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td2 GP19 M12B
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Calculer limite de f quand (x, y) tend vers (0, 0) dans les 3 cas suivants :
1. sur l'axe x'Ox,
2. sur l'axe y'Oy,
3. sur la droite y = x.
En déduire que f n'est pas continue en (0, 0).
Exercice 3 :
1. Soit f (x, y) = 2x3 − x2 y + 4y 2 . Calculer
∂f ∂2f ∂2f
(0, 0) ; (1, 1) ; (0, 2)
∂x ∂x∂y ∂x2
∂2f ∂2f
Puis calculer le laplacien ∆f (x, y) = (x, y) + (x, y).
∂x2 ∂y 2
1
Exercice 5 : Déterminer les extremums de la fonction :
f: R2 −→ R
(x, y) 7−→ f (x, y) = xy(1 − x − y).
Exercice 6 : Soit la fonction f à deux variables réelles dénie pour tout (x, y) ∈
R2 par :
f (x, y) = sinh2 (x + y) + cosh2 (x − y).
Montrer que f admet un extremum et préciser sa nature.
Exercice 7 : Calcul du Laplacien en coordonnées polaires.
Soit f une fonction à deux variables x et y admettant des dérivées partielles
secondes continues. On rappelle que le Laplacien de f noté ∆f est la fonction
∂2f ∂2f
∆f = 2
+ 2.
∂x ∂y
1. En posant g(r, θ) = f (x, y) = f (r cos θ, r sin θ), montrer que
∂2g 1 ∂ 2 g 1 ∂g
∆f = + + .
∂r2 r2 ∂θ2 r ∂r
2. On
p dit que f est harmonique si ∆f = 0. Est-ce que la fonction f (x, y) =
x2 + y 2 est harmonique ?
Exercice 8 :
∂f ∂2f
1. Soit f : (x, y) 7→ 2x3 − x2 y + 4y 2 . Calculer (0, 0), (1, 1) et
∂x ∂x∂y
∂2f
(0, 2).
∂y 2
2. On considère la fonction f (x, y) = e(y−1)x sin x. Montrer que
∂f 1 ∂2f
(x, y) − (x, y) = 0.
∂y x ∂y 2
1
3. Soit la fonction à deux variables dénies par f (x, y) = p si
x2 + y2
(x, y) 6= (0, 0). Montrer que
∂f ∂f
x +y = −f
∂x ∂y
et que
∂2f ∂2f
∆f = 2
+ 2 = f 3.
∂x ∂y
2
2 Intégrales doubles et triples
Exercice 1 : Calculer les intégrales suivantes :
1. ZZ
(x + y)−2 dxdy,
D
où D = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x2 }.
2. ZZ
2
+y 2 )
e−(x dxdy,
∆
R2 | x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 1, x + y ≤ 3}.
ZZ
I= xy dxdy où D = {(x, y) ∈
D
R2 | x ≤ 2, y ≤ 2, xy ≥ 2}.
ZZ
I= xex+2xy dxdy où D = {(x, y) ∈
D
0}
3. Calculer I =
RR
D
R2 | y ≥ 0, (x − 1)2 + y2 ≤ 1}.
y dxdy oé D = {(x, y) ∈
3
Exercice 7 : Calculer les intégrales suivantes :
R2|
ZZ
xdxdy , D = {(x, y) ∈ − 1 < x, 1 < y < 2, xy < 1}.
D
.
Exercice 8 :
Soit ∆ = {(x, y) ∈ R2 | x > 0, y > 0, x + y < 1}. Calculer
ZZ x−y
e + y dxdy
x
∆
2. Soit le domaine ∆ ⊂ R2 limité par l'axe des abscisses (x0 Ox), l'axe des
ordonnées (y 0 Oy) et la droite d'équation y = 1 − x.
(a) Représenter ∆ dans un repére orthonormé de R2 .
(b) Calculer l'intégrale double
ZZ
ϕ(x, y) dxdy.
∆
Indication : pour achever les calculs utiliser des intégrations par par-
tie.
Exercice 10 : Volume de la sphére.
Retrouver l'expression du volume de la sphère de rayon R par :
1. le calcul d'une intégrale triple,
2. une intégration par couches en sections horizontales.