TS1819 02 Cor

UNIVERSITE HASSAN DE II CASABLANCA Année universitaire 2018-2019
Faculté des Sciences Aïn Chock – Casablanca Filière SMIA

Module : Mécanique 1
Session 2, durée : 1h 30
Problème
Soit 𝑹𝟎 = 𝑹𝟎 (𝑶, 𝒆 ⃗ 𝒙, 𝒆
⃗ 𝒚, 𝒆 ⃗ 𝒛 ), un repère supposé galiléen. On désigne par 𝑹𝟏 = 𝑹(𝑨, 𝒆
⃗ 𝒙, 𝒆
⃗ 𝒚, 𝒆
⃗ 𝒛 ), un
repère en mouvement de translation par rapport au repère 𝑹𝟎 et dont l’origine 𝑨 se déplace sur l’axe
𝟏
𝑶𝒆⃗ 𝒙 et est défini par : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑨 = 𝒂𝒕𝟐 𝒆 ⃗ 𝒙 (𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 < 𝒈 ). Un pendule simple dans le plan vertical
𝟐
⃗ 𝒚 ), est constitué d’un point matériel 𝑴 de masse 𝒎, suspendu à l’origine 𝑨 du repère 𝑹𝟏 par
⃗ 𝒙, 𝒆
(𝑨; 𝒆
un fil sans masse et de longueur 𝑳 . On note θ l’angle que fait le fil avec la verticale descendante 𝑨𝒆 ⃗𝒙
(figure). On donnera tous les résultats vectoriels dans la base (𝒆 ⃗ 𝒓, 𝒆 ⃗ 𝒛 ) liée au point 𝑴, et défini
⃗ 𝜽, 𝒆
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑨𝑴
⃗𝒓=
par : 𝒆 ; ⃗𝜽=𝒆
𝒆 ⃗𝒛∧𝒆
⃗ 𝒓.
𝑨𝑴
Questions :
⃗ (𝑴/𝑹𝟏 ) et 𝑽
1- a Déterminer les vecteurs : 𝑽 ⃗ 𝒆 (𝑴). Déduire 𝑽
⃗ (𝑴/𝑹𝟎 ) .
⃗ (𝑴/𝑹𝟏 ), 𝒂
b- Déterminer les vecteurs : 𝒂 ⃗ 𝒆 (𝑴) et 𝒂
⃗ 𝒄 (𝑴) . Déduire 𝒂
⃗ (𝑴/𝑹𝟎 ) .
2-a Montrer que le repère 𝑹𝟏 est non Galiléen. Justifier votre réponse.
b- Ecrire le principe fondamentale de la dynamique dans 𝑹𝟏 . Déduire les équations du mouvement.
3- Retrouver une des équations du mouvement en utilisant :

a- Le théorème du moment cinétique en 𝑨 dans le repére 𝑹𝟏 .
b- Le théorème de l’énergie mécanique dans le repére 𝑹𝟏 .
4-a On suppose 𝜽 quelconque. Déterminer les positions d’équilibre et leur nature.

b- On suppose 𝜽 ≅ 𝟎. Déterminer la période 𝑻 des petites oscillations (𝒔𝒊𝒏𝜽 ≈ 𝜽). On donnera
les périodes : 𝑻𝒂=𝟎 , 𝑻𝒂>𝟎 𝒆𝒕 𝑻𝒂<𝟎 . Conclure.
𝑂 𝑒𝑦
𝑦
⊙
𝑒𝑧 𝑒𝑥
Figure ℓ
A 𝑒𝜃
M
𝑥 𝜃
𝑒𝑟
Corrigé : Mécanique SMIA session 2 2018-2019
Question 1 :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑨𝑴 = 𝑳𝒆 ⃗𝒓
⃗ (𝑀⁄ ) = 𝐿𝜃̇𝑒𝜃
𝑉 ℛ1
⃗𝑽
⃗ 𝒆 (𝑴) = 𝒂𝒕𝒆
⃗ 𝒙 = 𝒂𝒕(𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒆 ⃗ 𝜽)
⃗ 𝒓 − 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒆
⃗ (𝑴⁄ ) = ⃗𝑽
⃗𝑽 ⃗ 𝒆 (𝑴) = (𝒂𝒕)𝒄𝒐𝒔𝜽 ⃗𝒆𝒓 + (𝑳𝜽̇ − 𝒂𝒕𝒔𝒊𝒏𝜽)𝒆
⃗ 𝒓 (𝑴) + ⃗𝑽 ⃗𝜽
𝓡 𝟎
a)
⃗ (𝑴/𝑹𝟏 ) = −𝑳𝜽̇𝟐 𝒆
𝒂 ⃗ 𝒓 + 𝑳𝜽̈𝒆
⃗𝜽
⃗ 𝒆 (𝑴) = 𝒂𝒆
𝒂 ⃗ 𝒙 = 𝒂(𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒆 ⃗ 𝜽)
⃗⃗ (ℛ1⁄ ) ∧ ⃗⃗𝑉 (𝑀⁄ ) = ⃗0

