S2 Lic Fond Eco Math Finan Mathématiques Financières El Marzouki
S2 Lic Fond Eco Math Finan Mathématiques Financières El Marzouki
S2 Lic Fond Eco Math Finan Mathématiques Financières El Marzouki
Mathématiques
Financières
Pr. El Marzouki A.
Mathématiques financières
I- Intérêts Simples
1- Opérations à intérêts simples
2- Escompte commercial à intérêts simples
3- Equivalences à intérêts simples
V- Choix d’investissement
1- Délai de récupération du capital investi
2- La valeur actuelle nette (V.A.N)
3- Taux de Rendement Interne (T R I.)
2
I- intérêts Simples
I C t n
3
I- Opérations à intérêts simples
1- Calcul de l’intérêt
Si n est exprimé en années : I C t n
C t n
Si n est exprimé en jours : I
360
4
Applications
1- Une somme de 8000 dh est empruntée pour une durée de 1 an et demi au taux de 10%. I?
C t n 8000 0,1 6
I 400 dh
12 12
3- Une somme de 8000 dh est empruntée pour une durée de 36 jours au taux de 10%. I?
C t n 8000 0,1 36
I 80 Dh
360 360
5
•Méthode des nombres et des diviseurs
C t n / t Cn N
I I
360 / t D D
6
2- Calcul de la valeur acquise (ou définitive) VD
La valeur acquise par un capital, placé pendant n période est
la somme du capital et des intérêts :
N D n
V C I C C
D
D D
Application
Une somme de 80 000 dh est placée pour une durée de 36 jours au taux de 10%. Quelle est la valeur
définitive de ce placement?
80000 0,1 36
V D
C I 80000
360
V D
80000 800 80800 Dh
7
3- Intérêt précompté, post-compté et taux effectif
de placement
8
Dans le cas de l’intérêt précompte l’emprunteur empoche C-I
C C n t n te C n t
t
t
e
1 n t
Application
Une personne a contracté une somme de 8000 dh pour une durée de 1an et demi au taux de 10%. Sachant
que l’intérêt est précompté, quel est le taux d’intérêt effectif?
Correction
La somme effectivement contractée n’est pas 8000 dh mais 8000-1200=6800 Dh, le
taux d’intérêt est:
t 0,10
t
e
1 n t 1 1,5 0,1
t e
11,8%
9
II. Escompte commercial
L’escompte est utilisé dans les opérations d’achat ou de vente
des effets de commerce. Ces derniers qui sont considérés
comme des moyens de règlement à terme ou de crédit, ont les
caractéristiques suivantes :
- ce sont des titres négociables ;
- ils portent tous une valeur en monnaie courante ;
- ils représentent une créance d’argent ;
- ils sont payables à court terme.
10
L’escompte commercial est la somme d’argent retenue par
le banquier en échange du service rendu (la remise d’effets
avant l’échéance). Comme tout crédit, l’escompte donne
lieu à un intérêt calculé sur la base de la valeur nominale de
l’effet, du taux d’escompte indiqué par le banquier et de la
durée entre le jour de négociation et le jour d’échéance.
VN t n V N n
e
360 D
avec, e : le montant de l’escompte, VN : la valeur nominale
et t : taux d’escompte.
11
a.Valeur actuelle commerciale
Va VN e
b. Valeur nette
12
Le banquier prélève non seulement l’escompte, mais plusieurs autres
commissions. Celles-ci peuvent être soit :
- proportionnelles au temps et au capital (commission
d’endossement) ;
- proportionnelles uniquement au capital (commissions
indépendantes du temps) ;
- indépendantes du temps et du capital c’est-à-dire fixes
(commissions de services ou de manipulations).
Les opérations financières sont passibles de la TVA dont le taux est de 10%.
13
Applications
Application
Un effet de commerce est présentée à l’escompte à 15 jours de
l’échéance; sa valeur nominale est de 12 000 DH. L’opération de
l’escompte est soumise aux conditions suivantes :
- taux d’escompte 12%;
- commission d’endossement 0,6% ;
- commission indépendante du temps= 1/8% (de la valeur
nominale);
- commissions de manipulation 8 Dh par opération d’escompte;
- TVA au taux de 10%.
