Exercice 1. Soit ABC un triangle. 1) Déterminer l'ensemble {M, M A − M B = CA − CB }. 2 2 2 2
2) Montrer que les hauteurs d'un triangle sont concourantes.
Exercice 2. Soit ABC un triangle équilatéral. Déterminer l'ensemble {M, −2M A2 + M B 2 + M C 2 = 0}.
Exercice 3. Le plan euclidien est muni d'un repère orthonormal. Soit a un réel strictement positif ; on considère les points A(0, a) et B(0, −a). 1) Donner une équation d'un cercle passant par A et B . 2) Soit C1 et C2 deux cercles distincts passant par A et B . Soit Dt une droite de coe cient directeur t passant par A qui recoupe les cercles C1 et C2 en Q1 (t) et Q2 (t) respectivement. Calculer les coordonnées du milieu I(t) du segment [Q1 (t)Q2 (t)]. Quel est l'ensemble des points I(t) ?
Exercice 4. Soit C le cercle d'équation x2 + y 2 − 4x − 2y = 0. 1) Centre et rayon de C ? 2) Déterminer des équations cartésiennes des cercles de centre O(−2; 3) tangents à C .
Exercice 5. On considère dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormal les points M et N d'a xes respec- tives reix et reiy (x et y appartenant à [0, 2π]). x−y 1) Montrer que M N = 2r sin . 2 2) On choisit x et y de façon indépendante et aléatoire dans [0, 2π]. Calculer la probabilité que la corde M N soit plus grande que le côté d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle de centre O et de rayon r.
Exercice 6. Soit D la droite d'équation x + 2y + 4 = 0 avec A(−1; −1) et B(3; 1). déterminer les cercles passant par A et B et tangents à D.
Exercice 7. On pose CO1 ,r1 , CO2 ,r2 et CO3 ,r3 trois cercles sécants deux à deux. On note D1 , D2 et D3 les trois droites telles que C1 ∩ C2 ⊂ D3 , C1 ∩ C3 ⊂ D2 et C2 ∩ C3 ⊂ D1 . 1) Montrer que D3 ⊥ (O1 O2 ) −−−→ −−−→ 2) Montrer que M ∈ D3 ⇔ O1 M .O1 O2 = 21 (O2 O12 + r12 − r22 ). 3) Montrer que D1 , D2 et D3 sont parallèles ou concourantes.
Exercice 8. Soit Dλ la droite d'équation (1 − λ2 )x + 2λy + (λS 2 − 2λ − 3) = 0 avec λ ∈ R. 1) Déterminer E = {M ∈ R , ∃λ / M ∈ Dλ } = Dλ . 2 λ∈R
Exercice 9. Le triangle ABC est de périmètre p. On note I le centre du cercle inscrit et r son rayon. −→ −→ −→ → − 1) Montrer que BC.IA + CA.IB + AB.IC = 0 . 2) Exprimer l'aire de ABC en fonction de r et p.
Exercice 10. Le triangle ABC est équilatéral. Soit M un point quelconque et P , Q, R les symétriques de M par rapport à (BC), (CA) et (AB) respectivement. Déterminer l'ensemble des points M tels que (AP ), (BQ), et (CR) soient concourantes. Exercice 11. Puissance d'un point par rapport à u cercle (NEW) Le cercle C est de centre ω et rayon r. On pose P un point quelconque et A et B les points de C appartenant à une sécante passant par P . 1) Montrer que P A.P B est constant. 2) Montrer que si C a pour équation x + y − 2ax − 2by + c = 0, alors 2 2
P A.P B = x20 + y02 − 2ax0 − 2by0 + c
avec P (x0 , y0 ). 3) Déterminer le lieu des points ayant même puissance par rapport à deux cercles (on l'appelle l'axe radical).
Exercice 12. On pose A(0, a) et d une droite d'équation y = mx. Une droite ∆ de pente n coupe (Ox) en M et d en M 0 . 1) Donner une équation du cercle de diamètre [M M ] noté C . 0
2) Montrer que lorsque ∆ pivote autour de A, le cercle C reste orthogonal à un cercle xe.
