Cours Math 5ème 2

RESUME
J’apprends et J’enseigne 5ème vient à la suite de celui de 6ème dans le but de

renforcer , simplifier l’enseignement des mathématiques par la méthode active. Il tient
compte du fait que certains enseignants ne couvrent pas largement les programmes en
classe de 6ème donc revient sur certaines notions vues en classe de 6ème pour permettre
aux professeur de s’assurer qu’il est suivis dans son évolution par tous les élèves. Il met
au centre l’élève dans l’apprentissage et donne les pistes aux enseignants ou mieux encore
les présente un façon très efficace et pratique d’enseigner cette matière qui ne cesse d’être
traitée de "bête noire" et "d’inaccessible" par les élèves.
Il nous présente également des Devoirs de Maison (DM) et des exemples de contrôles
et d’évaluations pour permettre à l’élèves de joindre à cet enseignement de qualité un test
de son acquisition.
J’apprends et J’enseigne les MATHS c

TIA TANEKOU ROMARIC [PLEG en Maths] 2013-2014.
Table des matières
RESUME i
1 RAPPELS 1
1.1 Configuration du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 FIGURES SYMÉTRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 DISTANCE 8
2.1 CERCLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 Cordes d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.2 Intérieur et extérieur d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.3 Le disque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Propriétés d’un triangle et d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Propriétés d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 Propriétés d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Résolution des problèmes de distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 FIGURE SYMÉTRIQUES PAR RAPPORT A UN POINT 14

3.1 Nouvelles propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.1 Symétrie d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.2 Symétrique du milieu d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.3 Symétrique de deux droites perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.4 Symétrique de deux droites parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 ANGLES 18
4.1 Angles complémentaire - Angles supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.1.1 Angles supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

TABLE DES MATIÈRES iii
4.1.2 Angles complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2 Angles opposés par sommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Angles formés par les droites sécantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3.1 Présentation et vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3.2 Angles formés par deux droites parallèles et une sécante . . . . . . . 21
4.3.3 Justification du parallélisme de deux droites . . . . . . . . . . . . . 22
4.4 Angles dans un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4.1 Somme des mesures des angles dans un triangle . . . . . . . . . . . 24
4.4.2 Construction d’un triangle connaissant les mesures de ses côtés . . . 25
4.4.3 Construction d’un triangle au rapporteur connaissant les mesures
de deux angles au sommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 FIGURES SYMÉTRIQUES PAR RAPPORT A UNE DROITE 26

5.1 Nouvelles propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.1.1 Symétrique d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.1.2 Symétrique de deux droites perpendiculaires - Symétrique de deux
droites parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6 MÉDIATRICE D’UN SEGMENT 29

6.1 Propriétés de la médiatrice d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.1.1 Propriété directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.1.2 Propriété réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.2 Construction de la médiatrice d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2.1 Méthode : Utilisation du compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2.2 Construction au compas et à la règle de la droite passant par un
point et perpendiculaire à une droite donnés . . . . . . . . . . . . . 31
6.3 Cercle circonscrit à un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.4 Régionnement du plan par la médiatrice d’un segment . . . . . . . . . . . . 32
7 TRIANGLES PARTICULIERS 34
7.1 Triangle isocèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7.2 Triangle équilatéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7.3 Triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8 PARALLÉLOGRAMME 36
8.1 Parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

TABLE DES MATIÈRES iv
8.1.1 Propriétés d’un parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

8.2 Parallélogrammes particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8.2.1 Le rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8.2.2 Le carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8.3 Bilan sur le parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9 POLYGONES PARTICULIERS 39
9.1 Trapèze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
9.1.1 Observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
9.1.2 Trapèze rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
9.1.3 Trapèze isocèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
9.2 Aire d’un trapèze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
9.3 Hexagone et octogone réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
9.4 Octogone régulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
10 PRISME DROIT 43
10.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
10.2 Dimensions d’un prisme droit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
10.2.1 Volume d’un prisme droit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
10.2.2 Aire du prisme droit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
10.3 La pyramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
10.3.1 Présentation (Histoire des pyramides de Khéops en Egypte) . . . . 44
11 RAPPELS SUR LES ACTIVITÉS NUMÉRIQUES 46

11.1 Nombres entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
11.2 Nombres décimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
11.3 Fraction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
11.3.1 Fraction égales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
11.3.2 Fractions décimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
11.3.3 Opération sur les fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
11.4 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
11.5 Proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
11.5.1 Les échelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

TABLE DES MATIÈRES v
12 NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS 51

12.1 Présentation des nombres décimaux relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
12.1.1 Les entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
12.1.2 Les nombres décimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
12.2 repérage des nombres décimaux relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
12.2.1 Droite graduée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
12.2.2 nombres opposés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
12.2.3 Distance à zéro d’un nombre décimal relatif . . . . . . . . . . . . . 53
12.3 Comparaison des nombres décimaux relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
12.3.1 Nombres relatifs de signes différents . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
12.4 Nombres décimaux relatifs positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
12.4.1 Cas des nombres décimaux relatifs positifs ayant la même partie
entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
12.4.2 Cas particulier des nombres décimaux relatifs positifs ayant des par-
ties entières différents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
12.5 Nombres décimaux négatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
13 SOMME ET DIFFERENCE DE NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS 55

13.1 Somme de deux nombres décimaux relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
13.1.1 Cas de deux nombres décimaux opposés . . . . . . . . . . . . . . . 55
13.1.2 Cas de deux nombres décimaux de même signe . . . . . . . . . . . . 55
13.1.3 Cas des nombres décimaux ayant des signes contraires . . . . . . . . 56
13.1.4 Cas de plusieurs nombres décimaux relatifs . . . . . . . . . . . . . . 56
13.2 Différence entre deux nombres décimaux relatifs . . . . . . . . . . . . . . . 57
13.3 Equation dun type x + b = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
14 PUISSANCE ENTIÈRE D’UN NOMBRE DECIMAL 60

14.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
14.1.1 Le carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
14.1.2 Le cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
14.2 Calcul avec les puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
14.2.1 Nouvelle priorité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
14.2.2 Calcul de (a × b)p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
14.2.3 Calcul de am × an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

TABLE DES MATIÈRES vi
15 FRACTIONS 63
15.1 Nombre premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
15.1.1 Recherche des nombres premiers entre 1 et 100 . . . . . . . . . . . . 63
15.2 Decomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers . . . . . . . . 65
15.3 Fraction irréductible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
15.3.1 Notion de PGCD de deux nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
15.3.2 Recherche de PGCD de deux nombres . . . . . . . . . . . . . . . . 65
15.3.3 Simplification des fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
15.4 Somme et différence de deux fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
15.4.1 Cas des fractions ayant même dénominateur (Voir chapitre 1 sur les
rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
15.4.2 Cas des fractions qui ont des dénominateurs différents . . . . . . . . 67
15.5 Addition et soustraction de deux fraction à dénominateurs différents . . . . 68
15.6 Comparaison de deux fractions-Encadrement . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
15.6.1 Comparaison de deux fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
15.6.2 Cas de deux fractions n’ayant rien en commun . . . . . . . . . . . . 69
15.6.3 Écriture d’un fraction ab sous la forme q + rb avec r < b . . . . . . . 70
15.6.4 Encadrement d’une fraction par deux nombres décimaux . . . . . . 70
15.7 Produit de deux fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
15.7.1 Produit d’une fraction et d’un nombre entier naturel (Voir chapitre
1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
15.7.2 Produit de deux fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
15.7.3 Puissance d’une fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
15.8 Resolution des problèmes avec le PPCM et le PGCD . . . . . . . . . . . . 72
16 PROPORTIONNALITE 73
16.1 Exemple de coefficient de proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
16.1.1 Vitesse moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
16.1.2 Débit moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
16.1.3 Masse volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
16.1.4 Échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
16.1.5 Pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
16.2 Représentation graphique des tableaux de proportionnalité . . . . . . . . . 76
16.2.1 Repérage dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
16.2.2 Représentation d’un point dans un repère . . . . . . . . . . . . . . 76

TABLE DES MATIÈRES vii
16.2.3 Représentation graphique d’un tableau de proportionnalité . . . . . 77
17 PRODUIT DE DEUX NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS 79

17.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
17.1.1 Produit des signes dans une multiplication . . . . . . . . . . . . . . 79
17.1.2 Règle à suivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
17.1.3 Resolution de l’équation a × x = b ou a × · · · = b . . . . . . . . . . 80
17.2 Produit de plusieurs nombres décimaux relatifs . . . . . . . . . . . . . . . 80
17.3 Puissance d’un nombre décimal relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
17.3.1 Cas d’un nombre décimal positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
17.3.2 Cas d’un nombre décimal négatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Chapitre Un
RAPPELS
¨ Objectif : Rappeler certaines notions de geometries vues dans la classe de 6ème

que nous prolongerons en classe de 5ème.
1.1 Configuration du plan

1. Deux droites (D1 ) et (D2 ) perpendiculaires à une même droite (D3 ) sont parallèles :
2. La médiatrice d’un segment est un droite perpendiculaire à ce segment en son milieu :
3. La bissectrice d’un angle est la droite qui passe par le sommet de cet angle divisant
l’angle en deux angles de même mesure :

1.1 Configuration du plan 2
4. Une hauteur d’un triangle est la droite qui passe par un sommet de ce triangle et
perpendiculaire au côté opposé à ce sommet :
5. Un triangle isocèle est un triangle possédant deux côtés égaux ou deux angles égaux :
6. Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés sont tous égaux ou encore
les trois angle aux sommets sont tous égaux :

1.1 Configuration du plan 3
7. Un parallélogramme est un quadrilatère vérifiant les trois conditions suivantes :

– Ses côtés opposés sont deux à deux parallèles.
– Ses côtés opposés sont deux à deux égaux.
– Ses diagonales se coupent en leurs milieux.
8. Un losange est un parallélogramme dont les quatre côtés sont tous égaux ou dont
deux côtés consécutifs sont égaux :
9. Un rectangle est un parallélogramme possédant un angle droit à l’un de ses sommets :

1.2 FIGURES SYMÉTRIQUES 4
10. Un carré est un rectangle dont deux côtés consécutifs sont égaux, ou un losange
dont l’un des sommet possède un angle droit :
1.2 FIGURES SYMÉTRIQUES

1. – Deux points M et M 0 sont symétriques par rapport à un point I si I est le milieu
du segment [M M 0 ].
– I est son propre symétrique par rapport à I.
2. – Deux points A et A0 sont symétriques par rapport à une droite (D) si (D) est la
médiatrice de [AA0 ].
– Le symétrique d’un point de (D) par rapport à (D) est ce point lui même.
3. – Le symétrique d’une droite (D) ne passant pas par I par rapport à un point I est
une droite qui lui est parallèle.
– Le symétrique d’un segment par rapport à un point I donne un segment qui lui
est égal.


4. – Le symétrique d’une droite (D) par rapport à une droite (L) donnée est une droite
(D0 ).
– Le symétrique d’un segment [AB] par rapport à I donne un segment [A0 B 0 ] qui
lui est égal.
5. Le symétrique d’un angle par rapport à un point I donne un angle de même mesure
que le premier :

6. Le symétrique d’un angle par rapport à une droite (D) est un angle de même mesure
que le premier :

Chapitre Deux
DISTANCE
¨ Objectif :
A la fin de ce chapitre, l’élève doit pouvoir :
– Caractériser un cercle, un disque, un triangle à partir de la notion distance.
– Utiliser la notion de distance pour résoudre les problèmes.
¨ Pré-requis : La longueur d’un segment
Exercice d’application 2.0.1. 1. Construire les segments de longueur 2cm, 3, 6cm, 5, 8cm.
2. Le prof peut construire ici des segments et les faire mesurer par les élèves pour
déterminer leurs longueurs.
2.1 CERCLES
Définition 2.1.1. Un cercle de centre A et de rayon r noté C(A, r) est l’ensemble des
points M du plan situés à une distance r de A (c’est à dire l’ensemble des points M du
plan vérifiant AM = r).
2.1.1 Cordes d’un cercle

Définition 2.1.2. C’est tout segment qui lie deux points quelconques situés sur ce cercle.
Exemple
NB : Le diamètre d’un cercle est toute corde du cercle passant par son centre : c’est
la corde la plus grande dans un cercle.
2.1.2 Intérieur et extérieur d’un cercle

Activité 2.1.1. 1. Construis un cercle C(O, 4).