A- Calculer l’escompte.
B- Calculer la valeur actuelle.
C- Calculer les agios TTC.
D- Quelle est la valeur nette de l’effet?
E- Quel est le taux réel d’escompte?
14
Application
Données du problème:
VN=12000 DH; t=0,12; n=15 jours
Taux relatif aux comm d’endo 0,6%
Taux relatif à la VN est 1/8%
Comm de manipulation 8Dh
Taux TVA 10%
15
Application
A- Escompte commercial e:
e=60 DH
Vact= VN- e
= 12000 -60= 11940 Dh
16
C- Agios
Agios TTC= e+ CE+CIT+ CF+TVA
- Commissions d’endossement CE
CF=8 Dh
17
C- Agios
Agios TTC= e+ CE+CIT+ CF+TVA
- TVA
= Agios HT + TVA
18
C- Agios TTC
19
E. Taux réel d’escompte
VN t réel n
Agios TTC
360
20
Agios TTC 360 94,6 360
t réel
VN n 12000 15
tr 18,92%
21
III- Equivalence d’effets ou de capitaux à
intérêts simples
Deux effet (capitaux) sont équivalents si ils ont la même
valeur actuelle à une daté donnée, appelée date d’équivalence.
C1 n1 t C2 n2 t
C1 C2
360 360
D n1 D n2
C1 C 2
D D
22
E1 et E2 sont équivalents VaE1=VaE2 c’est-à-dire
VN1 e1 VN 2 e2
23
a. Echéance commune
Le débiteur d’un certain nombre d’effets à échéances
différentes, peut demander à son créancier leur remplacement
par un seul effet à échéance donnée ; cette échéance est
appelée échéance commune.
b. Echéance moyenne
24
a. Echéance commune
E est équivalent à E1, E2, E3,..Ek
Va E= Somme Vac E
Somme des valeurs nominales des effets remplacés est
différent VN E
b. Echéance moyenne
25
Si on désigne par, V : la valeur nominale de l’effet unique et Vi :
la valeur nominale de l’effet i remplacé on aura alors l’équation
de l’équivalence :
V n V1 n1 V2 n2 Vk nk
V V1 V2 ... Vk
D D D D
V V1 V2 ... Vk
,
or,
k
V n
Vi ni
i 1
D D
26
k
Vi ni
n i 1
k
V
i 1
i
27
Applications
App 1
28
Correction 1
Effet 1:
VN1= 750 Dh , n1= 32 j
t?
Effet 2 :
VN2= 747,16 Dh , n2 =15 j
VN 1 n1 t V n2 t
VN 1 VN 2 N 2
360 360
t≈8%
29
App 2
30
Correction 2
V n i i V n i i
2000 54 3500 1 2800 75 1900 28
n i 1
4
i 1
V
10200 10200
i
i 1
n≈37 jours
31
L’échéance recherchée est dans 37 jours après la date
d’équivalence du 6 mai 2020.
32
II- Les intérêts Composés
33 EL MARZOUKI 05/05/2021
Tableau de calcul de la valeur acquise
34 EL MARZOUKI 05/05/2021
1. La capitalisation
35 EL MARZOUKI 05/05/2021
Tableau de calcul de la valeur acquise
VD=
C(1+t)n
Formule de la capitalisation à intérêts composés.
36 EL MARZOUKI 05/05/2021
a. L’intérêt I produit par un capital placé à
intérêts composés pendant n périodes est
égal à :
37 EL MARZOUKI 05/05/2021
Taux proportionnels
t
-le taux semestriel proportionnel (ts) sera égal à t s
2
38 EL MARZOUKI 05/05/2021
Taux équivalents
(1 t tr ) (1 t )
4
(1 t s ) 2 (1 t )
39 EL MARZOUKI 05/05/2021
Application
40 EL MARZOUKI 05/05/2021
Application
41 EL MARZOUKI 05/05/2021
Remarque
En appliquant le principe de la
proportionnalité et pour un même capital,
placé au même taux et durant la même
période de placement, sa valeur acquise
augmente quand la période de
capitalisation diminue.