Exercice 13. Fonction numérique de Leibniz
Soit ABC un triangle équilatéral de côté a. Quels sont les points M du plan (ABC) tels que M A2 + a2 = 2(M B 2 + M C 2 ) ? Exercice 14. Cercle circonscrit à un triangle Soit ABC un triangle et C son cercle circonscrit. Soit M un point du plan de coordonnées barycen- triques (x, y, z) dans le repère a ne (ABC). Montrer que : M ∈ C ⇔ xAM 2 + yBM 2 + zCM 2 = 0 ⇔ xyAB 2 + xzAC 2 + yzBC 2 = 0. Exercice 15. Cercle stable par une application a ne Soit C = C(O, r) un cercle du plan et f une application a ne telle que f (C) = C . Montrer que f est une isométrie de point xe O. Exercice 16. Point équidistant d'une famille de droites Pour λ ∈ R on considère la droite Dλ d'équation cartésienne : (1 − λ2 )x + 2λy = 4λ + 2. Montrer qu'il existe un point Ω équidistant de toutes les droites Dλ . Exercice 17. Bissectrice de deux droites Soient D, D0 deux droites distinctes sécantes en O. On note H = {M tq d(M, D) = d(M, D0 )}. 1) Montrer que H est la réunion de deux droites perpendiculaires. (appelées bissectrices de (D, D )) 0
2) Soit s une symétrie orthogonale telle que s(D) = D . Montrer que l'axe de s est l'une des droites 0
de H
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3) Soit C un cercle du plan tangent à D. Montrer que C est tangent à D et à D0 si et seulement si
son centre appartient à H.
Exercice 18. Trois gures isométriques
Trois gures F1 , F2 , F3 se déduisent l'une de l'autre par rotations. Montrer qu'il existe une gure F dont F1 , F2 , F3 se déduisent par symétries axiales.
Exercice 19. Produit de 3 rotations
Soit ABC un triangle direct d'angles α, β, γ . On note ρ, ρ0 , ρ00 les rotations autour de A, B, C d'angles α, β, γ , orientés dans le sens direct Qu'est-ce que ρ ◦ ρ0 ◦ ρ00 ?
Exercice 20. Sous-groupes nis de déplacements
1) Soit G un sous-groupe ni de déplacements du plan. a) Montrer que G est constitué uniquement de rotations. b) Soient f, g ∈ G. Montrer que f et g ont même centre (étudier f ◦ g ◦ f ◦ g −1 ). −1
c) Prouver en n que G est cyclique.
2) Soit G un sous groupe ni d'ordre p d'isométries du plan, non toutes positives. a) Montrer que G contient autant d'isométries positives que négatives. b) Montrer que G est un groupe diédral (groupe d'isotropie d'un polygone régulier).
Exercice 21. Centrale MP 2000
Soit E un plan a ne euclidien muni d'un repère orthonormé d'origine O. Soit A le point de coordon- nées (a, 0). Pour tout point M , on dé nit M 0 = f (M ) de la manière suivante : A, M, M 0 sont alignés et (M O) est orthogonale à (M 0 O). Expliciter f en fonction des coordonnées (x, y) de M . Donner son do- maine de dé nition. Montrer que f réalise une bijection entre le demi-disque supérieur de diamètre [AO] et le quart de plan d'équations x < 0, y > 0.
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Solutions des exercices
Exercice 1. −−→ −−→ 1) La condition revient à 2BA.M C = 0, ce qui donne la droite perpendiculaire à (AB) passant par C , donc la hauteur issue de C . 2) Soit H le point d'intersection des hauteurs issues de A et de B (elles ne sont pas parallèles). Alors il satisfait HB 2 − HC 2 = AB 2 − AC 2 et HA2 − HC 2 = BA2 − BC 2 . En les additionnant on trouve la condition pour être point de la hauteur issue de C .
Exercice 4. √ 1) Ω(2; 1) et r = 5. 2) x2 + y 2 + 4x − 6y + 8 = 0 et x2 + y 2 + 4x − 6y − 32 = 0.
Exercice 6. √ √ Ω1 (1; 0) et r1 = 2 d'une part et Ω2 ( −7 8 ; 4 ) et r2 = 15 17 8 5 d'autre part.