2.2 Propriétés d’un triangle et d’un segment 9
2. Représente quatre points A, B, C, D dans le cercle , deux points E et F sur le

cercles et trois points I, J, K hors du cercle .
3. Compare les distance OA, OB, OC, OD, OI, OJ, OK, OE, OF au rayon du
cercle
Propriété 2.1.1. Soit (C) un cercle de centre O et de rayon r.

1. Un point M est à l’intérieur de (C) s’il vérifie OM < r. De même, si OM < r,
alors M est à l’intérieur de (C). Exemple :A, B, C, D.
2. Un point M est à l’extérieur de (C) s’il vérifie OM > r. De même, si OM > r,
alors M est à l’extérieur de (C). Exemple :I, J, K.
3. Un point M appartient au cercle C si OM = r. De même, si M O = r, alors on écrit
M ∈ (C) et on lit M appartient au cercle (C). Exemple : E, F .
2.1.3 Le disque
Définition 2.1.3. Un disque de centre O et de rayon r noté D(O, r) est l’ensemble
des points M situés à l’intérieur de C(O, r) (OM < r), et des points situés sur le cercle
C(O, r) (OM = r).
Exemple :
DM 1. 1a, 1b, 1c, 1d, 1, 2, 3, 4 du livre de la collection CIAM.
2.2 Propriétés d’un triangle et d’un segment

2.2.1 Propriétés d’un triangle
Activité 2.2.1. 1. Construis trois triangles quelconques ABC.

2.2 Propriétés d’un triangle et d’un segment 10
2. Dans chacun des cas ,mesure les distances AB, BC, et AC.
3. Comparer AB + BC et AC, AC + CB et AB , BC + CA et AB.
Propriété 2.2.1. Dans un triangle, la mesure d’un côté est plus petite que la somme
des mesures des deux autres :
Activité 2.2.2. 1. Construis un segment [AB] de longueur 6cm.

2. Marque un point C sur [AB] puis mesure et compare AC + CB à AB.
3. Que forment ABC ?
4. Marque maintenant C 6∈ [AB] puis mesure et compare AC + CB à AB.
5. Que forment les points ABC ?
Propriété 2.2.2. Pour que trois segments formés par trois points non alignés forment
un triangle, il faut que la somme des deux plus petits segments soit supérieure au plus
grand des trois segments :
2.2.2 Propriétés d’un segment

Activité 2.2.3. 1. Construis un segment [AB] de longueur 6cm.

2.3 Résolution des problèmes de distance 11
2. Marque un point C ∈ [AB] puis mesure les distances AB, CB et AB.

3. Compare AC + CB et AB
Propriété 2.2.3. Si M ∈ [AB] où [AB] est un segment donné, alors AM + M B = AB.
2.3 Résolution des problèmes de distance

Exercice d’application
Deux villages chinois Yin et Yon veulent faire un pont pour tra-
verser la rivière qui les séparent de la ville. Ils sont distants de
7km ; les habitants de Yon veulent que ce pont soit à mois de 4km
de leurs village et ceux de Yin veulent que ce pont soit à moins
de 3.5km de chez eux.
Dessiner avec un échelle 1km → 1km la portion de terrain où
un pont arrangerait les deux villages.
Est-il possible qu’un pont à moins de 3km du village Yin arrange
encore les deux village ?

Solution :
1.

Nous faisons un disque D(Y on, 4) et un disque D(Y an, 3, 5) ; ces deux disque se
rencontrent à la partie coloriée en rouge matérialisant la zone où un point arrangerait
les deux villages .
2.
Non il n’est pas possible de construire un pont à moins de 3km des populations de Yon
il avantagerait plutôt cette population car les deux disque ne se rencontrent plus en
délimitant une partie de terrain.
Remarque 2.3.1. Pour trouver un arrangement de distance qui met en accord deux
camps ou deux points dans une situation problème, il suffit de fair des disque de centre
ces deux points et voir si la rencontre de ces deux disques délimite une région : elle sera
ici solution du problème posé.
DM 2. 2b, 2c, 2d, 5, 9, 11, 12, 17, 19 du livre de la collection CIAM.

Chapitre Trois
FIGURE SYMÉTRIQUES PAR

RAPPORT A UN POINT
¨ Importance dans la vie pratique : Ce chapitre intervient :

– En artisanat pour la réalisation de nombreux chefs d’oeuvres.
– En infographie pour réaliser des montages.
¨ Objectif :
– Donner des propriétés additionnelles à ceux de la classe de 6me sur les symétries
par rapport à un point.
– Caractériser le milieu d’un segment.
¨ Pré-requis : L’élève aura besoin de la notion de symétrie par rapport à un point
de la classe de 6me. (L’enseignant peut faire une évaluation test en salle).
3.1 Nouvelles propriétés

3.1.1 Symétrie d’un cercle
Activité 3.1.1. 1. Construis un cercle (C) de centre O et de rayon 4cm puis marque
un point M sur (C) et un point M sur (C).
2. Trouve les symétriques O0 et M 0 de O et M par rapport à I.
3. Trace le cercle de rayon O0 M 0 de centre O0 .
4. Compare son rayon à celui de (C). Que constater ?
Propriété 3.1.1. Le symétrique d’un cercle par rapport à un point donne un cercle de
même rayon.

3.1 Nouvelles propriétés 15
3.1.2 Symétrique du milieu d’un segment

Activité 3.1.2. 1. Tracer un segment de longueur 8cm et placer son milieu I.
2. Place O sur la feuille de papier puis représente les images A0 , B 0 , I 0 de A, B, I par
la symétrie de centre O.
3. Comparer [A0 I 0 ] et [I 0 B 0 ]. Que représente I 0 pour [A0 B 0 ].
Propriété 3.1.2. Le symétrique du milieu d’un segment par rapport à un point donne
le milieu du segment image :
DM 3. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11 du livre de la collection CIAM.
3.1.3 Symétrique de deux droites perpendiculaires

Activité 3.1.3. 1. Tracer deux droites perpendiculaires (D1 ) et (D2 ) puis placer O
tel que O 6∈ (D1 ) et O 6∈ (D2 ).
2. Construire les symétriques (D10 ) et (D20 ) de (D1 ) et (D2 ) par rapport à O.
3. Que dire des droites (D10 ) et (D20 ) ?
Propriété 3.1.3. Le symétrique de deux droites perpendiculaires par rapport à un point

donne deux droites perpendiculaires :
Remarque 3.1.1. Pour trouver le symétrique de deux droites sécantes (D1 ) et (D2 ) par
rapport à une droite O, il suffit de trouver le symétrique d’un point de (D1 ) d’un autre
de (D2 ) et le symétrique de leurs points d’intersection par rapport à O puis on trace les
droites liants les points images et l’image de l’intersection des droites initiales.


3.1.4 Symétrique de deux droites parallèles

Activité 3.1.4. 1. Trace deux droites parallèles (D1 ) et (D2 ) puis place un point O
tel que O 6∈ (D1 ), O 6∈ (D2 ).
2. Représente les symétriques (D10 ) et (D20 ) de (D1 ) et (D2 ) par rapport à O.
3. Que dire des droites (D10 ) et (D20 ).
Propriété 3.1.4. Le symétrique de deux droites parallèles par rapport à un point O

donne deux droites parallèles.

Chapitre Quatre
ANGLES
¨ Objectif :
1. Étudier la notion d’angle.
2. Maîtriser certains propriétés sur les angles.
3. Utiliser les angles pour faire des constructions.
4. Résoudre certains problèmes liés aux angles.
¨ Place dans la vie courante : Ce chapitre intervient fortement dans :
– La Navigation et l’aéronotique pour donner les coordonnées d’une cible.
– L’ armée pour donner les coordonnées géographiques et coder des message liés à une
cible.
– Le codage des informations.
¨ Pré-requis : Définitions générales sur les notions des angles de la classe de 6ème.
4.1 Angles complémentaire - Angles supplémentaires

4.1.1 Angles supplémentaires
Définition 4.1.1. Deux angles A
b et B
b sont dits supplémentaires si A
b+B
b = 180˚

4.1 Angles complémentaire - Angles supplémentaires 19
Exemple : Dans chacun des cas suivants, A

b et B
b sont supplémentaires :
4.1.2 Angles complémentaires

Définition 4.1.2. Deux angles A
b et B
b sont dits complémentaires si A
b+B
b = 90˚
Exemple : Dans chacun des cas suivants, A

b et B
b sont complémentaires :
DM 4. 1a, 1b, 1c, 1d, 1e, 1f, 1g, 1i, 1, 2, 3, 4, 16 du livre de la collection CIAM.

4.2 Angles opposés par sommet 20
4.2 Angles opposés par sommet

Définition 4.2.1. Deux angles sont dits opposés par le sommet si le symétrique de l’un
par rapport à son sommet donne l’autre.
Exemple :
Remarque 4.2.1. AOB

[ et A
\ 0 OB 0 sont symétriques par rapport à O de même pour
\0 et BOA
AOB \0 , donc d’après les propriétés des symétriques de la classe de 6ème, on a :
mesAOB
[ = mesA \0 OB 0 et mesB
\ 0 OA = mesA\ 0 OB. En général, on dira :
Propriété 4.2.1. Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure
4.3 Angles formés par les droites sécantes

4.3.1 Présentation et vocabulaire
– A
c1 et Bc1 sont deux angles dits correspondants ; Il en est de même pour A
c2 et B
c2 ,A
c4
et B
c4 ,A
c3 et B
c3 .

4.3 Angles formés par les droites sécantes 21
– A
c1 et Bc4 sont deux angles dits alternes-internes ; Il en est de même pour A
c3 et B
c2 ,A
c4
et B
c1 ,A
c2 et B
c3 .
4.3.2 Angles formés par deux droites parallèles et une sécante
Activité 4.3.1.
Représente la figure ci-dessous où (D1 ) // (D2 ).

1.
2. Cite tous les angles alternes-internes.
3. Cite tous les angles correspondant.
4. Compare les mesures des couples d’angles correspondants.
5. Compare les mesures des couples d’angles alternes-internes.
6. Que conclure ?
Propriété 4.3.1. 1. Deux angles alternes-internes formés par deux droites parallèles
et une droite sécante aux deux sont égaux.
Exemple : Dans l’activité précédente, on a :
Demander au élèves de faire pareil pour les autres angles de la figure.