𝑎𝑐 (𝑀) = 2Ω ℛ 0 ℛ 1
⃗⃗ (ℛ1⁄ ) = ⃗0
Ω ℛ0
̇
⃗ (𝑴/𝑹𝟎 ) = (𝒂𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝑳𝜽 )𝒆
𝒂 𝟐
⃗ 𝒓 + (𝑳𝜽̈ − 𝒂𝒔𝒊𝒏𝜽)𝒆
⃗𝜽
Question 2 :
a)
𝓡
Le mouvement de 𝟏⁄𝓡 n’est pas uniforme, ⇒ le repère 𝓡𝟏 n’est pas
𝟎
galiléen
b) Principe fondamentale de la dynamique par rapport au repère 𝓡𝟏

⃗ + ⃗𝑻 + ⃗𝒇𝒊𝒆 + ⃗𝒇𝒊𝒄 = 𝒎𝒂
⃗𝑷 ⃗ (𝑴/𝑹𝟏 )
⃗𝑷
⃗ = 𝒎𝒈𝒆 ⃗ 𝒙 = 𝒎𝒈(𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒆 ⃗ 𝜽)
⃗𝑻 = −𝑻𝒆 ⃗𝒓
⃗𝑓 = −𝑚𝑎 ⃗ 𝑒 (𝑀) = −𝑚𝑎𝑒𝑥 = −𝑚𝑎(𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑒𝑟 − 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑒𝜃 )
𝑖𝑒
⃗ = −𝑚𝑎
𝑓 𝑖𝑐
⃗ 𝑐 (𝑀) = ⃗0
Principe fondamentale de la dynamique par rapport au repère 𝓡𝟏 ⇒

−𝑚𝐿𝜃̇ 2 = 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑇 − 𝑚𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 (1)
{
𝑚𝐿𝜃̈ = −𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑚𝑎𝑠𝑖𝑛𝜃 (2)
Question 3 :
a)
⃗ 𝑨 (𝑴⁄ ) = 𝒎𝑳𝟐 𝜽̇𝒆
𝑳 ⃗𝒛
𝓡 𝟏
𝒅
⃗ (𝑴⁄ )] = 𝒎𝑳𝟐 𝜽̈𝒆
[𝑳 ⃗𝒛
𝒅𝒕 𝑨 𝓡𝟏 𝓡𝟏
⃗𝓜
⃗⃗⃗⃗ 𝑨 (∑ ⃗𝑭) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑨𝑴 ∧ (𝑷 ⃗⃗ + ⃗𝑻 + ⃗𝒇𝒊𝒆 + ⃗𝒇𝒊𝒄 ) = 𝒎𝑳(𝒂𝒔𝒊𝒏𝜽 − 𝒈𝒔𝒊𝒏𝜽)
T.M.C en A par rapport à ℛ1 ⇒

𝒎𝑳𝜽̈ = 𝒎(𝒂𝒔𝒊𝒏𝜽 − 𝒈𝒔𝒊𝒏𝜽)
b) Energie cinétique du point M dans son mouvement par rapport à 𝓡𝟏 , 𝑬𝑪 (𝑴⁄𝑹 ).