42 EL MARZOUKI 05/05/2021
Application
VD C (1 t ) n
200000 (1,09 ) 9 , 25
443838 ,63 Dh
b- Avec capitalisation semestrielle.
n= 18,5 semestres
ts taux semestriel équivalent
(1 t s ) 2 (1 t ) t s 1 t 1 1,09 1 ts=4,403065%
VD C (1 t s ) n
200000 (1,04403065 )18, 5
443838 ,63 Dh
43 EL MARZOUKI 05/05/2021
II- Actualisation
Cm C0 (1 t ) m Cn Cm (1 t ) m n
et
( m n )
Cn C0 (1 t ) n Cm Cn (1 t )
46 EL MARZOUKI 05/05/2021
-m=- 12 -4 0
2=n
47 EL MARZOUKI 05/05/2021
Application
48 EL MARZOUKI 05/05/2021
4
C4 450000 (1,09)
318791,34 Dh
Au bout de 8 ans, le débiteur aurait eu à verser
318791,34 DH pour éteindre sa dette
C2 450000 (1,09) 2
534645 Dh
Somme à payer après 14 ans de dette.
49 EL MARZOUKI 05/05/2021
Application
50 EL MARZOUKI 05/05/2021
Correction
VD=Cn= 197324,13 DH; n=10 ans; ts=6,5%;
C0?
51 EL MARZOUKI 05/05/2021
III- Equivalence à intérêts composés
n1 n2
C1 (1 t ) C2 (1 t )
52 EL MARZOUKI 05/05/2021
Application
53 EL MARZOUKI 05/05/2021
C1= 11300 Dh
n1=10 ans
Données C2=9220 Dh
n2=6 ans
t?
n1 n2 (1 t ) n1 C2
C1 (1 t ) C2 (1 t )
(1 t ) n2 C1
(1 t ) 10
9220
(1 t ) 6 11300
1
9220
t ( ) 4
1 5,22 %
11300
Ces deux capitaux sont équivalents au taux de 5,22%
54 EL MARZOUKI 05/05/2021
2- Equivalence de deux groupes de capitaux
55 EL MARZOUKI 05/05/2021
Application
56 EL MARZOUKI 05/05/2021
La dette C est équivalente aux quatre crédits C1, C2, C3,
n n2 n3 n4
C (1 t ) C1 (1 t) C2 (1 t )
-n1
C3 (1 t ) C4 (1 t )
C1= 42000 Dh et n1= 1 an ;
C2= 26000 Dh et n2=1,5 an;
C3= 34000 Dh et n3= 2,5 ans;
C4= 48000 Dh et n4= 4 ans ;
n = 6 ans.
t= 8%; C?
C= 198969,84 Dh
57 EL MARZOUKI 05/05/2021
Application
Un débiteur obtient de son prêteur le remplacement
de 4 créances :
•120000 Dh remboursable dans 5 ans ;
•80000 Dh remboursable dans 8 ans et 6 mois ;
•70000 Dh remboursable dans 4 ans et 9 mois ;
•50000 Dh remboursable dans 3mois.
58 EL MARZOUKI 05/05/2021
Application
C1= 120000 Dh et n1= 5 ans ;
C2= 80000 Dh et n2= 8,5 ans ;
C3= 70000 Dh et n3= 4,75 ans;
C4= 50000 Dh et n4=0,25 an.
Le taux est de 12%. L’échéance moyenne n?
C=C1+C2+C3+C4
C (1 t) -n1
C (1 t ) n2
C (1 t ) n3
C (1 t ) n4
ln(1 t ) n ln 1 2 3 4
h
C
h
n =9ans, 9 mois et 3 jours
ln(1 t )
59 EL MARZOUKI 05/05/2021
III- Les annuités
60 EL MARZOUKI 05/05/2021
Les annuités
61 EL MARZOUKI 05/05/2021
Les annuités
62 EL MARZOUKI 05/05/2021
I.Les annuités constantes (AC)
1.Valeur acquise par les AC
63 EL MARZOUKI 05/05/2021
Tableau des valeurs acquises
L’annuité versée Sa valeur acquise à l’époque n
1ère annuité a(1 t ) n1
n2
2ème annuité a(1 t )
….. …..
pème annuité a(1 t ) n p
…. …..