2. Deux angles correspondants formés par deux droites parallèles et une droite sécante
aux deux ont la même mesure.
Exemple : Dans l’activité précédente, on a :
Demander au élèves de faire pareil pour les autres angles de la figure.
DM 5. 3a, 3b, 5, 6, 7, 8, 9, 10 du livre de la collection CIAM.
4.3.3 Justification du parallélisme de deux droites

Méthode : il suffit de montrer que ces droites forment avec un sécante deux angles
alternes-internes ou deux angles correspondants de même mesure.
Exercice d’application 4.3.1. Soit la figure suivante ; L’objectif est de montrer que
(D1 ) // (D2 ). Pour cela nous allons montrer que les angles alternes-internes A
c1 et E
c1
formés par (D1 ), (D2 ) et (AE) ont la même mesure.
On a :


4.4 Angles dans un triangle 24
4.4 Angles dans un triangle

4.4.1 Somme des mesures des angles dans un triangle
Activité 4.4.1. 1. Représente trois triangles quelconques ABC.
2. Pour chacun de ces triangles, mesure les angles A,
b Bb et C
b puis calcule A
b+B
b + C.
b
3. Que constate-tu ?
Propriété 4.4.1. Dans un triangle, la somme des mesures des angles au sommet donne
toujours 180˚.
NB : Cette formule permet de calculer les angles dans les figures particulières où l’on
a donné la mesure de certains.
Exemple : En considérant les figures ci-dessous calcule l’angle Ab dans chaque cas :
Solution :
1. On sait que A
b+B b+C b = 180˚ or C
b = 90˚ et B
b = 30˚ donc : Ab = 180˚− Bb−C b=
180˚− 90˚− 30˚= 60˚; On conclut que A b = 60˚.
2. On sait que A
b+ Bb+C b = 180˚or le triangle ABC est équilatéral d’où A
b=B b=C b;
donc on obtient 3A
b = 180˚ ce qui conduit à A b = 180˚ : 3 = 60˚. On conclut donc
que A
b=B b=C b = 60˚.
3. On sait que A+
b Bb +C b = 180˚or Bb=C b d’où on obtient A+
b Bb +B
b = 180˚c’est à dire
que A
b + 2Bb = 180˚. On a alors A
b = 180˚− 2Bb = 180˚− 2 × 50 = 180˚− 100˚= 80˚.
On conclut donc que A b = 80˚.
4. A
b = 180˚− B b−C b = 180˚− 46˚− 84 = 60˚

4.4 Angles dans un triangle 25
4.4.2 Construction d’un triangle connaissant les mesures de ses

côtés
Soit à construire le triangle ABC tel que : AB = 5cm, AC = 4cm et BC = 7cm.
Méthode :
1. On construis d’abord un segment [AB] de longueur 5cm.
2. On place la pointe sèche du compas en A et on fait un arc de cercle de rayon 4cm
d’un côté du segment [AB].
3. On place la pointe sèche du compas au point B puis on fait un arc de cercle de
rayon 7cm du même côté que l’arc précédent et on prolonge au besoin les deux arcs
jusqu’à leur rencontre.
4. C est l’intersection des deux arcs en question.
4.4.3 Construction d’un triangle au rapporteur connaissant les

mesures de deux angles au sommet
Soit à construire un triangle ABC tel que mesA
b = 64˚, mesB
b = 46˚.
Méthode :
1. On construit le segment [AB] en respectant sa longueur.
2. On place l’axe central du rapporteur en A et on représente un angle de 64˚ de
sommet A.
3. On place l’axe central du rapporteur en B et on représente un angle de 46˚de sommet
B. On prolonge au besoin les support des angles A b et B
b jusqu’à leur rencontre.
4. On note C le point de rencontre des supports précédents.
DM 6. 4e, 11, 12, 14, 16, 18, 19, 20, 22, 23, 27, 29 du livre de la collection CIAM.

Chapitre Cinq
FIGURES SYMÉTRIQUES PAR

RAPPORT A UNE DROITE
¨ Objectif :
Nous voulons ici compléter les notions vues en classe de 6ème.
¨ Place dans la vie courante :
Ce chapitre intervient fortement en :
– Optique géométrique.
– Infographie informatique.
– Artisanat dans la réalisation de nombreux chefs d’oeuvres.
¨ Test de pré-requis : Exercices 1a, 1b, 1c, 1d, 1e, 1, 2, 3, 4, 5 du livre de la
collection CIAM
5.1 Nouvelles propriétés

5.1.1 Symétrique d’un cercle
Activité 5.1.1. 1. Construis un cercle (C) de centre O et de rayon 4cm puis place un
point M ∈ (C).
2. Construis une droite (D) quelconque.
3. Construis les symétriques O0 et M 0 de O et M par la symétrie rapport à (D).
4. Trace le cercle (C 0 ) de rayon O0 M 0 .
5. Compare les rayon OM et O0 M 0 de (C) et (C 0 ) puis conclus.
Propriété 5.1.1. Le symétrique d’un cercle (C) de centre O par rapport à une droite
(D)donne un cercle de même rayon que le premier.

Activité 5.1.2. 1. Construis un segment [AB] de longueur 6cm et de milieu I.

2. Trace un droite ( D) quelconque.
3. Construis les images A0 , I 0 , B 0 de A, B, I par la symétrie par rapport à (D.
4. Comparer les segments [AB] et [A0 B 0 ]
5. Compare A0 I 0 et I 0 B 0 . Que représente I 0 pour [A0 B 0 ].
Propriété 5.1.2. 1. Le symétrique d’un segment par rapport à une droite donne un
segment de même longueur.
2. le symétrique du milieu d’un segment par rapport à une droite donne le milieu du
segment image.
5.1.2 Symétrique de deux droites perpendiculaires - Symétrique

de deux droites parallèles
Activité 5.1.3. 1. Construis trois droites (D1 ), (D2 ), (D3 ) telles que : (D1 ) // (D2 ),
(D3 ) ⊥ (D1 ).
2. Représente un droite quelconque (D).
3. Représente les symétriques (D10 ), (D20 ) et (D30 ) de (D1 ), (D2 ) et (D3 ) par rapport à
(D).
4. (a) Que dire de (D10 ) et (D20 ) ?
(b) Que dire de (D30 ), (D10 ) ?

5. Que peux tu conclure ?
Propriété 5.1.3. 1. Le symétrique de deux droites parallèles par rapport à une droite
(D) donne deux droites parallèles :
2. Le symétrique de deux droites perpendiculaires par rapport à une droite (D) donne
deux droite perpendiculaires :
DM 7. 2b, 1e, 6, 8, 10, 1é, 14 du livre de la collection CIAM.

Chapitre Six
MÉDIATRICE D’UN SEGMENT
¨ Objectif :
1. Reconnaître la médiatrice d’un segment.
2. Caractériser la médiatrice d’un segment.
3. Caractériser le cercle circonscrit à un triangle.
6.1 Propriétés de la médiatrice d’un segment

6.1.1 Propriété directe
Activité 6.1.1. 1. Construis un segment [AB] de longueur 8cm puis sa médiatrice.
2. Place quatre point R, P, Q, S sur la médiatrice (D) de [AB].
3. Compare après mesure les couples P A et P A, RA et RB, QA et QB puis SA et
SB.
4. Quel relation vérifie alors un point M quelconque de cette médiatrice ?
Propriété 6.1.1. Si un point est sur la médiatrice d’un segment alors, il est équidistant
de ses extrémités.
NB :
– équidistant= situé à égal distance
– Le triangle M AB est isocèle en M.

6.1 Propriétés de la médiatrice d’un segment 30
6.1.2 Propriété réciproque

Activité 6.1.2. 1. Construire un segment [AB] tel que AB = 8cm.
2. Placer les points M, P, R tels que :
– M A = 6cm et M B = 6cm
– P A = 5cm et P B = 5cm
– RA = 3cm et RB = 3cm
3. Tracer la droite (M P ) ; M ∈ (M P ) ?
4. Que dire des points M, P, R.
5. (M P ) ⊥ (AB) ?
6. Noter I l’intersection de (M P ) et (AB) puis compare IA et IB.
7. Que représente alors (M P ) pour la droite (AB) ?
Propriété 6.1.2. Si un point est équidistant des extrémités d’un segment , alors il
appartient à la médiatrice de ce segment.

6.2 Construction de la médiatrice d’un segment 31
6.2 Construction de la médiatrice d’un segment

6.2.1 Méthode : Utilisation du compas
Soit à construire la médiatrice d’un segment [AB] tel que AB = 8cm.
1. Construis le segment [AB] tel que Ab = 8cm.
2. Place la pointe sèche du compas en A et écarte le à un peu plus de la moitié de
[AB] que tu estime puis fais avec cet écart un arc de cercle de centre A de part et
d’autre de [AB].
3. Sans modifier l’écart précédent, place la pointe sèche du compas en B et fais un
arc de cercle de centre B de part et d’autre de [AB] et prolonger au besoin les arcs
tracés jusqu’à leur rencontre en deux points distincts.
4. La droite qui lie les deux intersection des arcs de cercles tracés est la médiatrice de
[AB].
6.2.2 Construction au compas et à la règle de la droite passant

par un point et perpendiculaire à une droite donnés
Soit à construire une droite passant par un point A et perpendiculaire à une autre
droite donnée (D).
Méthode :
1. Place la pointe sèche du compas en A et fais deux arcs de cercles coupants (D).
2. Garde l’écart précédent et place la pointe sèche du compas sur chaque marque et
fais deux arcs de cercle de l’autre côté de (D) où A n’appartient pas puis noter B
l’intersection des deux nouveaux arcs.
3. La droite (AB) est la médiatrice de [AB].
DM 8. 1a, 1b, 1c, 1d, 1e, 1, 2, 3, 4, 2a, 2c, 5, 6, 7, 15, 17, 2à du livre de la collection
CIAM.
6.3 Cercle circonscrit à un triangle

Activité 6.3.1. 1. Construis un triangle ABC.
2. Construis les médiatrices de [AB], [AC] et [BC]. Que dire de ces médiatrices ?

6.4 Régionnement du plan par la médiatrice d’un segment 32
3. Note I leur point d’intersection et construis le cercle (C) de centre I passant par A.
B ∈ (C) ?, C ∈ (C) ?
Propriété 6.3.1. Les médiatrices d’un triangle sont toujours concourantes ; Leur point
d’intersection est le centre d’un cercle passant par ses trois sommets.
Définition 6.3.1. Le cercle qui passe par les trois sommets d’un triangle est appelé
cercle circonscrit au triangle.
NB : En pratique, deux médiatrices suffisent pour construire le cercle circonscrit à un

triangle.
6.4 Régionnement du plan par la médiatrice d’un seg-

ment
Activité 6.4.1. 1. Construis un segment [AB] de longueur 6cm puis sa médiatrice
(D).
2. Place trois points P, Q, R à gauche de cette médiatrice et trois points M, S, T à
droite de la médiatrice.
3. Comparer P A à P B, QA à RA à M A à M B, SA à SB et T A et T B.
4. Que peux-tu conclure.

6.4 Régionnement du plan par la médiatrice d’un segment 33
Propriété 6.4.1. La médiatrice (D) d’un segment [AB] determine deux région :
– Une région contenant A qui est l’ensemble des points M vérifiant M A < M B.
– Une région contenant B qui est l’ensemble des points M vérifiant M A > M B.
Remarque 6.4.1. l’une des situations M A > M B, M A < M B, M A = M B nous

donne également la position de M par rapport à la médiatrice de [AB].
DM 9. 2a, 2b, 2c,4b, 4c, 5, 6, 7,11, 12, 25,27, 15, 17, 20 du livre de la collection CIAM.

Chapitre Sept
TRIANGLES PARTICULIERS
¨ Objectif : Caractériser les triangles particuliers : isocèles, équilatéraux, rectangle

de plusieurs manières.
7.1 Triangle isocèle

Activité 7.1.1. 1. Construis un triangle isocèle ABC tel que [BC] = 6cm.
2. Construis la médiatrice (D) de [BC].
3. Quel est le symétrique de ABC par par rapport à (D) ?
4. Que représente alors (D) pour le triangle ABC.
Propriété 7.1.1. Un triangle isocèle possède un axe de symétrie qui est la média-
trice de sa base.
Comparer B
b et C.
b
Propriété 7.1.2. – Un triangle isocèle possède deux angles de même mesure.

– Un triangle isocèle possède deux côtés de même longueur.
DM 10. 1a, 1b, 1c, 1, 2, 3, 4, 5, 6 du livre de la collection CIAM.
7.2 Triangle équilatéral

Activité 7.2.1. 1. Construis un triangle équilatéral ABC de côté 5cm.
2. Construis les médiatrices (D1 ), (D2 ) et (D3 ) de ses côtés.
3. Quel est le symétrique de ce triangle par rapport à chacune de ses médiatrices.
4. Que peut-on alors conclure ?