Exercice 7. 1) Si {A, B} = C1 ∩ C2 , alors (O1 O2 ) est médiatrice de [AB]. −−−→ −−→ −−−→ −−−→ −−→ −−−→ −−→ −−−→ 2) On a O1 O2 .AM = 0 ⇔ O1 M .O1 O2 = −AO1 − O1 O2 . Mais r22 = (AO1 + O1 O2 )2 ⇒ −−−→ −−−→ 1 −−−→2 O1 M .O1 O2 = 2 (O2 O1 + r12 − r22 ). −−−→ −−−→ 3) Ecrire la question 2 pour d2 et D3 et avec M ∈ D2 ∩ D3 , on a O2 M .O2 O3 = 1 2 2 2 2 (O2 O3 + r2 − r3 ) donc M ∈ D1 .
Exercice 8. 1) Si x0 = 1, alors y0 6= 1. Si x0 6= 1, on obtient une équation de degré 2 en λ avec ∆ = (x0 − 2)2 + (y0 − 1)2 − 1 ≥ 0. Donc Mi nE si et seulement si M est extérieur au cercle de centre Ω(2; 1) de rayon 1. −→ 2 − → 2) Si x0 6= 1, on a pour vecteur normaux nλ (1 − λ , 2λ) et nµ (1 − µ , 2µ). La perpendicularité donne 2
− 1 − y0 x −3 n→ − → λ .nµ = 0 ⇔ (1 − λ2 )(1 − µ2 ) + 4λµ = 0. Donc λ + µ = 2 et λµ = 0 . On a donc 1 − x0 1 − x0 (λµ)2 − (λ + µ)2 + 6λµ + 1 = 0 x20 + y02 − 4x0 − 2y0 + 3 = 0 ⇔ (x0 − 2)2 + (y0 − 1)2 = 2. ⇔ √ On trouve donc le cercle de centre (2, 1) et de rayon 2 privé des points de coordonnées (1, 0) et (1, 2).
Exercice 9. 1) On note G le barycentre de {(A; a), (B; b), (C; c)} et dC = d(G, (AB)). On a −→ −−→ −−→ −−→ −−→ aire(GAB) | det(GA, GB)| | det(−bGB − cGC, GB)| dC = = = c 2c 2ac −−→ −−→ | det(GC, GB)| aire(GBC = = = dA . 2a a Donc dA = dB = dC et G = I .
Exercice 12. −a a ma 1) On trouve M , 0 et M 0 ; . Donc n m−n m−n a(m − 2n) am a2 x2 + y 2 + x −y = n(m − n) m−n n(m − n)
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2) On pose Γ le cercle cherché d'équation : x2 + y 2 − 2αx − 2βy + γ = 0. On a alors Γ ⊥ C qui implique
−a2
1 1 am a − α+ β= + γ. m−n n m−n n(m − n) cette équation est vraie pour tout n, donc a γ=0 α= m ( 2aα + amβ − mγ = 0 ⇔ −2a . β= −amα + a2 = 0 m2 γ=0
2a 4a D'où une équation de Γ : x2 + y 2 − x + 2y = 0 . m m
Exercice 13. Cercle circonscrit au triangle A0 BC symétrique de ABC par rapport à (BC).
Exercice 14. xAM 2 + yBM 2 + zCM 2 = r2 − OM 2 avec C = C(O, r). xyAB 2 + xzAC 2 + yzBC 2 = xAM 2 + yBM 2 + zCM 2 .
Exercice 16. Ω = (1, 2).
Exercice 18. Décomposer les rotations en symétries.
Exercice 19. la symétrie centrale (α + β + γ = π ) autour de K , point de contact du cercle inscrit et de (AC).
Exercice 21. ay 2 −axy x0 = 2 2 , y0 = 2 , M 0 est bien dé ni ssi M n'appartient pas au cercle de diamètre x + y − ax x + y 2 − ax [AO].
Soit D le demi-disque supérieur de diamètre [AO], D est caractérisé par les inégalités x2 + y 2 − ax < 0, y > 0 d'où x0 < 0 et y 0 > 0. La réciproque se traite (péniblement) en remarquant que seuls les points de D ont une image dans ce quart de plan et que f est quasi-involutive.