(n-1) ème annuité a (1 t )
nième annuité a
n
Total = An p 1
a (1 t ) n p
64 EL MARZOUKI 05/05/2021
La capitalisation de n annuités constantes
n 1 n2 n p
An a (1 t ) a (1 t ) ... a (1 t ) ... a(1 t ) a
,
n p n 1
An a a (1 t ) a (1 t ) 2
... a (1 t ) ... a (1 t )
65 EL MARZOUKI 05/05/2021
La capitalisation de n annuités constantes
(1 t ) 1 (1 t ) 1
n n
An a (1 t ) 1 a t (1)
66 EL MARZOUKI 05/05/2021
Application
67 EL MARZOUKI 05/05/2021
Correction
a=3000 Dh
n= 20 ans (ou annuités)
t=9 % l’an
(1 t ) 1 (1 t ) 1
n n
An a (1 t ) 1 a t
68 EL MARZOUKI 05/05/2021
Application
69 EL MARZOUKI 05/05/2021
Correction n=10 annuités
t=6%
An=200 000 DH
a?
(1 t ) 1 (1 t ) 1
n n
An a (1 t ) 1 a t
Ant
a a=15173,59 DH
(1 t ) 1
n
70 EL MARZOUKI 05/05/2021
2- Valeur actuelle des AC
n
n (1 t ) n
1 n 1 (1 t )
A0 An (1 t ) a t (1 t ) a t (2)
71 EL MARZOUKI 05/05/2021
n
n 1 (1 t )
A0 An (1 t ) a (2)
t
Actualisation d’une SAC
72 EL MARZOUKI 05/05/2021
Application
73 EL MARZOUKI 05/05/2021
Correction a=12000 DH
n=10
t=3,5%
A0?
n 10
1 (1 t ) 1 (1,035 )
A0 a t
12000
0,035
99799,26DH
74 EL MARZOUKI 05/05/2021
Application
75 EL MARZOUKI 05/05/2021
Correction A0=450000 DH
n=5 ans=10 Sem
t=4%/sem
a?
n
1 (1 t )
A0 a t
t
a A0 10
1 (1 t )
0,04
450000 10
55480,93DH
1 (1,04 )
76 EL MARZOUKI 05/05/2021
Application
77 EL MARZOUKI 05/05/2021
Application 4 :
(1 t ) 1 (1 t ) 1
n n
An a (1 t ) 1 a t
t An
(1 t )
n
1
a
An=81170 DH
12<n<13
a=4000 DH annuités
t=8%
n?Il faut verser 12 annuités avec un
versement complémentaire de 81170-
75908,51=5261,49 dh
78 EL MARZOUKI 05/05/2021
II. Les annuités constantes de début de période (ACDP)
Les ACDP sont des sommes
versées afin de constituer un capital ,
une période après le versement de la
dernière annuité.
1.Valeur acquise par les ACDP
n 1
' An (1 t ) a (1 t ) 1 (1 t ) a (1 t ) (1 t )
n
An t t
' a (1 t )
n 1
1
An 1 (3)
t
Formule de la capitalisation d’une suite d’annuités de
début de période.
79 EL MARZOUKI 05/05/2021
2. Valeur actuelle d’une suite D’ACDP
Pour actualiser cette suite , nous nous
plaçons à l’époque zéro càd au moment du
premier versement.
0 1 t
n-1
a a a
a A’n
A’0
n
' a 1 (1 t )
A 0 1 (1 t ) 1
(1 t ) 1 1 (1 t )
n n
a 1
a (1 t ) (4)
(1 t ) 1 t
80 EL MARZOUKI 05/05/2021
III. Evaluation d’une suite d’annuités à une
date quelconque
mn (1 t ) 1n
mn
A m
An (1 t ) a (1 t )
t
n
1 (1 t )
Am a t (1 t ) A0 (1 t )
m m
81 EL MARZOUKI 05/05/2021
1. Evaluation de la suite d’ACFP à l’époque p
Ap est la valeur de la suite d’annuités à l’époque p
1 (1 t ) n
Ap A0 (1 t ) a t (1 t )
p p
t t t
82 EL MARZOUKI 05/05/2021
Application :
Une personne a acheté un appartement
pour un montant de 200 000 Dh qu’il l’a loué à un
étudiant pour 60 mois. Le loyer est payable après la
conclusion du contrat. Quel doit être le montant du
loyer pour que le propriétaire puisse s ‘assurer un
taux de 6 %?