7.3 Triangle rectangle 35
Propriété 7.2.1. – Un triangle équilatéral possède trois axes de symétries qui

sont les médiatrices de ses côtés.
– Un triangle équilatéral â ses trois côtés tous égaux.
5. Compare les angles A,
b Bb et C
b et conclus.
Propriété 7.2.2. Un triangle équilatéral possède trois angles tous égaux à 60˚.
Remarque 7.2.1. Un triangle équilatéral est un triangle isocèle car il possède toutes
ses propriétés.
7.3 Triangle rectangle

Activité 7.3.1. 1. Construis un triangle rectangle ABC tel que AB = 4cm et AC =
3cm et BC = 5cm.
2. Que vaut l’angle A,
b Bb+C
b?
3. Que dire des angles B

b et C.
b
Proposition 7.3.1. Un triangle rectangle possède deux angles complémentaires.

4. Comparer BC et AB puis BC et AC.
Définition 7.3.1. Le côté le plus long d’un triangle rectangle est appelé hypothe-
nuse de ce triangle.
5. Soit O le milieu de [BC]. Construis le cercle (C) de centre O et de rayon OB.
A ∈ (C) ?
Propriété 7.3.1. Si un triangle ABC est rectangle en A, alors le cercle de dia-
mètre [BC] passe par A.
DM 11. 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 21, 24, 26, 28 du livre de la collection CIAM.

Chapitre Huit
PARALLÉLOGRAMME
¨ Objectif : A la fin de ce chapitre, l’élève doit pouvoir :

1. Prolonger les propriétés d’un parallélogramme.
2. Caractériser de nouveau les parallélogrammes particuliers tels les rectangles, les
losanges, les carrés.
¨ Pré-requis : Pour suivre sans aucune ambiguïté ce chapitre l’élève doit reviser la
notion de parallélogramme de la classe de 6ème.
8.1 Parallélogramme
8.1.1 Propriétés d’un parallélogramme
Activité 8.1.1. 1. Construis un parallélogramme ABCD puis note O le point d’in-
tersection de ses diagonales.
2. Quel est le symétrique de B
b par rapport à O ? Quel est le symétrique de A
b par
rapport à O ?
3. Comparer alors les angles B
b et D
b puis A
b et C.
b
Propriété 8.1.1. Dans un parallélogramme, les angles des sommets opposés sont
deux à deux égaux.
4. calculer A
b + B,
b puis C
b + D.
b Que constate tu ?
Propriété 8.1.2. Dans un parallélogramme, les angles de deux sommets consécu-

tifs sont supplémentaires.

8.2 Parallélogrammes particuliers 37
8.2 Parallélogrammes particuliers

8.2.1 Le rectangle
Activité 8.2.1. 1. Construis un rectangle quelconque ABCD.
2. Comparer AC et BD puis conclure.
Propriété 8.2.1. Les diagonales d’un rectangle ont la même mesure.
3. Construis les symétriques respectifs (D1 ) et (D2 ) de (AB) et (BC).
4. Quel est le symétrique de ABCD par rapport à (D1 ) puis par rapport à (D2 ).
Propriété 8.2.2. Dans un rectangle, les médiatrices des côtés sont des axes de
symétrie de ce rectangle.
NB : Les diagonales du rectangle sont aussi des axes de symétrie.
Remarque 8.2.1. 1. Un rectangle est un parallélogramme ayant un angle droit.

2. Un rectangle est un parallélogramme dont les diagonales sont égaux.
8.2.2 Le carré
Propriété 8.2.3. Un carré est un parallélogramme qui est à la fois un losange et un
rectangle.
8.3 Bilan sur le parallélogramme

8.3 Bilan sur le parallélogramme 38

Chapitre Neuf
POLYGONES PARTICULIERS
¨ Objectif : Prolonger les polygones vus dans les classes intermédiaires.
9.1 Trapèze
9.1.1 Observation
1. Sur une feuille de papier, découpe un triangle quelconque.
2. Trace un droite parallèle à sa base puis découpe la feuille suivant la trace :
La figure obtenue par cette procedure est un trapèze
Définition 9.1.1. Un trapèze est un quadrilatère qui a deux côtés de supports parallèles.
Les deux autres côtés sont de supports sécants.
Exemple :
(AB) // (BC)
les côtés AD et BC sont appelés les bases
[AD] est appelé petite base et [BC] est appelé grande base.
9.1.2 Trapèze rectangle

Définition 9.1.2. Un trapèze rectangle est un trapèze qui pos-
sède un angle droit.
Remarque 9.1.1. On peut le découper à partir d’un triangle rectangle :

9.2 Aire d’un trapèze 40
Exemple :
9.1.3 Trapèze isocèle

Définition 9.1.3. Un trapèze isocèle est un trapèze qui a ses cotés de support sécants
de même longueur :
Remarque 9.1.2. On peut le découper à partir d’un triangle isocèle :
Propriété :
Un trapèze isocèle possède un axe de symétrie
qui est la médiatrice de ses bases.
(L) est médiatrice de [AB].
(L) est la médiatrice de [DC]
mesA b = mesBb et mesC b=D b
9.2 Aire d’un trapèze

Formule : D’après la figure, nous constatons que le trapèze est la moitié d’un paral-
lélogramme donc nous avons :

9.3 Hexagone et octogone réguliers 41
1. L’aire du parallélogramme ADEF est (a + b) × h

(a+b)×h
2. L’aire du trapèze ABCD est 2
.
9.3 Hexagone et octogone réguliers

Activité 9.3.1. 1. Construis un triangle équilatéral de côté 4cm.
2. Construis les médiatrices (D1 ), (D2 ), et (D3 ) respectifs de [BC], [AB] et [AC].
3. Tracer le cercle circonscrit au triangle ABC et noter F, E, G les points d’intersec-
tion respectifs de ce cercle avec (D1 ), (D2 ) et (D3 ).
4. Construire le polygone AEBF CG.
5. Mesure ses angles au sommet et compare les.
6. Mesure ses côtés et compare les.
Définition 9.3.1. Un hexagone régulier est un polygone inscriptible dans un cercle et

ayant six côtés de même longueur.
Exemple :
9.4 Octogone régulier

Activité 9.4.1. 1. Construis un carré ABCD de côté 4cm.

9.4 Octogone régulier 42
2. Construis les médiatrices de ses côtés (D1 ) et (D2 ).

3. Construis un cercle C circonscrit au carré ABCD puis note E, F, G, H ses points
d’intersection avec (D1 ) et (D2 ).
4. Construis la figure AEBF CGDH puis mesure et compare ses côtés.
5. Mesure et compare les angles de cette figure.
Définition 9.4.1. Un octogone régulier est un polygone inscriptible dans un cercle ayant
huit côtés de même longueur.
Exemple :
DM 12. 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 21 du livre de la collection CIAM.

Chapitre Dix
PRISME DROIT
¨ Objectif : Étudier cette figure en plus de la pyramide.
10.1 Description
C’est une figure que nous pouvons obtenir à côté de nous en divisant un morceau de
savon en deux suivant la diagonale d’une face en regard :
– Les faces latérales sont des rectangles.

– Les deux autres faces sont des polygone superposables appelés bases qui sont des
triangles.
Exemple :
– Le pavé droit est un prisme droit dont les bases sont des rectangles.
– Le cube est un prisme droit dont toutes les faces sont des carrés superposables.

10.2 Dimensions d’un prisme droit 44
10.2 Dimensions d’un prisme droit

10.2.1 Volume d’un prisme droit
Formules : V = B × h ; h = V : B ; B = V : h.
– B est l’aire d’un base (aire du triangle de base et s’exprime en m2 , dm2 , cm2 , · · ·
selon le cas).
– h est la hauteur du prisme droit (elle s’exprime en m, dm, cm, · · · selon le cas).
– V est le volume du prisme droit (il s’exprime en m3 , dm3 , cm3 · · · selon le cas).
NB : Il faut au préalable convertir les données vers la même unité de mesure.
DM 13. 1a, 1b, 1c, 1d, 1e, 1f du livre de la collection CIAM.
10.2.2 Aire du prisme droit

Définition 10.2.1. L’aire du prisme droit est la somme de toutes les aires latérales et
des aires de bases.
Exemple : Pour le prisme représenté dans la description nous avons :

– Alatrale = a × b + a × c + a × d.
– Abases = b×c
2
+ b×c
2
=b×c
– Atotale = Alatrale + Abases .
– Atotale = (a × b + a × c + a × d + b × c)
10.3 La pyramide
10.3.1 Présentation (Histoire des pyramides de Khéops en Egypte)
Exemple

10.3 La pyramide 45
– A est le sommet de la pyramide.

– BECD est la base de la pyramide : ici elle est un rectangle ; Elle peut aussi être
tout quadrilatère, un triangle un hexagone ou un autre polygone.
TAF Faire en Travaux Pratique l’exercice 2a du livre de la collection CIAM.
DM 14. 1, 3, 4, 6, 10, 12, 13, 17, 25 du livre de la collection CIAM.

Chapitre Onze
RAPPELS SUR LES ACTIVITÉS

NUMÉRIQUES
¨ Objectif :
Rappeler toutes les notions vues en classe de 6ème concernant les entiers naturels, les
nombres décimaux relatifs, · · ·
11.1 Nombres entiers naturels

Ce sont des nombres qui nous permettent au quotidien de compter des animaux, des
choses, des biens,· · ·
– Ils s’écrivent avec des chiffres de la liste 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
– On peut les écrire en chiffres ou en lettres
Exemple
– Vingt trois milliards six millions trois cent cinquante quatre mille huit est écris en
Milliard Million Milliers Unités
lettre, en chiffre il s’écrit : c d u c d u c d u c d u
2 3 0 0 6 5 5 4 0 0 8
– 456 020 003 070 est écrit en chiffre, en lettre, il s’écrit : Quatre cent quarante six
milliard vingt million trois mille soixante dix.
– Un entier a est multiple d’un autre b si on peut trouver un entier naturel pouvant
completer ces pointillés : a = · · · × b.
Exemple :
– 78 est un multiple de 13 car : 78 = 6 × 13.
– 24 est un multiple de 8 car : 24 = 8 × 3

11.2 Nombres décimaux 47
NB : Lorsque a est un multiple de b, on dit aussi que b est un diviseur de a.

– Les multiples de 2 se terminent par 0, 2, 4, 8 et ils sont appelés nombres pairs
– Les entiers naturels non multiples de 2 se terminent par 1, 3, 5, 7, 9 et sont appelés
nombres impairs.
– Un nombre est multiple de 3 si la somme de ces chiffres est un multiples de 3.
Exemple : 51 et 1452 sont des multiples de 3 car : 5 + 1 = 6 , 1 + 4 + 5 + 2 = 12 ;
6 et 12 sont des multiples de 3.
– Un nombre entier naturel est multiple de 5 s’il se termine par 0 ou par 5. Exemple :
1545, 4850.
– Un nombre est multiple de 10, 100, 1000, · · · s’il se termine par un zéro, deux zéros,
trois zéros · · ·
11.2 Nombres décimaux

