AA3eme Ch04 Racine Carree
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Racines carrées
I. Activité
Exemple 1. ABCD est un carré de coté c et d’aire a.
1. Choisir des valeurs de c puis calculer a.
Choisir des valeurs de a puis calculer c.
2. Déterminer le nombre c dont le carré est égal à 20.
c = 3 cm a = 9 cm², c = 6 cm a = 36 cm²
c = 4 cm a = 16 cm² c = 7 cm a = 49 cm²
c = 5 cm a = 25 cm² c=? a = 20 cm²
2°) Si a = 20 cm², on cherche le nombre positif c dont le carré est égal à 20.
20 est compris entre 16 et 25, donc c est compris entre 4 et 5.
Faites plusieurs essais. Par exemple : pour c = 4,5.
On calcule c² = 20,25. C'est trop grand. Recommencez avec d’autres nombres 4,45.
On peut aussi utiliser la touche « √ » de la calculatrice (limitée à 10 chiffres). On
obtient : √(20)=4,472135955 . Mais attention ! A-t-on (4,472135955)2 = 20 ?
A priori, c’est faux puisque (4,472135955)2 est un nombre qui a 18 décimales et doit
se terminer par sa 18ème décimale égale à 5.
En fait, le nombre 4,472 135 955 n’est qu’une valeur approchée de c, dont le carré est
égal à 20. Cette valeur de c est arrondie à la 9ème décimale.
Avec un logiciel, on a cherché une valeur approchée avec 100 décimales :
4.472135954| 999579392818347337462552470881236719223051448541794490821
041851275609798828828816757564550… etc.
Vous remarquerez au passage que le 9ème chiffre de c étant égal à 5, n'est autre que
l'arrondi de 4.472135954| 9 au milliardième près (en gras et en rouge) !
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II. Racine carrée d’un nombre positif
2.1) Définitions et exemples
Théorème et définitions 1.
Soit a un nombre positif. Il existe un seul nombre positif c dont le carré est égal à a.
Ce nombre est appelé « racine carrée de a » et se note √ a . Ce qui donne :
2
c =a si et seulement si c= √ a
Le symbole √ s’appelle un « radical ».
Exemples
√−2 n’existe pas car il n’existe aucun nombre dont le carré est égal à – 2.
√ 25=5 car 52 =25 et 5 > 0. Ce qui n’est pas le cas pour (– 5).
En effet : 1°) Par définition la racine carrée d'un nombre positif est un nombre
positif. Et 0 est le seul nombre positif dont le carré est égal à 0. (P1)
2°) Comme c= √ a équivaut à c 2 =a , en remplaçant c par √ a
on obtient : (√ a)2=a
2°) Si a⩾0 , alors est le seul nombre positif dont le carré est égal à a².
Donc : √ a 2=a (P3).
Exemples
√ 2 et √ 3 sont des nombres irrationnels.
√ 25=5 est un nombre entier.
√ 2,25=1,5 est un nombre décimal.
2
√√ 4 2
= est un nombre rationnel, car
9 3
π 2=π est un nombre irrationnel.
()2
3
4
= .
9
Pour obtenir un nombre entier, il faut choisir un nombre dans la liste des nombres
entiers carrés parfaits : 0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; 100 ; 121 ; 144 ;…
Si a est un entier qui n'est pas un carré parfait, alors √ a est un nombre irrationnel.
Exemple. : √8×√ 2= √8×2= √16=4. On dit que « la racine carrée est compatible
(c'est-à-dire qui se marie bien) avec la multiplication ».
« La racine carrée du produit est égale au produit des racines carrées ».
3.2) Racine carrée et quotient
Propriété 3. Soient a et b deux nombres positifs, b≠0. Alors, la racine carrée du
quotient est égal au quotient des racines carrées :
(P5) :
a √a
=
b √b √
Exemple.
√ √
√ 27 = 27 = 9×3 = 9 = 3 .
√ 48 48 16×3 16 4 √
On dit que « la racine carrée est compatible avec la division ».
« La racine carrée du quotient est égale au quotient des racines carrées ».
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3.3) Racine carrée et addition
Propriété 4. Soient a et b deux nombres positifs non nuls. Alors, en général, la
somme des deux racines carrées n’est pas égale à la racine carrée de la somme :
(P6) : √ a+b≠√ a+√ b
Exemple. √ 16+9=√ 25=5 et √ 16+√ 9=4+3=7 . Donc, on a bien : √ 16+9 ≠√ 16+ √9 .
On dit que « la racine carrée est n'est pas compatible avec l'addition ».