tm équivalent =0.00487=0,487%
a= 3 833,40 Dh
83 EL MARZOUKI 05/05/2021
IV- Les Emprunts
V0 : le montant de l’emprunt ;
V1, V2, …,Vp,…,Vn : les fractions du capital emprunté
restant dû à la fin de chacune des n périodes ;
a1, ...,ap,…,an : les n annuités successives;
D1, …,Dp,…Dn: les fonds d’amortissement successifs ;
t : le taux d’intérêt ttc ;
n : la période au bout de laquelle l’emprunt sera payé
( le nombre de versements).
b. Relations entre l’emprunt et les fonds
d’amortissement
V0 = D1+D2+ …+Dp+…+Dn
c. Relation entre l’emprunt et les annuités
a (1 t )
p
V 0
p (1)
p 1
V1 V0 D1 & V p V p 1 D p
a1 V0tttc D1 & a p V p 1tttc D p
1
a p1 a p D p1 D p ttc
( t ) ( 2)
D p1 Dp (1 t ) (3)
1 (1 tttc ) n
Amortissement par annuités
constantes
V0 a tttc
tttc
a V 0 1 (1 tttc ) n
6,6%
100000 4
29256,67 Dh
1 (1 6,6%)
Tableau des amortissement avec annuités constantes
Notations
N : le nombre d’obligations émises ;
E : le prix d’émission d’un titre;
C : la valeur nominale d’une obligation ;
R : la valeur de remboursement ;
Nk : le nombre de titres en vie à la date k
(immédiatement après le paiement de la kème
annuité) ;
Ak :le nombre de titres remboursés à la kème
annuité ;
1.Relations générales :
-Pour tout k de 1 à n, on a :
ak Ak R CtN k 1
Ak N k 1 N k
k
N k N k 1 A
p 1
p
-On a, aussi :
n
N Ak et N n 0
k 1
Emprunts obligataires
K Nk-1C Ik Ak AkR ak
2. l’amortissement constant
AC=NC/4 AC= 40000 DHA=125
obligations
L’amortissement est constant V0/n
a. Le montant de l’emprunt
V0=NC=1500.250= 375000 dh
Correction
2. Le montant théorique de l’anuité constante
n
1 (1 t )
V 0
a
t
t
a V 0 1 (1 t ) n
11,64 %
375000 5
103 102,48 Dh
1 (1 11,64 %)
Correction
D p 1
D p
(1 t ) (3)
A p 1
C A C (1 t )
p
A p 1
A (1 t )
p
A p 1
A p
(1 t )
A : l’apport initial ;
n : la durée de l’investissement ;
Ck : cash-flow (flux nets de trésorerie) de
l’année k (fin d’année) ;
t : taux d’actualisation ;
Vn : valeur résiduelle à l’année n.
1.la valeur actuelle nette (V.A.N)
k 1
C (1 r )
k 1
k
k n
Vn (1 r ) A 0
C (1 t )
k
k
Vn (1 t ) n
VAN
1
k 1
A
A
On choisit le projet qui a le le plus élevé .
3. Délai de récupération du capital investi
A= 60 000 Dh
n=4 ans
Données t=10%
Ck=20 000 Dh
Vn=10000 Dh
DR p?
VAN?
TRI?
1- Le délai de récupération DR p
p
A C
k 1
k
60000 C1 C2 C3
p= 3 ans
2- La VAN
n
VAN Ck (1 t ) k Vn (1 t ) n A
k 1
20000 (1,1) 1 20000 (1,1) .2 20000 (1,1) 3 20000 (1,1) 4 10000 (1,1) 4 60000
20000 ((1,1) 1 (1,1) .2 (1,1) .3 (1,1) .4 ) 60000
VAN 10227,44 Dh
3- TRI r
C (1 r )
k 1
k
k n
Vn (1 r ) A 0