Ce sont des nombres admettant une virgule.
Exemple : 4556, 449 sa partie entière est 4556 et sa partie décimale est 0, 449.
NB :
– La partie décimale commence toujours par un zéro avant la virgule.
– Les entiers naturels sont aussi les nombres décimaux car on peut les adjoindre une
virgule suivie des zéros dits "inutiles".
Exemple : 43 = 43, 0 = 43, 00 = 43, 0000 · · · .
– Pour encadrer un nombre décimal par deux entiers, il faut l’encadrer entre sa partie
entière et le suivant de sa partie entière. Exemple : On veut encadrer 3, 898. Sa
partie entière est 3 donc 3, 898 est entre 3 et 4.
– Pour effectuer de manière performante un calcul comportant simultanément l’addi-
tion et la multiplication, il faut :
1. Effectuer d’abord les calculs dans les parenthèses dans le cas où elles existent.
Exemple :
– 2 × (2 + 3 + 8) = 2 × 13 = 26
– 4 × (5 + 6) = 4 × 11 = 44.
2. Effectuer d’abord la multiplication dans le cas où les parenthèses n’existent
pas. Exemple : 2 × 3 + 6 = 6 + 6 = 12 ; 4 + 3 × 5 = 4 = 15 = 19, 3 × 2 + 6 × 4 =
6 + 24 = 30.
– Les nombres décimaux ont une écriture en lettres ; Exemple :

11.3 Fraction : 48
– 458, 003 s’écrit en lettre : quatre cent cinquante huit unités trois millième.
– 4 535 048, 4506 s’écrit en lettre : quatre million cinq cent trente mille quarante
huit unités quatre mille cinq cent six millième.
11.3 Fraction :
11.3.1 Fraction égales
Ce sont des fractions obtenues en multipliant les composantes de l’une par un même
entier naturel. Exemple :
– 37 = 21
9
= 35
15
48
= 12 Car 21
9
= 7×3 ; 35 = 7×5
3×3 15
, 28 = 7×4
3×5 12 3×4
.
11.3.2 Fractions décimales

Ce sont des fractions dont le dénominateur est 1, 100, 1000, · · · . Exemple : 100
1
;
1335 458 516
10
; 100 ; 1000 .
NB : Un nombre décimal peut s’écrire peut s’écrire sous forme de fraction décimale ;
35
Exemple : 0, 035 = 100 ; 23, 4581 = 254585
1000
.
11.3.3 Opération sur les fractions

En 6ème les fractions manipuler dans cette rubrique ont même dénominateur.
– Pour les additionner, on additionne les numérateurs des deux fractions et on divise
le résultat par leur dénominateur commun. Exemple : 47 + 26 7
= 4+26
7
= 307
; 35 + 18
5
=
3+18 21
5
= 5.
– Pour multiplier une fraction par un entier naturel alors, on multiplie son numérateur
par cet entier en question. Exemple : 8 × 41 5
= 8×41
5
= 328
5
, 7 × 10
3
= 70
3
.
11.4 Division
Le quotient d’une division d’un entier par un autre peut être entier ou pas , on peut
avoir ou pas un nombre fixe de chiffres après la virgule. Exemple :

11.4 Division 49
48 4
−
4 12
08
−
8
0
45 8
−
40 5.6 2 5
50
−
48
2 0
−
1 6
40
−
40
0
16 3
−
15 5.3 3 3 3 3 3 3 3 3
10
−
9
10
−
9
10
−
9
10
−
9
10
−
9
10
−
9
10
−
9
10
−
9
10
−
9
1

11.5 Proportionnalité 50
NB : Dans la deuxième division, le quotient avait un nombre limité de chiffres après

la virgule alors que dans la troisième il avait un nombre illimité de chiffres après la virgule
nous avons choisis de nous arrêter à 9 chiffres après la virgule.
11.5 Proportionnalité
Un tableau est dit tableau de proportionnalité si en multipliant ou en divisant les
éléments d’une ligne on trouve ceux de l’autre ;
Exemple :
11.5.1 Les échelles

Une échelle est un fraction de type a1 .
– Dimension réelles = Dimension sur la carte ×a.
– Dimension sur la carte = Dimension réelle : a.

Chapitre
NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS
¨ Objectif : Approfondir les nombres décimaux vus en classe de 6ème.
12.1 Présentation des nombres décimaux relatifs

Le mot relatif renvoie à la position du nombre décimal par rapport à une origine qu’on
s’est fixée. Ainsi, tout nombre placé à gauche cet origine sera dit négatif et tout autre
placé à droite de cet origine sera dit positif. l’origine est généralement appelée référence :
– Pour la chronologie en histoire, la référence est la naissance de J.C.
– Pour les températures, la référence ou origine est 0˚C.
– Pour les altitudes, la référence est le niveau de la mer.
NB : Les nombres décimaux relatifs ont deux parties à savoir une partie numérique
et un signe.
12.1.1 Les entiers relatifs

Ils ont une partie numérique formée des entiers naturels et ont pour référence ou origine
0.
– Les entiers relatifs positifs sont situés à droites de 0.Exemple : 0, 120, 53, 46, · · ·
– Les entiers relatifs négatifs situés à gauche de 0. Exemple : −4, −150, −148, · · ·
NB : L’ ensemble des entiers relatifs est noté Z et on a :
Z = {· · · , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, · · · }
12.1.2 Les nombres décimaux

Leur référence est aussi 0, ils sont munies d’une virgule et ils sont de deux types :

12.2 repérage des nombres décimaux relatifs 52
– Les nombres décimaux positifs sont situés à droites de 0.Exemple : −1, 35; −625, 453; −42563.4253; −
– Les nombres décimaux négatifs sont situés à droites de 0.Exemple : +3, 446; + 64, 826; +0, 006286; · ·
NB : On peut omettre le signe "+" devant les nombres décimaux positifs.
12.2 repérage des nombres décimaux relatifs

12.2.1 Droite graduée
On peut utiliser les nombres décimaux relatifs pour repérer les points sur une droite
graduée.
Méthode et notation : Il faut d’abord choisir un repère constitué de deux points
dont l’un est l’origine O on le notera (O, I) et on fera correspondre 0 à O et 1 à I.
La distance OI représente l’unité sur le repère : on a donc OI = 1. A chaque point du
repère on fait correspondre un nombre appelé abscisse de ce point.
Exemple :
A a pour abscisse −3, B a pour abscisse +3, C a pour abscisse +5, D a pour abscisse
−2, E a pour abscisse −4, 5. On note alors :
E(−4, 5), A(−3), D(−2), B(+3) et C(+5).
DM 15. 2a, 2b, 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9 du livre de la collection CIAM.
12.2.2 nombres opposés

Définition 12.2.1. Deux nombres relatifs a et b sont dits opposés lorsqu’ils ont :
– La même partie numérique
– Les signes contraires.

12.3 Comparaison des nombres décimaux relatifs 53
Exemple : +3 et −3 ; −6, 003 et +6, 003, −7 et +7 sont des nombres opposés.

Remarque : Sur une droite graduée, deux nombres opposés sont symétriques par
rapport à l’origine ou la référence.
12.2.3 Distance à zéro d’un nombre décimal relatif

Définition 12.2.2. C’est la distance qui sépare le nombre décimal de l’origine.
Exemple : La distance à 0 de A(−3, 5) est 3, 5, la distance à 0 de +7 est 7, la distance
à 0 de 0 est 0.
Remarque : Deux nombres opposés possèdent la même distance à zéro et des signes
contraires.
12.3 Comparaison des nombres décimaux relatifs

12.3.1 Nombres relatifs de signes différents
Propriété 12.3.1. Un relatif négatif est toujours plus petit qu’un nombre relatif positif.
12.4 Nombres décimaux relatifs positifs

12.4.1 Cas des nombres décimaux relatifs positifs ayant la même
partie entière
Méthode : On classe leur parties décimales dans un tableau comportant les dixièmes,
les centième , les millièmes,· · · puis on les compare colonne par colones de la gauche vers
la droite : le plus grand aura l’élément le plus grand de la colonne la plus à gauche que
l’on croisera.
Méthode : On veut comparer 425, 23548 et 425, 235 ;63, 423 et 63, 5 puis 4, 255419 et 4, 2455.
dixièmes centième millième
425 2 3 5 4 8
425 2 3 5 0
63 4 2 3 D’après ce tableau on a : 425, 23548 est plus
63 5
4 2 4 5 4 1 9
4 2 4 0

12.5 Nombres décimaux négatifs 54
grand que 425, 235 on écrit alors 425, 23548>425, 235. De même on aura : 63, 5 > 63, 423
et 4, 24541 > 4, 2455.
Remarque 12.4.1. On peut écrire en même temps que a>b ou que b<a le sens de
l’écriture ne change pas.
12.4.2 Cas particulier des nombres décimaux relatifs positifs ayant

des parties entières différents
Propriété 12.4.1. Si on a à comparer deux nombres décimaux relatifs positifs à parties
entières différentes, alors on choisis comme plus grand des deux celui qui a la plus grande
partie entière.
Exemple : 426, 6358 < 427 et 5, 4 > 4, 587654
12.5 Nombres décimaux négatifs

Propriété 12.5.1. Entre deux nombres décimaux relatifs négatifs, le plus grand est celui
qui a la plus petite partie numérique ou la plus petite distance à zéro.
Exemple : −3 > −7, −3, 1 > −3, 32 et −4, 1654 > −4, 2.
DM 16. 3a, 3b, 3c, 10, 12, 13, 14, 15 du livre de la collection CIAM.

Chapitre
SOMME ET DIFFERENCE DE
NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS
13.1 Somme de deux nombres décimaux relatifs

13.1.1 Cas de deux nombres décimaux opposés
Propriété 13.1.1. La somme de deux nombres décimaux relatifs opposés est nulle.
Exemple : (−7) + (+7) = 0 ; (−4) + (+4) = 0 ; (+5, 638) + (−5, 638) = 0.
13.1.2 Cas de deux nombres décimaux de même signe

Règle :
1. Le résultat de la somme a le signe des deux nombres.
2. Le résultat de la somme a pour partie numérique la somme des parties numériques
des deux nombres.
Exemple : Calculer
– A = (−3, 8) + (−4, 5)
– B = (+8, 635) + (+16, 46)
– C = (−235, 65) + (−4, 35)
Solution :
1
3.8
+ 4.5
8.3

13.1 Somme de deux nombres décimaux relatifs 56
1 1
8.6 3 5
+ 1 6.4 6
2 5.0 9 5
1 1 1
2 3 5.6 5
+ 4.3 5
240
On a alors : A = −8, 3, B = −25, 095 et C = −240.
13.1.3 Cas des nombres décimaux ayant des signes contraires

Règle :
1. Le résultat a le même signe que le nombre décimal qui a la plus grande partie
numérique.
2. Le résultat de la somme a pour partie numérique la différence entre la partie numé-
rique la plus grande et celle de la plus petite.
Exemple : Calculer les sommes suivantes :
– A = (−125, 645) + (+23, 245)
– B = (+15, 128) + (−19, 6)
– C = (−5, 4) + (+13, 647)
Solution
1 2 5.6 4 3
1 1
− 2 3.2 4 5
1 1
1 0 2.3 9 8
1 9.6 1 0
1 1
− 1 5.1 2 8
1 1
4.4 8 2
1 3.6 4 7
− 5.9
7.7 4 7
On a alors : A = −102, 398, B = −4, 482 et C = +7, 747.
13.1.4 Cas de plusieurs nombres décimaux relatifs

Règle : On déplace et regroupe les termes suivants des calculs simples à effectuer.

