊 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝑊
⃗⃗⃗
• 𝑟𝑜𝑡 ⃗⃗⃗ ) = 𝐺 (𝑑𝑖𝑣(𝑊
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝐺 ∧ 𝑊 ⃗⃗⃗ )) − 𝑊
⃗⃗⃗ (𝑑𝑖𝑣(𝐺 )) + (𝑊 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝐺 − (𝐺 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗ ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝑊
⃗⃗⃗

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Coordonnées sphériques (𝒓, 𝜽, 𝝋) dans la base (𝒆

RELATIONS UTILES (𝝓 𝒆𝒕 𝒇 𝒔𝒐𝒏𝒕 𝒅𝒆𝒔 𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂𝒊𝒓𝒆𝒔, ⃗𝑮

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