Théorème de Banach-Steinhaus et applications

Références :
 Gourdon analyse

Développement : On notera T = R/(2πZ) munit de la mesure λT (mesure quotient de

la mesure de Lebesgue normalisée sur [0, 2π]) et on confondra abusivement les fonctions
(continues) 2π -périodiques et les fonctions (continues) sur T.

Contexte : On va démontrer le théorème de Banach-Steinhaus en admettant le

lemme de Baire, puis, dans une seconde partie appliquer le résultat à la divergence de la
série de Fourier.
On rappelle le lemme de Baire :
Lemme 1
Soit (X, d, τ ) un espace métrique complet. Alors il est de Baire , c'est-à-dire :

!

\
∀(Ωn )n ∈ τ N , ∀n ∈ N, Ωn = X =⇒ Ωn = X
n∈N

Théorème 1 (Banach-Steinhaus)
Soit E un espace de Banach et F un evn. Soit A ⊂ Lc (E, F ). Si

∀x ∈ E, sup kT xk < ∞
T ∈A

Alors

sup kT k < ∞
T ∈A

Démonstration : Soit Ωn = {x ∈ E | ∃T ∈ A, kT xk > n} = ∪T ∈A {x ∈ E | kT xk > n}

est un ouvert de E et de plus, par hypothèse :
\  
Ωn = {x ∈ E | ∀n, ∃T , kT xk > n} = x ∈ E sup kT xk = ∞ = ∅
T ∈A
n∈N

Ainsi par contraposée du lemme de Baire dans E complet, il existe un n ∈ N tel que Ωn ne
soit pas dense dans E . Considérons un tel N , et soit x ∈ E , r > 0 tel que BE (x, r) ∩ Ωn = ∅.
Soit y ∈ SE (0, 1), posons y 0 = x + ry . Alors y 0 ∈ BE (x, r) donc y 0 ∈
/ ΩN et par dénition
de ΩN : ∀T ∈ A, kT y 0 k ≤ N .

krT yk − kT xk ≤ kT (x + ry)k ≤ N
Et donc kT yk ≤ N +kT
r
xk
≤ 2N
r
. Ceci étant vrai quelque soit y ∈ E avec kyk = 1 et quelque
soit T ∈ A, on a donc :
2N
∀T ∈ A, kT k ≤
r
d'où le résultat.

1
 Application à la divergence des séries de Fourier. Posons C = C 0 (T, P C) l'ensemble
des fonctions continues 2π -périodiques. On rappelle que pour n ∈ N, Dn : x 7→ nk=−n eikx .
Notons alors
  n Z
C → C X
`n : `n (f ) = f (t)e−ikt dλT (t)
f 7→ (Dn ∗ f )(0) T k=−n

C'est une application linéaire. De plus comme T est un compact, (C, k · k∞ ) est un espace
de Banach (sous-espace fermé des applications bornées de T dans C munit de la norme
uniforme).
De plus ∀n ∈ N, `n est continue. En eet :
Z Z
|`n (f )| ≤ Dn (−t)f (t) dλT ≤ kf k∞ |Dn (t)| dλT ≤ kDn k1 kf k∞
T T

(Dn est continue sur T donc bornée et donc L1 car T est de mesure nie)
On a donc ||| `n ||| ≤ kDn k1 , on va montrer qu'on a égalité.
Lemme 2 (Calcul de Dn )
n + 12 t



sin
Dn (t) =
sin 2t

Preuve du lemme :
2n
X
−int
Dn (t) = e eikt
k=0
1 − e2int eit
= e−int
1 − eit
1 1
e−int e−i 2 t − eint ei 2 t
= 1 1
e−i 2 t − ei 2 t
sin((n + 12 )t)
=
sin( 12 t)
Dn
Posons alors fp = , on a de manière évidente les résultats suivants :
|Dn | + p1
 fp ∈ C
 kfp k∞ ≤ 1
 En fait |fp | ≤ 1

|Dn (t)|2
Z Z
Dn (t)Dn (−t)
`n (fp ) = dλT = dλT
T |Dn (t)| + p1 T |Dn (t)| + p1
D'après la remarque ci-dessus, la fonction sous l'intégrale est dominée par |Dn |, et donc par
théorème de convergence dominée, on peut passer à la limite :

`n (fp ) −→ kDn k1
p→∞

Et donc ||| `n ||| = kDn k1

2
Lemme 3 (kDn k1 )
2 2
kDn k1 ≥ 2
H2n+1 ∼ 2 ln(n)
π π

Preuve du lemme
2π
| sin((n + 12 )t)|
Z Z
1
|Dn (t)| dλT (t) = dt
T 2π 0 | sin( 12 t)|

Or | sin(x)| ≤ |x| et donc :

2π
| sin((n + 12 )t)|
Z
1
kDn k1 ≥ dt
π 0 |t|
(n+ 12 )t
Posons le changement de variable u = π
, on obtient :

2n+1 2n Z
| sin(πu)| 1 X k+1 | sin(πu)|
Z
1
kDn k1 ≥ du = du
π 0 |u| π k=0 k |u|

Et sur l'intervalle [k, k + 1[ , on a |u| ≤ k + 1 et | sin(πu)| = (−1)k sin(πu) d'où la minoration :

2n
1 X (−1)k k+1
Z
kDn k1 ≥ sin(πu) du
π k=0 k + 1 k

On peut alors calculer l'intégrale :

Z k+1
1 2
sin(πu) du = [− cos(πu)]k+1
k = (−1)k
k π π
Finalement, en regroupant :
2n+1
2 X 1 2
kDn k1 ≥ 2
= 2 H2n+1
π k=1 k π

D'où le lemme

Conclusion. En regroupant les diérents résultats, on en déduit que (||| `n |||)n n'est pas
bornée, et donc par contraposée du théorème de Banach-Steinhaus, il existe f ∈ C tel que
(|`n (f )|)n ne soit pas bornée. C'est bien dire que la série de Fourier de f en 0 diverge.

Résultat plus fort. On peut montrer un résultat plus général quand au "nombre" de
fonction de C dont la série de Fourier diverge.
Dénition 1 (Partie Grasse )
On dit qu'une partie A d'un espace topologique X est grasse si c'est une intersection

dénombrable d'ouverts denses.

3
Théorème 2 (Banach-Steinhaus fort )
Soit E un espace de Banach et F un evn. Soit A ⊂ Lc (E, F ). Si

sup kT k = ∞
T ∈A

Alors  
x∈E sup kT xk = ∞ est une partie grasse de E.
T ∈A

Alors

Démonstration :
  \ \
x∈E sup kT xk = ∞ = ∪T ∈A {x ∈ E | kT xk > n} = Ωn
T ∈A
n∈N n∈N

Or en reprenant la démonstration du premier théorème, si il existe un Ωn qui ne soit pas dense

alors on peut majorer uniformément la norme subordonnée des éléments de A. Comme par
hypothèse cela est impossible, tous les Ωn sont des ouverts denses, et donc l'ensemble considéré
est une intersection dénombrable d'ouverts denses, i.e. une partie grasse.

Application. L'ensemble des fonctions continues 2π-périodiques dont la série de Fourier

diverge en 0 (ou de manière équivalente en tout point préalablement xé de R) est une partie
grasse de C .

Recasements : (according to Marnat)

 208 - Espaces vectoriels normés. Applications linéaires continues. Exemples.
 246 - Séries de Fourier. Exemples et applications.