13.2 Différence entre deux nombres décimaux relatifs 57
Exemple : Effectuer les sommes suivantes :

– A = (+5) + (−6) + (−5) + (+2) + 0 + (−2) + (+3)
– B = (+12, 5) + (+13, 8) + (−10, 9) + (+4, 25) + (+3, 5)
– C = (+17, 89) + (−15, 15) + (+14, 92) + (−8, 08)
Solution :
A = (+5) + (−6) + (−5) + (+2) + 0 + (−2) + (+3)

= (+5) + (−5) + (+2) + (−2) + 0 + (−6) + (+3)
= 0 + 0 + 0 + (−6) + (+3)
= (−6) + (+3)
= −(6 − 3)
A = −3
B = (+12, 5) + (+13, 8) + (−10, 9) + (+4, 25) + (+3, 5)

= (+12, 5) + (+3, 5) + (+13, 8) + (−10, 9) + (+4, 25)
= (+16) + (+2, 9) + (+4, 25)
= (+18, 9) + (+4, 25)
B = +23, 15
C = (+17, 89) + (−15, 15) + (+14, 92) + (−8, 08)

= (+17, 89) + (−8, 08) + (+14, 92) + (−15, 15)
= (+9, 81) + (+14, 92) + (−15, 15)
= (+24, 73) + (−15, 15)
C = +19, 58
13.2 Différence entre deux nombres décimaux relatifs

Propriété 13.2.1. Soustraire deux nombres décimaux relatifs c est ajouter l’un à l’op-
posé de l’autre.
Exemple :
– A = (+5) − (−3) = (+5) + (+3) = +8
– B = (+13) − (+7) = +(13 − 7) = +6

13.3 Equation dun type x + b = a 58
– C = +5, 9) − (−3, 4) = (+5, 9) + (+3, 4) = +9, 3

– D = (−3, 7) − (+15, 2) = (−3, 7) + (−15, 2) = −(3, 7 + 15, 2) = −18, 9
DM 17. 1a, 1b, 1c, 3a, 3b, 1, 2, 8, 9, 11 du livre de la collection CIAM.
13.3 Equation dun type x + b = a

Propriété 13.3.1. a et b étant des nombres décimaux connus, l’équation x + b = a
d’inconnue x a pour solution x = b − a
Exemple : Résoudre les équations suivantes

1. x + (−3) = +4, 6
2. (−3, 1) + t = (+2, 5)
3. v + (+1, 5) = (+3, 7)
4. (−1, 6) + u = (−3, 5)
Solution :
1.
x = (+4, 6) − (−2, 3)
= (+4, 6) + (+2, 3)
= +(4, 6 + 2, 3)
x = +6, 9
2.
(−3, 1) + t = +2, 5
t = (+2, 5) − (−3, 1)
= (+2, 5) + (+3, 1)
= +(2, 5 + 3, 1)
t = +5, 6

13.3 Equation dun type x + b = a 59
3.
v + (+1, 5) = (+3, 7)
v = (+3, 7) − (+1, 5)
= (+3, 7) + (−1, 5)
= +(3, 7 − 1, 5)
v = +2, 2
4.
−4, 6 + u = −3, 5
u = (−3, 5) − (−4, 6)
= (−3, 5) + (+4, 6)
= +(4, 6 − 3, 5)
u = +1, 1
Remarque 13.3.1. Les équations de la forme · · · + b = a se resolvent de la même façon

que celles de la forme x + b = a : la valeur manquante étant b − a
DM 18. 12, 13, 14, 15, 16, 19, 20 21 du livre de la collection CIAM.

Chapitre
PUISSANCE ENTIÈRE D’UN

NOMBRE DECIMAL

1. Mettre un produit sous forme de puissance.
2. Calculer les puissance des nombres décimaux relatifs.
3. Résoudre les équations avec les puissances des nombres entiers.
14.1 Présentation
14.1.1 Le carré
14.1.2 Le cube

14.2 Calcul avec les puissance 61
Côté du cube 4 5 7
Activité 14.1.1. Completer le tableau suivant :
Volume du cube 64 27 8
Définition 14.1.1. a est un entier naturel quelconque, n un entier naturel supérieure

ou égal à 1. an = |a × a × a ×
{za × · · · × a} exprime le produit n fois de l’entier naturel a.
nf acteurs
On lit a puissance n.
NB :
– Si n = 2, a2 se lit a au carré.
– Si n = 3, a3 se lit a au cube.
Remarque 14.1.1. – 0n = |0 × 0 ×
{z· · · × 0} = 0 pour tout entier naturel n ≥ 1
nf acteurs
– 1n = |1 × 1 ×
{z· · · × 1} = 1 pour tout entier naturel n ≥ 1
nf ois
14.2 Calcul avec les puissance

14.2.1 Nouvelle priorité
Règle : Dans une suite d’opérations sans parenthèses, les calcul des puissances sont
prioritaires sur les multiplications, les addition, les soustractions.
Exemple :
– 3 + 42 = 3 + 4 × 4 = 3 + 16 = 19.
– 53 − (2 + 3)2 = 53 − 52 = 5 × 5 × 5 − ×5 × 5 = 125 − 25 = 100.
– 2 + 3 × 42 = 2 + 3 × 4 × 4 = 2 + 3 × 16 = 2 + 48 = 50.

14.2 Calcul avec les puissance 62
14.2.2 Calcul de (a × b)p

Formule : (a × b)p = ap × bp
Exemple :
– (2 × 5)3 = 23 × 53 = 8 × 125 = 1 000.
– 26 × 56 = (2 × 5)6 = 106 = 1 000 000.
– 82 × 52 = (8 × 5)2 = 402 = 1 600.
Remarque : Cette formule nous permet de calculer de manière performante certaines
opérations avec les puissances.
14.2.3 Calcul de am × an
Formule : am × an = am+n
Exemple :
– 105 × 103 = 105+3 = 108
– 72 × 76 = 72+6 = 78
– b3 × b2 = b3+2 = b5
DM 19. 2c, 3, 5, 8,9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19 du livre de la collection CIAM.

Chapitre
FRACTIONS

– Connaître les nombres premiers.
– Connaître les notions de PPCM et de PGCD.
– Résoudre les problèmes avec le PPCM et le PGCD.
– Faire des opérations sur les fractions ayant des dénominateurs différents.
15.1 Nombre premiers

Activité 15.1.1. 1. Donner l’ensemble des diviseurs des nombres suivants : 7, 11, 17, 89.
2. Que constater sur le nombre d’éléments de chacun de ces en sembles ?
Définition 15.1.1. Un premier est un nombre entiers naturel qui possède exactement
deux diviseurs : 1 et lui même.
Exemple : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17

NB : 1 n’est pas premier puisqu’il possède un unique diviseur qui est lui même.
15.1.1 Recherche des nombres premiers entre 1 et 100

Méthode :
1. On écrit sous sous forme de tableau les entiers naturels de 1 à 100.
2. On entoure les nombres premiers connus en commençant par ceux à un chiffre :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
3. On parcourt la liste des autres nombres en barrant les multiples de tous les nombres
précédents.

15.1 Nombre premiers 64
4. Les nombres restant dans la liste et ceux entourés après la procédure sont tous
premiers.
Observation :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14
15
16
17 18
19 20

21
22
23 24
25
26
27
28
29 30

31 32
33
34
35
36
37 38
39
40

41 42
43 44
45
46
47 48
49 50

51
52
53 54
55
56
57 58
59 60

61 62
63
64
65
66
67 68
69
70

71 72
73 74
75
76
77 78
79 80

81
82
83 84
85
86
87
88
89 90

91
92
93
94
95
96
97 98
99
100

NB : Pour les nombres supérieurs à 100, on vérifie si le quotient de leurs division par
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 est entier ou pas. S’il est entier, le nombre en question n’est pas
premier ou s’il s’il n’ est pas entier ou s’il y a reste de division, on vérifie si le quotient de
la division est plus grand que le diviseur ; si c’est le cas, ce nombre est premier.
Exemple :
177 = 2 × 88 + 1
177 = 3 × 59 + 0
Le reste de la division est nul donc 177 n’est pas premier.
163 = 2 × 81 + 1
= 3 × 54 + 1
= 7 × 23 + 1
= 11 × 14 + 9
= 13 × 12 + 7
On constate ici que 13 > 12 et le reste de la division n’est pas nul donc 163 est premier.

15.2 Decomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers
65
15.2 Decomposition d’un nombre en produit de fac-

teurs premiers
Définition 15.2.1. Elle consiste à écrire un nombre sous forme de produit de puissance
de nombres premiers.
Propriété 15.2.1. Tout nombre plus grand que 1 qui n’est pas premier admet une de-
composition en produit de facteurs premiers.
Méthode : On utilise les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 7, 11

Exemple :
5544 2
4832 2
2772 2
2416 2 3960 2
1386 2
1208 2 1975 5
693 3
604 2 395 5
231 3
302 2 79 79
77 7
151 151 1
11 11
1
1
On a donc d’après ce qui précède : 5544 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 11 = 22 × 32 × 7 × 11,
4832 = 25 × 151 et 3960 = 2 × 5 × 5 × 79 = 2 × 52 × 79.
15.3 Fraction irréductible

15.3.1 Notion de PGCD de deux nombres
Définition 15.3.1. Le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de deux nombres a et b
noté P GCD(a, b) est comme son nom l’indique le plus grand élément commun de l’en-
semble des diviseurs de a et b.
15.3.2 Recherche de PGCD de deux nombres

Méthode :
1. On decompose les deux nombres en produit de facteurs premiers.
2. Si un nombre premier apparaît dans les deux décomposition, on le choisis avec sa
plus petite puissance.

15.3 Fraction irréductible 66
3. On Multiplie les nombres choisis précédemment pour avoir le PGCD cherché.

4. Si les deux décompositions n’admettent pas de nombres premier commun, alors
P GCD(a, b) = 1.
Exemple : Calculer : P GCD(144, 108), P GCD(630, 3360), P GCD(21175, 35025).
3360 2
144 2 1680 2
108 2 21175 5 35035 5
72 2 840 2
54 2 630 2 4235 5 7007 7
36 2 420 2
27 3 215 5 847 7 1001 11
18 2 210 2
9 3 43 43 121 11 91 13
9 3 105 5
3 3 1 11 11 7 7
3 3 21 3
1 1 1
1 7 7
1
144 = 24 ×32 , 108 = 22 ×33 , 630 = 32 ×7×7×2×5, 3360 = 25 ×5×5, 21175 = 52 ×112 ×7,
35035 = 5 × 72 × 11 × 13. P GCD(144, 108) = 22 × 32 = 4 × 9 = 36, P GCD(630, 3360) =
2 × 3 × 5 × 7 = 210, P GCD(21175, 35035) = 5 × 7 × 11 = 385.
15.3.3 Simplification des fractions

Définition 15.3.2. Simplifier une fraction c’est la rendre irréductible c’est à dire de
telle sorte que son numérateur et son dénominateur n’ont plus de diviseur commun.
Méthode : pour simplifier une fraction ab , il faut :

1. Trouver le P GCD(a, b).
2. Diviser a et b par ce P GCD.
NB : On obtient par cette procédure une fraction irréductible qui est égale à ab .
Exemple : Simplifier : 144 ; 630 et 21175
108 3360 35035
.
On a :
144
– P GCD(144, 108) = 36 donc 108 = 144:36
108:36
= 43 .
– P GCD(630, 3360) = 210 donc 630 210
630:210
= 3360:210 = 163
.
– P GCD(21175, 35035) = 385 donc 35035 = 35035:385 = 55
21175 21175:385
91
DM 20. 1a, 1b, 1c, 1d, 1e, 1, 2, 3, 4, 5, 6 du livre de la collection CIAM.