𝟏
𝟏 𝟐 𝟏
𝑬𝑪 (𝑴⁄𝓡 ) = 𝒎 ‖𝑽 ⃗ (𝑴⁄ )‖ = 𝒎 𝑳𝟐 𝜽̇𝟐
𝓡𝟏
𝟏 𝟐 𝟐
∑⃗
𝓟 ( 𝑭⁄𝓡 ) = ∑ ⃗𝑭 . ⃗𝑽 (𝑴⁄𝓡 ) = −𝒎𝒈𝑳𝜽̇𝒔𝒊𝒏𝜽 + 𝒎𝒂𝑳𝜽̇𝒔𝒊𝒏𝜽
𝟏 𝟏
𝜽̇ ≠ 0
∑⃗ 𝒅 𝒅
𝓟 ( 𝑭⁄𝓡 ) = − (−𝒎𝒈𝑳𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒎𝒂𝑳𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒄𝒕𝒆) = − [𝑬𝑷 (𝜽) ]
𝟏 𝒅𝒕 𝒅𝒕
𝑬𝑷 (𝜽) = −𝒎𝒈𝑳𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒎𝒂𝑳𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒄𝒕𝒆
Le système est conservatif :
𝑬𝒎 = 𝑬𝑪 (𝑴⁄𝓡 ) + 𝑬𝑷 (𝑴⁄𝓡 ) = 𝒄𝒕𝒆
𝟏 𝟏
1
𝐸𝑚 = 𝑚 𝐿2 𝜃̇ 2 − 𝑚𝑔𝐿𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑚𝑎𝐿𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑐𝑡𝑒 ⇒ 𝐿𝜃̈ + (𝑔 − 𝑎)𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0
2
Question 4 :
a) 𝑬𝑷 = −𝒎𝒈𝑳𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒎𝒂𝑳𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒄𝒕𝒆 ⇒
𝒅𝑬𝑷
= 𝒎𝑳(𝒈 − 𝒂)𝒔𝒊𝒏𝜽 = 𝟎 𝐂𝐞 𝐪𝐮𝐢 𝐢𝐦𝐩𝐥𝐢𝐪𝐮𝐞 : 𝜽 = 𝟎 𝒐𝒖 𝜽 = 𝝅
𝒅𝜽
𝑑 2 𝐸𝑃
( 2) = [𝑚𝐿(𝑔 − 𝑎)𝑐𝑜𝑠𝜃 ]𝜃=𝜃1=0 = 𝑚𝐿(𝑔 − 𝑎) > 0
𝑑𝜃 𝜃
1 =0
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑 ′ é𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒
𝑑2 𝐸𝑃
( 2) = [𝑚𝐿(𝑔 − 𝑎)𝑐𝑜𝑠𝜃 ]𝜃=𝜃2 =𝜋 = −𝑚𝐿(𝑔 − 𝑎) < 0
𝑑𝜃 𝜃
2 =𝜋
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑 ′ é𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒
𝒈−𝒂 𝑳
b) Si 𝜽 ≅ 𝟎. (𝒔𝒊𝒏𝜽 ≈ 𝜽). On a 𝜽̈ + ( 𝑳 ) 𝜽 = 𝟎 ⇒ 𝑻 = 𝟐𝝅√(𝒈−𝒂)
𝐿
a) * Si 𝑎 = 0 ∶ (𝐴 ≡ 𝑂) alors (𝑇)𝑎=0 = 2𝜋√𝑔 pendule élastique.
𝐿 𝐿
* Si 𝑎 < 0 A se déplace vers le haut : (𝑇)𝑎<0 = 2𝜋√(𝑔−𝑎) < (𝑇)𝑎=0 = 2𝜋√ le pendule
𝑔
oscille plus vite.
𝐿 𝐿
* Si 𝑎 > 0 A se déplace vers le bas (𝑇)𝑎>0 = 2𝜋√(𝑔−𝑎) > (𝑇)𝑎=0 = 2𝜋√𝑔 le pendule
oscille moins vite.

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Faculté des Sciences Aïn Chock – Casablanca Filière SMIA

3- Retrouver une des équations du mouvement en utilisant :

4-a On suppose 𝜽 quelconque. Déterminer les positions d’équilibre et leur nature.

⃗⃗ (ℛ1⁄ ) ∧ ⃗⃗𝑉 (𝑀⁄ ) = ⃗0

b) Principe fondamentale de la dynamique par rapport au repère 𝓡𝟏

Principe fondamentale de la dynamique par rapport au repère 𝓡𝟏 ⇒

T.M.C en A par rapport à ℛ1 ⇒

b) Energie cinétique du point M dans son mouvement par rapport à 𝓡𝟏 , 𝑬𝑪 (𝑴⁄𝑹 ).

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