3.4) Racine carrée et soustraction
Propriété 5. Soient a et b deux nombres positifs non nuls, a > b. Alors, en général,
la différence des deux racines carrées n’est pas égale à la racine carrée de la
différence :
(P7) : √ a −b ≠√ a−√ b
Exemple. √ 16−9=√ 7 et √ 16−√ 9=4−3=1. Donc, on a bien : √ 16−9 ≠√ 16−√9 .
On dit que « la racine carrée est n'est pas compatible avec la soustraction ».
√ 18 = √ 9×2
= √ 9× √ 2
= 3×√ 2
Donc √ 18=3 √ 2
Comme vous le voyez, nous allons utiliser les nombres entiers carrés parfaits et les
propriétés des racines carrées. On va donc en rajouter une à partir de (P3) et (P4) :
Exemples.
√ 50=√ 25×2=√ 25×√ 2=5 √ 2
√ 48= √16×3= √16×√3=4 √ 3
√ 45= √9×5=√ 9×√5=3 √5
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IV. Règles de calculs
Propriété 7. Les règles de calculs sur les racines carrées sont les mêmes que les
règles appliquées aux nombres décimaux, aux fractions et au calcul littéral.
Exemples. Calculs avec les racines carrées.
A = 5 √ 2+3 √ 2 On met √ 2 en facteur
A = (5+3) √ 2 On additionne
A=8 √ 2 J'encadre mon résultat.
B = 5 √ 2×3 √ 3 On multiplie les nombres entre eux
B = 5×3×√ 2×√ 3 et les racines carrées entre elles.
B = 15×√ 2×3 On utilise la propriété (P3).
B=15 √ 6 J'encadre mon résultat.
C = (3 √ 2 – 4)(5 √ 2+3) On développe naturellement en
C = 3 √ 2×5 √ 2+3 √ 2×3 – 4×5 √ 2 – 4×3 respectant les propriétés.
C = 3×5× √ 2× √ 2+3×3 √ 2 – 4×5 √ 2 – 4×3 On calcule √ 2× √ 2=2 (P2bis)
C = 15×2+9 √ 2 – 20 √ 2 – 12 On utilise la distributivité
C = 30 – 12+(9 – 20) √ 2 On regroupe les entiers entre eux
C=18 – 11 √ 2 et les racines entre elles.
J'encadre mon résultat.
Réduire une somme avec des racines carrées (Brevet des collèges)
Écrire l'expression D et E sous la forme a √ b où a et b sont des nombres entiers
avec b le plus petit possible.
Ici, on utilise toutes les propriétés en commençant par simplifier les racines carrées.
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V. Résolution des équations « x ² = a »
Propriété 8. On distingue trois cas possibles. Soit a un nombre positif donné. Alors
• Si a < 0, alors l’équation x 2=a n’admet aucune solution.
Donc l'ensemble des solutions est vide. On note : S = .
• Si a = 0, alors l’équation x 2=0 admet une seule solution : le nombre 0.
Donc l'ensemble des solutions contient un seul nombre 0. S = { 0 }.
• Si a > 0, alors l’équation x 2=a admet deux solutions : l’une positive : a
et l’autre négative : – a . Donc l'ensemble des solutions contient deux
nombres opposés √ a et −√ a . S = { −√ a ; √ a }.
Exemples.
Résoudre les équations suivantes :
(1) x 2−7=0 ;
(2) x 2 +5=0 ;
(3) x 2=0 .
1°) l’équation x 2−7=0 est équivalente à x 2=7 . Comme 7 > 0, l’équation (1)
admet deux solutions – √ 7 et √ 7. Donc
S 1={−√ 7 ; √ 7}
2°) l’équation x 2+5=0 est équivalente à x 2=−5. Comme – 5 < 0, l’équation (2)
n’admet aucune solution puisqu’un carré n’est jamais négatif. Donc :
S2=∅
3°) l’équation x 2=0 admet une seule solution : le nombre 0. Donc :
S3={0 }
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ABC est un triangle rectangle en B. Donc, d’après le théorème de Pythagore, on a :
AC 2= AB 2+BC 2
d 2=a 2+a 2
d 2=2 a 2
Donc : d = √ 2 a2
d =√2 √a 2
d =a √ 2
Conclusion. Dans un carré quelconque de côté a, la longueur de la diagonale est
toujours égale à d =a √ 2. (A refaire et à apprendre par coeur !)
√
2
3 a2
Donc : h 2=a 2−
a
2 () Donc : h=
4
a2 Et après simplification, on obtient :
Donc : h 2=a 2− 2
2 a √3
h=
2
Conclusion. Dans un triangle équilatéral quelconque de côté a, la longueur de la
a √3
hauteur est toujours égale à h= (A refaire et à apprendre par coeur !)
2
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