15.4 Somme et différence de deux fractions 67
15.4 Somme et différence de deux fractions

15.4.1 Cas des fractions ayant même dénominateur (Voir chapitre
1 sur les rappels)
15.4.2 Cas des fractions qui ont des dénominateurs différents

PPCM de deux entiers naturels
Définition 15.4.1. Le Plus Petit Commun Multpile de deux nombres entiers naturels
a et b noté P P CM (a, b) est comme son nom l’indique est le plus petit élément commun
à l’ensemble des multiple de a et b.
Méthode : Pour déterminer le PPCM de deux entiers naturels a et b, il faut :

1. Décomposer a et b.
2. Choisir tous les chiffres qui apparaissent dans l’une des decompositions et pas dans
l’autre.
3. Si un même entier élevé d’une puissance dans les deux decompositions, on le choisi
muni de son l’exposant le plus grand.
4. On multiplie tous les nombres choisis précédemment pour avoir le PPCM cherché.
Exemple : Calculer P P CM (144, 108), P P CM (630, 3360), P P CM (21175, 35035), P P CM (7, 4),
P P CM (8, 17).
Solution :
l 144 = 24 × 32 , 108 = 22 × 33 donc P P CM (144, 108) = 24 × 34 = 432.
l 630 = 32 × 7 × 2 × 5, 3360 = 25 × 5 × 3 × 7 donc P P CM (630, 3360) = 32 × 7 × 25 × 5 =
10080.
l 21175 = 52 × 7 × 112 , 35035 = 5 × 72 × 11 × 13 donc P P CM (21175, 35035) = 112 ×
52 × 72 × 13 = 121 × 25 × 49 × 13 = 1 926 925.
l 7 = 7 × 1 et 4 = 4 × 1 donc P P CM (7, 4) = 7 × 4 = 28.
l 8 = 23 et 17 = 17 × 1 donc P P CM (8, 17) = 23 × 17 = 8 × 17 = 136
Remarque 15.4.1. Le P P CM d’un nombre premier et de tout autre nombre qui
n’est pas son multiple est le produit des deux nombres.

15.5 Addition et soustraction de deux fraction à dénominateurs
différents 68
15.5 Addition et soustraction de deux fraction à déno-

minateurs différents
Méthode : Pour additionner ou soustraire deux fractions à dénominateurs différents,
il faut :
À Trouver le P P CM des deux dénominateurs de ces fractions.
Á Diviser chaque dénominateur par ce P P CM .
Â Multiplier le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par le résultat de la
division de son dénominateur par le P P CM précédent.
Ã Les deux fractions obtenues ont le même dénominateur. Utiliser ensuite les règles
d’addition et de soustraction des fractions à dénominateur commun pour trouver le
résultat de l’opération souhaitée.
Exemple : Effectuer les opération suivantes :
5 5
1. A = 2
− 4
4
2. B = 3 − 3
1 1
3. C = 12
+ 14
5
4. D = 8
+ 34 + 7
16
Solution :
1. P P CM (2, 4) =?, 2 = 2 × 1, 4 = 22 donc P P CM (2, 4) = 22 = 4.
4 : 2 = 2 d’où 25 = 5×2
2×2
= 104
.
5 5×1 5
4 : 4 = 1 d’où 4 = 4×1 = 4 .
A = 52 + 54 = 10
4
+ 54 = 15
4
.
2. B = 3 − 43 = 13 − 34
P P CM (1, 3) = 3, 3 : 1 = 3 donc 31 = 3×3
1×3
= 93 .
3 : 3 = 1 donc 43 = 4×1
3×1
= 34 . D’où B = 31 − 43 = 9
3
− 4
3
= 9−4
3
= 53 .
1 5
3. C = 12 + 14 , P P CM (12, 14) = 22 × 7 × 3 × 3 = 84.
1 1×7 7
84 : 12 = 7, donc 12 = 12×7 = 84 .
5 5×6 30
84 : 14 = 6 donc 14 = 14×6 = 84 .
1 5 7
On a finalement C = 12 + 14 = 84 + 30
84
= 7+30
84
= 37
84
5
4. D = 8
+ 34 + 7
16
;

15.6 Comparaison de deux fractions-Encadrement 69
– On somme d’abord 58 et 43 : P P CM (8, 4) = 8 ; 8 : 8 = 1 donc 58 = 5×1

8×1
= 5
8
et
3×2
8 : 4 = 2 donc 43 = 4×2 = 86 .
On a finalement 58 + 43 = 58 + 68 = 11
8
. D’où D = 58 + 34 + 16
7
= 11
8
7
+ 16 .
11 11×2 22
– P P CM (8, 16) = 16, ; 16 : 8 = 2 donc 8
= 8×2
= 16
.
7 7×1 7
16 : 16 = 1 donc 16 = 16×1 = 16 .
11 7 22 7 29
– D = 8 + 16 = 16 + 16 = 16 .
15.6 Comparaison de deux fractions-Encadrement

15.6.1 Comparaison de deux fractions
Cas de deux fractions ayant le même dénominateur
Règle : Entre deux fractions qui ont le même dénominateur, la plus grande est celle
qui a le plus grand numérateur.
Exemple : 17 4
> 49 > 34 > 14 ; 18
5
> 13
5
; 57 < 67 .
Cas de deux fractions ayant le même numérateur
Règle : Entre deux fractions qui ont le même numérateur, la plus grande est celle qui
a le plus petit dénominateur.
9
Exemple : 95 > 15 8
; 300 < 84 ; 16
2
> 51 > 10
15
10
> 1000 .
15.6.2 Cas de deux fractions n’ayant rien en commun

Règle :
1. On rend les deux fractions au même dénominateur en utilisant le P P CM de leurs
dénominateur.
2. La fraction qui aura le plus grand numérateur après la première étape sera la plus
grande.
Exemple : Comparons 29 49
et 47
98
.
– P P CM (49, 98) =?
– 49 = 72 , 98 = 72 × 2 donc P P CM (49, 98) = 72 × 2 = 98.
47 47×1
– 98 : 98 = 1 donc 98 = 98×1 = 4798
.
29 29×2 58
– 98 : 49 = 2 donc 49 = 49×2 = 98

15.6 Comparaison de deux fractions-Encadrement 70
29 47 47 58 47 58 29 47
– Comparer 49
et 98
c’est comparer 98
et 98
et on a : 98
< 98
donc 49
> 98
.
a r
15.6.3 Écriture d’un fraction b sous la forme q + b avec r < b
Règle : Il suffit de faire la division de a par b pour trouver q qui est le quotient entier
de cette division et r qui est le reste de la division.
Exemple : On veut écrire 143 15
et 132
13
sous la forme q + rb avec r < b.
1 4 3 15
8
-1 3 5 9 donc 143 = 9 + 15
0 0 8
1 3 2 13
2
De même : -1 3 0 10 donc 132 = 10 + 13
0 0 2
15.6.4 Encadrement d’une fraction par deux nombres décimaux

a
Méthode : Pour encadrer une fraction b
par deux nombres décimaux, il faut :
À Faire le division de a par b
Á Placer le résultat sur un droite graduée
Â Prendre deux nombres décimaux qui intercalent ce nombre en respectant la consigne
du nombre de chiffres après la virgule.
53
Exemple : Encadrer 4
1. A l’aide de deux nombres entiers naturels
2. Par deux nombres décimaux relatifs consécutifs ayant un chiffre après la virgule.
3. Par deux nombres décimaux relatifs consécutifs ayant deux chiffres après la virgule.
Solution :
5 3 4
-4 13,25
1 3
-1 2
1 0
- 8
2 0
- 2 0
0 0

15.7 Produit de deux fractions 71
La représentation sur la droite graduée est donnée par :
On a alors :
53
1. 13 < 4
< 14
53
2. 13, 2 < 4
< 13, 3
53
3. 13, 24 < 4
< 13, 26
15.7 Produit de deux fractions

15.7.1 Produit d’une fraction et d’un nombre entier naturel (Voir
chapitre 1)
15.7.2 Produit de deux fractions

Règle : La fraction résultat a pour numérateur le produit des numérateurs des deux
fractions et pour dénominateur le produit des dénominateurs des deux fractions.
Formule : ab × dc = a×b c×d
Exemple :
– 57 × 89 = 7×8
5×9
= 56
45
– 49
15
× 9
15
= 49×9
1(×14
= 441
210
DM 21. 3h, 3i, 4b, 4c, 14, 15, 17, 20 du livre de la collection CIAM.
15.7.3 Puissance d’une fraction

Définition 15.7.1. Lorsqu’on multiplie n facteurs une fraction ( ab ), on note ( ab )n le
résultat obtenu et on lit ”a sur b le tout à la puissance n”.
Exemple :
– 54 × 45 × f rac45 = ( 45 )3
– 25 × 52 × 52 × 52 × 25 = ( 52 )5
4 4 4×4 42
Remarque 15.7.1. – 5
× 5
= 5×5
= 52

15.8 Resolution des problèmes avec le PPCM et le PGCD 72
75
– 37 × 73 × 73 × 73 × 37 = 7×7×7×7×7
3×3×3×3×3
= 35
a n an
– On a généralement : ( b ) = bn .
15.8 Resolution des problèmes avec le PPCM et le PGCD

Problème 1 :
Deux cloches sonnent dans une cathédrale ; La première sonne après chaque 20min et
la deuxième sonne après chaque 30min ; Quand est ce que les deux cloches sonnent au
même moment pour la première fois ?.
Solution :Il suffit de trouver le P P CM (20, 30).
– 20 = 22 × 5 et 30 = 2 × 3 × 5
– P P CM (20, 30) = 22 × 3 × 5 = 60
On conclut donc que les deux cloches sonneront au même moment après chaque 60min
(1h) de leur déclenchement.
Problème 2 : Awa veut fêter son anniversaire et possède 54 bonbons puis 306 biscuits
et veut constituer les lots identiques contenant chacun des bonbons et des biscuits. Quel
est le nombre maximum d’invités que celle ci peut avoir ?
Solution :Il suffit de trouver le P GCD(54, 306).
– 54 = 32 × 23 et 306 = 32 × 2 × 17.
– P GCD(54, 306) = 32 × 2 = 18
Awa doit inviter au maximum 18 personnes à sa fête.

Chapitre
PROPORTIONNALITE

À Prolonger la notion de proportionnalité vue en classe de 6ème.
Á Appliquer la notion de proportionnalité à la résolution des problèmes.
16.1 Exemple de coefficient de proportionnalité

16.1.1 Vitesse moyenne
Définition 16.1.1. C’est le quotient de la distance parcourue par un mobile par le temps
pour la parcourir.
Formule : V = dt , d = V × t, t = Vd .
NB : La vitesse moyenne est le coefficient de proportionnalité d’un tableau de pro-
portionnalité ayant les distances à la première ligne et les temps mis à la deuxième ligne.
Exemple : Completer le tableau suivant :
Distance (km) 120 90
temps mis (h) 150 4 2
Quelle est la vitesse obtenu par ce tableau ?
conversion de la vitesse :
la vitesse peut avoir plusieurs unités : km{h, m{s, m{min, km{s.

Règle : On convertit le numérateur et le dénominateur et on obtient une fraction avec
la quelle on multiplie la valeur de la vitesse.
Exemple :
– 3km/h = · · · m/s = · · · km/min

16.1 Exemple de coefficient de proportionnalité 74
– 3km/h = 3km
1h
= 1000km
60s
× 3 = 3×1000m
1×60s
= 300km
6
= 50km/h
3km
– 3km/h = 3 × 60min = 0, 5km/min
16.1.2 Débit moyen

Définition 16.1.2. Le debit moyen est le quotient du volume du liquide écoulé par la
durée ; Dans un tableau de proportionnalité où il y a les durées à la première ligne et le
volume à la deuxième ligne, le debit moyen est le coefficient de proportionnalité.
Formule : debit = volume

temps
, V olume = debit × temps , temps = volume
debit
Unité : le debit peut avoir plusieurs unités. Selon le cas , on peut faire un conversion.
Exemple :
– Debit = 20m3 /s et temps = 24h ; Il faut donc convertir le temps en s. t = 24h =
24 × 86400 = 2 073 600.
volume = debit × temps

= 20 × 2 073 600
= 41 472 000.
1000dm3
– 150m3 /h = 150 × 86400s
= 1, 736dm3 /s
1000000cm3
150m3 /h = 150 × 60min
= 2 500 000cm3 /min
16.1.3 Masse volumique

Définition 16.1.3. La masse volumique d’un corps est le quotient d’une certaine quan-
tité de ce corps par le volume occupé par cette quantité. Dans un tableau de proportionnalité
où les volumes sont sur la première ligne et les masses sur la deuxième ligne, la masse
volumique est le coefficient de proportionnalité.
Exemple :
Volume (en dm3 ) 2 3
– Completer le tableau suivant :
Masse d’huile (en kg) 1,8 3,6
– En déduire la masse volumique de l’huile en question.
Remarque 16.1.1.
La masse volumique peut avoir plusieurs unités : on peut faire des conversions pour quitter
d’une unité à l’autre.

16.1 Exemple de coefficient de proportionnalité 75
ρ
Formule : ρ = Vmasse
olume
, masse = ρ × V olume, V olume = masse
Attention ! Il faut au préalable convertir les données vers la même unité.
Exemple : ρ = 0, 85g/dm3 , V = 0, 25dm3 on cherche la masse.
– masse = ρ × V olume
– Conversion : 4, dm3 = 4250cm3 .
– masse = 0, 85 × 4250 = 3612, 5g.
DM 22. 1a, 1b, 1c, 1g, 1i, 3, 4, 5, 7, 13, 14, 15, 16 du livre de la collection CIAM.
16.1.4 Échelle
Définition 16.1.4. L’ échelle d’une carte est le quotient d’une distance sur cette carte
par la distance réelle correspondante.
NB : Dans un tableau de proportionnalité où il y a les dimensions réelles sur la

première ligne et les dimensions sur la cartes sur la deuxième ligne, le coefficient de
proportionnalité est l’échelle.
Formule : Lorsqu’une échelle est sous la forme a1 où a est un entier naturel,alors on
a:
– Dimension réelle =Dimension sur la carte ×a
– Dimension sur la carte= Dimensionrelle
a
16.1.5 Pourcentage
p a×p
Définition 16.1.5. le pourcentage 100
d’un nombre a est la quantité 100
.
Formule :
prixd0 achat
– bénéfice= prixdevente × 100
– prix de vente=prix d’achat + bénéfice
0 unproduit
– Réduction= nouveauprixd
ancienprixduproduit
× 100
– Nouveau prix d’un produit=ancien prix du produit-reduction
– ancien prix d’un produit= nouveau prix du produit + reduction
ancienprixd0 unproduit
– augmentation = nouveauprixdeceproduit × 100
– ancien prix d’un produit= nouveau prix de ce produit-augmentation
– nouveau prix d’un produit = ancien prix du produit = augmentation
DM 23. 1m, 1n, 10, 22, 25, 22, 31, 33, 34 du livre de la collection CIAM.

16.2 Représentation graphique des tableaux de proportionnalité76
16.2 Représentation graphique des tableaux de propor-

tionnalité
16.2.1 Repérage dans le plan
Présentation
Le plan est représenté par deux droites graduées perpendiculaires dont l’une (D1 ) est
horizontale appelée axe des abscisses et l’autre est verticale appelé axe des ordonnées.
Un point sera caractérisé par un couple de coordonnées où la première composante
désignera son abscisse et la deuxième composante son ordonnée.
Exemple : A(2, 3), B(−7, −1) C(0, 1)
– A a pour abscisse 2 et pour ordonnée 3
– B a pour abscisse −7 et pour ordonnée −1
– C a pour abscisse 1 et pour ordonnée 3
– le point de rencontre des deux axes est l’origine O(0, 0) du repère.
16.2.2 Représentation d’un point dans un repère

On veut placer le point A(a, b) dans un repère (O, I, J) a et b étant deux réels donnés.
Méthode :
1. On fait des pointillés quittant de l’abscisse a et parallèle à l’ axe des ordonnées.
2. On fait des pointillés quittant de l’ordonnée b et parallèles à l’axe des abscisses .

3. Les deux systèmes de pointillés se croisent au point A.

Exemple : Placer dans le repère (O, I, J) : A(2, 2), B(0, 2.5), C(3, 0), D(1, 1) et
E(−2, −3), F (−1, 1)
Remarque 16.2.1. 1. Un point qui a pour abscisse 0 se trouve sur l’axe des ordon-
nées.
2. Un point qui a pour ordonnée 0 se trouve sur l’axe des abscisses.
16.2.3 Représentation graphique d’un tableau de proportionna-

lité
Méthode : Pour représenter graphiquement un tableau de proportionnalité, on fait
correspondre aux colonnes de ce tableau les coordonnées des points dans un repère. Les
abscisses sont lues à la première ligne et les ordonnées à la deuxième ligne.
Exemple : Soit à représenter le tableau de proportionnalité suivant :
Durée (h) 3 5 6 10
Distance (km) 120 200 240 400
On a en coordonnées les points suivants : (3, 120), (5, 200), (6, 240) (10, 400).
On les place dans un repère (O, I, J) puis on trace la droite qui les lie.
NB :
1. Si les points placés dans le repère forment un droite, le tableau représenté est un
tableau de proportionnalité.

2. Si les points placés dans le repère ne forment pas un droite alors le tableau ne
représente pas un tableau de proportionnalité.

Chapitre
PRODUIT DE DEUX NOMBRES

DÉCIMAUX RELATIFS

1. Multiplier deux ou plusieurs nombres décimaux relatifs.
2. Utiliser les nombres décimaux relatifs pour résoudre les équations.
17.1 Préliminaires
17.1.1 Produit des signes dans une multiplication
Dans une multiplication de deux entiers relatifs, on a :
– (+) × (+) = (+)
– (+) × (−) = (−)
– (−) × (+) = (−)
– (−) × (−) = (+)
17.1.2 Règle à suivre

Pour multiplier deux nombres décimaux relatifs, il faut d’abord multiplier les signes
entre eux suivant les règles de multiplication des signes puis placer le signe obtenu devant
le résultat de la multiplication de leurs parties numériques.
Exemple : Effectuer les opérations suivantes :
– A = (+5, 4) × (−2, 5)
– B = (−4, 5) × (−2)
– C = (−6) × (+5)

17.2 Produit de plusieurs nombres décimaux relatifs 80
Solution :
–
A = (+5, 4) × (−2, 5)
= −(5, 4 × 2, 5)
A = −12
B = (−4, 5) × (−2)
= +(4, 5 × 2)
= +9
C = (−6) × (+5)
= −(6 × 5)
C = −30
17.1.3 Resolution de l’équation a × x = b ou a × · · · = b

b
Méthode : On multiplie les signes de a et b puis on place le résultat devant a
ou b : a.
Exemple :Résoudre les équations suivantes :
– · · · × (−1, 2) = (+1, 32)
– (−7) × x = (+8, 4)
Solution :
– · · · × (−1, 2) = (+1, 32) le résultat est donné par − 1,32
1,2
= −1, 1
8,4
– (−7) × x = (+8, 4) le résultat est donné par x = − 7 = −1, 2
17.2 Produit de plusieurs nombres décimaux relatifs

Règle :
1. Si l’énoncé comporte un nombre impair de nombres décimaux, le résultat est négatif.
2. Si l’énoncé comporte un nombre pair de nombres décimaux relatifs, le résultat est
positif.

17.2 Produit de plusieurs nombres décimaux relatifs 81
3. La partie entière du résultat est le produit des parties numériques des composantes
du produit.
4. On peut déplacer et regrouper certains termes du produit pour rendre les calculs
plus faciles et rapides.
Exemple : Calculer les produits suivants :
– A = (−0, 04) × (+1, 3) × (+10) × (−50)
– B = (−4, 2) × (−3, 75) × (−5) × (+200)
– C = (−2, 5) × (+8) × (+5) × (−2)
Solution :
–
A = (−0, 004) × (+13) × (+10) × (−50)

= (−0, 004) × (−50) × (+1, 3) × (+10)
= (+2) × (+13)
A = (+26)
B = (−4, 2) × (−3, 75) × (−5) × (+200)

= (−4, 2) × (−5) × (−3, 75) × (+200)
= (+21) × (−750)
B = (−15750)
C = (−2, 5) × (+8) × (+5) × (−2)

= (−20) × (−10)
= +200
DM 24. 2a, 2b, 1, 2, 3, 4, 5, 10, 11 du livre de la collection CIAM.

17.3 Puissance d’un nombre décimal relatif 82
17.3 Puissance d’un nombre décimal relatif

17.3.1 Cas d’un nombre décimal positif
Le signe du résultat est positif et sa partie numérique se calcule comme dans le cas
des entiers naturels.
Exemple :
(+3)4 = (+3) × (+3) × (+3) × (+3) = +(3 × 3 × 3 × 3) = +81
17.3.2 Cas d’un nombre décimal négatif

Règle :
– Si sa puissance est paire, le résultat est positif et la partie numérique du résultat se
calcule comme dans 1.
– Si sa puissance est impaire, le résultat est négatif et la partie numérique du résultat
se calcule comme dans 1..
Exemple :
– (−1, 2)2 = +(1, 2 × 1, 2) = +1, 44 (car 2 est pair)
– (−4, 6)3 = −(4, 6 × 4, 6 × 4, 6) = −(97, 336) (car 3 est impair)
DM 25. 7, 8 14 du livre de la collection CIAM.


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RESUME

J’apprends et J’enseigne 5ème vient à la suite de celui de 6ème dans le but de

J’apprends et J’enseigne les MATHS c

3 FIGURE SYMÉTRIQUES PAR RAPPORT A UN POINT 14

J’apprends et J’enseigne les MATHS c

4.1.2 Angles complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 FIGURES SYMÉTRIQUES PAR RAPPORT A UNE DROITE 26

6 MÉDIATRICE D’UN SEGMENT 29

J’apprends et J’enseigne les MATHS c

8.1.1 Propriétés d’un parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

11 RAPPELS SUR LES ACTIVITÉS NUMÉRIQUES 46

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12 NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS 51

13 SOMME ET DIFFERENCE DE NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS 55

14 PUISSANCE ENTIÈRE D’UN NOMBRE DECIMAL 60

J’apprends et J’enseigne les MATHS c

J’apprends et J’enseigne les MATHS c

16.2.3 Représentation graphique d’un tableau de proportionnalité . . . . . 77

17 PRODUIT DE DEUX NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS 79

J’apprends et J’enseigne les MATHS c

¨ Objectif : Rappeler certaines notions de geometries vues dans la classe de 6ème

1.1 Configuration du plan

2. La médiatrice d’un segment est un droite perpendiculaire à ce segment en son milieu :

J’apprends et J’enseigne les MATHS c

J’apprends et J’enseigne les MATHS c

7. Un parallélogramme est un quadrilatère vérifiant les trois conditions suivantes :

9. Un rectangle est un parallélogramme possédant un angle droit à l’un de ses sommets :

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1.2 FIGURES SYMÉTRIQUES

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J’apprends et J’enseigne les MATHS c

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2.1.1 Cordes d’un cercle

2.1.2 Intérieur et extérieur d’un cercle

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2. Représente quatre points A, B, C, D dans le cercle , deux points E et F sur le

Propriété 2.1.1. Soit (C) un cercle de centre O et de rayon r.

DM 1. 1a, 1b, 1c, 1d, 1, 2, 3, 4 du livre de la collection CIAM.

2.2 Propriétés d’un triangle et d’un segment

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Activité 2.2.2. 1. Construis un segment [AB] de longueur 6cm.

2.2.2 Propriétés d’un segment

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2. Marque un point C ∈ [AB] puis mesure les distances AB, CB et AB.

Propriété 2.2.3. Si M ∈ [AB] où [AB] est un segment donné, alors AM + M B = AB.

2.3 Résolution des problèmes de distance

J’apprends et J’enseigne les MATHS c

J’apprends et J’enseigne les MATHS c

DM 2. 2b, 2c, 2d, 5, 9, 11, 12, 17, 19 du livre de la collection CIAM.

J’apprends et J’enseigne les MATHS c

FIGURE SYMÉTRIQUES PAR

¨ Importance dans la vie pratique : Ce chapitre intervient :

3.1 Nouvelles propriétés

J’apprends et J’enseigne les MATHS c

3.1.2 Symétrique du milieu d’un segment

DM 3. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11 du livre de la collection CIAM.

3.1.3 Symétrique de deux droites perpendiculaires